MATEMATICA PARA CONCURSO

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Data de impressão: 01/07/2008
 Matemática
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1
 
SISTEMA LEGAL MEDIDAS E EQUIVALÊNCIAS 
 
UNIDADES DE TEMPO 
1 1ano = 12 meses 
2 
 
1 mês = 30dias * 
3 
 
1 dia = 24 horas 
4 
 
1 hora = 60 min 
5 
 
1 min = 60 s 
6 * 1 ano comercial tem 360 dias, e mês com 30 dias 
7 1 ano civil tem 365 dias, e mês com o número de dias do calendário 
8 1 ano civil bissexto tem 366 dias, e mês com os números de dias do calendário 
 
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
km hm dam m dm cm mm 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE ÁREA 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
 100 
 
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE VOLUME 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
 1000 
 
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE CAPACIDADE 
kl hl dal l dl cl ml 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
EQUIVALENCIA ENTRE: VOLUME E CAPACIDADE 
1 dm3 1 litro 1 000 cm3 
 
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE MASSA 
kg hg dag g dg cg mg 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
 10 
 
MEDIDAS DE ÂNGULOS 
 
Símbolos 
1 Graus º Minutos 
 
Segundos 
 
2 Um giro completo na circunferência tem 360º e um ângulo reto 90º 
 
3 1º = 60
 
4 
 
1
 
=
 
60
 
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2
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e 
vai encher 12 garrafas de 750 ml para vende na feira. 
Não havendo desperdício, quantos litros de licor 
sobrarão depois que ele encher todas as garrafas? 
Resolução: 
I) Os dados 10 litros e 750 ml não são compatíveis pela 
unidade de capacidade, deveremos converte ambos na 
mesma unidade. Usei o procedimento, converter 750 ml 
para litros, veja na escala: 
kl hl dal l dl cl ml 
 10 
 
10
 
10
 
10
 
10
 
10
 
10
 
 10
 
10 10 10 10 10 10 
 
0 7 5 0, 
 
0, 7 5 0 
 
Resultando 0,750 litros ou 0,75 litros. 
II) Encher 12 garrafas com 0,750 litros, 12x0,750 = 9 
litros 
III) Sobrou para engarrafar 
Sobra= 10 9 = 1 litro 
 
02. Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, 
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, 
será de: 
Resolução: 
I) Convertendo 1 km2 em m2, veja na escala: 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100 
 
100
 
100
 
1, 00 00 00 
 
1 00 00 00, 
 
Resultando 1000 000 m2 
II) Dividir a metragem quadrada em 5 partes iguais 
Resposta: 
1 000 000 21 lote = = 200 000 m
5
Área 
 
03. Um médico receitou a João dois medicamentos. O 
primeiro deve ser tomado a cada uma hora e trinta 
minutos e o segundo a cada duas horas e trinta 
minutos. Sabendo que João começou o tratamento 
às 7h30min da manhã, tomando os dois 
medicamentos ao mesmo tempo, a que horas da 
noite ele tomará os dois medicamentos juntos 
novamente? 
a) às 2 b)às 21h30min. c) às 22h. 
d) às 22h30min e) às 23h 
Resolução: 
I) Tempo de cada remédio 
Remédio 1 1h 30 min = 90 min 
Remédio 2 2h 30 min = 150 min 
 
II) Cálculo do mmc ( 90, 150) 
90 - 150 2 
45 - 75 3 
15 - 25 3 
5 - 25 5 
1 
 
5 5 
 
1 
 
mmc (90, 150) = 2x32x52
 
= 
450 min = 7h 30 min
 
II) Determinação do horário noturno. 
Começou tomando os 
dois remédios às 7h 30 min 
Da 
manhã
 
 
mmc 
+ 
7h 30 min 
 
Próximo horário que 
tomará os dois 
remédios juntos 
15h 00 min
 
Da 
tarde 
 
mmc 
+ 
7h 30 min 
 
Próximo horário que 
tomará os dois 
remédios juntos 
= 22h 30 min
 
Da 
noite 
 
Resposta: letra D 
TESTES 
 
01. (UNB-CESPE) Se um dia corresponde a 24 horas, 
então 9/12 do dia correspondem a: 
a) 8h 
b) 9h 
c) 12h 
d) 18h 
e) 20h 
02. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho 
decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa 
decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de 
casa durante um período de 
a) 14 horas e 10 min 
b) 13 horas e 50 min 
c) 13 horas e 30 min 
d) 13 horas e 10 min 
e) 12 horas e 50 min 
03. (FCC) Certo dia, Jairo comentou com seu colega 
Luiz: "Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia, 
enquanto você trabalhou apenas o equivalente a 
7/20 do dia." 
Com base nessa informação, quanto tempo Jairo 
trabalhou a mais que Luiz? 
a) 1 h e 50 min 
b) 2 h e 16 min 
c) 2 h e 48 min 
d) 3 h e 14 min 
e) 3 h e 36 min 
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04. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada 
para que o paciente receba 25 gotas de sangue por 
minuto. Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 
minutos, e cada gota injeta 0,1ml de sangue, quantos 
ml de sangue o paciente recebeu? 
a) 330 
b) 530 
c) 880 
d) 1900 
e) 3300 
05. Um período de tempo de 500 horas corresponde 
exatamente a: 
a) 20 dias 
b) 20,8 dias 
c) 20 dias e 20 horas 
d) 20 dias e 22 horas 
e) 19 dias e 21 horas 
06. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km2 será dividido 
em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada 
lote, em m2, será de: 
a) 1 000 
b) 2 000 
c) 20 000 
d) 100 000 
e) 200 000 
07. (C.NAVAL) Uma fábrica de fósforos usa as 
seguintes definições: 
Caixa: conjunto de 45 palitos de fósforos. 
Maço: conjunto de 10 caixas. 
Pacote: conjunto de 12 maços. 
Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas, 22 palitos 
de fósforos, por 8, obtém-se um número p de 
pacotes, m de maços, c de caixas e f de palitos de 
fósforos, tais que p + m + c + f é igual a: 
a) 25 
b) 26 
c) 27 
d) 28 
e) 29 
08. (FCC) Num tanque temos 2.000 l de água e 400 l 
de óleo. Cada litro de água pesa 1 kg, enquanto um 
litro de óleo pesa 0,8 kg. Assim, o peso total dos 
2.400 l do tanque, em toneladas, é igual a: 
a) 0,0232 
b) 0,232 
c) 2,32 
d) 23,2 
e) 232 
09. (NC.UFPR) Calcule a massa total de 30.000 folhas 
de papel em formato 20 cm por 20 cm, sabendo que a 
especificação de gramatura desse papel é 75 g/m2. 
a) 120 kg 
b) 90 kg 
c) 60 kg 
d) 12 kg 
e) 9 kg 
10. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às 16h 
45minjá tinha executado 3/4 desse trabalho. 
Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho 
às: 
a) 17h 
b) 17h 15min 
c) 17h 30min 
d) 17h 45min 
e) 18h 
11. (FCC) O tampo de uma mesa tem a forma de um 
quadrado, cujo lado mede 120 cm. Se ele deve ser 
revestido por um material que custa R$ 18,50 o 
metro quadrado, a quantia mínima a ser 
desembolsada para se executar esse serviço é: 
a) R$ 26,64 
b) R$ 25,86 
c) R$ 24,48 
d) R$ 22,20 
e) R$ 20,16 
12. A aluna Viviane da Escola Parque quando está 
de férias, costuma bronzear-se uma hora doze 
minutos e vinte e cinco segundos, diariamente. 
Quantos segundos, ela ficará exposta aos raios 
solares, durante três dias? 
a) 12.105 
b) 13.135 
c) 12.035 
d) 13.035 
e) 12.125 
13. A escola Estrela Azul , cumprindo uma das 
determinações do Ministério da Educação, ministra 
800 horas/aulas para a 4a. Série do ensino 
Fundamental. Sabendo-se que o número máximo de 
faltas permitidas a um aluno é de 25% desse total, 
pergunta-se: quantas faltas ainda, no máximo, 
poderia ter o aluno que já tinha faltado 145 
horas/aulas? 
a) 200 
b) 125 
c) 55 
d) 65 
e) 75 
14. A equipe ALFA de alunos do Colégio Signos, 
recebeu a tarefa de calcular a área do campo de 
futebol do colégio. Sabe-se que o comprimento é 
triplo de sua largura, e que para cercar este campo 
de formato retangular com 3 voltas de arame, foram 
gastos 720m de arame. Daí, concluímos que o 
campo tem uma área de : 
a) 2.100 m2 
b) 2.500 m2 
c) 2.400 m2 
d) 2.700 m2 
e) 2.800 m2 
15. A jovem aluna Aline sempre gostou de resolver 
problemas envolvendo sistema métrico decimal. 
Aline sabe que o perímetro de um determinado 
triângulo é 0,187m e dois de seus lados tem 0,51dm 
e 92mm, logo o terceiro mede, em centímetros: 
a) 3,4 
b) 4,4 
c) 3,6 
d) 4,3 
e) 5,4 
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16. (UNB-CESPE) Na revisão de um livro, o autor 
gastou 5h55min para rever o texto, 2h05min para 
rever a ordem dos exercícios e 4h25min para 
correção das figuras. O tempo gasto na revisão foi 
de: 
a) 12h35min 
b) 12h30min 
c) 12h25min08s 
d) 12h15min 
e) 12h25min 
17. (NC.UFPR) Uma dona de casa, procurando fazer 
uso racional dos equipamentos domésticos e do 
consumo de água, observou que a freqüência ótima 
para a utilização da máquina de lavar roupa é uma 
vez em dias alternados. Sabe-se que o consumo de 
água dessa máquina é de 150,9 litros em cada vez 
que é usada. Se essa freqüência de uso da máquina 
for cumprida rigorosamente, o volume de água gasto 
pela máquina no mês de abril será de: 
a) 22635 litros 
b) 2,2635 m3 
c) 2414,4 dm3 
d) 2112,6 litros 
e) 24144 litros 
18. Uma sala tem 80dm de comprimento; 0,7dam de 
largura e 0,05 hm de altura. Os móveis ocupam um 
vinte avos do volume da sala e cada pessoa deve 
dispor de 7m3 de ar para sua respiração. A 
quantidade de pessoas que, nessas condições, 
podem permanecer na sala é: 
a) 35 
b) 36 
c) 37 
d) 38 
e) 30 
19. (C.M.) O quintal de Fernanda tem a forma de um 
retângulo, com os lados medindo 2,1 dam e 3,02 dam. 
Fernanda construiu no quintal uma piscina que 
também tem forma de um retângulo, com seus lados 
medindo 10m e 4,5 m. Então ela resolveu plantar 
grama em volta da piscina, em toda área restante do 
quintal. Se cada metro quadrado de grama custa R$ 
0,60, Fernanda gastará para adquirir a grama 
necessária, a quantia de: 
20. (UFRJ-NCE) Numa partida de futebol foram 
marcados dois gols no primeiro tempo: o primeiro, 
aos 18 min 25 s e, o segundo, aos 23 min e 12 s. O 
tempo decorrido entre os dois gols foi de: 
a) 4 min 47 s 
b) 4 min 48 s 
c) 4 min 57 s 
d) 5 min 47 s 
e) 5 min 48 s 
21. Quantos copos com capacidade de ¼ de litro 
podem ser enchidos com o conteúdo de uma jarra de 
2 ½ litros ? 
a) 10 
b) 90 
c) 8 
d) 7 
22. Vovô consultou o relógio, pensou um pouco e 
disse : Já se passaram 3/8 deste dia 25 de junho. A 
que horas do dia isso aconteceu? 
a) 8h 
b) 9h 
c) 11h 
d) 15h 
e) 24h 
23. Um intervalo de tempo de 0,7h corresponde a : 
a) 7 minutos 
b) 42minutos 
c) 70 minutos 
d) 1 hora e 10 min 
e) 60 minutos 
24. Um aquário tem a forma de um bloco retangular, 
com arestas de 60 cm, 40 cm e 30 cm. Quantos litros 
de água cabem no aquário cheio? 
a) 720 
b) 640 
c) 130 
d) 72 
e) 13 
25. (OBM) Uma fazenda retangular que possui 10 km 
de largura por 20 km de comprimento foi 
desapropriada para reforma agrária. Se a fazenda 
deve ser dividida para 200 famílias de modo que 
todas as famílias recebam a mesma área, então cada 
família deve receber: 
a) 1 000 000 m2 
b) 100 000 m2 
c) 5 000 m2 
d) 1 000 m2 
e) 10 000 m2 
26. (OBM) Hoje é sábado. Que dia da semana será 
daqui a 99 dias? 
a) segunda-feira 
b) sábado 
c) domingo 
d) sexta-feira 
e) quinta feira 
27. (OBM) Numa certa cidade, o metrô tem todas 
suas 12 estações em linha reta. A distância entre 
duas estações vizinhas é sempre a mesma. Sabe-se 
que a distância entre a terceira e a sexta estações é 
igual a 3 300 metros. Qual é o comprimento dessa 
linha? 
a) 8,4 km 
b) 12,1 km 
c) 9,9 km 
d) 13,2 km 
e) 9,075 km 
28. Efetuar a seguinte operação: 
7 a 5 m 3 d 
 
4 a 9 m 8 d, considerando: a=ano, 
m=mês e d=dia. 
Obs.: Use mês comercial, mês com 30 dias. 
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29. Um relógio adiantou 12
2
 minutos no primeiro dia; 
1
2
3
 
minutos no segundo dia e 12
6
 
minutos no 
terceiro dia. Determine quanto adiantou no total, nos 
três dias. 
30. (CESGRANRIO) Seu José produziu 10 litros de 
licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml 
para vende na feira. Não havendo desperdício, 
quantos litros de licor sobrarão depois que ele 
encher todas as garrafas? 
a) 1,00 
b) 1,25 
c) 1,50 
d) 1,75 
e) 2,00 
31. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia 
seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, 
mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga 
percorreu nos três dias uma distância de: 
a) 1.450m 
b) 12.506,77m 
c) 14.500m 
d) 12.506m 
e) n.d.a. 
32. (UNB-CESPE) Quantos alfinetes de 8 cm de 
comprimento podem ser feitos com um fio de arame 
de 25 hm de comprimento? 
a) 31 250 
b) 3 125 
c) 312 500 
d) 312,5 
GABARITO 
SISTEMA DE 
MEDIDAS 
01 D 
02 E 
03 B 
04 A 
05 C 
06 E 
07 A 
08 C 
09 B 
10 D 
11 A 
12 D 
13 C 
14 D 
15 B 
16 E 
17 B 
18 D 
19 353,52 
20 A 
21 A 
22 B 
23 B 
24 D 
25 A 
26 C 
27 B 
28 2a7m25d 
29 7 
30 A 
31 A 
32 A 
 
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 
 
O conjunto dos números múltiplos de n é o conjunto 
formado por todos os números obtidos multiplicando-se 
n pelos números naturais. 
P.ex.: 
Múltiplos de 6: {0, 6, 12, 18, 24, 30,...} 
Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...} 
Múltiplos comuns de 4 e 6: {0, 12, 24,...} 
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor 
deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 
e 6. 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
É o menor número divisível por todos os números 
envolvidos 
Para obter o MMC de 20, 15 e 25, divide-se 
simultaneamente os números envolvidos por fatores 
primos e, o MMC será o produto desses primos usados 
na fatoração comum. 
 20 - 15 - 25 2 
 10 - 15 - 25 2 
 5 - 15 - 25 3 
 5 - 5 - 25 5 
 1 - 1 - 5 5 
 
 1 
 
MMC(20,15,25)=300, observe 
que o produto dos 
divisores: 2.2.3.5.5=300 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
É o maior número que divide ambos os números 
envolvidos. 
Para obter o MDC de 84 e 90, fatora-se separadamente 
os números envolvidose, o MDC será obtido pelo 
produto dos divisores comuns observados nas 
fatorações. 
84 2 90 2 
42 2 45 3 
21 3 15 3 
 7 7 5 5 
 1 
 
 1 
 
MDC (84, 90)=2.3=6, observe que 
2 e 3 são divisores comuns em 
ambas às fatorações. 
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6
 
TESTES 
 
01. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas 
seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a 
cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive 
aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 
os três estiveram de plantão, a próxima data em que 
houve coincidência no dia de seus plantões foi 
a) 18/11/02 
b) 17/09/02 
c) 18/08/02 
d) 17/07/02 
e) 18/06/02 
02. (FCC) Todos os funcionários de um Tribunal 
devem assistir a uma palestra sobre "Qualidade de 
vida no trabalho", que será apresentada várias vezes, 
cada vez para um grupo distinto. Um técnico foi 
incumbido de formar os grupos, obedecendo aos 
seguintes critérios: 
todos os grupos devem ter igual número de 
funcionários; 
em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo; 
o total de grupos deve ser o menor possível. 
Se o total de funcionários é composto de 225 homens 
e 125 mulheres, o número de palestras que deve ser 
programado é 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 18 
e) 25 
03. (FCC) Uma Repartição Pública recebeu 143 
microcomputadores e 104 impressoras para distribuir 
a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão 
divididos em lotes, todos com igual quantidade de 
aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de 
aparelho, o menor número de lotes formados deverá 
ser 
a) 8 
b) 11 
c) 19 
d) 20 
e) 21 
04. Dispomos de três pedaços de arame, com 
comprimentos 10,5m, 98m e 7m. Deseja-se cortar 
esses arames em pedaços de mesmo comprimento, 
de tal forma que os pedaços tenham o máximo 
comprimento possível. Determine quantos pedaços 
podemos obter e a medida em metros de cada 
pedaço 
a) 33 pedaços com 3 m cada 
b) 33 pedaços com 4,5m cada 
c) 30 pedaços com 3,5m cada 
d) 30 pedaços com 3,m cada 
e) 33 pedaços com 3,5m cada. 
05. (FCC) Dois vigilantes de um prédio público fazem 
ronda, um em cada bloco, respectivamente em 10 e 
12 minutos. Se ambos iniciaram a ronda às 19 horas, 
darão inicio à nova ronda, simultaneamente, às 
a) 19h30 
b) 20h 
c) 20h30 
d) 21h 
e) 21h30 
06. (FCC) Um médico receitou dois remédios a um 
paciente: um para ser tomado a cada 12 horas e 
outro a cada 15 horas. 
Se às 14 horas do dia 10/10/2000 o paciente tomou 
ambos os remédios, ele voltou a tomá-los juntos 
novamente às 
a) 17 horas do dia 11/10/2000. 
b) 14 horas do dia 12/10/2000. 
c) 18 horas do dia 12/10/2000. 
d) 2 horas do dia 13/10/2000. 
e) 6 horas do dia 13/10/2000. 
07. (OCM) Quatro cometas passam pela terra de 
tempos em tempos. O primeiro passa de 2 em 2 
anos. O segundo de 7 em 7 anos. O terceiro de 11 
em 11 anos e o quarto de 13 em 13 anos. Se os 
quatro passaram juntos na terra no ano 2000, em 
que ano eles novamente passarão juntos na terra, 
pela primeira vez? 
08. (FUVEST) Duas rodas gigantes começam a girar 
num mesmo instante, com uma pessoa na posição 
mais baixa de cada uma. A primeira dá uma volta em 
30 segundos, e a segunda dá uma volta em 35 
segundos. As duas pessoas estarão, ambas, 
novamente na posição mais baixa após: 
a) 1 min 10 s 
b) 3 min 
c) 3 min 30 s 
d) 4 min 
e) 4 min 20 s 
09. Saem do porto de Santos, navios Argentinos de 
6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num 
dia saírem dois navios desses países que tempo 
demorará para saírem juntos outra vez? 
a) 10 dias 
b) 11 dias 
c) 12 dias 
d) 13 dias 
e) 14 dias 
10. No ponto de ônibus passa um ônibus para Caixa 
Prego de 15 em 15 minutos e um ônibus para Tão 
Longe de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram 
juntos às 8h 30 min, a que horas vão passar juntos 
de novo ? 
a) 8h 55min 
b) 9h 15min 
c) 9h 30min 
d) 9h 45min 
11. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia 
dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta 
azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi 
incumbido de empacotar todas essas canetas de 
modo que cada pacote contenha apenas canetas 
com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes 
devem conter igual número de canetas, a menor 
quantidade de pacotes que ele poderá obter é 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 16 
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12. (FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de 
medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 
156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los 
em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior 
quantidade possível de um único tipo de 
medicamento. Considerando que todos os 
recipientes deverão receber a mesma quantidade de 
medicamento, o número de recipientes necessários 
para essa distribuição é 
a) 24 
b) 16 
c) 12 
d) 8 
e) 4 
13. Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 
60 minutos respectivamente. Se coincidir das três 
apitarem juntas numa vez, quantas horas levara para 
apitarem juntas novamente? 
a) 15 horas 
b) 16 horas 
c) 17 horas 
d) 18 horas 
e) 19 horas 
14. Três funcionários de um escritório cumprem, 
sistematicamente, horas-extras de trabalho. inclusive 
aos sábados e domingos: um deles a cada 15 dias, 
outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, 
hoje, os três cumprirem horas-extras, a próxima vez 
em que eles irão cumprí-las num mesmo dia será 
daqui a: 
a) um mês 
b) um bimestre 
c) um trimestre 
d) um semestre 
e) um ano 
15. Três despertadores são graduados da seguinte 
maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o 
segundo de duas em duas horas e o terceiro de 5 em 
5 horas. Depois da primeira vez que tocaram juntos, 
este fato voltará a ocorrer novamente após: 
a) 40 horas 
b) 30 horas 
c) 25 horas 
d) 20 horas 
e) 15 horas 
16. Dois ciclistas saem juntos no mesmo instante e 
sentido, do ponto de partida em uma pista circular. O 
primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 
120 segundos. Em quantos minutos voltarão a se 
encontrar novamente? 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 120 
e) 132 
17. (ACAFE-SC) Num painel de propaganda, três 
luminosos se acendem em intervalos regulares: o 
primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 
segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em 
um dado instante, os três se acenderem ao mesmo 
tempo, os luminosos voltarão a se acender, 
simultaneamente, depois de: 
a) 2 minutos e 30 segundos 
b) 1 minuto e 30 segundos 
c) 3 minutos 
d) 36 segundos 
e) 2 minutos 
18. (CESPE) Um médico receitou ao paciente três 
medicamentos distintos para serem tomados, cada 
um, em intervalos de 12h00min, 1h30mim e 2h. Se à 
meia-noite ele tomou os três medicamentos, então 
ele voltará, novamente, a tomá-los ao mesmo tempo 
às: 
a) 10h20min b) 12h00min 
c) 13h20min d) 13h50min 
e) 14h30min 
19. (UFPR) O setor de recursos humanos de uma 
empresa está organizando um curso de capacitação 
dos funcionários. O curso constará de 3 fases e, 
devido à disponibilidade de salas e equipamentos, 
na primeira fase os participantes serão distribuídos 
em grupos de 4 pessoas, na segunda fase em 
grupos de 8 e na terceira fase em grupos de 6. Para 
que nenhum grupo fique incompleto em qualquer 
das fases, o número mínimo de participantes do 
curso é: 
a) 64. 
b) 48. 
c) 40. 
d) 32. 
e) 24. 
20. Três peças de tecido que medem 24 metros, 30 
metros e 48 metros, devem ser cortadas em pedaços 
todos de mesmo comprimento e do maior tamanho 
possível, sem que haja sobra de tecido em qualquer 
uma das peças. Nestas condições, os pedaços 
iguaismedem: 
a) 2m b) 6m c) 3 m d) 6m e) 10m 
21. Três torneiras estão com vazamento. Da primeira 
cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda 
torneira cai uma gota de 6 em 6 minutos e da 
terceira torneira cai uma gota de 10 em 10 minutos. 
Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada 
torneira. A próxima vez que pingarão juntas 
novamente será às: 
a) 3 horas 
b) 4 horas 
c) 2 horas e 30 minutos 
d) 3 horas e 30 minutos 
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22. (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do 
papel enrolado em duas bobinas B1 e B2. 
 
Comprimento 
em m 
largura 
em m 
Espessura 
em mm 
B1 23,10 0,18 1,5 
B2 18 0,18 1,5 
 
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, 
tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em 
folhas retangulares, todas com a mesma largura do 
papel. Nessas condições, o menor número de folhas 
que se poderá obter é 
a) 135 
b))137 
c) 140 
d) 142 
e) 149 
23. (UFRJ-NCE) Maria e Ana se encontram de três em 
três dias, Maria e Joana se encontram de cinco em 
cinco dias e Maria e Carla se encontram de dez em 
dez dias. Hoje as quatro amigas se encontraram. A 
próxima vez que todas irão se encontrar novamente 
será daqui a: 
a) 15 dias 
b) 18 dias 
c) 28 dias 
d) 30 dias 
e) 50 dias 
24. (UFRJ-NCE) x, y e z são números tais que 
413 x 11x 53 x 102x
 
19x513 x 47x 33 x 52y
 
13 x 211x 223 x 32z
 
O máximo divisor comum entre x, y e z é igual a: 
a) 146; 
b) 280; 
c) 1.542; 
d) 2.808; 
e) 3.764. 
GABARITO 
mmc e mdc 
01 D 
02 C 
03 C 
04 E 
05 B 
06 D 
07 4002 
08 C 
09 C 
10 D 
11 C 
12 A 
13 A 
14 D 
15 B 
16 B 
17 C 
18 B 
19 E 
20 D 
21 A 
22 B 
23 D 
24 D 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
RAZÃO. 
Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, 
por exemplo, quando se escreve a>b ou a<b ou ainda 
a=b, estamos a comparar as grandezas a e b. Mas essa 
comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí a utilizar-
se, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o 
quociente entre essas grandezas. 
é mesmo que é mesmo quea
 
a : b a/b
b 
 
Exemplo: 
A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 . Se eu 
pretendo comparar a e b determino a razão a : b ou 
a/b, agora se eu disser que a razão entre elas é 2, 
estou a afirmar que a é duas vezes maior que b. 
APLICAÇÕES 
Entre as aplicações práticas de razões especiais, as 
mais comuns, são: 
Velocidade média 
A velocidade média em geral é uma grandeza obtida 
pela razão entre uma distância percorrida e um tempo 
gasto neste percurso. 
distância
percorridaVelocidade média =
tempo gasto
no percurso
 
Exemplo: 
01. Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 
horas. A velocidade média do carro nesse percurso, á 
calculada a partir da razão: 
120 km V. média = 2 horas 
 
O que significa que, por 1 hora o carro percorreu 60 km. 
Escala 
Escala é a comparação da razão entre o comprimento 
considerado no desenho e o comprimento real 
correspondente, ambos na mesma unidade de medida. 
comprimento do desenhoEscala =
comprimento real 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
01. Em um desenho, um comprimento de 8m está 
representado por 16 cm. Qual a escala usada para 
fazer esse desenho? 
8 m=800 cm. 
16 cm Escala = 800 cm 
Isto significa que, 1 medida no desenho é igual 50 
dessas medidas no real. 
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Densidade Demográfica 
O cálculo da densidade demográfica também chamada 
de população relativa de uma região, é considerada uma 
aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a 
razão entre o número de habitantes e a área em uma 
região. 
número de
habitantesDensidade demográfica =
área total do
território 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
01. Um município paranaense ocupa a área de 100 
000 km2. De acordo com o censo realizado, tem 
população aproximada de 50 000 habitantes. A 
densidade demográfica desse município é obtida 
assim: 
100 000 hab Densidade 
demográfica = 50 000 km2 
 
Isto significa que para cada quilômetro quadrado, esse 
município tem 2 habitantes. 
TESTES 
 
01. Dois segmentos tem 4 cm e 20m de comprimento, 
respectivamente. Determine a razão entre o 
comprimento do primeiro e o comprimento do 
segundo. 
02. A escala da planta de um terreno na qual o 
comprimento de 100m foi representado por um 
segmento de 5cm é: 
03. Num concurso havia 90 candidatos. Tendo sido 
aprovados 30, a razão entre o número de reprovados 
e o número de aprovados é: 
04. (CESGRANRIO) A razão entre o número de 
homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 
3/5. Sendo N o número total de funcionários (número 
de homens mais número de mulheres), um possível 
valor para N é: 
a) 46 
b) 49 
c) 50 
d) 54 
e) 56 
05. (VUNESP) Em um mapa geográfico, uma distância 
real entre dois pontos igual a 10km é representada 
por 0,5cm. A escala deste mapa é: 
a) 1:2.106 
b) 1:2.105 
c) 1:2.104 
d) 1:104 
e) 1:103 
06. A distância entre dois pontos é de 34m. Num 
desenho, essa distância está expressa por 68cm. A 
escala usada para fazer esse desenho foi de: 
07. Em um desenho, um comprimento de 8m está 
representado por 16 cm. Qual a escala usada para 
fazer esse desenho? 
08. Sabendo que 1 cm no desenho corresponde a 
2,5m no real, qual foi a escala usada para fazer esse 
desenho? 
09. Numa carta geográfica, 1 cm representa 10 km 
no real. Qual foi a escala usada nessa carta 
geográfica? 
10. Um ônibus parte de uma cidade A às 13h15min. 
Após percorrer 302 Km, chega numa cidade B às 
17h15min. A velocidade média do ônibus, nesse 
percurso, foi de: 
11. (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão do 
número de empregados homens para o de mulheres 
é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens 
empregados nessa empresa é: 
a) 30% 
b) 43% 
c) 50% 
d) 70% 
e) 75% 
12. (FCC) Para o transporte de valores de certa 
empresa são usados dois veículos, A e B. Se a 
capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 
000 quilogramas, então a razão entre as 
capacidades de A e B, nessa ordem, 
equivale a 
a) 0,0075 % 
b) 0,65 % 
c) 0,75 % 
d) 6,5 % 
e)) 7,5 % 
GABARITO 
RAZÃO 
01 1/500 
02 1/2000 
03 2 
04 E 
05 A 
06 1/50 
07 1/50 
08 1/250 
09 1/1000000 
10 75,5 
11 A 
12 E 
 
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PROPORÇÕES 
 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
Sejam a, b, c, e d números reais não nulos. 
a c I)
 
b = d implica a x d =
 
b x c 
 
a c a+b c+d II)
 
b = d implica b =
 
d 
 
a c a+c a c III)
 
b = d implica
 
b+d = b = d 
 
a c a2 c2
 
axc IV)
 
b = d implica
 
b2 = d2
 
=
 
bxd 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
(a, b, c) é diretamente proporcional a (m, n, p) se, e 
somente se: 
a b c a + b + c 
m 
= 
n 
= p = k = m + n + p 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Um elevador em movimento constante, eleva-se 
em 15 segundos 3 metros. 
Construímos uma tabela para mostrar a evolução da 
ocorrência: 
Tempo 
(seg) 
Altura (m) 
15 3 
30 6 
45 9 
 
Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a 
altura do elevador também duplica e quando o intervalo 
de tempo é triplicado, a altura do elevador também é 
triplicada. 
Observações: Usando razões, podemos descrever essa 
situação deoutro modo. 
02. Quando o intervalo de tempo passa de 15 seg para 
30 seg, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, 
enquanto que a altura do elevador varia de 3 m para 6 m, 
ou seja, a altura varia na razão 3/6. Observamos que 
estas duas razões são iguais: 
15 3 1 
30 = 6 = 2 
03. Quando o intervalo de tempo varia de 15 seg para 45 
seg, a altura varia de 3 m para 9 m. Nesse caso, o tempo 
varia na razão 15/45 e a altura na razão 3/9. Então, 
notamos que essas razões são iguais: 
15 3 1 
45 = 9 = 3 
Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo 
que o elevador eleva-se e o valor numérico da altura 
atingida é sempre igual, assim dizemos então que a 
altura do é diretamente proporcional ao tempo. 
GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS 
(a, b, c) é inversamente proporcional a (m, n, p) se, e 
somente se: 
1
m
a
 
= 1
n
b
 
= 1
p
c
 
= k 
 
ou 
m x a = n x b = p x c = k 
 
Exemplo: 
1. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma 
outra localizada a 180 Km da primeira. Se o percurso 
é realizado em: 
 
1 hora, o carro mantém velocidade média de 180 
Km/h; 
 
2 horas, o carro mantém velocidade média de 90 
Km/h; 
 
3 horas, o carro mantém velocidade média de 60 
Km/h. 
Sendo que Km/h=quilômetro por hora. 
Construiremos uma tabela desta situação: 
Velocidade km/h Tempo h 
180 1 
90 2 
60 3 
 
De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 
1 hora com velocidade média de 180 Km/h. Quando 
diminui a velocidade à metade, ou seja 90 Km/h, o 
tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e 
quando diminui a velocidade para a terça parte, 60 Km/h 
o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica. 
Concluímos que para percorrer uma mesma distância 
fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são 
inversamente proporcionais. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01.A divisão do número de vereadores de 
determinada cidade é proporcional ao número de 
votos que cada partido recebe. Na última eleição 
nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e 
C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000, 
b teve 20 000 e C teve 40 000. Se o número de 
vereadores dessa cidade é 21. quantos deles são do 
partido B? 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
Resolução 
I) 
x = número de candidatos do partido A, que é 
proporcional ao nº de votos obtidos. 
y = número de candidatos do partido B, que é 
proporcional ao nº de votos obtidos. 
z = número de candidatos do partido C, que é 
proporcional ao nº de votos obtidos. 
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II) Formadas as proporções, obtemos relações entre x, y 
e z, que indicam o número de votos de cada partido. 
x 10000 1 x 1
= = = y=2xy 20000 2 y 2
 1ª equação 
x 10 000 1 x 1
= = = z=4x
z 40 000 4 z 4
 2ª equação 
1
=
2
y y20 000 2 1
= = = z=2y
z 40 000 4 z 2
 3ª equação 
III) Adicionando o número de candidatos, obtemos a 
formação que segue: 
X + y + z = 21...................trocando: y por 2x e 
trocando z por 4x 
 Obtemos a nova formação em 
x, siga: 
X + 2x + 4x = 21.................7x = 21......... x = 3 
 
Para x = 3........subst. na 1ª eq. y = 2x.......y = 2(3) = 6...... 
y = 6 
Para x = 3.........subst. na 2ª eq. z = 4x.........z = 4(3) = 
12........ z = 12 
O número de candidatos do partido B, indicados pela 
letra y, é: y = 6 
Resposta, alternativa A 
 
02. Três amigos fizeram um bolão para jogar na 
Megasena, no qual cada um investiu, 
respectivamente, R$ 25,00, R$ 35,00 e R$ 40,00. Na 
conferência do resultado eles descobriram que 
acertaram 5 números em um dos cartões, o que lhes 
deu direito a um prêmio de R$ 3.600,00. Supondo que 
o prêmio deva ser dividido em partes diretamente 
proporcionais ao valor investido por cada um nas 
apostas, cada sócio receberá, respectivamente: 
RESOLUÇÃO
 
I) Considere: 
x o valor que o amigo 1 deve receber 
y o valor que o amigo 2 deve receber 
z o valor que o amigo 3 deve receber 
x + y + z = 3600
 
II) y x + y + zx z 3600
= = = k = = =3625 35 40 25 +35 + 40 100 
Igualando, obtemos o valor para cada amigo: 
x
= 36 x = R$ 900,0025
 parte do amigo 1 
x
= 36 x = R$ 1260,0035
 parte do amigo 2 
x
= 36 x = R$ 1440,0040
 parte do amigo 3 
Resposta: letra C 
TESTES 
 
01. Determine o valor do número racional y para que 
os números racionais 4; 2y; 2,6 e 0,52 formem, 
nessa ordem, uma proporção. 
02. Os números 6, 16, x e 40 formam, nessa ordem, 
uma proporção. Nessas condições, determine o 
número x. 
03. Quando se usa uma escala de 1:400, uma 
distância de 2,5 cm no desenho corresponde a 
quantos metros no real? 
04. (FCC) Um técnico bancário foi incumbido de 
digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, 
têm-se os tempos que ele leva, em média, para 
digitar tais páginas. 
NÚMERODE 
PÁGINAS 
TEMPO 
(MINUTOS) 
1 12 
2 24 
3 36 
4 48 
 
Nessas condições, mantida a regularidade mostrada 
na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o 
esperado é que: 
a) Ainda devam ser digitadas 3 páginas. 
b) Todas as páginas tenham sido digitadas. 
c) Ainda devam ser digitadas 9 páginas. 
d) Ainda devam ser digitadas 8 páginas. 
e) Ainda devam ser digitadas 5 páginas. 
05. (FCC) Um funcionário demora 6 horas para fazer 
um certo serviço, enquanto outro leva 8 horas para 
fazê-lo. Que fração desse serviço os dois fariam 
juntos em 3 horas? 
a) 1/14 
b) 1/7 
c) 2/3 
d) 3/4 
e) 7/8 
06. (FCC) Um determinado serviço é realizado por 
uma única máquina em 12 horas de funcionamento 
ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, 
nas mesmas condições. Se funcionarem 
simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse 
mesmo serviço? 
a) 3 horas. 
b) 9 horas. 
c) 25 horas. 
d) 4 horas e 50 minutos. 
e) 6 horas e 40 minutos. 
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12
 
07. Uma mistura está formada por 4 partes de álcool e 
3 partes de água. Quantos litros de álcool há em 140 
litros dessa mistura? 
08. (FCC) Uma torneira A enche sozinha um tanque 
em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque 
sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras 
juntas encherão o tanque? 
09. Se uma torneira enche um tanque em 60 minutos 
e uma outra torneira enche o mesmo tanque em 30 
minutos, em quanto tempo as duas torneiras juntas, 
enchem o tanque? 
10. (FCC) Uma torneira gasta sozinha 20 min para 
encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min 
para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as 
duas torneiras juntas enchem esse tanque? 
11. (FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. 
O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e 
B trabalharem juntos, em quanto tempo, 
aproximadamente, espera-se que o serviço seja 
feito? 
a) 2 horas e 7 minutos. 
b) 2 horas e 5 minutos. 
c) 1 hora e 57 minutos. 
d) 1 hora e 43 minutos. 
e) 1 hora e 36 minutos. 
12. (ESAF) Um segmento de reta ligando dois pontos 
em um mapa mede 6,5 cm. Considerando que o mapa 
foi construído numa escala de 1: 25 000, qual a 
distância horizontal em linha reta entre os dois 
pontos? 
a) 162,5 m 
b) 15 hm 
c) 1,5 km 
d) 1,6 km 
e) 1 625 m 
13. 
(CESPE)
 
O mapa do estado do Pará ilustrado acima está 
desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma 
distância de 1 cm no mapa corresponde à distância 
real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao 
medir, com a régua, a distânciano mapa entre 
Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 
cm. Com base apenas nessas informações, é correto 
o estudante concluir que a distância real, em linha 
reta, entre essas duas cidades é 
a) inferior a 1.000 km. 
b) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km. 
c) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. 
d) superior a 1.150 km. 
GABARITO 
PROPORÇÃO 
01 0,4 
02 15 
03 10 
04 A 
05 E 
06 E 
07 80 
08 6 
09 20 
10 4 
11 D 
12 E 
13 C 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
TESTES 
 
01. O custo da construção de uma ponte foi 
estimado em R$ 450 000,00 e será dividido entre 
duas cidades A e B, de forma diretamente 
proporcional à população de cada uma. Quanto 
caberá a cada cidade, se A tem população de 3 
milhões de habitantes e B, 12 milhões de 
habitantes? 
02. Reparta 45 fichas em partes inversamente 
proporcionais a 3, 6 e 8. 
03. (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residências 
com as seguintes áreas construídas, em m2: 110, 
112, 120, 116, 120 e 102 e destinou uma área comum 
para lazer de 51 m2, que deve ser dividida em partes 
proporcionais à área de cada residência. Assim, a 
área corresponde à residência de 110 m2 é, em m2, 
igual a: 
a) 9,00 
b) 8,70 
c) 8,40 
d) 8,25 
e) 7,65 
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04. Certa fortuna deve ser repartida entre três 
herdeiros em partes diretamente proporcionais aos 
graus de parentesco que são o 2º, o 5º e o 6º. Quanto 
receberá cada um? O primeiro recebeu R$ 120 000 a 
menos que o segundo. 
05. Dividir 3 560 em três partes tais que sejam a um 
tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e 8, e 
inversamente a 4, 6 e 9. Quanto cabe a cada? 
06. Dividir R$ 39 500,00 em três partes que a um 
tempo sejam diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, e 
inversamente proporcionais a 2, 4 e 5. 
07. Três negociantes formaram uma sociedade, em 
que o primeiro entrou com R$ 30 000, o segundo com 
R$ 20 000 e o terceiro com R$ 50 000. O primeiro 
permaneceu 12 meses, segundo 9 meses e terceiro 4 
meses. 
Determine o lucro de cada um, sabendo-se que o 
lucro total foi de R$ 37 000 
08. Um prêmio de 4 600 reais foi repartido entre três 
funcionários de uma firma em partes inversamente 
proporcionais aos seus salários. O funcionário A 
recebe 5 salários mínimos, o funcionário B recebe 8 
salários mínimos e o funcionário C recebe 4 salários 
mínimos. Qual a parte do prêmio que coube a cada 
um? 
09. As massas de cobre e zinco que se fundem para 
formar o latão são diretamente proporcionais aos 
números 7 e 3. Quantos quilogramas de cobre e zinco 
são necessários para obter 80 kg de latão? 
10. (FCC) Certo mês, os números de horas extras 
cumpridas pelos funcionários A, B e C foram 
inversamente proporcionais aos seus respectivos 
tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 
meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três 
cumpriram um total de 56 horas extras, então o 
número de horas extras cumpridas por B foi 
a) 8 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 36 
11. (FCC) Dois técnicos em eletricidade, Artur e 
Boni, trabalham em uma mesma empresa: Boni há 6 
anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram 
incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em 
alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre 
si, na razão inversa de seus respectivos tempos de 
serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há 
quantos anos ele trabalha na empresa? 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 16 
e) 18 
12. (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente 
proporcionais aos números 5/4 e 3 /4. 
13. (MACK-SP) Dividindo-se 660 em partes 
proporcionais aos números 1/2 , 1/3 e 1/6, obtêm-se, 
respectivamente: 
a) 330, 220 e 110 
b) 120, 180 e 360 
c) 360, 180 e 120 
d) 110, 220 e 330 
e) 200, 300 e 160 
14. (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 
10 milhões de habitantes e uma média de 40 
habitantes por km2. Qual é a sua superfície? 
a) 100.000 km2 
b) 250.000 km2 
c) 500.000 km2 
d) 1.000.000 km2 
e) 900.000 km2 
15. (U.MOGI-SP) Numa sociedade, houve um lucro 
de R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e B são 
respectivamente R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os sócios 
A e B receberão em reais lucros, respectivamente, 
de: 
16. (NC.UFPR) Um bônus de R$ 228,00 será 
repartido entre três funcionários, Maria, José e 
Pedro, em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 
9, respectivamente. A parte que cabe a José é de: 
a) R$ 72,00. 
b) R$ 60,00. 
c) R$ 54,00. 
d) R$ 48,00. 
e) R$ 36,00. 
17. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, 
nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 
4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro 
do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a 
diferença positiva entre os salários dos dois? 
a) R$ 200,00 
b) R$ 250,00 
c) R$ 300,00 
d) R$ 350,00 
e) R$ 400,00 
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18. (NC.UFPR) Uma verba de R$ 2.700,00 foi repartida 
entre os departamentos A e B para despesas com 
material de consumo. Após o departamento A ter 
gastado 1/4 do que recebeu, o seu saldo ficou igual 
ao saldo que o departamento B tinha após gastar 2/5 
do que recebeu. Então, a razão do valor que coube ao 
departamento A para o valor que coube ao 
departamento B é: 
a) 2/3 
b) 3/4 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 5/7 
19. (NC.UFPR) Um chefe de seção dispõe de R$ 
372,00 para serem distribuídos como prêmio a 3 
funcionários, A, B e C. Os valores que eles receberão 
são inversamente proporcionais aos números de 
faltas desses funcionários durante o último semestre, 
que foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere as 
seguintes afirmativas a respeito das quantias que 
eles receberão. 
I. Dentre os três, o funcionário C receberá a menor 
quantia. 
II. O funcionário B receberá R$ 120,00. 
III. O funcionário C receberá a metade do que receberá o 
funcionário A. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
20. (UFRJ-NCE) Um prêmio foi distribuído entre Ana, 
Bernardo e Cláudio, em partes diretamente 
proporcionais aos seus tempos de serviço. 
Esses tempos são, respectivamente, 3, 4 e 9 anos. Se 
Cláudio recebeu R$ 720,00 de prêmio, o valor total do 
prêmio foi de: 
a) R$ 1.280,00 
b) R$ 1.440,00 
c) R$ 2.560,00 
d) R$ 4.000,00 
e) R$ 4.500,00 
Três amigos decidiram constituir uma empresa, em 
sociedade, para a prestação de serviços técnicos nas 
áreas de contabilidade, informática e telefonia. O 
contador contribuiu com R$ 2.000,00, o técnico em 
informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia, 
com R$ 4.000,00. Ao final de um ano de serviços, a 
empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser 
dividido em partes proporcionais aos valores 
empenhados por cada sócio. 
Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
21. O técnico em telefonia deve receber mais de 40% do 
lucro. 
22. O técnico em informática deve receber uma quantia 
inferior a R$ 1.840,00. 
23. (UNB-CESPE) Marcos e Pedro receberam no 
início de abril mesadas de valores iguais. No final do 
mês, Marcos havia gastado 4/5 de sua mesada e 
Pedro, 5/6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com 
R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada 
recebida por cada um deles é 
a) inferior a R$ 240,00. 
b) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00. 
c) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00. 
d) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00. 
e) superior a R$ 360,00. 
GABARITODIVISÃO 
PROPORCIONAL 
01 90 000 
360 000 
02 24, 12 e 9 
03 D 
04 80 000 
200 000 
240 000 
05 1 080 
 1 200 
 1 280 
06 15 000 
 12 500 
 12 000 
07 18 000 
 9 000 
 10 000 
08 1 600 
 1 000 
 2 000 
09 24 e 56 
10 B 
11 E 
12 40 e 24 
13 A 
14 B 
15 500 e 300 
16 A 
17 E 
18 D 
19 A 
20 A 
21 Correta 
22 Correta 
23 C (300) 
 
REGRA DE TRÊS 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA 
Uma regra de três simples direta é uma forma de 
relacionar grandezas diretamente proporcionais. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha. 
Quantos quilogramas de trigo são necessários para 
fabricar 28Kg de farinha? 
Grandeza diretamente proporcional 
28
7
x
10
 x= 40 kg 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA 
Uma regra de três simples inversa é uma forma de 
relacionar grandezas inversamente proporcionais para 
obter uma proporção. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto 
tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? 
Grandeza inversamente proporcional 
x
72
8
6
 x= 96 kg 
TESTES 
 
01. Em um banco, constatou-se que uma caixa leva, 
em média, 5 min para atender 3 clientes. Qual é o 
tempo que esse caixa vai levar para atender 36 
clientes, se mantiver essa média? 
02. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 
150 km por dia. Supondo que fossem percorridos 200 
Km por dia, quantos dias seriam empregados para 
fazer a mesma viagem? 
03. A combustão de 30g de carbono fornece 110g de 
gás carbônico. Quantos gramas de gás carbônico 
são obtidos com a combustão de 48g de carbono? 
04. Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus 
faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno 
congestionamento, esse ônibus faz o percurso de 
volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus 
no percurso de volta? 
05. Em uma avaliação de 0 a 6, Cristina obteve nota 
4,8. Se o valor dessa avaliação fosse de 0 a 10, qual 
seria a nota de Cristina? 
06. Se meu carro pode percorrer um distância de 
350Km com 25 litros de gasolina, quantos 
quilômetros pode percorrer com 1litros de gasolina? 
07. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h, vai da 
cidade de Curitiba até Paranaguá, em 90 minutos. Se 
a velocidade for de 120 km/h, qual será o tempo 
gasto? 
08. Sabemos que a carga máxima de um elevador é 
de 7 adultos com 80Kg cada um. Quantas crianças, 
de 35kg cada uma, atingiram a carga máxima desse 
elevador? 
09.Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de 
farinha. Quantos quilogramas de trigo são 
necessários para fabricar 28Kg de farinha? 
10. Ao cavar um buraco para uma piscina que tem 25 
m de comprimento, 10 m de largura e 3 m de 
profundidade, foi necessário remover 1200 m3 de 
terra. Que volume de terra do mesmo tipo deve ser 
removido quando se quiser cavar piscina de 12 m de 
comprimento, 6 m de largura e 2,5 m de 
profundidade? 
11. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma 
volta num circuito à velocidade média de 210Km/h. 
Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o 
circuito à velocidade média de 140Km/h? 
12. (NC.UFPR) Se um veículo espacial, em 
velocidade constante, percorre uma distância em 1 h 
25 min 28 s, então, à mesma velocidade, o tempo 
que gastará para percorrer 1/4 dessa distância será 
de: 
a) 20 min 20 s 
b) 21 min 20 s 
c) 21 min 21 s 
d) 21 min 22 s 
e) 22 min 05 s 
13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora tem 180 
encomendas para serem entregues em vários 
endereços da cidade. Observou-se que foram 
entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for 
mantida essa média de tempo gasto, para entregar 
todas as encomendas serão necessárias 
exatamente: 
a) 15 horas e 15 minutos. 
b) 14 horas e 30 minutos. 
c) 14 horas. 
d) 13 horas e 30 minutos. 
e) 13 horas e 15 minutos. 
14. (NC.UFPR) Sabendo que são necessários 162 
cm2 de papelão para fazer uma caixa, qual é a 
quantidade de papelão necessária para fazer 100 
caixas iguais a essa? 
a) 1.620 cm2 
b) 1.620 dm2 
c) 16,2 m2 
d) 16,2 dm2 
e) 11,62 m2 
15. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de 
automóvel, em uma hora e quarenta e cinco 
minutos, à velocidade média de 80 quilômetros por 
hora. Em quanto tempo se faz o mesmo trajeto à 
velocidade média de 70 quilômetros por hora? 
a) 1 h 55 min b) 2 h 
c) 2 h 10 min d) 2 h 15 min 
e) 2 h 20 min 
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16. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de creme 
alimentício 60,5 mg são de cálcio, então o cálcio 
contido em 30 g desse creme é de: 
a) 29 mg 
b) 30 mg 
c) 31 mg 
d) 32 mg 
e) 33 mg 
17. (NC.UFPR) Se um projétil espacial, a uma 
velocidade constante, gasta 1h 50min 20s para 
percorrer uma certa distância, então um outro 
projétil, com velocidade constante igual a quatro 
vezes a velocidade do primeiro, percorrerá a mesma 
distância em: 
a) 24min 20s. 
b) 25min 25s. 
c) 26min 30s. 
d) 27min 35s. 
e) 28min 40s. 
18. (NC.UFPR) Se 58,5 g de um produto químico 
custam R$ 76,05, então 4,5 g do mesmo produto 
custam: 
a) R$ 5,65. 
b) R$ 5,70. 
c) R$ 5,75. 
d) R$ 5,80. 
e) R$ 5,85. 
19. (NC.UFPR) Uma máquina gasta 2 h 25 min 36 s 
para construir uma peça, e uma segunda máquina 
constrói peça idêntica em 1/3 desse tempo. Sendo 
assim, o tempo gasto pela segunda máquina é de: 
a) 45 min 14 s 
b) 46 min 20 s 
c) 47 min 26 s 
d) 48 min 32 s 
e) 49 min 38 s 
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola 
correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a 
escola ? 
a) 580 
b) 620 
c) 520 
d) 550 
21. Para se transportar cimento para a construção de 
um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 
cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam 
necessários para fazer o mesmo serviço? 
22. Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. 
Quantos litros de leite serão necessários para se 
obterem 9 quilos de manteiga? 
23. 15 metros de um determinado tecido custam $ 
45,00. Qual o preço de 6 metros deste mesmo tecido? 
24. ¾ de um bolo de chocolate custam $ 45,00. 
Quanto pagarei na compra de 2/5 deste mesmo 
bolo? 
25. Com $ 48,00 comprei 300 metros de determinado 
tecido. Quantos metros do mesmo tecido, posso 
comprar com $ 36,00? 
26. 30 metros de um trabalho são feitos por ¾ de 
uma turma de trabalhadores. 50 metros, do mesmo 
trabalho, por quanto da turma será feito. 
27. Um automóvel, com velocidade de 90 km/h, vai 
da cidade X à cidade Z em 50 minutos. Qual a 
distância entre as duas cidades? 
28. Ao participar de um treino em um kartódromo, o 
piloto, imprimindo velocidade média de 80 km/h, 
completa a volta na pista em 40 s. Se a sua 
velocidade fosse de 100 km/h, qual o tempo que ele 
teria no percurso? 
29. Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos 
segundos atrasará em 8 dias? 
30. Para revestir um pátio de 600 m2 usaram-se 9 600 
lajotas. Quantas dessas lajotas serão necessárias 
para revestir outro pátio de 540 m2? 
31. Uma árvore de 4,2 m de altura projeta uma 
sombra de 3,6 m. No mesmo instante, outra árvore, 
ao lado dessa, projeta uma sombra de 2,8 m. Qual a 
altura da segunda árvore? 
32. Um terreno retangular tem 12 m de comprimento 
e 15 m de largura. Se diminuirmos 2 m no 
comprimento do terreno, quantos metros devemos 
aumentar na largura para que a área permaneça a 
mesma? 
33. A água mineral, sem gás, apresenta na sua 
composição química 2,4 mg de sulfato de cálcio por 
1 litro. Que quantidade de sulfato de cálcio (em mg) 
estará ingerindouma pessoa ao beber um copo de 
300 ml dessa água? 
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34. Com o auxílio de uma corda que julgava ter 2 m 
de comprimento, medi o comprimento de um fio 
elétrico e encontrei 80 metros. Descobri, mais tarde 
que a corda media, na realidade 1,05 m. Qual é o 
verdadeiro comprimento do fio? 
35. A velocidade de um veículo é de 30 m/s. Qual será 
a sua velocidade em quilômetros por hora? 
36. (UMC) Um carro consumiu 50 litros de álcool para 
percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, 
esse mesmo carro, para percorrer 840 km, 
consumirá: 
a) 70 litros b) 68 litros c) 75 litros 
d) 80 litros e) 85 litros 
37. Se 2 kg de bacalhau custam R$25,00, qual será o 
preço de 1,4kg de bacalhau? 
a) R$ 12,50 
b) R$ 13,00 
c) R$ 17,50 
d) R$ 19,00 
38. Com 3kg de farinha, são feitos 140 biscoitos, com 
5 kg de farinha, aproximadamente, quantos biscoitos 
podem ser feitos? 
a) 180 
b) 190 
c) 210 
d) 233 
39. Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60, qual será o 
preço de 3/4 de quilo de azeitonas? 
a) R$ 9,20 
b) R$ 10,60 
c) R$ 12,80 
d) R$ 13,80 
e) R$ 14,60 
40. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa 
tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais 
eficiente que x. Nessas condições, o número de 
horas necessárias para que y realize essa tarefa é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
41. Um automóvel com a velocidade de 90 km/h, vai 
da cidade de Tatu até a cidade de Capivara em 50 
minutos. Qual a distância entre as duas cidades? 
42. 2/3 + 0,6 de determinada fruta custam $ 7,60. Qual 
o preço da fruta inteira? 
GABARITO 
REGRA DE TRÊS 
SIMPLES 
01 1 h = 60 min 
02 9 
03 176 
04 50 
05 8 
06 14 
07 45 
08 16 
09 40 
10 288 
11 3 
12 D 
13 D 
14 E 
15 B 
16 E 
17 D 
18 E 
19 D 
20 C 
21 10 
22 42 
23 18 
24 24 
25 225 
26 1,25 
27 75 
28 32 
29 72 
30 8640 
31 3,27 
32 3 
33 0,72 
34 42 
35 108 
36 A 
37 C 
38 D 
39 D 
40 E 
41 75 
42 6 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Regra de três composta é um processo de 
relacionamento de grandezas diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma 
mistura dessas situações. 
O método funcional para resolver um problema dessa 
ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que 
a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira 
situação enquanto que a segunda linha indica os valores 
conhecidos da segunda situação. 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 
01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg de 
farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e foram 
necessários 2 padeiros, que trabalharam 4 horas por 
dia, durante 7 dias. Quantos dias serão necessários 
para produzir 960 pães, utilizando-se 60 kg de farinha 
e 0,66 kg de gordura, com 3 padeiros trabalhando 7 
horas por dia? 
a) 4 dias b)2,5 dias c) 6 dias d) 7 dias 
Resolução: 
Este teste está resolvido pelo dispositivo das setas 
DISPOSITIVO DAS SETAS 
Dispondo os dados em coluna, respeitando a mesma 
natureza e na mesma unidade de grandeza, obtemos a 
seguinte formação: 
D
ia
s
 
 
Pã
e
s
 
 
F
a
rinh
a
 
 
G
o
rd
u
ra
 
 
P
ad
eiro
s
 
 
H
o
ra
s
 
 
7 600 33 1,28
 
2 4 
x 
 
960 
 
60 
 
0,66
 
3 
 
7 
 
Resolução por setas 
C1 C2 C3 
 
C4 
 
C5 C6 
D
ia
s
 
 
Pã
e
s
 
 
F
a
rinh
a
 
 
G
o
rd
u
ra
 
 
P
ad
eiro
s
 
 
H
o
ra
s
 
 
 
7 600 33 1,28
 
2 4 
x 
 
960 
 
60 0,66
 
3 
 
7 
 
As setas no quadro acima, mostram que as colunas C5 e 
C6, são inversamente proporcionais à coluna C1, 
enquanto as demais são diretamente proporcionais a C1. 
Os dados na coluna C4, podem ser representados, 
suprimindo-se a vírgula (mesmo número de algarismos 
após a vírgula). 
A equação será formada, invertendo-se os dados das 
colunas, C5 e C6, para que as setas fiquem apontadas 
para baixa, como as demais setas. 
7 600 33 128 3 7 
x 
=
 
960 
 
60 
 
66 
 
2 
 
4 
 
Processadas as simplificações no segundo membro, 
obtemos a nova equação: 
7 7
4x
 logo x=4 
E finalmente o valor de x, x =4. 
 
02. Para reduzir a termo pedidos orais, um 
funcionário que digita, em média, 60 caracteres por 
minuto atende 5 pessoas em 90 minutos. Após um 
período de reciclagem, o mesmo funcionário passa a 
atender 6 pessoas em 80 minutos. Sendo assim, o 
número de caracteres por minuto que agora ele 
digita é igual a: 
RESOLUÇÃO 
Fazendo a montagem da tabela conforme naturezas e 
grandezas, obtemos a regra de três composta: 
N° 
caracteres Tempo (min) N° pessoas 
60 90 5 
x 80 6 
 
II) Discussão verificar se as grandezas são 
diretamente e/ou inversamente proporcionais. 
1) Mantendo o tempo fixo. 
N° pessoas N° caracteres 
- 5 60 - 
 
+ 6 x + 
 
É uma grandeza diretamente proporcional. 
2) Mantendo o número de pessoas fixo. 
Tempo (min) N° caracteres 
+ 90 60 - 
 
- 80 x + 
 
É uma grandeza inversamente proporcional. 
Formamos a equação. 
81x
90
80
6
5
x
60
 
TESTES 
 
01. Numa fábrica de calçados trabalham 16 
operários, que produzem, em 8 horas diárias de 
serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos 
operários são necessários para produzir 600 pares 
de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária 
for de 10 horas? 
02. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas, 
funcionando um certo número de horas por dia, 
produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias 
que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo 
número de horas por dia, levarão para produzir 135 
000 peças? 
03. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720 páginas 
em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafas, com a 
mesma capacidade das primeiras, prepararão 800 
páginas? 
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04. Em uma granja, 32 galinhas produzem em média 
100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão 
produzidas por 8 galinhas em 16 dias? 
05. (USP-SP) Uma família composta de 6 pessoas 
consome em 2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão 
necessários para alimentar-las durante 5 dias, 
estando ausentes 2 pessoas? 
06. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16 
dias. Em quantos dias 12 máquinas que têm o mesmo 
rendimento que as primeiras fazem 300m desse 
mesmo tecido? 
07. Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156 
litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite 
deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias? 
08. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700 litros de 
água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 
5 horas? 
09. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que 
trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por 
mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes 
trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês, 
a) R$ 3.375,00. 
b) R$ 3.400,00. 
c) R$ 3.425,00. 
d) R$ 3.450,00. 
e) R$ 3.475,00. 
10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia, 20 
máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 
horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas 
máquinas produzirão 4000 peças em: 
11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia 
assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos 
operários, com a mesma habilidade dos primeiros, 
serãoprecisos para assentar 420 postes em 25 dias 
de 7 horas de trabalho? 
a) 38 
b) 40 
c) 42 
d) 44 
e) 35 
12. (UF-MG) Durante 60 dias, 10 máquinas, 
funcionando um certo número de horas por dia, 
produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 
12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número 
de horas por dia, levarão para produzir 135 000 
peças? 
13. (ESAF) Cinco trabalhadores de produtividade 
padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao 
todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 
horas. Considerando que existe uma encomenda de 
1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 
dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade 
padrão devem ser utilizados para se atingir a meta 
pretendida, trabalhando dez horas por dia? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5 m de 
comprimento por 2 m de largura, fazem-se 2 000 
arruelas. Quantas dessas arruelas podem-se fazer 
com uma chapa retangular de 2,5 m de comprimento 
por 3 m largura ? 
15. Uma placa de chumbo de 8 cm de comprimento e 
6 cm de largura pesa 36 unidades de massa. Quanto 
pesará outra placa do mesmo material e da mesma 
espessura, quadrada, com 10 cm de lado? 
16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres para 
dez dias à razão de três refeições diárias para cada 
homem. No entanto, juntaram-se a esse batalhão 
mais 400 soldados. Quantos dias durarão os víveres, 
se foi decidido agora que cada soldado fará duas 
refeições por dia? 
17. (FCC) Uma impressora trabalhando 
continuamente emite todos os boletos de 
pagamento de uma empresa em 3 horas. 
Havendo um aumento de 50% no total de boletos a 
serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, 
trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 
hora e: 
a) 30 minutos 
b) 35 minutos 
c) 40 minutos 
d) 45 minutos 
e) 50 minutos 
18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se 
que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma 
eficiência e executam certo serviço em 10 horas de 
funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes 
têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, 
funcionando ininterruptamente, executariam o 
mesmo serviço em: 
a) 8 horas e 40 minutos 
b) 8 horas e 20 minutos 
c) 7 horas e 45 minutos 
d) 7 horas e 30 minutos 
e) 7 horas e 15 minutos 
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19. (FCC) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, 
usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 
horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais 
às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em 
quantos dias serão embalados 108 000 bombons? 
a) 3 
b) 3,5 
c) 4 
d) 4,5 
e) 5 
20. (FCC) Uma máquina copiadora produz 1.500 
cópias iguais em 30 minutos de funcionamento. Em 
quantos minutos de funcionamento outra máquina, 
com rendimento correspondente a 80% do da 
primeira, produziria 1 200 dessas cópias? 
a) 30 
b) 35 
c) 40 
d) 42 
e) 45 
21. Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome em 
média 100 000 litros de combustível. Em quantos dias 
uma frota de 36 táxis consumirá em média 240 000 
litros desse mesmo combustível? 
22. Um folheto enviado pela SABESP (Saneamento 
Básico do Estado de São Paulo) informa que uma 
torneira, pingando 20 gotas por minuto, ocasiona um 
desperdício de 100 litros de água, em 30 dias. Na 
casa de Fernanda Lima, uma torneira esteve 
pingando 30 gotas por minuto durante 5 dias. Calcule 
quantos litros de água foram desperdiçados nesse 
período. 
23. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 16 horas 
por dia levam 3 dias para produzir 360 peças, então 4 
máquinas iguais às primeiras devem funcionar 
quantas horas por dia para produzir 432 peças em 4 
dias? 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 22 
24. (NC.UFPR) Se 8 máquinas iguais, cada uma 
trabalhando 15 horas por dia, produzem certo 
número de peças em determinado número de dias de 
funcionamento, então apenas 6 dessas máquinas, 
para produzirem o mesmo número de peças no 
mesmo número de dias de funcionamento, deverão 
trabalhar cada uma delas: 
a) 18 horas por dia 
b) 19 horas por dia 
c) 20 horas por dia 
d) 21 horas por dia 
e) 22 horas por dia 
25. (NC.UFPR) Uma fábrica de brindes leva 10 dias 
para produzir 1.560 unidades, quando tem 8 
funcionários trabalhando. Se forem contratados 
mais 4 funcionários, que trabalhem no mesmo ritmo 
dos outros funcionários, quantos dias serão 
necessários para produzir 2.340 unidades? 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
26. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 21 horas 
por dia produzem 720 peças em 6 dias, então o 
número de peças que 4 máquinas iguais às 
primeiras produzirão em 7 dias trabalhando 20 horas 
por dia é igual a 
a) 600 
b) 640 
c) 680 
d) 720 
e) 760 
27. (FCC) Uma impressora tem capacidade para 
imprimir 14 páginas por minuto em preto e 10 
páginas por minuto em cores. Quanto tempo outra 
impressora levaria para imprimir um texto com 210 
páginas em preto e 26 em cores, se sua capacidade 
de operação é igual a 80% da capacidade da 
primeira? 
a) 16 minutos e 45 segundos. 
b) 20 minutos. 
c) 21 minutos e 25 segundos. 
d) 22 minutos. 
e) 24 minutos e 30 segundos. 
28. (FCC) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada 
em 4 horas, à velocidade média de 75 km/h. Para 
percorrer o restante dessa estrada em 1 hora e 30 
minutos, sua velocidade média deverá ser 
a) 90 km/h 
b) 100 km/h 
c) 115 km/h 
d) 120 km/h 
e) 125 km/h 
29. (UFRJ-NCE) Doze costureiras, trabalhando 8 
horas por dia, em 18 dias tecem 480 mantas. O 
número de costureiras necessário para que sejam 
tecidas 600 mantas, trabalhando 6 horas por dia em 
12 dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho que 
as anteriores, é: 
a) 28; 
b) 29; 
c) 30; 
d) 31; 
e) 32. 
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GABARITO 
REGRA DE TRÊS 
COMPOSTA 
01 32 
02 75 
03 15 
04 40 
05 5 
06 10 
07 234 
08 7500 
09 A 
10 8 
11 B 
12 75 
13 B 
14 5000 
15 75 
16 12 
17 A 
18 D 
19 C 
20 A 
21 20 
22 25 
23 A 
24 C 
25 B 
26 B 
27 D 
28 D 
29 C 
 
PORCENTAGEM 
 
CÁLCULO DE PORCENTAGEM 
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de 
comunicação, expressões matemáticas relacionadas com 
porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem 
(dividido por cem). Toda razão da forma p/q na qual o 
denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou 
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
Em geral, para indicar um índice de a
 
por cento, 
escrevemos a %
 
e para calcular a %
 
de um número b, 
realizamos o produto: 
a % de b é o mesmo que: a%.b 
a%.b é o mesmo que : a b
100
 
ACRESCIMO PERCENTUAL 
Acrescentar a% de b, em b. 
b + a%.b 
 
DECRESCIMO PERCENTUAL 
Decrescer a% de b, em b. 
b - a%.b 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Um aparelho de som pode ser comprado em 4 
prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de 
desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra 
for deita à vista? 
Resolução: 
I) O custo final do aparelho em 4 prestações iguais a 
R$ 150,00, totaliza R$ 600,00. 
Custo final = 4x150 = 600,00 
II) Para pagamento a vista, terá 10% de desconto. 
 
Custo à vista = 600 -10%x600 = 600 
 
0,10x600= 600 
 
60 = R$ 540,00 
Resposta: R$ 540,00 
 
02. Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 
20% são da área de informática e outros 14% 
ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos 
funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área 
de informática? 
a) 30 b) 99 c) 110 d) 120 e) 150 
Resolução: 
I) Pela regra de três diretamente proporcional,envolvendo 14% que tem correspondência com 21 
cargos, poderemos obter o total de funcionários da 
empresa. 
Nº de 
funcionários 
Porcentagem 
% 
21 
 
14 
x 
 
100 
 
II) O total de funcionários que trabalham na área de 
informática, é de 20%, restando para outras funções na 
empresa, 80%. 
Não informática = 80% de 150 = 80%.150 = 80
.150100 
= 
120 
120 não trabalham na área de informática. 
Resposta, alternativa D 
 
02. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em 
dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º 
como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o 
pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% 
sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros 
simples do financiamento é aproximadamente igual 
a: 
Resolução 
I) Preço de venda: R$ 1.000,00 
II) Preço da TV para pagamento à vista com desconto 
de 4%: 
(100% 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00 
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22
 
III) No pagamento em duas parcelas, o cliente: 
paga R$ 500,00 no ato; 
fica devendo R$ 960,00 R$ 500,00 = R$ 460,00; 
paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto paga R$ 
40,00 de juros. 
4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que ficou 
devendo é
40, 00 2
0, 0869 8, 7%
460, 00 23
 
Ou por uma regra de três simples. 
$ 40,00 .x% 
$ 460,00 100% 
 
Reposta: letra A 
TESTES 
 
01. O salário de uma pessoa era de $ 1 400,00 até ela 
ser promovida e receber aumento de 20%. Qual o 
novo salário? 
02. (FUVEST) Barnabé tinha um salário de x reais em 
janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em 
novembro. Seu salário atual é: 
a) 5,56x b) 1,6x c) x+160 
d) 2,6x e) 3,24x 
03. (UFMG) Se um acertador da loteria esportiva ficou 
apenas com 5% do prêmio total, podemos afirmar 
que o número de acertadores foi de: 
a) 20 b) 50 
c) menor que 20 d) entre 30 e 40 
04. (USP) O senhor Pitágoras contrata um advogado; 
esse consegue receber 90% do valor da questão 
avaliada em R$ 30 000,00 e cobra, a título de 
honorários, 15% da quantia recebida. Qual a 
importância que resta para o senhor Pitágoras? 
a) R$ 4 000,00 b) R$ 27 000,00 
c) 25 800,00 d) R$ 4 050,00 
e) 22 950,00 
Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de 20 
pessoas que trabalham numa empresa trouxe como 
resultado o seguinte quadro: 
Salário mensal Número de 
pessoas 
Até 2 salários mínimos 6 
Mais de 2 e até 5 salários mínimos 7 
Mais de 5 e até 10 salários mínimos
 
4 
Mais de 20 salários mínimos 3 
 
05. Com base nos dados acima, qual a porcentagem 
de pessoas que ganham até 2 salários mínimos? 
06. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a 
incumbência de distribuir um prêmio de R$ 
12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a 
eficiência de cada um. Se um deles receber 20% 
desse valor e o segundo receber 55%, quanto 
receberá, em reais, o terceiro? 
a) 5 000 
b) 3 000 
c) 2 400 
d) 1 600 
e) 800 
07. (UMC-SP) Em um determinado mês, o 
rendimento de uma poupança foi de 4% do capital 
investido. Se uma pessoa aplicar 5 000 reais, ao 
completar o mês terá um capital em R$ no total de: 
a) 5 020 
b) 5 120 
c) 5 200 
d) 5 400 
e) 7 000 
08. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto de 15% 
no preço de uma mercadoria, foram pagos R$ 1 
700,00 por essa mercadoria. O preço, sem desconto, 
seria em R$ de: 
a) 1850,00 
b) 1950,00 
c) 2200,00 
d) 1900,00 
e) 2000,00 
09. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o 
lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e 
por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. 
Qual a taxa única, que representa o valor final da 
mercadoria, após o último aumento. 
10. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a 
altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas 
da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de 
um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo 
se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, 
comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: 
"prove-me e fique 10% mais baixa"; logo após 
tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo 
rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 
10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de 
outra torta na qual estava escrito:"prove-me e fique 
20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos 
afirmar que ela: 
a) ficou 1% mais baixa 
b) ficou 1% mais alta 
c) ficou 5% mais baixa 
d) ficou 5% mais alta 
e) ficou 10% mais alta 
11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista, 
obtive um desconto de 15% sobre o preço marcado 
na etiqueta. Se paguei R$ 357,00 pela mercadoria, 
qual era o preço original? 
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23
 
12. Uma cidade de 120 000 habitantes apresentou, em 
1995, uma mortalidade de 3% e uma natalidade de 
3,4%. De quanto aumentou a população dessa cidade 
no ano de 1995? 
13. (FCC) Em uma pesquisa com jovens de dezesseis 
anos de idade, apurou-se o seguinte: 165 rapazes e 
104 moças votavam; 345 rapazes e 206 moças não 
votavam. Nesse grupo, a porcentagem de jovens que 
votam é, aproximadamente, de: 
a) 16 % b) 33 % c) 37 % d) 67 % e) 68 % 
14. (FCC) A tabela indica o número de crianças 
nascidas vivas em um município brasileiro. 
Ano 
Crianças 
nascidas 
vivas 
 
2000 130 
 
2001 125 
 
2002 130 
 
2003 143 
 
Se toda criança deve tomar uma determinada vacina 
ao completar 2 anos de vida, em relação ao total 
mínimo de vacinas que o posto de saúde reservou 
para 2003, haverá em 2004: 
a) diminuição de2%. 
b) diminuição de 3%. 
c) crescimento de1%. 
d) crescimento de3%. 
e) crescimento de4%. 
15. (MACK-SP) Um concurso, desenvolvido em três 
etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos 
;: candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos 
remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda 
permanecem na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 
etapas, a porcentagem de k que permaneceu é: 
a) 25% 
b) 35% 
c) 38% 
d) 40% 
e) 42% 
16. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 
20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o 
novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em 
relação ao preço inicial, o preço final apresenta 
a) um aumento de 10%. 
b) um aumento de 8%. 
c) um aumento de 2%. 
d) uma diminuição de 2%. 
e) uma diminuição de 10%. 
17. (FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos 
mora é $ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel 
sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo 
aluguel será: 
a) $ 328,00 
b) $ 337,00 
c) $ 345,60 
d) $ 345,60 
e) $ 354,90 
18. (FUVEST) Atualmente, 50% das gaivotas de certa 
região são brancas e 50% são cinzentas. Se a 
população da espécie branca aumentar 40% ao ano 
e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual 
será aproximadamente, a porcentagem de gaivotas 
brancas daqui a dois anos? 
a) 50% 
b) 38% 
c) 26% 
d) 14% 
e) 40% 
19. Na lanchonete, um sanduíche que custava 
R$2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse 
sanduíche passou a custar : 
a) R$ 3,50 b) R$ 3,05 
c) R$ 2,95 d) R$ 0,70 
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola 
correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a 
escola ? 
a) 580 b) 620 c) 550 d) 520 
21. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em taxa 
percentual, teremos: 
a) 37,5% 
b) 40% 
c) 32,5% 
d) 1,25% 
e) 35,7% 
22. 121 é quanto por cento de 550? 
a) 19% 
b) 20% 
c) 21% 
d) 22% 
23. Numa eleição com 2 candidatos, votaram 3850 
eleitores. O candidato A obteve 1032 votos e B 
obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos 
nulos ou em branco? 
a) 35% 
b) 30% 
c) 25% 
d) 20% 
24. (CESPE) Na saída de um cinema, 25 pessoas 
foram pesquisadas para dar a sua