APOSTILA DE CALCULO I 2013

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ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Cálculo 
 Prof. Sérgio Santos 
 
ASSOCIAÇÃO TERESINENSE DE ENSINO – ATE. 
FACULDADE SANTO AGOSTINHO – FSA. 
COORDENAÇÃO DE CURSO ENGENHARIA ELÉTRICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TERESINA, FEVEREIRO DE 2013. 
ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Cálculo I 
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CAPÍTULO I - LIMITES 
1.1. IDEIA INTUITIVA 
O conceito de limite de funções tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções 
nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções quando x aumenta muito 
(tende para infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Além disso, o conceito de limite é 
utilizado em derivadas, assunto do próximo capítulo. 
 
A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de 
um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). 
 
1.1.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.1.1.1. Seja a função f definida por f(x) = x2 + 1. Determine: 
a) domínio da função f. 
 
 
b) f(-1) 
 
 
c) f(2). 
 
1.1.1.2. Seja a função g definida por g(x) = 
 
 
. [x2 - 9 = (x – 3).(x + 3)]. Determine: 
a) domínio da função g. 
 
 
b) g(1) 
 
 
c) complete as tabelas abaixo: 
x g(x)=y = x+3 x g(x)=y= x+ 3 
2,9 3,1 
2,99 3,01 
2,999 3,001 
2,9999 3,0001 
 
d) como se comportam os valores de g(x) = y quando x se aproximam de 3? 
 
1.1.1.3. Seja a função m definida por m(x) = 
 
 
 . Calcule 
a) m(0) 
 
 
b) m(2) 
 
 
c) Complete a tabela abaixo: 
x m(x)=y = 2x x m(x)=y = x+1 
0,9 1,1 
0,99 1,01 
0,999 1,001 
0,9999 1,0001 
 
d) como se comportam os valores de m(x) = y quando x se aproximam de 1? 
 
1.1.1.4. Seja a função h definida por h(x) = 
 
 
 . Calcule 
a) h(0) 
 
 
b) h(10) 
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c) Complete a tabela abaixo: 
x h(x)=y = x+3 x h(x)=y 2x+2 
1,9 2,1 
1,99 2,01 
1,999 2,001 
1,9999 2,0001 
 
d) como se comportam os valores de h(x) = y quando x se aproximam de 2? 
 
 
1.2. DEFINIÇÃO: Dizemos que o limite da função de f(x), quando x tende a “a”, é o número L, se, e 
somente se, os números reais da imagem f(x) permanecerem próximos de L, para os infinitos valores 
de x próximos de “a”. Indica-se: 
 
 
 
 
 
Obs.: Lê-se: limite da função f quando x tende (aproxima) a “a” é L. 
 
1.2.1. EXEMPLOS: 
a) Na função g definida por g(x) = 
 
 
 para x e x ≠ 3, o limite da função quando x se aproxima de 
3 é 6. 
Escrevemos: 
 
 
 = = 6 
 
b) Na função m definida por m(x) = 
 
 
 , o limite da função quando x tende a 1 é 2. 
Escrevemos: = 2 
 
1.2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.2.2.1. Complete a tabela e use o resultado para fazer uma estimativa do limite: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2.2.2. Use o gráfico da função f para verificar se existe o valor da quantidade dada. Se existir, 
encontre-o, Se não, explique o por quê? 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. LIMITES LATERAIS 
Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a “a” pela esquerda é igual a L, se, à medida que se 
x se aproxima de “a” pela esquerda (isto é, por valores inferiores de “a”), os valores de f(x) se 
aproxima de L. Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
 
 
Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a “a” pela direita é igual a L, se, à medida que se x 
se aproxima de “a” pela direita (isto é, por valores superiores de “a”), os valores de f(x) se aproxima 
de L. Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
 
 
1.3.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.3.1.1. Seja o gráfico da função f: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complete corretamente: 
a) f(0,999) 
b) f(1,001) 
c) f(3,9999) 
d) f(4,0001) 
 
1.3.1.2. Com base no gráfico acima, calcule: 
a) ; 
b) ; 
c) 
d) 
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1.3.1.3. Seja o gráfico da função f, determine o limite lateral de f quando x tende a “b”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. EXISTÊNCIA DE UM LIMITE 
 O limite de uma dada função existe, em um dado ponto, quando existirem os limites laterais 
(no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais. 
 
 
 
 
1.4.1. EXERCÍCIO PROPOSTO: 
a) Seja o gráfico da função f, verifique se existe limite quando x tende a 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. LEIS DO LIMITE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Das cinco leis apresentadas acima, são derivadas as leis seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.5.1.1. Calcule, utilizando as Leis do Limite, os limites abaixo: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
j) 
 
 
k) 
 
 
 
 
 
l) 
 
 
m) 
 
o) 
 
 
p) 
 
 
 
 
q) 
 
 
 
 
r) 
 
 
 
 
s) 
 
 
 
 
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t) 
 
 
u) 
 
 
v) 
 
 
w) 
 
 
 
 
1.5.1.2. Suponha que e calcule: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
1.5.1.3. Sejam as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x3 + 1, calcule: 
a) ; 
 
b) ; 
 
c) ; 
 
d)1.5.1.4. Calcule o limite supondo que 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
1.5.1.5 Supondo que 
 
 
 = 5. Calcule o valor de . 
 
1.5.1.6. A lei do quociente pode ser aplicada no cálculo de 
 
 
? Por quê? 
 
1.6. LIMITES QUANDO O NUMERADOR E O DENOMINADOR TENDEM A ZERO 
 
 Quando o numerador e o denominador de uma função tendem a zero, no cálculo de um limite 
para determinado valor de x, devemos fatorar e simplificar a(s) função (ões) antes de efetuarmos a 
substituição. 
 
Produtos notáveis: 
a) Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
b) Quadrado da diferença: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
c) Produto da soma pela diferença: (a + b)(a – b) = a2 – b2 
d) Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
e) Cubo da diferença: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
Fatorações: 
a) ax2 +bx + c = a(x – x’)(x – x’’) 
b) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) 
c) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) 
 
Conjugado de radicais: 
a) Conjugado de + é - , pois ( + ) ( - ) = a – b 
b) Conjugado de 
 
 - 
 
 é 
 
 + 
 
 + 
 
 
 
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1.6.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.6.1.1. Calcule os limites abaixo: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
1.7. LIMITES NO INFINITO (∞) 
Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x 
cresce indefinidamente (x→+∞) ou quando ela decresce indefinidamente (x→−∞). Em algumas 
situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer 
indefinidamente (figura 2) ou decrescer indefinidamente (figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7.1. EXEMPLOS: 
a) 
 
 
 = 0 + 1 = 1 
 
b) = + 
 
c) 
 = - 
 
 
 
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1.7.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.7.2.1. Seja o gráfico da função f definida por f(x) = 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico acima, calcule: 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) . 
 
1.8. LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS INFINITO. 
 
f (x) = anx
n + an-1x
n-1 + an-2x
n-2 + … + a1x + a0 
 
= = 
 
 
1.8.1. EXEMPLOS: Calcule: 
a) 
 = 
 = 
b) = + 
 
1.8.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Calcule: 
a) 
 
b) 
 
 
1.9. LIMITE DE UM QUOCIENTE DE POLINÔMIOS, COM X TENDENDO A MAIS OU MENOS 
INFINITO. 
Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência 
de x que ocorre no denominador. 
 
1.9.1. EXEMPLOS: Calcule: 
a) 
 
 
 = 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 = 
 
 
 
b) 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 0 
c) 
 
 
 = 
 
 
 = + 
 
Resumindo: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
= 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
. Pois p = q = 2 
b) 
 
 
 = 0. Pois p = 0 < q =1 ( 0x2 + x – 4). 
c) 
 
 
 = + . Pois p = 1 > q = 0 ( 0x3 + 0x2 + 2x). 
 
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1.9.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.9.2.1. Calcule os limites indicados: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
1.9.2.2. Verifique se o 
 
 
 = 2. 
 
1.9.2.3. Verifique se o 
 
 
 = 3. 
 
1.9.2.4. Calcule o 
 
 
 
 
 
1.10. LIMITE DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Consideremos os gráficos da função exponencial f(x) = ax. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.10.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Calcule: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
1.11. LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL 
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários 
fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, 
desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é 
aplicado no cálculo de juros. 
Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria 
logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito 
sob forma de fração, e vale aproximadamente: 
 
 
Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial f (x) = ex é 
considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de 
cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano. 
 
Consideremos a função f(x) = 
 
 
 e tabela abaixo: 
x f(x) = 
 
 
 
1 2 
2 2,250000 
10 2,593742 
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100 2,704814 
100.000 2,718268 
1.000.000 2,718280 
Assim 
 
 
1.11.1. EXEMPLOS: Calcule os limites abaixo: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.11.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Calcule os seguintes limites: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
1.12. LIMITE DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Consideremos os gráficos da função f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando-os gráficos: 
a) = - a) = + 
b) = + b) = - 
 
1.12.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Determine: 
a) 
 
b) 
 
 
 
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1.13. LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL 
O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminaçãoé do tipo 
 
 
 envolvendo a 
função trigonométrica y = sen(x). Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros 
problemas. 
 
 
 
1.13.1. EXEMPLOS: Calcule os limites abaixo: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.13.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Calcule os limites abaixo: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
. 
 
 
 
 
1.14. CONTINUIDADE 
 Na linguagem corrente, a palavra “contínua” significa não ter quebras ou interrupções. No 
cálculo, a continuidade é usada para descrever as funções cujos gráficos não tem quebras. 
 
 Complete corretamente os valores abaixo: 
 
 
 
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1.14.1. DEFINIÇÃO: Suponha que f(x) esteja definida num intervalo aberto contendo x = c. Então f é 
contínua em x = c se: 
i) existe f(c); ii) existe ; iii) . 
 
1.14.2. EXEMPLOS 
a) Verifique se a função f (x) = 
 
 
 é contínua x = 2. 
1º passo: calcule f(2): 
 f(2) = 
 
 
 
 
 
, logo não existe f(2), assim a f não é contínua. 
 
b) Verifique se a função f (x) = 
 
 
 é contínua x = 3. 
1º passo: calcule f(3): 
f(3) = 
 
 
 
 
 
= 4; 
2º passo: calcule 
= 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 4; 
3º passo: verifique se f(3) = 
Sim, logo a função f é contínua. 
 
1.14.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.14.3.1. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos especificados abaixo: 
a) h(x) = 
 
 
 , em x = 1 
 
 
 
 
b) f(x) = 5x2 – 6x + 1 em x = 2 
 
 
 
c) g(x) = 
 
 
 em x =1. 
 
 
 
d) h(x) = 
 
 
 em x = 2. 
 
 
 
 
e) m(x)= 
 
 
 em x =3. 
 
 
 
1.14.3.2. O que a ser dito sobre f(3) se f for contínua e se = 
 
 
? 
 
 
1.14.3.3. Determine m pertence ao conjunto dos reais de modo que a função 
f (x) = 
 
 
 
 
 
 
1.14.3.4. Seja “a” pertencente ao conjunto dos reais e f a função definida nos reais e 
f (x) = 
 
 
 
 Calcule “a” para que a função f seja contínua em x = 3. 
 
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CAPÍTULO II - DERIVADA 
 
2.1. Conceito: Denomina-se DERIVADA da função f no ponto de abscissa x0, simbolizada por f’(x0), o 
LIMITE, se existir for finito, da razão 
 
 
 quando x x0, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Notações para a derivada de y = f(x) 
 
 
 - lê-se: derivada de y em relação a x. 
 
2.1.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
2.1.1.1. Calcule a derivada da função f(x) = 3x + 1 no ponto de abscissa: 
a) x0 = 2. 
Solução: 
Passo 1: calcule f(2) = 3. 2 + 1 = 6 + 1 = 7. 
Passo 2: use a definição f’(2) = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = = 3. 
 
b) x0 = 5 
Solução: 
Passo 1: calcule f(5) = 3. 5 + 1 = 15 + 1 = 16. 
Passo 2: use a definição f’(5) = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = = 3. 
 
2.1.1.2. Calcule a derivada da função f(x) = x2 + 5x + 6 no ponto de abscissa: 
a) x0 = 2. 
Solução: 
Passo 1: calcule f(2) = 22 + 5.2 + 6 = 4 + 10 + 6 = 20. 
Passo 2: use a definição f’(2) = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 = 9 . 
 
b) x0 = 5 
Solução: 
Passo 1: calcule f(5) = 52 + 5.5 + 6 = 25 + 25 + 6 = 56. 
Passo 2: use a definição f’(5) = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 = 15. 
 
2.1.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2.1.2.1. Calcule a derivada da função f(x) = -2x + 5 no ponto de abscissa: 
a) x0 = 1. 
 
 
 
 
 
 
b) x0 = 4. 
 
 
 
 
2.1.2.2. Calcule a derivada da função f(x) = x2 - 2x + 1 no ponto de abscissa: 
a) x0 = 3. 
 
 
 
f’(x) = Dx f(x) = Dx y = y’ = 
 
 
 = 
 
 
 f(x) 
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b) x0 = 7 
 
 
2.1.2.3. Se f(x) = x8, qual seria o valor da derivada no ponto de abscissa x0 = 1? 
 
2.2. DERIVADAS FUNDAMENTAIS 
 Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem 
recorrera definição. 
 
2.2.1. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE 
 
 Se c é uma constante e f (x) = c para todo x real, então f’(x) = 0. 
 
2.2.1.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = 10 
 
b) f(x) = 
 
c) f(x) = 
 
 
 
 
2.2.2. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA 
 
 Se f(x) = xn, com n R, então f’(x) = nxn-1. 
 
2.2.2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = x8 
 
b) f(x) = x-2 
 
c) f(x) = 
 
 
 
d) f(x) = 
 
 
 
2.2.3. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO 
 
 Se g(x) = c . f(x), sendo c uma constante e f (x) derivável, então g’(x) = c. f’(x). 
 
2.2.3.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) g(x) = 4x8 
 
b) g(x) = 
 
 
 
 
c) g(x) = 
 
 
 
2.2.4. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Se f(x) = , com a , então f’(x) = 
 
 
 
 
 Se f(x) = ln x, então f’(x) = 
 
 
. 
 
2.2.4.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = 
 
 
 
b) f(x) = 
 
 
 
 
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c) f(x) = 2lnx. 
 
 
2.2.5. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Se f(x) = ax, com a > 0 e a 1, então f’(x) = ax ln a. 
 
 Se f(x) = ex, então f’(x) = ex. 
 
2.2.5.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = 2x 
 
b) f(x) = 
 
 
 
 
c) f(x) = 6ex. 
 
2.2.6. DERIVADA DA FUNÇÃO SENO E COSSENO 
 
 Se f(x) = senx, então f’(x) = cosx. 
 
 Se f(x) = cosx, então f’(x) = - senx. 
 
2.2.6.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = -3senx 
 
 
b) f(x) = 
 
 
 cosx. 
 
2.2.7. DERIVADA DE UMA SOMA OU DE UMA DIFERENÇA DE FUNÇÕES 
 
 Se h (x) = f(x) + g(x), então h’(x) = f’(x) + g’(x). 
 Se h (x) = f(x) - g(x), então h’(x) = f’(x) – g’(x). 
 
2.2.7.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintesfunções: 
a) h(x) = 3x2 -7x +4 
 
b) h(x) = 2x – 3cosx 
 
c) h(x) = senx - cosx + x 
 
d) h(t) = t2 + 
 
2.2.8. DERIVADA DE UM PRODUTO DE FUNÇÕES 
 
 Se h(x) = f(x) . g(x), então h’(x) = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x). 
 
2.2.8.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) h(x) = 3x . senx 
 
 
b) h(x) = (x2 + 1) (x3 – 2) 
 
 
 
c) h(x) = senx . cosx 
 
 
d) h(x) = (x5 -2x3) (x2 + x – 2) 
 
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2.2.9. DERIVADA DE UM QUOCIENTE DE FUNÇÕES 
 
 Se h(x) = 
 
 
, com g(x) , então h’(x) = 
 
 
 
 
2.2.9.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) h(x) = 
 
 
 
 
 
b) h(x) = tgx 
 
 
c) h(x) = 
 
 
 
 
 
d) h(x) = 
 
 
 
 
 
e) A voltagem em certo é de 100 volts, Se a corrente (em ampères) é I e a resistência (em ohms) é R, 
então pela lei de Ohm, I (R) = 
 
 
 . Se R está aumentando, ache a derivada de I em relação a R em: 
e.1) qualquer resistência R, ou seja, I’(R). 
 
 
 
e.2) uma resistência de 10 ohms. 
 
 
 
 
f) A figura abaixo exibe uma lente convexa de distância focal f. Se um objeto está à distância p da 
lente, então a distância q da lente à imagem está relacionada com p e f pela equação da lente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se, para certa lente, f = 2 cm e p está aumentando, determine: 
f.1) 
 
 
 
 
 
 
 
f.2. q’(22). 
 
 
 
2.2.10. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA OU REGRA DA CADEIA 
 
 Se h(x) = g(f(x)), então h’(x) = (derivada g em relação a y) . (derivada de f em relação 
a x), ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2.10.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Calcule a derivada de: 
a) h(x) = sen (3x) 
Solução: 
passo 1: definir u ou u (x); 
 u = 3x 
passo 2: derivada u em relação a x 
 u’ = 3. 
passo 3: definir y em relação a u; 
 y = sen u; 
passo 4: derivar y 
 y’ =cos u = cos (3x) 
passo 5: usar a regra da cadeia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
b) h(x) = 
Solução: 
passo 1: definir u ou u (x); 
 u = x2 + 1 
passo 2: derivada u em relação a x 
 u’ = 2x. 
passo 3: definir y em relação a u; 
 y = = 
 
 
passo 4: derivar y 
 y’ =
 
 
 
 
 
 
passo 5: usar a regra da cadeia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.10.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 
2.2.10.2.1. Determinar as funções u e v tais que h(x)= v(u(x)) 
a) h(x) = 
b) h(x) = e4x- 3 
c) h(x) = sen(x - 1) 
d) h(x) = 
 
 
 
 
 
 
2.2.10.2.2. Calcule a derivada das funções: 
a) h(x) = cos6x 
 
 
b) h(x) = sen (3x + 1) 
 
 
c) h(x) = 
 
 
d) h(x) = 3(1-3x)4 
 
 
e) h(x) = 4e2x – 5lnx 
 
 
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2.2.11. DERIVADAS SUPERIORES OU SUCESSIVAS 
 Seja f’(x) a derivada de f(x). Se calcularmos a função derivada de f’(x), nos pontos em que ela 
existe, chamaremos de derivada segunda de f(x) a essa função e a indicamos por f” (x). 
 
 De modo análogo, podemos definir derivada terceira, quarta etc. A derivada de ordem n de f(x) 
será representada por f(n) (x), se for grande, evitando o uso de muitas “linhas”. 
 
2.2.11.1. EXEMPLO: Se f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x – 8, teremos 
a) f’(x) = 6x2 + 14x – 5 ( primeira derivada); 
b) f’’(x) = 12x + 14 (segunda derivada); 
c) f’’’(x) = 12 (terceira derivada); 
d) f’’’’(x) = 0 (quarta derivada). 
 
2.2.11.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Obtenha a derivada terceira das funções: 
a) h(x) = 6x3 – 4x2 - 10 
 
 
 
 
b) h(x) = senx 
 
 
 
c) h(x) = lnx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
2.3.1. Calcule o coeficiente angular da função f(x) = x2 
a) entre os pontos 5,5 e 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) entre os pontos 5,99 e 6. 
 
 
 
 
 
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2.3.2. Calcule o 
 
 
. 
 
 
2.3.3. Calcule a derivada da função f(x) = x2 no ponto x0 = 6. 
 
 
 A interpretação geométrica da derivada de uma função f(x) é a que, quando existe, f’(x0) 
fornece o VALOR COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE f(x) no ponto 
x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A assim a equação da reta ao gráfico de y = f(x) no ponto (x0, f(x0)) é dada por: 
 
 
 
 
 
2.3.4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 – 8x + 9 no ponto (3, -6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.5. Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 3x3 + 2x no ponto de 
abscissa x0 = -3 
 
 
 
 
 
 
2.4. APLICAÇÕES DA DERIVADA 
2.4.1. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA 
 
 A velocidade escalar instantânea (vi) é limite da velocidade média (vm) quando a variação 
tempo aproxima se de zero, ou seja, é a derivada da função horária das posições s = f(t) em relação 
ao tempo. 
 vi = ou vi = 
 
 
 = 
 
 
 s’(t). 
 
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 A aceleração escalar instantânea (ai) é o limite da aceleração média (am) quando a 
variação do tempo aproxima de zero, ou seja, é a derivada da velocidade escalar instantânea v = f(t) 
em relação ao tempo, 
 ai = ou ai = 
 
 
 = 
 
 
 vi’(t). 
 
2.4.1.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2.4.1.1.1. A posição de um ponto material que se movimenta ao longo de uma trajetória retilínea é 
dada por s = 2t3 – 4t + 6, em que s é medido em metros, a partir de uma origem conveniente, e t 
está em segundos. Determine: 
a) velocidade escalar média do ponto material entre os instantes 1 s e 3 s. 
 
 
 
b) a função horária da velocidade escalar instantânea em função do tempo. 
 
 
 
 
c) a velocidade escalar instantânea quando t = 5 s. 
 
 
 
d) a velocidade escalar instantânea inicial. 
 
 
 
e) a função horária da aceleração 
 
 
 
 
f) a aceleração escalar instantânea do ponto material no instante t = 2 s. 
 
 
 
 
 
2.4.1.1.2. A velocidade de um corpo que se move ao longo de uma trajetória retilínea é v(t) = 2 – 3t 
+5t2, em que t está em segundos e v está em metros por segundo. 
a) qual a velocidadeescalar (média) do corpo para t = 7 segundos? 
 
 
 
 
b) qual a aceleração escalar do corpo para t = 7 segundos? 
 
 
 
2.4.1.1.3. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/seg. A 
distância s, em metros, dessa pedra em relação ao topo do morro após t segundos é dada pela função 
horária s (t) = 120t – 5t2, 
a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo. 
 
 
 
 
b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil. 
 
 
 
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c) Determine a aceleração em um instante arbitrário t. 
 
 
2.4.1.1.4. Uma pedra é lançada, verticalmente para cima, do alto de um morro de 18 metros de 
altura, com velocidade inicial de 20m/s. A distância s, em metros, dessa pedra em relação ao topo do 
morro após t segundos é dada pela função horária s = 20t – 5t2, Calcule a máxima altura que a pedra 
atinge em relação ao solo. 
 
 
 
2.4.1.1.5. Uma luz está no alto de um poste de 5m. Um menino de 1,6m se afasta do poste à razão de 
1,2m/s. 
 
 
 
 
 
 
a) A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6m do poste? 
 
 
b) A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? 
 
 
2.4.2. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 
2.4.2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
2.4.2.1.1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = 3x + 6 
 
c) f(x) = x2 – 4x + 6 
 
2.4.2.1.2. Seja a função f definida por f(x) = x2 – 4x + 4. Estude o sinal 
a) de f. 
 
 
b) da derivada de f. 
 
 
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2.4.2.2. TEOREMAS DO CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DAS FUNÇÕES. 
I – Se, para todo x ]a,b[ tivermos f’(x) > 0, então f(x) é crescente em todo intervalo ]a,b[ 
 
II – Se, para todo x ]a,b[ tivermos f’(x) < 0, então f(x) é decrescente em todo intervalo ]a,b[ 
 
2.4.2.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e 
nos quais é decrescente: 
a) f(x) = -2x – 3 
 
b) f(x) = 1 – x2 
 
 
 
c) f(x) = 
 
 
 - 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.3. TEOREMAS DA CONCAVIDADE DAS FUNÇÕES. 
I – Se, para todo x ]a,b[ tivermos f’’(x) > 0, então o gráfico f(x) é côncavo para cima em ]a,b[. 
II – Se, para todo x ]a,b[ tivermos f’’(x) < 0, então o gráfico f(x) é côncavo para baixo em ]a,b[. 
 
2.4.3.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Obtenha os intervalos em que cada função é côncava para cima 
ou côncava para baixo: 
a) f(x) = x2 + 3x 
 
 
b) f(x) = -x3 – 8x2 + 3 
 
 
c) f(x) = x3 – 9x2 + 6x – 5 
 
 
 
d) f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.4. REGRA DE L’HÔPITAL. 
2.4.4.1. INTRODUÇÃO: No cálculo de limites nos defrontamos diversas vezes com alguns limites do 
tipo 
 
 
 com =0 e =0 ou = então e = , sendo g uma 
função não identicamente nula e a um número real, podendo ser ou - . 
 
2.4.4.2. EXEMPLOS: 
a) 
 
 
 = 1 
b) 
 
 
 = 12 
c) 
 
 
 = 0 
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2.4.4.3. REGRA DE L’HÔPITAL 
Sejam f e g duas funções diferenciáveis e g’(x) 0 para x próximo de a(exceto possivelmente em a). 
Considere que 
 
 =0 e =0. 
 
ou ainda que 
 
 = e = . 
 
Se 
 
 
 existe, então 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
2.4.4.4. EXEMPLOS: Calcule o limite de: 
a) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 = 
 
 
= 
 
 
 = 
 
 
 (uma indeterminação). 
Assim, temos f(x) = senx, g(x) = x e g’(x) = 1 0. 
Usando a regra de L’Hôpital; 
= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = = = 1. 
b) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 (uma indeterminação). 
Assim, temos f(x) = x3 – 8 e g(x) = x – 2 e g’(x) = 1. 
= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 = 12. 
c) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 (uma indeterminação). 
Assim, temos f(x) = ln, g(x) = x-1 e g’(x) = 1. 
= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 = = 1. 
d) 
 
 
 
Solução: 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 ( uma indeterminação). 
Assim, temos f(x) 3x – 1, g(x) = 7 – 12x e g’(x) = -12 
= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = -
 
 
 
 
2.4.4.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
2.4.4.5.1. Qual dos limites seguintes pode ser calculado usando a regra de L’Hôpital? 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
2.4.4.5.2. Por que não podemos calcular 
 
 
 usando a regra de L’Hôpital? 
 
 
2.4.4.5.3. Calcule o limite, usando a regra de L’Hôpital. 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO III - INTEGRAL 
 
3.1. INTRODUÇÃO: O ponto de partida para o Cálculo Integral é o problema de encontrar a área 
debaixo de uma curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na área da Física, veremos como determinar: 
a) o trabalho realizado para mover um objeto; 
 
 
3.2. EXERCÍCIOS DE REVISÃO: Calcule a área de cada figura. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3. ANTIDERIVADA DE UMA FUNÇÃO: Dizemos que F é uma antiderivada (ou primitiva) de f no 
intervalo I, se 
 F’(x) = f(x), para todo x I. 
 
3.3.1. EXEMPLOS: 
a) F(x) = x2 é uma antiderivada de f (x) = 2x, pois F’(x) = 2x. 
b) F(x) = 5x é uma antiderivada de f (x) = 5, pois F’(x) = 5 
c) F(x) = senx é uma antiderivada de f (x) = cosx, pois F’(x) = cosx. 
d) F(x) = 2x4 é uma antiderivada de f(x) = 8x3, pois F’ (x) = 8x3. 
 
3.3.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
a) Verifique se F(x) = x2 + 5 e G(x) = x2 – 5 são antiderivadas de f(x) = 2x. 
 
 
 
b) Determine duas antiderivadas de f (x) = 4. Em seguida, determine a antiderivada G tal que G(1) = 
10. 
 
 
 
c) Um móvel desloca-se em linha reta e sua velocidade (em m/s) no tempo t é dada pela função v(t) 
= 4t + 5. Se em t = 1 s a posiçãodo móvel é s= 10 m. Determine a sua posição no tempo t. 
 
 
 
 
 
3.4. TABELAS DE ALGUMAS INTEGRAIS 
FUNÇÃO ANTIDERIVADA 
an, com a ≠ -1 
 
 
 
 
 
ln | x| 
ax, com a >0 e a ≠ 1 
 
 
senx cosx 
cosx -senx 
ex ex 
 
3.5. SIMBOLOGIA 
 
 – lê-se: integral indefinida da função f (com variável independente x). 
 
 - lê-se: integral indefinida da função h (com variável independente t). 
 
Usamos o adjetivo “indefinida” porque representa uma família de antiderivadas, e não uma 
função específica. Mais adiante, estudaremos as integrais definidas. 
Assim: 
 = F(x) + C 
 
 = H(t) + C 
 
Logo A INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO = ANTIDERIVADA + CONSTANTE. 
 
3.6. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
3.6.1. = c ; 
 
3.6.2. 
 
3.6.3. 
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3.7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Obtenha as integrais indefinidas a seguir: 
a) = 
 
 
 + c = 
 
 
 = 
 
 
 + c. 
b) = 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 + c = 
 
 
 
 
 
 + c. 
c) = 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = = 
 
 
 
 
 
 
 
3.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
3.8.1. Calcule: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
f) 
 
 
 . 
 
 
 
3.8.2. Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais 
dadas, determine s(t). 
a) a(t) = 2 – 6t; v(0) = -5 e s(0) = 4. 
 
 
 
b) a(t) = 3t2; v(0) = 20 e s(0) = 5. 
 
 
 
 
 
3.8.3. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 50 m/s e uma aceleração 
de 10 m/s2. Desprezando a resistência do ar, determine: 
a) sua distância no instante t. 
 
 
 
 
b) altura máxima atingida. 
 
 
 
 
3.8.4. Uma pedra, partindo do repouso, caiu de uma altura de 320m. Despreza-se a resistência do ar e 
adota-se g=10m/s2. Determine: 
a) o tempo gasto na queda. 
 
 
 
 
 
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b) a velocidade da pedra ao atingir o solo. 
 
 
 
3.9 – MUDANÇA DE VARIÁVEL: Cálculo da primitiva de uma função, ao contrário da derivada, pode 
torna-s uma tarefa bastante difícil quando não houver possibilidade de usar diretamente as 
propriedades e as fórmulas apresentadas. 
Entretanto, existe uma técnica bastante simples que pode encaminhar a solução em muitas 
oportunidades. É o caso em que a mudança de variável leva a uma expressão que se enquadra na 
tabela de integrais que apresentamos. 
 
3.9.1. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO: Se y = f(x) é uma função derivável no ponto x, chamamos 
de diferencial da função f neste ponto x a expressão: 
 dy = f’(x)dx 
Exemplos: 
a) Se y = 3x, então dy = (3x)’dx = dy =3dx; 
b) Se y = x2 + 1, então dy = (x2 +1)’ dx = 2xdx; 
c) Se y = senx, então dy = (senx)’dx = cosx dx. 
3.9.2. EXEMPLOS DE MUDANÇA DE VARIÁVEL 
a) 
 Solução: chamamos u = 2x + 1, então du = (2x +1)’dx = 2dx ou dx = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
 
 
 
 Solução: chamamos u = 3x+ 4, então du = 3dx ou dx = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Calcular as integrais indefinidas: 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
f) 
 
 
 
 
g) 
 
3.10. INTEGRAL DEFINIDA: Seja f uma função e F uma das suas primitivas ou antiderivadas. 
Definimos a integral definida de entre os limites a e b como a diferença F(b) – F(a), e indicamos 
simbolicamente: 
 
 
 
 
A diferença F(b) – F(a) também costuma ser indicada pelo símbolo [F(x)] 
 
3.10.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Calcule: 
a) 
 
 
 
b a 
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Solução: 
Passo1: encontre F(x) de f(x) = x2. 
 F(x) = 
 
 
 + c 
Passo2: Calcule F(5) e F(2) e em seguida F(5) – F(2) 
 F(5) = 
 
 
 + c = 
 
 
 + c 
 F(2) = 
 
 
 + c = 
 
 
 + c 
 F(5) – F( 2) = (
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 
 
 
 = 
 
 
 
Obs.: não é necessária a constante c. 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Passo1: encontre F(t) de f(t) = 
 
 
. 
 F(t) = - 
 
 
 
Passo2: Calcule F(4) e F(1) e em seguida F(4) – F(1) 
 F(4) = - 
 
 
 
 F(1) =- 
 
 
 = -1 
 F(4) – F( 1) = - 
 
 
 - ( -1) = - 
 
 
 + 1 = - 
 
 
 + 
 
 
 = 
 
 
 
 
3.10.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Calcule as integrais indicadas: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
3.11. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DEFINIDA: representa a área da região 
compreendida entre o gráfico, o eixo x e as verticais que passam por a e b, 
 
 
 
 
 
 
 
3.11.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Obtenha as áreas destacadas. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
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c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.12. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL 
3.12.1. ACELERAÇÃO, VELOCIDADE E ESPAÇO. 
3.12.1.1. Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de 2 cm/s2. Quando o tempo 
começou a ser contato (t = 0), a partícula passava pela marca 10 cm da trajetória, com velocidade de 
5 c/s. 
a) calcular a equação da velocidade da partícula em função do tempo. 
 
 
b) calcular a equação do espaço percorrido pela partícula em função do tempo. 
 
 
c) calcular o tempo o tempo necessário para que a partícula passe pela marca de 94 cm. 
 
 
3.12.1.2. Uma pedra é solta do topo de um edifício de 25 andares, a uma altura de 80 m, e cai em 
queda livre. A aceleração da gravidade é de 10 m/s2. 
a) determinar a equação da velocidade do corpo em função do tempo de queda (t = 0 e v = 0). 
 
 
b) determinar a equação do espaço percorrido pela pedra em função do tempo de queda (t=0 e s=0). 
 
 
 
c) calcular o tempo necessário para que a pedra atinja o solo. Qual a velocidade de impacto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA DAS INTEGRAIS 
 
I – FORMAS BÁSICAS: 
 
1. = 
 
 
 + c 
2. 
 
 
 
 
 
 = ln |x| + c 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. + c. 
 
 
RESPOSTAS DO CAPÍTULO I - LIMITE 
1.1.1.1.f(x) = x2 + 1 
a) D(f) = R (conjunto dos números reais) 
b) f(-1) = 2 
c) f( 2) = 5 
 
1.1.1.2. g(x) = 
 
 
. 
a) D(g) = R – {3}, pois g(x) = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 (uma indeterminação, o denominador não pode ser zero). 
Assim a função g pode ser definida por g(x) = x + 3, com x ≠ 3 
b) g(1) = 4 
c) 
x g(x)=y x g(x)=y 
2,9 2,9 + 3 =5,9 3,1 3,1 + 3 =6,1 
2,99 2,99 + 3 =5,99 3,01 3,01 + 3 = 6,01 
2,999 2,999 + 3 =5,999 3,001 3,001 + 3 = 6,001 
2,9999 2,9999 + 3 =5,999 3,0001 3,0001 + 3 = 6,001 
 
d) quando o domínio se aproxima de 3(valores menores e valores menores) a imagem se 
aproxima(tende) de 6. 
 
1.1.1.3. m(x) = 
 
 
 
a) m(0) = 2. 0 = 0, pois 0 < 1 
b) m( 2) = 2 + 1, pois 2 > 1 
 
c) Complete a tabela abaixo: 
x m(x)=y = 2x x m(x)=y = x+1 
0,9 2 . 0,9 = 1,8 1,1 1,1 + 1 = 2,1 
0,99 2 . 0,99 = 1,98 1,01 1,01 + 1 = 2,01 
0,999 2 . 0,999 = 1,998 1,001 1,001 + 1 = 2,001 
0,9999 2 . 0,9999 = 1,9998 1,0001 1,0001 + 1 = 2,0001 
 
d) quando o domínio se aproxima de 1(valores menores e valores menores) a imagem se 
aproxima(tende) de 2. 
 
1.1.1.4. Seja a função h definida por h(x) = 
 
 
 . Calcule 
a) h(0) = 0 + 3 = 3 
b) h( 10) = 2.10 + 2 = 20 + 2 = 22 
c) Complete a tabela abaixo: 
x h(x)=y = x + 3 x h(x)=y = 2x + 2 
1,9 1,9 + 3 = 4,9 2,1 2 . 2,1 + 2 = 4,2 + 2 = 6,2 
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1,99 1,99 + 3 = 4,99 2,01 2 . 2,01 + 2 = 4,02 + 2 = 6,02 
1,999 1,999 + 3 = 4,999 2,001 2 . 2,001 + 2 = 4,002 + 2 = 6,002 
1,9999 1,9999 + 3 = 4,9999 2,0001 2 . 2,0001 + 2 = 4,0002 + 2 = 6,0002 
 d) quando x tende pela esquerda (valores menores que 2), os valores de y aproximam de 5 e quando 
x tende pela direita (valores maiores que 2), os valores de y, de 6. 
 
1.2.2.1. 
a) 
 
 
 = 
 
 
 = = 2 + 1 = 3 
x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 
f(x) = 
 
 
 = x+1 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 
b) 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 =0,25. 
x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 
f(x) = 
 
 
 = 
 
 
 0,2506 0,2500 0,2499 0,2494 0,2439 
 
c) = 4 – 2 = 2 
 
1.2.2.2 i) 
a) f( 1) = 2 
b) = não existe. 
c) f(4) = não está definido. 
d) 2. 
 
2.1.2 ii) 
a) f( -2) = não está definido 
b) = não existe 
c) f(0) = 4 
d) = não existe 
e) f(2 ) = não está definido 
f) = 0,5 
g) f(4) = 2 
h) = . 
 
1.3.1.1 
a) f(0,999) 3,5 
b) f(1,001) 1 
c) f(3,9999) 2 
d) f(4,0001) 2 
 
1.3.1.2 
a) = 3,5 
b) = 1 
c) = 2 
d) = 2 
 
1.3.1.3. = L e = M. 
 
1.4.1.a) Sim, porque 
 
1.5.1.1 
a) = 9 b) = 14 c) = -3 d) = 14 e) =-5. 
 
f) = -42 g) = 11 h) =-33 i) = -2 
 
j) 
 = - 135 k) 
 
 
 
 = 15/2 l) 
 = 1 
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m) = 24 o) 
 = 9 p) 
 
 
 = 9/10 
 
q) 
 
 
 = -2/5 r) 
 
 
 = -1/2 s) 
 
 
 = 1/5 t) 
 = 1/2 
 
u) 
 = 1/25 v) 
 = 28/3 w) 
 
 
 = 1 
 
1.5.1.2 
a) 
 = 16 
b) 
 
 
 = 1/4 
c) = 24 
 
1.5.1.3 
a) = 12 
b) = -6 
c) = 27 
d) 
 
 
 =1/3. 
 
 
1.5.1.4. 
a) = 3 
b) = 9 
c) 
 
 
 = 1/16 
d) 
 
 
 = -2/3 
 
1.5.1.5. O = 15 
 
1.5.1.6. Porque o = 0 (denominador não pode ser zero). 
 
1.6.1.1. a) -5 b) 4 c) 18 d) 9 e) 1/3 f) 12 g) 27 h) 1/2 i) 1/54 
 
1.7.2. 
a) +∞ b) +∞ c) 0 d) 0 
 
1.8.2. 
a) + ∞ b) +∞ 
 
1.9.2.1 a) 5 b) 2 c) - ∞ 
 
1.9.2.2. Sim 1.9.2.3. Sim 1.9.2.4. 0 
 
1.10.1 
a) 4 b) 0 c) + ∞ 
 
1.11.2 
a) e2 b) e1/3 c) e2 d) e3/2 
 
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1.12.1 
a) + ∞ b) + ∞ 
 
1.13.2 
a) -1 b) k c) 0 d) k e) a/b 
 
 
1.14.3.1. a) Não b) Sim c) Não c) Não d) Sim 
 
1.14.3.2. f(3)= ½ 
 
1.14.3.3. m = 2/3 
 
1.14.3.4. a = 1 
 
RESPOSTAS DO CAPÍTULO II - DERIVADAS 
 
2.1.2.1 a) -2 b) -2 
 
2.1.2.2 a) 4 b) 12 
 
2.1.2.3. Devemos usar as regras de derivação. 
 
2.2.1.1 a) 0 b) 0 c) 0 
 
2.2.2.2 a) 8x7 b) -2x-3 c) 3/4x-1/4 d) 1/3x-2/3 
 
2.2.3.1 a) 32x7 b) -6x-3 c) 6/5x-4/5 
 
2.2.4.1 a) 1/xln5 b) 1 / xln1/2 c) 2/x 
 
2.2.5.1 a) 2x ln2 b) (1/2)x ln1/2 c) 6ex 
 
2.2.6.1 a) -3cosx b) -5/4senx. 
 
2.2.7.1 a) 6x – 7 b) 2 + 3senx c) cosx + senx + 1 d) 2t + 1/2t-1/2 
 
2.2.8.1 
a) 3senx +3xcosx 
b) 5x4 + 3x2 – 4x 
c) cos2x – sen2x 
d) 7x6 + 6x5 – 20x4 – 8t3 +12t2 
 
2.2.9.1 
a) -4x/(1+x2)2 
b) sec2x 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e.1) 2p/(p-2) 
e.2) 2,2 
 
2.2.10.2.1 
a) u(x) = 2x + 1 e v(x) = 
b) u(x) = 4x – 3 e v(x) = ex 
c) u(x) = x – 1 e v(x) = senx 
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d) u(x) = 
 
 
 e v(x) = 
 
 
 
2.2.10.2 
a) -6sen6x 
b) 3cos(3x+1) 
c) 6x(6x2 +1)-0,5 
d) -36(1-3x)3 
e) 8e2x – 5/x 
 
2.2.11.2 
a) 36 
b) –cosx 
c) 2x-3 
 
2.3.1 a) 11,5 b) 11,99 
 
2.3.2 12 
 
2.3.3 12 
 
2.3.4 y = - 2x 
 
2.3.5 y = 79x + 150 
 
2.4.1.1.1 
a) 4 m/s 
b) v (t) =( 6t2 – 4) m 
c) 146 m 
d) v0 = -4 m/se) a (t) = 12t m/s2 
f) a(2) = 24m/s2 
 
2.4.1.1.2. 
a) 67 m/s 
b) 10 m/s2 
 
2.4.1.1.3. 
a) 24 s 
b) 720 m 
c) a( t) = -10 m/s2 
 
2.4.1.1.4. 38 m 
 
2.4.1.1.5. 
a) 0,546 m/s 
b) 1,746 m/s 
 
2.4.2.1.1 
a) Crescente [-7, -4] e [ -1,6] 
 Decrescente: [-4,-1] e [6, 7]. 
 
b) Crescente nos reais. 
 
c) Crescente: [2, [ 
 Decrescente: ]- , 2] 
 
2.4.2.1.2. 
a) para x > 2, f(x) = y > 0, f é crescente. 
 para x < 2, f(x) = y < 0, f é decrescente. 
 
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b) para x > 2, f(x) = y > 0. 
 para x < 2, f(x) = y < 0. 
 
2.4.2.3. 
a) Crescente para todos reais 
 
b) Crescente: ]- [ 
 Decrescente: ]0, [ 
 
c) Crescente: ]- [ ou ]4, [ 
 Decrescente: ]3, [ 
 
d) Crescente: ]- [ ou ]1, [ 
 Decrescente: ]- [ ou ]0, [ 
2.4.3.1 
a) Côncava para cima em R; 
b) Côncava para cima em ] - ; -8/3[ 
 Côncava para baixo em ] -8/3, [ 
c) Côncava para cima em ] 3, [ 
 Côncava para baixo em ] - ; 3[ 
d) Côncava para baixo em ]1,3[ 
 
2.4.4.5.1 
a) sim 
b) não, porque o numerador é diferente de zero. 
 
2.4.4.5.2 Não é uma indeterminação, portanto a regra de L’Hôpital não é aplicável. 
 
2.4.4.5.3 
a) 5 
b) 1/114. 
 
RESPOSTAS DO CAPÍTULO III – INTEGRAL 
 
3.2 
a) 1 
b) 12 
c) ??? 
 
3.3.2 
a) Sim 
b) F(x) = 4x -1, G(x) = 4x +4 e G(x) = 4x + 6, pois G(1) = 4.1. + 6 = 10. 
 
3.3.3 s(t) = 2t2 + 5t + 3; 
 
3.8.1. 
a) F(x) = 
 
 
 
b) F(x) = 
 
 
 
 
 
 
c) F(x) = 2x + C 
d) F(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) F(x) = -4cosx – 3senx + C 
f) F(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8.2 
a) s(t) = t2 – t3 – 5t + 4 
b) s(t) = 
 
 
 
 
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3.8.3. 
a) s(t) = – 5t2 + 50t. 
b) 125 m 
 
3.8.4 
a) 8 s 
b) caindo a 80 m/s. 
 
3.9.3 
a) 1/3 ln |4 + 3x| + C 
b) ln |lnx| + C 
c) ½ e2x + C 
d) ½ e2x + 3 + C 
e) esenx + C 
f) 2/3 (x2 + 1)1/2 + C 
g) 1/24 (3x2 + 1)4 + C 
 
3.10.2 
a) 15 
b) 8/3 
c) e3 – 1 
d) 3/2 
 
3.11.1. 
a) 1/3 
b) 9 
c) ln2 
d) 1/6 
 
3.12.1.1 
a) v(t) = 2t + 5 
b) s( t) = t2 + 5t + 10 
c) t = 7 s 
 
3.12.1.2. 
a) v(t) = -10t 
b) s(t) = -5t2 + 80 
c) t= 4 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE LIMITES, 
01. 
3
6
18
623
18
lim
623
18
lim
1332
3





  xxxx
x
xx
 
02. 
1csclim
.sec
sec
lim
sec1
lim
2
2
22

 





x
tgxx
x
x
tgx
xxx
 
03.  
3
1
13
3
1
sen
3sen3
lim
3
1
cos
3cos
lim
3
1
3sec
sec
lim
3
lim
2
2
2
2
2
2
22








































 x
x
x
x
x
x
xtg
tgx
xxxx
 
04. 
  00.1ln.limsenlimlnsenlim
csc
ln
lim
0000







 
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xxxx
 
05.  
2
sec
1
lim.2lim.2
1
cot2
lim
ln
senln
lim
2
000
2
0

  xtgx
x
x
gx
x
x
xxxx
 
06. 
1
sen1
sen.;0.
1
;
1
sen.lim 
 y
y
x
xyx
x
y
x
x
x
 
07. 
  0lim
2
2
lim
1
lim.1lim
2
22
2 22 

 



x
xxxxx
x
x
e
xe
x
e
x
ex
 
08. 
0
.
1
lim
1
lim
ln
limln.lim 


 xxxxxx
x
x exe
x
e
x
xe
 
09. 
  0lnlim.
sen
limln.
sen
limln.senlim
0000







 
xx
x
x
xx
x
x
xx
xxxx
 
10. 
2
1
2
lim
1
2
lim
11
lim
22
222















  xx
x
x
x
x
x
xxx
 
11. 
      2
1
.2
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
11
lim
01000
















 x
x
xx
x
xx
x
xxx ex
e
ex
e
ex
xe
ex
 
12. 
     
 
x
x
xxyxyx xx
x
1
senln
senln.lnsen;senlim
0


, então 
 
 0
1
0
sec
2
limlim
1
cot
lim
1
senln
limlnlim
2
0
2
0
2
000



  x
x
tgx
x
x
gx
x
x
y
xxxxx
 e 
1lim 0ln
0


eey x
x
 
13. 
00.1.1ln
cos
1sen
ln
cos
sen
ln.ln;lim
0


xx
xx
x
x
x
x
xtgxyxyx tgxtgx
x
 
1limlimlim 0ln
000

 
eeyx y
xx
tgx
x
 
14. 
       
x
e
exyeye
x
xxxxx
x
1
1ln
1ln.ln1;1lim
0



 
   









 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx e
exx
e
ex
x
e
e
x
e
y
.2
lim
1
.
lim
1
1lim
1
1ln
limlnlim
2
0
2
0
2
000
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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  02lim 2
0


xx
x
. Então, 
1lim 0
0


ey
x
 
15. 
          
 x
x
y
x
x
x
x
yxyx
xx
xx
x
lnln
limlnlim
lnln
lnln
1
lnln;lnlim
11
 
0
ln.
1
lim
1
ln.
1
lim 
 xx
xx
xx
. Portanto, 
1limlimlim 0ln 

eey
x
y
xx
 
16. 
     xaxxaxxax
x
e
x
yeyae
111
1ln
1
ln1;0,1lim 

 então, 


y
x
lnlim
 
  






y
xxaxx
ax
ax
x
xax
x
eya
e
e
ea
x
e ln
1
limlim e ,
1
1
lim
1
1
.
lim
1ln
lim
 
 
aa
x
ee 

lim
 
17. 
     
 
x
ax
ax
x
yaxyaax xx
x



1ln
1ln
1
ln1;0,1lim
11
 então, 


xx
y limlim
 
18. 
       
00
11
0
limlnlim
cosln
cosln
1
lncos;coslim


xx
xx
x
y
x
x
x
x
yxyx
  

x
xcosln
 
    1limcoslim ,então 0lim
1
cos
sen
lim 0ln
0
1
000




eextgxx
x
y
x
x
xxx
 
 
19. 







 2112
1
1
1
1
1
1
1 1
ln
limlnlim
1
ln
lnlnln;lim
222
x
x
y
x
x
yxyxyx
xx
xxx
x
 
2
1
2
1
1
ln
11
1
1
1211
limlimlimlim
2
1
2
1
lim
2
1
lim
2 






 eeeyx
xx
x
x
y
xx
x
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1limlimlim portanto ,0
1
1lim
1ln 0ln 


eeyax
a
x
ax
x
y
xxx
 
 
 
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I EXERCÍCIO SOBRE LIMITE 
 
01 – Seja função f definida por f(x) = x – 2. 
a) preencha corretamente a tabela: 
x f(x)=y 
3,99 
3,999 
4.001 
4,01 
b) com base na tabela acima, existe o limite de f quando x se aproxima de 4, ou seja, existe 
? 
02 – Seja função g definida por g(x) = 
 
 
, com x ≠ 1 
a) preencha corretamente a tabela: 
x g(x)=y 
0,99 
0,999 
1.001 
1,01 
b) com base na tabela acima, existe o limite de g quando x se aproxima de 1, ou seja, existe 
 ? 
03 – Seja função h definida por h(x) = 
 
 
 
a) preencha corretamente a tabela: 
x h(x)=y 
1,99 
1,999 
2.001 
2,01 
b) com base na tabela acima, existe o limite de h quando x se aproxima de 2, ou seja, existe 
 ? 
 
04. Se f(6,99) = 0,1504, f(6,999) =0,1501, f(7,001) = 0,1502 e f(7,01) = 0,1503. Calcule . 
05. Se f(5,99) = 7,01, f(5,999) =7,001, f(6,001) = 2,001 e f(6,01) = 2,01. Calcule . 
 
06. É possível dizer se existe examinando somente os valores de f(x) para x perto de e 
maiores do que 5? Por quê? 
 
07 - Calcule 
 
 
 com base na definição de limite. 
 
08. Com base no abaixo, responda corretamente as questões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
a) f(0) b) f(1) c) f(3) d) f(5) 
 
e) f(1,1) f) f(0,999) g) f(3,01) h) f( 4,999) i) f( 5,001) . 
 
09. Com base no gráfico acima, responda corretamente as questões abaixo. 
a) Existe limite de f quando x se aproxima de 1? 
b) Existe limite de f quando x se aproxima de 3? 
c) Existe limite de f quando x se aproxima de 5? 
d) Existe limite de f quando x se aproxima de 0? 
 
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II EXERCÍCIO SOBRE LIMITE 
 
01. Seja a função definida por f(x) = 
 
 
, com x ≠ 5. 
 
a) Complete a tabela corretamente: 
 
x 4,99 4,999 5,0001 5,001 
f(x) = 
 
 
 
 
b) Use o resultado para fazer uma estimativa do 
 
 
 
 
02. Seja a função definida por f(x) = 
 
 
, com x ≠ 1. 
 
a) Complete a tabela corretamente: 
 
x 0,99 0,999 1,0001 1,001 
f(x) = 
 
 
 
 
b) Use o resultado para fazer uma estimativa do 
 
 
 
 
03. Seja o gráfico da função g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
a) ; b) ; c) ; 
 
d) ; e) ; f) . 
 
04. Seja a função g definida por g(x) = 
 
 
 
 
 
Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir (em) especificar a razão. 
a) ; b) ; c) ; 
 
05. Seja a função h definida por h(x) = 
 
 
 
 
 
Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir (em) especificar a razão. 
a) ; b) ; c) ; 
 
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06. Dada a função f definida por f(x) = 
 
 
 
 
Determine a para que exista 
 
07. Dada a função g definida por g(x) = 
 
 
 
 
 
Determine a para que exista 
 
08. Dada a função g definida por g(x) = 
 
 
 
 
 
Determine a para que exista 
 
09. Sabendo que f(x) = 3x + 1 e g(x) = , calcule: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
10. Se = 12. Calcule: 
a) 
 
 
 
 
b) , sabendo que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III EXERCÍCIO SOBRE LIMITE 
01. Calcule o valor de f(x) nos seguintes casos: 
a) f(x) = - (x- 1)3 + (1 – x)2 + 1 para x = - 1 Resp. f(-1) = 13 
 
b) f(x) = 
 
 
 para x = -2 Resp. f(-2) = 
 
 
 
 
c) f(x) = 
 
 
 para x = -
 
 
 Resp. f( 
 
 
 - 
 
 
 
 
02. Simplifique 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
03. Calcule: 
a) 
 
 
 
 
 
 Resp. - 2 
 
b) 
 
 
 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
03. Obtenha os limites: 
a) 
 
 
 Resp. 14 
 
b) 
 
 
 Resp. - 
 
 
 
 
c) 
 
 
 Resp. 0 
 
d) 
 
 
 Resp. - 
 
 
 
 
04. Calcule os limites: 
a) 
 
 
 Resp. 2 
 
b) 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
c) 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
d) 
 
 
 Resp.-1 
 
e) 
 
 
 Resp. 1 
 
f) 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
05. Calcule os limites 
a) 
 
 
 Resp. 
 
 
 
 
b) 
 
 
 Resp. - 
 
 
 
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COMENTÁRIO DO I EXERCÍCIO SOBRE LIMITE 
 
01 – Seja função f definida por f(x) = x – 2. 
a) preencha corretamente a tabela: 
x f(x)=y = x- 2 
3,99 3,99 – 2 = 1,99 
3,999 3,99 – 2 = 1,999 
4,001 4,001 – 2 = 2,001 
4,01 4,01 – 2 = 2,01 
 
b) com base na tabela acima, existe o limite de f quando x se aproxima de 4, ou seja, existe 
? 
 
Resp. Sim existe o limite, o valor do limite é 2, pois para x com valores menores e maiores que 4 f(x) 
= y atende a 2. 
 
02 – Seja função g definida por g(x) = 
 
 
, com x ≠ Um 
Obs.: x2 +x – 2 = (x – 1) (x + 2) 
 g(x) = 
 
 
 = 
 
 
 x+ 2, com x ≠ 1 
 
a) preencha corretamente a tabela: 
x g(x)=y = x+ 2 
0,99 0,99 + 2 = 2,99 
0,999 0,999 + 2 = 2,999 
1,001 1,001 + 2 = 3,001 
1,01 1,01 + 2 = 3,01 
 
b) com base na tabela acima, existe o limite de g quando x se aproxima de 1, ou seja, existe 
 ? 
 
Resp. Sim existe o limite, o valor do limite é 3, pois para x com valores menores e maiores que 1 g(x) 
= y atende a 3. 
 
03 – Seja função h definida por h(x) = 
 
 
 
a) preencha corretamente a tabela: 
x h(x)=y 
1,99 1,99 + 2 = 3,99 
1,999 1,999 + 2 = 3,999 
2,001 2,0012 – 1 = 4,004 -1 = 3,001 
2,01 2,01 – 1 = 4,040 – 1 = 3,040 
 
b) com base na tabela acima, existe o limite de h quando x se aproxima de 2, ou seja, existe 
 ? 
 
Resp. Não existe o limite, pois quando x é menor e próximo de 2, h(x) = y se aproxima de 4 e quando 
x é maior e próximo de 2, h(x) = y se aproxima de 3. 
 
04. Se f(6,99) = 0,1504, f(6,999) =0,1501, f(7,001) = 0,1502 e f(7,01) = 0,1503. Calcule . 
 
Resp. Sim existe o limite, o valor do limite é 0,1500, pois para x com valores menores e maiores que 7 
f(x) = y atende a 0,1500. 
 
05. Se f(5,99) = 7,01, f(5,999) =7,001, f(6,001) = 2,001 e f(6,01) = 2,01. Calcule . 
 
Resp. Não existe o limite, pois quando x é menor e próximo de 6, f(x) = y se aproxima de 7 e quando 
x é maior e próximo de 6, f(x) = y se aproxima de 2. 
 
Tende a 3 
Tende a 2 
Tende a 4 e 3, respectivamente 
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06. É possível dizer se existe examinando somente os valores de f(x) para x perto de e 
maiores do que 5? Por quê? 
 
Resp. Não, para determinar se existe , devemos examinar o valor de f(x) em AMBOS LADOS 
de x = 5. 
 
07 - Calcule 
 
 
 com base na definição de limite. 
 
Resp. 1º passo: fatorar a expressão 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = x+ 4 [ x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4) (x - 4)] 
 
2º passo: determinar as imagens de x para valores próximos de 4 
x f(x)=y = x+ 4 
3,99 3,99 + 4 = 7,99 
3,999 3,999 + 4 = 7,999 
4,001 4,001 + 4 = 8,001 
4,01 4,01 + 4 = 8,01 
 
3º passo: calcular o limite 
 
 
 
 = 8. 
 
08. Com base no abaixo, responda corretamente as questões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
Calcule: 
a) f(0) = 3,5 
 
b) f(1) = 3 ( bolinha fechada) 
 
c) f(3) = 1 
 
d) f(5) = 1,5 
 
e) f(1,1) 2 
 
f) f(0,999) 3 
 
g) f(3,01) 4,5 
 
h) f( 4,999) 1,5 
 
i) f( 5,001) 3,5 
 
09. Com base no gráfico acima, responda corretamente as questões abaixo. 
a) Existe limite de f quando se aproxima de 1? Não, pois f(0,999) ≠ f(1,001) 
b) Existe limite de f quando se aproxima de 3? Não, pois f(2,999) ≠ f(3,001) 
c) Existe limite de f quando se aproxima de 5? Não, pois, f(4,999) ≠ f(5,001). 
d) Existe limite de f quando se aproxima de 0? Sim. Pois f(-0,001) f(0,001)= 3,5 
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COMENTÁRIO DO II EXERCÍCIO DE REVISÃO LIMITE 
 
01. Seja a função definida por f(x) = 
 
 
, com x ≠ 5. 
 a) Complete a tabela corretamente: 
x 4,99 4,999 5,0001 5,001 
f(x) = 
 
 
 
 
Solução: 
1º passo: simplificar a expressão: 
 
 
 
 
 
 = x+5 
x 4,99 4,999 5,0001 5,001 
f(x) = 
 
 
 = x+5 9,99 9,999 10,0001 10,001 
b) Use o resultado para fazer uma estimativa do 
 
 
 = 10 
 
02. Seja a função definida por f(x) = 
 
 
, com x ≠ 1. 
Solução: 
1º passo: simplificar a expressão: 
 
 
 
-x2 + 4x – 3 = 0, assim A = -1, B = 4 e C = -3. 
 
 
 
 
X = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
X1 = 
 
 
 = 
 
 
 = 1 
X2 = 
 
 
 = 
 
 
 = 3 
 
-x2 + 4x – 3 = (-1) (x – 3) ( x – 1) 
=
 
 
 = 
 
 
 = (-1) (x – 3) = - x + 3 = 3 - x 
 
a) Complete a tabela corretamente: 
x 0,99 0,999 1,0001 1,001 
f(x) = 
 
 
 = 3 - x 2,01 2,001 1,9999 1,999 
b) Use o resultado para fazer uma estimativa do 
 
 
 = 2 
 
03. Seja o gráfico da função g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) = 3 b) = 3 c) = 3 
 
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d) = 2 e) = 2 f) = 2 
 
04. Seja a função g definida por g(x) = 
 
 
 
 
 
Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir (em) especificar a razão. 
Solução: 
a) = 
 
b) = 
 = 12 + 2.1= 1 + 2 = 3 
 
c) Não existe ( , pois ≠ 
 
05. Seja a função h definida por h(x) = 
 
 
 
 
 
Calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir (em) especificar a razão. 
Solução: 
a) = = 3.2 + 2 = 6 + 2 = 8 
 
b) = 
 = (-1).22 + 12 = (-1).4 + 12 = - 4 + 12 = 8 
 
c) = 8, pois ) = 
 
06. Dada a função f definida por f(x) = 
 
 
 
 
Determine a para que exista 
Solução: Existe quando = 
 
= = 5 – (-1) = 5 + 1 = 6 
 
= = = 3a - 2 
 
3a - 2 = 6 
3a = 8 
a = 
 
 
 
07. Dada a função g definida por g(x) = 
 
 
 
 
 
Determine a para que exista 
Solução: Existe quando = 
 
Fatorando: 3x2 – 5x – 2 = 3(x – 2) ( x + 
 
 
) 
Assim: g(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 3( x + 
 
 
) = 3x + 1 
 
= = 3.3 + 1 = 9 + 1 = 10 
 
= = 
 = 3 – a.3 – 32 = 3 – 3a – 9 = -3a – 6