Bizu Fatoração

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Fatorar um polinômio é escrever o mesmo como multiplicação de dois 
ou mais polinômios, há processos para fatorar polinômios, são 
denominados: Fatoração por agrupamento, fatoração completa, fatoração 
da diferença de dois quadrados, fatoração pelo fator comum em 
evidência, fatoração do trinômio quadrado perfeito, fatoração do trinômio 
do segundo grau, fatoração da soma ou diferença de dois cubos, fatoração 
por artifício. 
 
1. Fatoração pelo fator comum em evidência 
Considere o polinômio 14ab + 7bc, seu fator comum em evidência é 7b, 
dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 
14ab:7b = 2a e 7bc:7b = c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator 
comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo 
polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma 
fatorada de 14ab + 7bc = 7b.(2a + c). O fator comum em evidência pode 
ser aplicado em todos os termos do polinômio. 
Outros exemplos: 
15x + 9y = 3.(5x + 3y) 
50 − 10y = 10.(5 − y) 
2. Fatoração por agrupamento 
Observe o polinômio ab − b2 + 2a − 2b. Este polinômio não possui um 
fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer 
pequenos grupos de polinômios à partir do polinômio principal, veja: 
ab − b2 + 2a − 2b = (ab − b2) + (2a − 2b), logo podemos fatorar os 
pequenos grupos formados do polinômio principal: 
ab − b2 = b(a − b) 
2a − 2b = 2(a − b), obtemos a fatoração de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 
2(a − b), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma 
nova aplicação do fator comum em evidência: (a − b)(b + 2). A forma 
fatorada de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b) = (a − b)(b + 2). 
Outro exemplos: 
a
4
 − a5 + a2b − a3b = a2(a2 − a3) + b(a2 − a3) = (a2 − a3)(a2 + b) 
 
 
 
 
3. Fatoração da diferença de dois quadrados 
Considere o polinômio m
2
 − n2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o 
mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz 
quadrada do segundo termo , logo temos 
, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das 
raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m − n).(m + n), logo a fatoração da diferença 
de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do 
segundo termo vezes o oposto: 
, ou simplesmente m
2
 − n2 = 
(m − n).(m + n). 
Outros exemplos: 
(n + 8)
2
 − 1 = [(n + 8) + 1].[(n + 8) − 1] = [n + 8 + 1].[n + 8 − 1] = [n + 9].[n + 7] 
a
4
 − b4 = (a2 + b2).(a2 − b2) = (a − b).(a + b).(a2 + b2) 
4. Fatoração do trinômio quadrado perfeito 
Considere o polinômio 4x
2
 + 4xy + y
2
, que é um trinômio quadrado perfeito, pois 
representa (2x + y)
2
, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito? 
Ainda considerando o polinômio 4x
2
 + 4xy + y
2
, vamos obter a raiz quadrada do 
primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo , 
finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é 
igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y = 4xy, o resultado é igual ao segundo 
termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma 
fatorada é 4x
2
 + 4xy + y
2
 = (2x + y)
2
. 
Outro exemplo: 
ou x
2
 − 8xy + 16y2 = (x − 4y)2 
5. Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos 
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva: 
(a + b).(a
2
 − ab + b2) = a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = a3 + b3, tendo este cálculo 
como base, podemos dizer que a
3
 + b
3
 = (a + b).(a
2
 − ab + b2), logo, a fatoração do 
polinômio a
3
 + b
3
 é igual à raiz cúbica do primeiro termo , mais a raiz 
cúbica do segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo a
2
, o produto 
dos dois termos com o sinal oposto − ab mais o quadrado do segundo termo b2, 
formando:a
3
 + b
3
 = (a + b).(a
2
 − ab + b2). 
 
 
 
Outros exemplos: 
x
3
 − y3 = (x − y).(x2 + xy + y2) 
 
6. Fatoração do trinômio do segundo grau 
Observe o trinômio x
2
 − 2x − 35, cuja forma fatorada é (x − 7).(x + 5), para realizar sua 
fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo 
termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e 
escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos: 
a
2
 + 8a + 12 = (a + 2).(a + 6) 
x
2
 − 15x − 100 = (x − 20).(x + 5) 
7. Fatoração completa 
A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios 
para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. 
Considere o polinômio x
4
 − y4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: 
x
4
 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2 − y2)] é uma 
diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x
4
 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2) = (x − y).(x 
+ y).(x
2
 + y
2
), assim, temos a fatoração completa do polinômio x
4
 − y4. 
Outros exemplos: 
 
3x
2
 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2 
8. Fatoração por artifício 
Em alguns casos, a fatoração só e possível com a utilização de algum artifício. 
Exemplo; 
Fatore a expressão algébrica: x
4
 + 4x
2
y
2
 + 16y
4
. 
(x
4
 + 4x
2
y
2
 + 16y
4
 + 4x
2
y
2) − 4x2y2 = 
x
4
 + 8x
2
y
2
 + 16y
4
 − 4x2y2 = (x2 + 4y2)2 − 4x2y2 = (x2 + 4y2 + 2xy)(x2 + 4y2 − 2xy) 
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo 4x
2
y
2
, não alterando, assim, o 
valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a 
realização da expressão. 
 
 
 
9. Polinômios irredutíveis 
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios 
irredutíveis. Por exemplo, o polinômio é irredutível, pelo 
critério de Eisenstein, com p = 2. Note-se, porém, que a irreducibilidade está sempre 
condicionada ao corpo considerado; pelo teorema fundamental da álgebra, todo 
polinômio tem uma raiz, portanto este polinômio pode ser escrito como 
, sendo uma raiz. 
Obtido em 
"http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatora%C3%A7%C3%A3o_de_um_polin%C3%B4mio"