6 produto cartesiano

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Matemática Básica
Daniel Portinha
Aula 6
Produto Cartesiano
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Dados dois conjuntos não vazios A e B, chamaremos de produto cartesiano de A por B e representaremos por A X B ao conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x A e y  B.
A = {0,1,2}
B = {3,4}
A X B = { (0,3), (0,4), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
Obs.: A X B  B X A
Ex1.: 
A = {2,3} e B = {-1,2}
A X B = {(2,-1), (2,2), (3,-1), (3,2)}
Ex2.: 
B X A = {(-1,2),(-1,3),(2,2), (2,3)}
N(AXB) = n(A) . N(B)
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Produto Cartesiano
Representação Gráfica
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(x,y), onde x é marcado no eixo horizontal e y é 
assinalado no eixo vertical.
Relação Binária
Sejam A e B conjuntos não vazios. Chamamos de Relação Binária de A em A a todo subconjunto de A X B.
A = {2,3} e B = {-1,2}
A X B = {(2,-1), (2,2), (3,-1), (3,2)}
R1 = {(2,2), (3,-1)}
R2 = {(2,-1)}
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Domínio e Imagem 
Domínio da relação: Conjunto formado pelos valores de x. D(R1) = {2,3}
Imagem da relação: Conjunto formado pelos valores de y. Im(R1) = {-1,2}
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Aplicação com Relações Binárias
Dados A = {0,1,2,3} e B={1,2,3}, escreva:
R1 = {(x,y) A X B : y = x}
Resp.: R1 = {(1,1), (2,2), (3,3)}
D(R1) = {1,2,3} e Im(R1) = {1,2,3}
R2 = {(x,y)  A X B : y + 2 = x}
Resp.: R2 = {(3,1)}
D(R2) = {3} e Im(R2) = {1}
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Função
Chamamos de função de A em B a toda relação f de A X B que obedece a duas condições:
Todo elemento de A tem correspondente em B;
Cada elemento de A tem apenas um correspondente em B.
Ex.: A = {1,2,3} e B = { 4,5}
A X B = { (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}
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O subconjunto f1 = {(1,4),(2,4),(3,5)} é uma função.
O subconjunto f2 = {(2,4), (3,4)} não é uma função, pois o elemento 1 que pertence a A, não tem correspondente.
O subconjunto f3={ (1,4), (1,5)} Não é função pois o elemento 1, tem dois correspondentes.
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Função
Domínio = é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A, Representamos por D ou D(f). Em nosso exemplo, o conjunto A.
Contradomínio= É o conjunto formado por todos os elementos do conjunto B. É indicado por CD ou CD(f). No exemplo, conjunto B.
Imagem=É o conjunto formado por todos os elementos de B que estão associados a algum elemento de A. É indicada por Im ou Im(f).
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Função
Podemos definir uma função por uma lei de formação sem definir os conjuntos A e B. Nesse caso, o domínio será o conjunto de todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei sejam possíveis de serem realizadas, e o contradomínio será o conjunto dos números Reais
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Função
Zeros ou raízes da função
Chamamos de zero ou raiz da função, a todos valores x para os quais f(x) = 0
Exemplo:
f(x) = 3x-1. Fazendo f(x) = 0 teremos, 
3x – 1 = 0, logo x = 1/3
1/3 é zero ou raiz da função f(x) = 3x-1, pois para x=1/3, f(x) = 0
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Propriedades de uma função
Sobrejetiva: se e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio;
Injetiva: para elementos distintos no domínio, teremos imagens distintas.
Bijetiva: quando é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo
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A função f(x) = x2 é sobrejetiva, pois todo elemento de R é imagem de pelo menos um elemento de R;
A função f(x) = 3x é injetiva, pois para cada elemento do domínio x, teremos o triplo de x na imagem.
A função f(x) = x+1 é bijetiva, pois é injetiva e sobrejetiva.
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Propriedades de uma função
Matemática Básica
Daniel Portinha
Atividade 6
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Atividade 1
Dada a função f(x) = 2x – 1, ache a imagem a partir do domínio A={0,1,2,3}
Solução
f(0) = 2.0 - 1 = 0 – 1 = -1
f(1) = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1
f(2) = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3
f(3) = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5
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Atividade 2
Dados os conjuntos A={-1,2,3} e B={-2,4} , construa a relação binária definida por 
R = {(x,y)  A X B : y = 2x}. Represente esta relação no plano cartesiano.
Solução
A X B = {(-1,-2), (-1,4), (2,-2), (2,4), (3,-2), (3,4)}
R = { (-1,-2), (2,4)}
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