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1 Mecânica dos Fluidos Prof. Fábio Bicalho Cano 2 Sumário Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais 1.1 Introdução 05 1.2 Fluido como Contínuo 05 1.3 Definição de Fluido 08 1.4 Dimensões e Unidades 12 1.5 Viscosidade 15 1.6 Regime Permanente e Transiente 18 1.7 Trajetórias e Linhas de Corrente 18 1.8 Escoamento Unidimensional 19 1.9 Classificação dos Escoamentos 20 Exercícios – Capítulo 1 23 Capítulo 2 - Estática dos Fluidos 2.1 Introdução 28 2.2 Pressão em um Ponto 28 2.3 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 30 2.3.1 Variação da Pressão em um Fluido Incompressível em Repouso 32 2.3.2 Pressões na Atmosfera (sistema gasoso) 33 2.4 Escalas de Pressão e Manômetros 34 2.5 Tensão Superficial 38 Exercícios – Capítulo 2: Tensão superficial, pressão e pressão de coluna 43 2.6 Forças sobre Áreas Submersas Planas 51 2.7 Empuxo e Flutuação 57 2.8 Estabilidade 58 3 2.8.1 Estabilidade Vertical 59 2.8.2 Estabilidade à Rotação 59 Exercícios – Capítulo 2: Força sobre Superfície submersa, empuxo e estabilidade 64 Capítulo 3 - Análise de Escoamentos 3.1 Introdução 67 3.2 Análise de Escoamento na Formulação do Volume de Controle 67 3.2.1 Equação Básica da Formulação de Volume de Controle 69 3.2.2 Princípio da Conservação da Massa – Equação da Continuidade 69 3.2.3 – Equação do momento Linear 71 3.2.4 Equação do Momento Angular 74 3.3 Análise Diferencial e Escoamentos 76 3.3.1 Equação da Continuidade na Forma Diferencial 76 3.3.2 Equação Diferencial do Escoamento de um Fluido – Equação de Navier-Stokes 77 Exercícios – Capítulo 3 78 Capítulo 4 – Escoamentos de Fluidos Incompressíveis 4.1 Introdução 83 4.2 Equação de Bernoulli 83 4.2.1 Teorema de Torricelli 86 4.2.2 Pressão Estática, Pressão de Estagnação e Pressão Dinâmica 87 4.3 Equação Geral da Energia 90 Exercícios – Capítulo 4 94 Capítulo 5 - Turbomáquinas 5.1 Introdução 108 5.2 Turbobombas 110 5.2.1 Cavitação 110 5.2.2 NPSH (sigla em inglês: Net Positive Suction Head) 111 4 5.3 Ponto de Operação ou de Funcionamento 113 5.4 Eficiência ou Rendimento 114 5.5 Associação de bombas 117 5.5.1 Bombas em Paralelo 117 5.5.2 Bombas em Série 117 Capítulo 6 - Análise Dimensional e Semelhança 6.1 Introdução 118 6.2 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos 118 6.3 Semelhança 120 Exercícios – Capítulo 5 e Capítulo 6 122 7. Bibliografia 137 8. Respostas dos Exercícios 138 5 Capítulo 1 Conceitos Fundamentais 1.1 Introdução O conhecimento e a compreensão correta da mecânica dos fluidos é extremamente importante em muitas áreas da engenharia. Compreender os princípios básicos e os conceitos da mecânica dos fluidos é essencial na análise de qualquer sistema no qual um fluido é o meio operante. Na biomecânica, o escoamento de sangue é de particular interesse. Já na meteorologia e na engenharia oceanográfica, a compreensão do deslocamento dos movimentos do ar e das correntes marítimas requer conhecimentos de mecânica dos fluidos. Engenheiros aeronáuticos usam seus conhecimentos de fluidos para aumentar a sustentação aerodinâmica e diminuir a resistência em aeronaves e para projetar motores a jato. Engenheiros mecânicos projetam bombas, turbinas, motores de combustão interna, compressores a ar, equipamentos de ar-condicionado, equipamentos de controle de poluição e usinas de energia baseados no correto entendimento da mecânica dos fluidos. Os engenheiros civis também devem usar os resultados do estudo da mecânica dos fluidos para compreender o transporte de sedimentos nos rios, a erosão, a poluição do ar e da água e para projetar sistemas de tubulações, usinas de tratamento de esgoto, canais de irrigação e sistemas de controle de alagamento, entre outros. Para os engenheiros químicos, o conhecimento dos fenômenos de transporte, é fundamental para o entendimento operacional das operações unitárias de separação mecânica (centrifugação, ciclones, elutriação, filtração, floculação, flotação e sedimentação) de operações energéticas (aquecimento, condensação, produção de vapor, refrigeração, resfriamento, trocador de calor e evaporação) e de operações de transferência de massa (absorção, adsorção, cristalização, destilação, extração líquido-líquido, secagem e separação por membranas). 1.2 Fluido como Contínuo Na maioria das aplicações de engenharia, estamos interessados nos efeitos médios ou macroscópicos de muitas moléculas e não no comportamento microscópico ou molecular. São esses efeitos macroscópicos que geralmente percebemos e medimos. Tratamos, assim, um fluido 6 como uma substância infinitamente divisível, um contínuo, e deixamos de lado o comportamento das moléculas individuais, conforme a representação na Fig.1.1. Figura 1.1 – A energia cinética macroscópica é uma forma organizada de energia muito mais útil que a energia cinética microscópica desorganizada das moléculas. O conceito do contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. Este conceito é válido no tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais. Entretanto, ele passa a falhar sempre que o livre percurso médio (λ) das moléculas apresenta a mesma ordem de grandeza da menor dimensão significativa do problema. A propriedade primária usada para determinar se a idéia de contínuo é apropriada ou não é a massa específica, definida por: Figura 1.2 – Massa específica de um ponto. 7 Na Fig.1.2, o termo Δm é a massa contida no volume ΔV, e δV é o menor volume ao redor de um ponto no qual a média estatística é mantida. Assim, abaixo de δV, a idéia do contínuo não se aplica. A massa específica do ar na pressão de 101,3 kPa e na temperatura de 150C é 1,23 kg/m3. Para a água, o valor normalmente utilizado para a massa específica é 1000 kg/m3. Com a hipótese de contínuo, as propriedades do fluido podem ser adotadas e aplicadas como uma função contínua de x, y, z e t. Por exemplo, a massa específica pode ser escrita ρ(x,y,z,t). A massa específica de um fluido pode ser também expressa na forma adimensional a partir da gravidade específica, SG, ou da densidade relativa, definida como sendo a razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da água a 4 oC, que é igual a 1000 kg/m3. A gravidade específica de líquidos é uma função da temperatura; para a maioria dos líquidos a gravidade específica decresce com o aumento da temperatura. Assim, por exemplo, a densidade relativa (d.r.) do mercúrio é igual a: Na indústria do petróleo a densidade relativa do óleo cru (e seus derivados) é normalmente determinada em termos de uma escala chamada oAPI (graus API). A equação para escala API é: O peso específico γ é definido como o peso do fluido por unidade de volume. É calculado através do produto da massa específica com a aceleração da gravidade. γ = ρ ∗ g 8 1.3 Definição de Fluido A Mecânica dos Fluidos lida com o comportamento dos fluidos em repouso e em movimento. A definição mais elementar de fluido diz que fluido é a matéria (substância) que não tem forma própria, assumindo portanto, o formato do recipiente, conforme observado na Fig.1.3. Figura 1.3 – Classificação elementar para fluido. Antes de se apresentar uma definição de fluido mais complexaque permite construir uma estrutura lógica para o desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos, deve-se definir uma tensão de cisalhamento (tangencial). Uma força ∆F que age em uma área ∆A pode ser decomposta em uma componente tangencial ∆Fs e uma componente normal ∆Fn, conforme a Fig.1.4 abaixo: Figura 1.4 – Forças em um elemento de fluido. σ ii é a tensão normal e τ ij é a tensão de cisalhamento. 9 A área δA é a menor área para qual a média estatística é mantida no domínio do contínuo, conforme pode ser observado na Fig.1.5. Figura 1.5 – Tensão normal em um ponto. A força dividida por área, na qual esta atua, é chamada de tensão. A componente normal da força dividida pela área é a tensão normal e a força tangencial dividida pela área é a tensão de cisalhamento. As Fig.1.6 e Fig.1.7 condensam as informações necessárias para o entendimento da notação associada às tensões. Figura 1.6 – Componentes de força e de tensão num elemento de área δAx no plano x. 10 Figura 1.7 – Notação para tensão. Assim, temos como exemplo a tensão de cisalhamento τyx, originada por força tangente ao plano, a seguinte notação associada à representação: τyx Agora, podemos a definir um fluido: “Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento”. Os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou vapor) nas quais a matéria existe. Diferentemente, para os sólidos temos: “Sólido é a matéria que se deforma quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente”. Dessa forma, para os sólidos, temos a representação da Fig.1.8: PLANO DE APLICAÇÃO DA FORÇA DIREÇÃO DA FORÇA APLICADA 11 Figura 1.8 – Resistência à variação de forma de um sólido. Já os fluidos, seguem o comportamento da Fig.1.9. Figura 1.9 – A tensão cisalhante causa uma deformação contínua no fluido. Elemento de fluido submetido a uma taxa de deformação δθ/δt. 12 A análise da estrutura molecular dos materiais revela que as moléculas de um material dito sólido são pouco espaçadas e estão sujeitas a forças intermoleculares intensas e coesivas. Esta configuração permite ao sólido manter sua forma, e lhe confere a propriedade de não ser deformado facilmente. Já nos fluidos, o espaçamento entre as moléculas é maior e as forças intermoleculares são mais fracas. Por este motivo, os fluidos podem ser mais facilmente deformados. Cabe aqui uma observação importante: “O fluido em contato com a fronteira sólida tem a mesma velocidade da fronteira, isto é, não há deslizamento entre o fluido e a fronteira. Esta é uma observação experimental e que tem sido comprovado independentemente do tipo de fluido e da superfície. Esta condição é chamada de condição de não deslizamento ou condição de não escorregamento”. 1.4 Dimensões e Unidades Quantidades físicas requerem descrições quantitativas, quando se resolve problemas de engenharia. Referimo-nos a quantidades físicas como dimensões. Há quantidades que são consideradas dimensões fundamentais ou básicas (primárias): comprimento, massa, tempo e temperatura. As dimensões de todas as outras quantidades, chamadas quantidades secundárias ou derivadas, podem ser expressas em termos das dimensões fundamentais. As quantidades primárias são aquelas para as quais são estabelecidas escalas arbitrárias de medida. Para dar às dimensões de uma quantidade um valor numérico, um conjunto de unidades deve ser selecionado. A Tab.1.1 abaixo, contem as unidades do sistema internacional (SI) e do sistema CGS, conhecidos como sistemas métricos. Tabela 1.1 – Unidades SI e CGS. 13 As Tab.1.2 e Tab.1.3 apresentam as grandezas físicas e as unidades comumente utilizadas na Mecânica dos Fluidos. Tabela 1.2 – Grandezas físicas comuns da Mecânica dos Fluidos no Sistema Internacional de unidades. Tabela 1.3 - Grandezas físicas comuns da Mecânica dos Fluidos no Sistema Convencional de unidades dos Estados Unidos. Observação: “Todas as equações teóricas são dimensionalmente homogêneas, ou seja, as dimensões, do lado esquerdo e direito da equação, são iguais e todos os termos aditivos separáveis que compõem a equação apresentam obrigatoriamente a mesma dimensão”. 14 A Tab.1.4 apresenta as dimensões e unidades diretamente associadas aos sistemas SI e CGS. Tabela 1.4 – Unidades e Dimensões 15 1.5 Viscosidade É fato claramente observável que o escoamento de mel de um reservatório é bem mais lento do que o escoamento de água do reservatório. Da definição de fluido, sabe-se que o elemento fluido, quando submetido a qualquer tensão de cisalhamento, sofre uma taxa de deformação ou taxa de cisalhamento. Desse modo, os fluidos podem ser classificados, de um modo geral, de acordo com a relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação angular. Os fluidos, nos quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação, são chamados fluidos newtonianos, enquanto nos não-newtonianos a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação. Na prática, o que é observado nos diferentes tipos de fluidos é o comportamento da tensão em relação à taxa de deformação. A Fig.1.10 apresenta o comportamento esperado para os fluidos newtonianos e não-newtonianos. Figura 1.10 – (a) Tensão de cisalhamento como função da taxa de deformação. (b) Viscosidade aparente como função da taxa de deformação. Observação: Viscosidade aparente, η 16 Os fluidos não-newtonianos podem ou não apresentar um comportamento dependente do tempo. A Fig.1.11 apresenta este comportamento. Figura 1.11 – (a) Curva tensão de cisalhamento por taxa de deformação. (b) Curva tensão de cisalhamento por tempo (efeito transiente associado aos fluidos reopético e tixotrópico) Considerando o efeito transiente da Fig.1.11(b), o fluido reopético é aquele que necessita de um aumento gradual na tensão de cisalhamento para manter constante a taxa de deformação. Na situação oposta, o fluido que requer um decréscimo na tensão de cisalhamento para manter constante a taxa de deformação é chamado tixotrópico. Os gases e líquidos, de uma forma geral, tendem a ter um comportamento newtoniano. Atenção especial deve ser dada aos líquidos compostos por longas cadeias de hidrocarbonetos, pois tendem a se comportar como não-newtoniano. São exemplos de fluidos não-newtonianos: • Fluido pseudoplástico: polietileno fundido, lama e plasma sanguíneo. • Fluido dilatante: amido/etileno glicol, amido/água e óxido de titânio. • Fluido de Bingham: maionese, pasta de dente, asfalto e chocolate. • Fluido tixotrópico: tintas em geral. 17 De uma forma geral, podemos escrever para a viscosidade: Desta relação temos a seguinte análise dimensional: A viscosidade absoluta e a viscosidade cinemática são funções da temperatura e seguem um comportamento padronizado para líquidos (querosene, água, etc.) e gases (H2, ar, CO2, etc.) conforme observado na Fig.1.12. Figura 1.12 – Comportamento padrão observado para a viscosidade de líquidos e gases em função da temperatura. 18 1.6 Regime Permanente e Transiente Em geral as propriedades do fluido serão funções da posição e do tempo. Contudo, se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo, o escoamento é denominado permanente. Matematicamente, a definição de escoamentopermanente é: onde φ representa qualquer propriedade do fluido. Assim, para escoamentos permanente φ = φ(x, y, z). Se considerarmos um escoamento transiente teremos: φ = φ (x, y, z, t). 1.7 Trajetórias e Linhas de Corrente Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma representação visual do campo de escoamento. Tal representação é provida pelas linhas de trajeto, de emissão ou de corrente. A trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos, conforme observado na Fig. 1.13. Figura 1.13 – Trajetória de um flutuante colorido com o tempo. A linha de corrente é a linha tangente aos vetores de velocidade das diferentes partículas no mesmo instante. Na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, uma vez que, a mesma é levantada num tempo específico. A Fig. 1.14 apresenta a concepção da linha de corrente. 19 Figura 1.14 – (a) linhas de corrente. (b) Tubo de corrente. Podemos destacar as seguintes propriedades dos tubos de corrente: • Os tubos de corrente são fixos quando o regime é permanente; • Os tubos de corrente são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não existe passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente. 1.8 Escoamento Unidimensional A vazão volumétrica Q de um escoamento é determinada conforme os cálculos a seguir: 20 1.9 Classificação dos Escoamentos A Fig.1.15 a seguir, apresenta uma ampla classificação da Mecânica dos Fluidos, tendo- se por base as características físicas observáveis dos campos de escoamento. Figura 1.15 – Classificação da mecânica dos fluidos contínuos. 21 O escoamento em dutos, de seção reta circular, fornece um perfil parabólico, quando o fluido que escoa é incompressível. O perfil de velocidade nesta situação é representado pela seguinte equação: conforme a representação da Fig.1.16: Figura 1.16 – Perfil parabólico de velocidades num tubo de seção reta circular. Matematicamente, na situação da Fig.1.16, podemos escrever para o escoamento de um fluido incompressível: O regime de escoamento de um fluido é classificado conforme o desenvolvimento apresentado por Osborn Reynolds, Fig. 1.17 22 Figura 1.17 – Esquema simplificado da experiência de Reynolds. As particularidades dos escoamentos, externo e interno, podem ser visualizadas nas Fig.1.18 e Fig.1.19. 23 Figura 1.18 – Esquema da formação de uma camada limite sobre uma placa. Figura 1.19 – Escoamento interno em dutos. Exercícios – Capítulo 1 Ex.1 – Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior-Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez 2008 24 Ex.2 - Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior-Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez 2008 Ex.3 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008 Ex.4 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008 25 Ex.5 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 Ex.6 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 Ex.7 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 Ex.8 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 Ex.9 – Engenheiro de Equipamento Júnior(Mecânica), CESGRANRIO-PETROBRAS, Set/2001 26 Ex.10 – Eng. de Equipo Júnior(Terminais e Dutos), CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008 27 Ex.11 – Engenheiro(a) de Equipamento Júnior, CESGRANRIO-TERMOAÇU, Jan/2008 Ex.12 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Dez/2005 28 Ex.13 – Assessor Técnico-Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009 Ex.14 – Fiscal-Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009 Capítulo 2 29 Estática dos Fluidos 2.1 Introdução Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente, quando uma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é aplicada. Em um fluido estático e homogêneo, uma partícula retém a sua identidade por todo o tempo e o elemento fluido não se deforma. A ausência de movimento relativo (e, por conseguinte, de deformação angular) implica a ausência de tensões de cisalhamento. Portanto, os fluidos em repouso suportam somente tensões normais. 2.2 Pressão em um Ponto A pressão é definida através da razão entre uma força compressiva normal, infinitesimal, dividida pela área infinitesimal sobre a qual ela atua. Isso define a pressão em um ponto: Dois importantes princípios relacionados à pressão (leis de Pascal) serão relacionados a seguir: • Em um fluido confinado por fronteiras sólidas, a pressão atua perpendicularmente à superfície da fronteira, conforme as representações da Fig.2.1. Figura 2.1 – Direção da pressão do fluido sobre superfícies de confinamento. 30 • A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção, conforme a representação da Fig.2.2 Figura 2.2 – Pressão agindo uniformemente em todas as direções de um pequeno volume de fluido. Com o objetivo de demonstrar a homogeneidade da distribuição da pressão ao redor de um ponto, vamos considerar a Fig.2.3. Figura 2.3 – Pressão em um ponto no Fluido. Δz = 1 (comprimento unitário em z) 31 Como θ é arbitrário, essa relação é válida para todos os ângulos em um ponto. Poderíamos ter analisado um elemento no plano xz e concluiríamos de forma semelhante que: Px = Pz = P Assim, conclui-se que a pressão no fluido é constante em um ponto, isto é, a pressão é uma função escalar! 2.3 A Equação Básica da Estática dos Fluidos Quando um fluido está em repouso ou em movimento de corpo rígido, onde todas as partículas mantêm as mesmas posições relativas, de modo que não ocorre movimento relativo entre camadas adjacentes, ou seja, quando o fluido se movimenta sem deformação, de maneira que não existem tensões de cisalhamento. Ilustrações destes comportamentos são observadas na Fig.2.4. Figura 2.4 – Situações incluídas na estática dos fluidos. (a) líquidos em repouso, (b) líquidos com aceleração linear, (c) líquidos com aceleração centrípeta. Dessa forma, a variação de pressão é determinada através da aplicação da segunda lei de Newton para o movimento, que fornece: • • Considerando a situação mais geral, ou seja, àquela referente ao movimento de corpo rígido, podemos considerar a representação da Fig.2.5, que apresenta um elemento de volume de fluido submetido a uma aceleração constante: 32 Figura 2.5 – Elemento de volume isolado de um fluido com aceleração constante. 33 2.3.1 Variação da Pressão em um Fluido Incompressível em Repouso Um fluido incompressível tem a massa específica constante. A pressão a uma distância h abaixo da superfície livre (interface líquido-gás) de um fluido em repouso será determinada através da equação básica da estática dos fluidos na situação de repouso, ou seja, quando . Assim podemos escrever: 34 Considerando um referencial com eixo y vertical, com sentido positivo para cima, temos: • Para y = 0 (superfície livre) tem-se p = 0 (pressão manométrica); • Para y = – h tem-se p = p(h); Assim temos: Portanto: Esta equação é algumas vezes chamada de teorema de Stevin, e indica quea diferença de pressão entre dois pontos num fluido estático pode ser determinada medindo-se a diferença de elevação entre eles. 2.3.2 Pressões na Atmosfera (Sistema Gasoso) Para a atmosfera a massa específica é uma função da altitude, ou seja, ρ = ρ (z). A atmosfera pode ser dividida em quatro camadas: a troposfera, a estratosfera, a ionosfera e a exosfera. Como as condições mudam com o tempo e a latitude na atmosfera, com camadas mais p = ρ g h 35 espessas no equador e camadas mais finas nos pólos, baseamos nossos cálculos na atmosfera padrão, que ocorre na latitude 400. Na atmosfera padrão a temperatura na troposfera varia linearmente com a altitude, T(z) = T0 – αz, em que a taxa de variação α = 0,0065 K/m e T0 = 288 K (15 0C). Na parte da estratosfera entre 11 e 20 km, a temperatura é constante e igual a – 56,5 0C (vôo das aeronaves). A temperatura aumenta novamente e até atingir um máximo por volta de 50 km; daí ela decresce até a margem da ionosfera. A Fig.2.6 apresenta estas variações observadas na atmosfera padrão. Figura 2.6 – Atmosfera padrão. A variação de pressão na troposfera (onde se observa uma variação linear da temperatura com a altitude), pode ser avaliada pelo desenvolvimento a seguir. p = ρ R T (situação de gás ideal) dp = – ρ g dz (camada gasosa estagnada) Portanto: 36 ⇒ ⇒ Na estratosfera, na região entre 11 e 20 km, onde a temperatura é constante temos: ⇒ ⇒ 2.4 Escalas de Pressão e Manômetros A pressão absoluta chega a zero quando um vácuo ideal é atingido, ou seja, quando não resta mais nenhuma molécula em um determinado espaço. Dessa forma, uma pressão absoluta negativa é impossível. Uma segunda escala é definida medindo pressões relativas à pressão atmosférica local. Essa pressão é chamada pressão manométrica (ou pressão relativa, ou ainda pressão efetiva). A Fig.2.7 apresenta um paralelo entre essas duas escalas de pressão. 37 Figura 2.7 – Pressão manométrica e pressão absoluta. Os dispositivos utilizados para medir pressão são denominados manômetros. Os manômetros são chamados elementos mecânicos para a medição direta de pressão. A pressão atmosférica é medida através do barômetro, no qual a altura de uma coluna de mercúrio é medida. Assim é comum chamar a pressão atmosférica de pressão barométrica. Os manômetros mais comuns utilizados nas medidas de pressão são os manômetros metálicos ou de Boudon e os manômetros diferencias com tubo em U. As Fig.2.8 e Fig.2.9 ilustram as características dos manômetros de Bourdon. Figura 2.8 – Princípio de funcionamento do manômetro de Bourdon. Pabsoluta = Patmosférica local + Pmanométrica 38 Figura 2.9 – Tipos de tubos de Bourdon. Os manômetros do tipo tubo em “U” são instrumentos que utilizam colunas de líquidos para medir pressão. Dessa forma, as seguintes regras são úteis para a obtenção da equação manométrica de um sistema com múltiplos líquidos: Regra 1 - Quaisquer dois pontos na mesma elevação em volume contínuo do mesmo líquido estão à mesma pressão; Regra 2 - A pressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido. 39 Exemplo ilustrativo: Montar a equação manométrica para o manômetro com tubo em U a seguir. Procedimento: 1) Marcar os pontos de interesse e as interfaces; 2) Traçar paralelas através das interfaces, buscando marcar os pontos de mesma pressão; 3) Ordenar os todos os pontos marcados numa ordem crescente; 4) Relacionar, através do teorema de Stevin, o ponto com o ponto anterior; 5) Realizar o somatório de todas as equações obtidas no item 4. P1 = PH2O P2 = P1 + ρH2O g 0,250 (adotando o SI) P3 = P2 P4 = P3 – S1 g 0,275 P5 = P4 – ρAR g h (sistema gasoso – pressão de coluna desprezível. ρAR(150C,1atm) = 1,23 kg/m3) P6 = P5 P7 = P6 + S2 g 0,150 Póleo = P7 Póleo = PH2O + ρH2O g 0,250 – S1 g 0,275 + S2 g 0,150 + 40 2.5 Tensão Superficial A tensão superficial, geralmente representada pela letra σ, é uma grandeza física associada às forças atrativas entre as moléculas que compõem a matéria. Esta propriedade é, geralmente observada nas interfaces líquido-gás, como resultado de um desequilíbrio de forças intermoleculares, conforme pode ser observado na Fig.2.10. Figura 2.10 – Visão no nível molecular das forças intermoleculares agindo em uma molécula na superfície de um líquido comparada com as do interior. O trabalho, δw, necessário para modificar a área, S, de uma amostra, de uma grandeza infinitesimal, dS, é proporcional a dS, o que permite escrever: δw = σ dS A análise dimensional da equação acima fornece: Os líquidos tendem a adotar formas que tornam mínima a sua superfície, de modo que o número máximo de moléculas fica no interior da fase líquida, envolvidas pelas moléculas vizinhas e com elas interagindo. As gotículas de líquido, por isso, tendem a ser esféricas, pois a esfera é a forma geométrica que apresenta menor razão superfície/volume. σ = constante de proporcionalidade ≡ “TENSÃO” SUPERFICIAL 41 Deve-se observar que a força devido à tensão superficial é determinada através do produto da tensão superficial pelo comprimento total da interface líquido-gás que limita a área que sofrerá a variação de forma. Este conceito é apresentado na Fig. 2.11. Figura 2.11 – Modelo utilizado para o cálculo do trabalho de deformação de uma película líquida quando um fio metálico de comprimento, l, é erguido da superfície de um líquido e arrasta o líquido até uma altura, h. O efeito da tensão superficial pode ser avaliado analisando os diagramas de corpo livre da metade de uma gotícula e metade de uma bolha, conforme ilustrado na Fig. 2.12. Figura 2.12 – Forças internas em (a) uma gotícula e (b) uma bolha. 42 Conforme a Fig.2.12, a força da pressão, pπR2, na gotícula, equilibra a força da tensão superficial em volta da circunferência. Então, pπR2 = 2πRσ Já para a bolha, a força da pressão é equilibrada pelas forças da tensão superficial nas duas circunferências. Assim, pπR2 = 2 (2πRσ) Uma conseqüência da tensão superficial é a capilaridade, que é a subida ou descida de um líquido contido em um tubo de pequenas dimensões. Há duas situações possíveis: uma na qual o fluido é dito molhar a superfície, e outra na qual o fluido não molha a superfície, tudo dependendo do ângulo de contato, θ, que a superfície líquida faz com a superfície base e a fase gasosa, conforme ilustrado na Fig.2.13. Figura 2.13 – Ângulo de contato, θ. (a) gota de líquido molha a superfície do sólido, 0o < θ < 90º. (b) gota de líquido não molha a superfície do sólido, 90º < θ < 180º. 43 Em tubos capilares, o ângulo de contato θ, que a superfície líquida faz com a superfície base e a fase gasosa, pode ser representado conforme a Fig.2.14. Figura 2.14 – Ângulo de contato com líquido que molha a superfície do tubo capilar. A Fig.2.15 ilustra a formação do menisco e o comportamento capilar de líquidos que molham a superfície capilar, por exemplo, a água, onde se observa uma elevação, e de líquidos que não molham a superfície capilar, por exemplo, o mercúrio, onde se observa uma depressão. Figura 2.15 – Ângulo de contato em tubo capilar com observação da elevação e da depressão.Configuração de menisco em água (θ < 900) e em mercúrio (θ > 90º) 44 A Fig.2.16 indica a elevação de um líquido em um tubo capilar de vidro limpo devido à tensão superficial. O líquido tem um ângulo de contanto β (= θ, ângulo oposto pelo vértice) com o tubo de vidro. Experimentos têm mostrado que este ângulo, tanto para água como para a maioria dos líquidos, em tubo de vidro limpo, é zero. Há também casos no qual este ângulo de contato é maior que 900 (por exemplo, mercúrio); tais líquidos têm queda capilar. Se h é a elevação capilar, D, o diâmetro, γ, o peso específico do líquido e σ, a tensão superficial, h pode ser determinado igualando componente vertical da força de tensão superficial ao peso da coluna de líquido, na situação de equilíbrio: Figura 2.16 – Elevação em tubo capilar. 45 Exercícios Capítulo 2 - Tensão superficial, pressão e pressão de coluna Ex.15 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Maio/2010. 46 Ex.16 – Engenheiro(a) de Equipamentos Jr - Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Ex.17 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Ex.18 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 47 Ex.19 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Ex.20 – Engenheiro(a) de Equipamento Jr (Mecânica)- UnB/CESPE-PETROBRAS, Mai/2005. 48 Ex.21 – Engenheiro de Equipamento Júnior (Mecânica) - REFAP, Jul/2007. Ex.22 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior – CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006. Ex.23 – Eng.(a) de Equipamento Jr (Terminais e dutos)-CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 49 Ex.24 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. Ex.25 – Engenheiro de Equipamento Júnior -CESGRANRIO-TERMOAÇU, Jan/2008. Ex.26 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 50 Ex.27 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. Ex.28 – Assessor Técnico - Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. Ex.29 – Assessor Técnico - Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 51 Ex.30 – Engenheiro(a) de Processamento Jr – CESGRANRIO-Petroquímica Suape, Jul/2009. Ex.31 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 Ex.32 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mai/2006 52 Ex.33 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mai/2006 Ex.34 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Set/2001 53 2.6 Forças sobre Áreas Submersas Planas A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas forças estão associadas à distribuição de pressões nos fluidos. Os reservatórios da Fig.2.17 possuem paredes planas típicas submetidas a pressões que variam de zero na superfície do fluido (pressão manométrica) até um valor máximo no fundo do reservatório. Figura 2.17 – Paredes planas retangulares. A força real que atua na parede dispõe-se sobre a mesma de forma distribuída, mas analiticamente, este efeito distribuído é equivalente ao efeito de uma única força resultante, FR, atuando sobre um único ponto chamado centro de pressão. Assim: (I) onde é a pressão média e A, a área total da parede. O fato da pressão variar linearmente com a profundidade, nos permite escrever: (II) onde γ é o peso específico do fluido e d é a profundidade total do reservatório. Substituindo (II) em (I) temos: 54 Analisando as Fig.2.18 e Fig.2.19, verificamos que o centro de pressão, onde a força resultante FR atua, localiza-se a em relação ao fundo do reservatório. Figura 2.18 – Parede retangular vertical Figura 2.19 – Parede inclinada retangular De forma geral, uma força resultante pode ser obtida através da integração da distribuição de pressões sobre a superfície plana submersa. Para exemplificar, vamos considerar a superfície plana submersa apresenta na Fig.2.20, a seguir. 55 Reservatório de fluido com comporta Figura 2.20 – Procedimento geral para cálculo de forças que atuam sobre áreas planas submersas. Para uma pequena área dA na superfície, existe uma força dF atuando perpendicularmente, gerada pela pressão do fluido P. Assim: dF = P (dA) = γ h (dA) 56 Com a superfície é inclinada de um ângulo θ , é conveniente trabalhar no plano da superfície, utilizando dessa fora, a cota y para indicar a posição sobre a superfície em qualquer profundidade h. h = y sen θ ∴ dF = γ (y sen θ) (dA) A magnitude da força resultante sobre uma determinada superfície de área A, é matematicamente calculada por: Considerando o centróide, centro geométrico da área A em questão, pode-se definir: onde, LC é a distância compreendida entre a superfície livre do fluido e o centro geométrico (centróide) da área A, medida ao longo da superfície inclinada. ∴ FR = γ senθ LC A Mas, LC senθ = dC (onde dC = distância vertical da superfície livre do fluido até o centróide) ⇒ FR = γ dC A = PC A sendo, PC é a pressão do fluido na profundidade do centróide (centro geométrico da área). A força resultante não age, em geral, no centróide. A força resultante atua no centro de pressão, que é o ponto na superfície onde a força resultante age reproduzindo o mesmo efeito da força distribuída de pressão sobre a superfície como um todo. Este efeito é avaliado em função do momento de força considerando eixo S. Pode-se verificar ainda na Fig.2.20 que o momento da força dF é escrito como: dM = dF y 57 Sabendo que dF = γ (y sen θ) (dA), temos: dM = y [ γ (y senθ) dA] = γ senθ y2 dA Agora, o momento da força resultante FR que atua no centro de pressão, em relação ao eixo S, será dado por: FR LP = γ senθ y2dA = γ senθ y2dA onde LP é a distância compreendida entre a superfície livre do fluido e o centro de pressão da área A, medida ao longo da superfície inclinada. Pode-se agora, a partir da mecânica, definir o segundo momento de inércia I da área total A, pela expressão: I = y2 dA ∴ FR LP = γ senθ ( I ) Como FR = γ dC A = γ senθ (LC A) temos: Através do teorema da transferência de momento de inércia da mecânica pode-se escrever: I = IC + A LC2 onde, IC é o segundo momento de inércia da área de interesse A avaliado sobre seu eixo centroidal que passa pelo centróide da superfície plana submersa. Assim, Reescrevendo a equação acima temos: 58 Na Fig.2.20, o segundo momento da área A da comporta, com configuração retangular, em relação ao eixo cc que passa pelo centróide, é avaliado por: Para outras configurações de áreas submersas temos para o segundo momento de inércia da área os valores da Tab.2.1, a seguir. Tabela 2.1 – Valores de IC para diversas configurações de interesse na engenharia. 59 2.7 Empuxo e Flutuação Um corpo que está imerso num fluido ou flutuando na superfície livre de um líquido está submetido a uma força que tem origem na distribuição de pressões ao redor do corpo, chamada de força de empuxo, FE. A força de empuxo num corpo submerso é dada pela diferença entre a componente vertical da força originada peladistribuição de pressões na parte inferior do corpo e a componente vertical da força originada pela distribuição de pressões na parte superior do corpo. Vamos considerar a Fig.2.21 a seguir. Figura 2.21 – Força de empuxo gerada em corpo cilíndrico, num fluido em repouso, em função da distribuição de pressões na partes inferior e superior deste corpo. Na Fig.2.21, o corpo submerso, no qual iremos calcular a força de empuxo, é um cilindro com área da base A e altura h. Sua massa específica é ρc e está submerso em um líquido de massa específica ρ . Assim a força resultante vertical exercida sobre o corpo pela distribuição de pressão será dada por: FE = (p1 – p2) A Mas temos que: p1 – p2 = ρ g h Portanto: 60 FE = ρ g h A Seja ∀ o volume do corpo submerso, ∀ = A h Logo: FE = ρ g ∀ A equação matemática acima expressa o princípio de Arquimedes: “Num corpo total ou parcialmente imerso num fluido, age uma força vertical de baixo para cima, chamada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume de fluido deslocado”. Vamos agora considerar algumas definições: • Corpo flutuante ou flutuador – qualquer corpo que permanece em equilíbrio quando estiver parcial ou totalmente imerso num líquido; • Volume de carena – é o volume de fluido deslocado pela parte imersa do flutuador. O peso do volume de carena é igual à intensidade do empuxo; • Centro de carena ou centro de empuxo – é o ponto de aplicação do empuxo. Se o volume for homogêneo, o centro de carena coincidirá com o centro de gravidade do volume de carena. 2.8 Estabilidade As forças que agem num corpo total ou parcialmente submerso em repouso são eu peso, cujo ponto de aplicação é o centro de gravidade do corpo, e o empuxo cujo ponto de aplicação é o centro de carena. Torna-se evidente que, para que um flutuador esteja em equilíbrio, é necessário que essas duas forças tenham a mesma intensidade, a mesma direção e sentidos opostos. Vamos agora analisar a estabilidade desse equilíbrio. Considere um corpo em equilíbrio. Aplique uma força de forma que esse corpo desloque em relação à posição inicial. Retirando esta força, três comportamentos reativos são esperados para esse corpo: 61 1o) O corpo retorna à posição de equilíbrio inicial. Diz-se então que o equilíbrio é estável. 2o) O corpo afasta-se cada vez mais da posição inicial. Diz-se que o equilíbrio é instável. 3o) O corpo permanece na nova posição, sem retornar, mas sem se afastar mais da posição inicial. Diz-se que o equilíbrio é indiferente ou neutro. A análise da estabilidade no caso de flutuadores reduz-se à estabilidade vertical e de rotação, pois para os deslocamentos horizontais o equilíbrio é indiferente. 2.8.1 Estabilidade Vertical Dois casos são possíveis: Caso 1 – Corpo totalmente submerso em equilíbrio Se o corpo estiver totalmente submerso em equilíbrio, o volume deslocado é sempre o mesmo. Qualquer que seja o deslocamento, sempre existirá o equilíbrio, de forma que é um caso de equilíbrio indiferente ou neutro. Caso 2 – Corpo parcialmente submerso em equilíbrio Nesse caso, ao se deslocar o corpo para baixo, o volume de carena e o empuxo aumentam, levando a uma situação em que FE > W. Ao se retirar a força que causou o deslocamento, o flutuador sobe até que haja uma diminuição no volume de carena que leve novamente a FE = W. Se o corpo for deslocado para cima, o volume de carena diminui, de forma que FE < W. Ao se retirar a força aplicada, o corpo desce até que FE = W. Nota-se então, que em relação aos deslocamentos verticais, os flutuadores têm equilíbrio estável. 2.8.2 Estabilidade à Rotação Vamos supor agora, um flutuador obrigado a abandonar a sua posição de equilíbrio, por uma pequena força que o faça girar de um pequeno ângulo em torno de um eixo de rotação. Nessa situação, devemos examinar dois casos com comportamentos diferentes. Caso 1 – Corpo totalmente submerso em equilíbrio Seja um corpo totalmente submerso em equilíbrio, cujo centro de gravidade esteja abaixo do centro de carena, conforme a Fig.2.22. 62 Figura 2. 22 – Estabilidade à rotação: Equilíbrio estável em que se observa o momento restaurador, onde CC é o centro de carena e CG o centro de gravidade Se o corpo na Fig.2.22 (a), girar de um pequeno ângulo, o CG e o CC permanecem inalterados, mas será criado um momento restaurador, Fig.2.22 (b), que tende a girar o corpo no sentido contrário ao da rotação. O corpo tenderá novamente à posição inicial (a), sendo, portanto, o equilíbrio estável. Se o CG estiver acima do CC, conforme observado na Fig.2.23, o momento conjugado criado pelo empuxo e pelo peso tenderá a girar mais o corpo, de forma que o mesmo se afastará mais da posição de equilíbrio inicial. Nesse caso, o equilíbrio será instável. Figura 2.23 – Estabilidade à rotação: Equilíbrio instável. Observa-se que em um corpo totalmente submerso em equilíbrio, para que haja a estabilidade à rotação, o centro de gravidade (CG) deverá estar abaixo do centro de carena (CC). 63 Em um corpo homogêneo em equilíbrio, totalmente submerso num fluido homogêneo, o centro de gravidade do corpo coincide com o centro de carena. Dessa forma, o corpo estará sempre em equilíbrio indiferente ou neutro. A Fig.2.24, apresenta uma representação de todas as condições de estabilidade de um corpo submerso. Figura 2.24 – Estabilidade de um corpo submerso: (a) equilíbrio instável; (b) equilíbrio neutro; (c) equilíbrio estável. Caso 2 – Corpo parcialmente submerso em equilíbrio Nesse caso, a análise não é tão simples como no caso de corpos totalmente submersos. É óbvio que se o centro de gravidade (CG) estiver abaixo do centro de carena (CC) termos a garantia do equilíbrio estável. Entretanto essa situação não é necessária. Algumas vezes, a rotação causa uma variação no formato do volume de carena, o que não acontece com o corpo totalmente submerso, o que cria um deslocamento no centro de carena, em relação ao corpo, tal que o equilíbrio pode ser estável mesmo que o CC esteja abaixo do CG. 64 Nota-se que se um corpo estiver totalmente submerso, o volume deslocado com a rotação é constante, de forma que o CC acompanha o movimento do corpo, mantendo-se fixo em relação a ele. Isso, como já vimos, quando o CC está abaixo do CG, causa o aparecimento de um momento conjugado a favor da rotação, provocando um afastamento da posição de equilíbrio. Estando o corpo parcialmente submerso, conforme observado na Fig.2.25, a rotação em torno do eixo O, promove uma alteração no volume de carena, de ABCD, inicialmente, para LICB, com conseqüente deslocamento do centro de carena para a esquerda, em CC’. Assim o corpo permanece em equilíbrio estável. Figura 2.25 – Copo parcialmente submerso, com CC abaixo do CG. Nota-se ainda na Fig.2.25, que o sentido do momento conjugado pode ser analisado pela posição do ponto M, chamado de metacentro, que é a interseção do eixo de simetria do flutuador (eixo O) com a direção do empuxo. Assim temos: • Se o ponto M estiver acima do CG, o momento conjugado será contrário à rotação, e o equilíbrio será estável; • Se o ponto M estiver abaixo do CG, o momento conjugado será a favor da rotação, e o equilíbrio será instável; • Se o ponto M coincidir com o CG, o equilíbrio será indiferente ou neutro. 65 A altura metacêntrica é defina como a distância do CG até o ponto de interseção da força de empuxo, M. Se é positivo, o equilíbrio é estável e se for negativo, o equilíbrio éinstável, como pode ser observado na Fig.2.26. Figura 2.26 – Estabilidade de um corpo flutuante: (a) posição de equilíbrio; (b) posição girada, com indicação do comprimento metacêntrico . Para o caso de navios em flutuação, geralmente o centro de gravidade está localizado acima do centro de empuxo, de maneira que há um limite de inclinação para a existência de um momento de força restaurador. Para ângulos de inclinação maiores que esse limite, cria-se um momento de força que faz o navio emborcar. 66 Exercícios Capítulo 2 – Força sobre Superfície submersa, empuxo e estabilidade Ex.35 - Engenheiro(a) de Equipamentos Jr - Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Ex.36 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 67 Ex.37 – Engenheiro de Petróleo Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Set/2001. Ex.38 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 68 Ex.39 – Engenheiro de Processamento Júnior, CESGRANRIO/TERMOAÇU, Jan/2008. Ex.40 - Engenheiro de Processamento Júnior, CESGRANRIO/TERMOAÇU, Jan/2008. Ex.41 – Químico(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, jun/2008. 69 Capítulo 3 Análise de Escoamentos 3.1 Introdução No estudo de movimento dos fluidos são aplicadas três leis físicas fundamentais: 1ª) Princípio da conservação da massa; 2ª) Segunda lei de Newton para o movimento; 3ª) Princípio da conservação da energia. 3.2 Análise de Escoamento na Formulação do Volume de Controle No estudo da mecânica dos fluidos a abordagem de sistema, que consiste em uma quantidade de matéria definida e identificada, se torna, em muitas situações, inadequada, porque geralmente um sistema fluido se deforma de tal maneira ao longo do escoamento que deixa de ser identificável. Assim, o método mais adequado para análise dos escoamentos é a formulação de volume de controle. Vejamos algumas definições: • Volume de controle – região arbitrária, no espaço, através da qual o fluido escoa. • Superfície de controle – é a superfície do contorno geométrico do volume de controle, que pode ser real ou imaginária, indeformável ou deformável, estacionária ou em movimento, conforme a conveniência do problema a ser solucionado. A Fig.3.1 apresenta uma superfície de controle adequada para a análise de um escoamento no interior de dutos. Figura 3.1 – O volume de controle e sua superfície de controle 70 A vazão Q é o volume de fluido que escoa através da seção por unidade de tempo. De forma geral, conforme a representação da Fig.3.2, a vazão é determinada pela integral: Figura 3.2 – Escoamento através de um elemento de área dA circular de uma seção de uma superfície de controle Já a vazão mássica, , será determinada por: Para um escoamento com distribuição de velocidade uniforme na seção teremos para a vazão volumétrica e para a vazão mássica: 71 onde é a componente da velocidade de escoamento na direção normal à seção e A é a área da seção. 3.2.1 Equação Básica da Formulação de Volume de Controle Seja B uma grandeza extensiva genérica e β a grandeza intensiva específica correspondente. Então para o volume de controle temos: O balanço da propriedade extensiva B acima, é escrito matematicamente como: 3.2.2 Princípio da Conservação da Massa – Equação da Continuidade Como no sistema a quantidade de matéria é definida e identificada, o princípio da conservação da massa estabelece: Temos ainda que: B = M e β = 1. Portanto podemos escrever: 72 Essa equação é chamada equação da continuidade na foram integral e representa matematicamente um balanço de massa para o volume de controle considerado. A equação da continuidade pode assumir as formas particulares a seguir. a) Em regime permanente. No regime permanente, as propriedades do fluido e as características do escoamento ficam invariantes com o tempo, ou seja, qualquer derivada em relação ao tempo é nula, de forma que a equação da continuidade é escrita como: b) Em escoamento permanente e incompressível Em regime permanente e incompressível não existe a variação temporal e a massa específica é constante, de maneira que a equação da continuidade fica reduzida a: Para exemplificar, vamos aplicar a equação da continuidade ao volume de controle da Fig.3.3 na seguinte situação: • Regime permanente; • Escoamento com propriedades uniformes nas seções transversais; • Duto com parede rígida e impermeável. 73 Figura 3.3 – Esquema de um escoamento num duto redutor com seção circular. Como a parede do duto é impermeável, não há fluxo de massa através da seção (3) da superfície de controle ( ), ficando a equação da continuidade para o problema: Escrita como: Fornecendo finalmente o seguinte resultado: ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2 Que para fluido incompressível fornece: V1 A1 = V2 A2 = Q = constante 74 3.2.3 – Equação do momento Linear Seja a grandeza extensiva genérica do sistema B igual à quantidade de momento linear e β a grandeza específica correspondente. Assim temos: Bsistema = m e Portanto: ou seja: Para exemplificar a aplicação da expressão acima, vamos considerar a Fig.3.4 com o objetivo de determinar a força exercida pelo escoamento do fluido, em regime permanente, sobre o duto redutor curvo. 75 Figura 3.4 – Esquema de um escoamento num tubo redutor curvo. Considerando as hipóteses: • regime permanente, • escoamento com perfis uniformes nas ecoes transversais, e • duto com parede impermeável, podemos aplicar para este escoamento o seguinte equacionamento: As forças FD,x e FD,y são as componentes da força resultante , que representa a força total exercida pela parede do duto sobre o fluido dentro do volume de controle, devido às distribuições de tensões normais e cisalhantes, projetadas nas direções x e y, respectivamente. Como o escoamento tem propriedades uniformes nas seções transversais temos: 76 3.2.4 Equação do Momento Angular A segunda lei de Newton para o movimento de um sistema em relação a um referencial inercial é escrita como: onde é o momento linear total (quantidade de movimento) do sistema. Em algumas situações é mais conveniente trabalhar com torques (momentos de força) ao invés de força. Assim temos: 77 onde é o vetor posição do ponto de aplicação da força resultante em relação à origem do referencial inercial. Da matemática podemos escrever: Como é a velocidade e , o momento linear, o segundo termo, do lado direito, da equação acima, é zero. Portanto: Logo a equação geral de uma propriedade extensiva , momento angular, será dada por: Ou seja, Assim como exemplo, o torque (momento de força) transmitido por um jato livre de água a turbina de Pelton, Fig.3.5, será quantificado, no regime permanente, por: 78 Figura 3.5 – Esquema simplificado de uma turbina de Pelton com detalhe da incidência do jato de água sobre uma pá, tendo os jatos desviados vazão Q/2. Como , a equação do momento angular é escrita na forma: O rotor possui uma velocidade angular ω, de maneira que as pás se movem com velocidade linear VP dada por VP = ω R, sendo ainda a velocidade do jato VJ. Considerando a velocidade relativa Vr, dada por: Vr = VJ – VP = VJ – ω R, podemos escrever:Essas expressões permitem avaliar finalmente o torque transmitido pelo jato livre de água para a turbina de Pelton com sendo igual a: Mjato = – Meixo = R (VJ – ωR) (1 + cos θ) ρ Q 3.3 Análise Diferencial e Escoamentos As equações diferenciais possibilitam a realização de um estudo mais detalhado dos escoamentos, ou seja, permitem a determinação das distribuições das grandezas intensivas de interesse. 3.3.1 Equação da Continuidade na Forma Diferencial O teorema da divergência de Gauss permite escrever: 79 onde: S é a superfície que envolve o volume , e é uma grandeza vetorial. A equação da continuidade é escrita como: Do teorema de Gauss temos: Portanto podemos escrever: Como o VC é arbitrário, para que a integral acima seja sempre nula, devemos impor que: A equação acima é a equação da continuidade na forma diferencial. Alguns casos particulares da equação da continuidade na forma diferencial são observados para as seguintes situações: a) Escoamento incompressível (ρ = cte) b) Escoamento em regime permanente 80 3.3.2 Equação Diferencial do Escoamento de um Fluido – Equação de Navier-Stokes A equação diferencial de o movimento para o caso de escoamento incompressível, laminar e com viscosidade constante é chamada de equação de Navier-Stokes e é escrita como: onde: , é o operador denominado derivada substantiva ou derivada material ou ainda derivada hidrodinâmica, significando que a taxa de variação temporal é calculada conforme o observador se move com a substância. Para o caso de escoamento ideal, onde não são considerados os efeitos viscosos, a equação de Navier-Stokes é escrita como: Essa equação é conhecida como equação de Euler. Exercícios Capítulo 3 – Análise de Escoamentos Ex.42 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 81 Ex.43 - Engenheiro de Petróleo Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Set/2001. 82 Ex.44 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. Ex.45 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 83 Ex.46 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. Ex.47 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 84 Ex.48 – Assessor Técnico-Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. Ex.49 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 85 Ex.50 - Engenheiro(a) de Equipamentos Jr - Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Capítulo 4 86 Escoamentos de Fluidos Incompressíveis 4.1 Introdução Todos os fluidos reais, quando movimentados, possuem viscosidade. Entretanto, em muitos casos de escoamento é razoável desprezar os efeitos viscosos. Neste caso, há somente tensões normais atuando nos fluidos, a qual é igual ao valor negativo da pressão termodinâmica. 4.2 Equação de Bernoulli No escoamento sem atrito de um elemento de fluido através de uma tubulação podemos considerar, conforme a Fig.4.1, três formas de energia ao aplicarmos o princípio da conservação de energia: Figura 4.1 – elemento de fluido em uma tubulação. • Energia potencial: Ep = m g z = w z; w = m g ≡ peso do elemento de fluido. • Energia cinética: • Energia de escoamento, Ee, (energia de pressão ou trabalho de escoamento). Essa energia tem relação com a quantidade de trabalho necessário para mover o elemento de fluido através da seção contra uma pressão p, conforme observado na Fig.4.2. 87 Figura 4.2 – Energia de escoamento. Trabalho = p A L = p ∀ w = m g = ρ ∀ g = γ ∀ ∴ Assim, para o escoamento genérico, sem atrito da Fig.4.3, podemos escrever: Figura 4.3 – Elemento de fluido utilizado para deduzir a equação de Bernoulli. 88 Pelo princípio da conservação de energia: Etotal = Ee + Ec + Ep = constante Portanto: Ee (1) + Ec (1) + Ep (1) = Ee (2) + Ec (2) + Ep (2) Dividindo por w temos: Equação de Bernoulli Onde: # Condições para aplicação da equação de Bernoulli: • Escoamento em regime permanente; • Escoamento incompressível; • Escoamento não viscoso; • Escoamento onde não se observa a transferência de calor; • Escoamento ao longo da linha de corrente. 89 4.2.1 Teorema de Torricelli Para o escoamento de um fluido, contido em um grande reservatório, através de uma saída temos o equacionamento a seguir. 90 4.2.2 Pressão Estática, Pressão de Estagnação e Pressão Dinâmica Vamos considerar os termos da equação de Bernoulli apresentados na Fig4.4. 91 Figura 4.4 – Carga mecânica total, carga de pressão, carga de velocidade e carga de elevação. A soma dos termos da equação de Bernoulli, é chamada de carga piezométrica e a soma dos três termos é chamada carga mecânica total. A pressão p é muitas vezes chamada de pressão estática e a soma dos dois termos é chamada pressão total ou pressão de estagnação (pT), determinada em um ponto de estagnação no escoamento. Podemos agora, considerar os medidores de pressão da Fig.4.5 92 Figura 4.5 – Medidores de pressão: (a) tubo piezométrico; (b) tubo de Pitot; (c) tubo de Pitot estático. Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2) temos: z1 = z2 (tubo na horizontal) (ponto de estagnação – entrada do Pitot) Portanto: Logo: Da equação anterior, verificamos que através do tubo de Pitot permite quantificar a vazão: A Fig.4.6 apresenta outros medidores de escoamento. 93 (a) Medidor de Orifício – placa fina com orifício concêntrico ou excêntrico interposta entre flanges de tubos. Apresenta geometria simples, é de baixo custo e de fácil instalação ou reposição, mas de delevada perda de carga. (b) Medidor Venturi – Tem uma forma que tenta imitar os padrões de escoamento. A seção do difusor cônico a jusante da garganta permite uma excelente recuperação de pressão, o que proporciona uma baixa perda de carga total. (c) Bocal Medidor – medidor alternativo em relação ao medidor de orifício por ser menos suscetível à erosão e desgaste, e alternativo em relação ao medidor Venturi por ser mais barato e de simples construção. (d) Rotâmetro ou medidores de área variável ou medidores de flutuador – Tubo afunilado com escoamento vertical, onde o flutuador é carregado para cima até que a força de arrasto e o peso do flutuador se equilibram. (e) Medidor de Turbina – Um rotor com palhetas, mantido dentro do duto, gira em função do escoamento do fluido. A velocidade de rotação é medida utilizando um detector eletromecânico externo, o que permite medir, com segurança, vazões de fluidos corrosivos ou tóxicos. Figura 4.6 – Alguns medidores de vazão: (a) medidor de orifício; (b) medidor Venturi; (c) bocal de escoamento ou bocal medidor; (d) rotâmetro e (e) medidor de turbina. 4.3 Equação Geral da Energia 94 Com o objetivo de ampliar o balanço de energia apresentado pela equação de Bernoulli, podemos adicionar outros termos em seu equaciomento de forma a generalizá-la. Com este propósito introduziremos os seguintes termos com dimensão de energia por peso de fluido conforme observado na Fig.4.7: • hA ≡ energia por peso de fluido adicionada por dispositivos mecânicos(por exemplo, bombas); • hR ≡ energia por peso de fluido retirada por dispositivos mecânicos (por exemplo, turbinas) • hL ≡ energia por peso de fluido perdida por atrito com as paredes da tubulação e por perdas singulares ou localizadas ou menores. Figura 4.7 – Sistema de escoamento de fluido – equação geral da energia. A Fig.4.8 apresenta algumas situações de escoamento que levam ao aparecimento de zonas de circulação, relacionadas diretamente com a dissipação de energia. 95 Figura 4.8 – Recirculações e a dissipação de energia em escoamentos. As perdas de energia em escoamentos totalmente desenvolvidos em válvulas, cotovelos, expansões, contrações, entradas, saídas, curvas e outros tipos de encaixes são chamadas de perdas singulares ou perdas localizadas ou ainda, perdas menores. 96 A magnitude dessa dissipação de energia é diretamente proporcional à carga de velocidade do fluido. Portanto temos: onde, K ≡ coeficiente de perda ou coeficiente de resistência. Alguns valores de K podem ser observados na Tab.4.1 Tabela 4.1 – Valores do coeficiente de perda para algumas perdas localizadas. A perda de carga distribuída associada ao atrito com a parede da tubulação é avaliada pela equação de Darcy-Weisbach: onde, f ≡ fator de atrito ou coeficiente de perda de carga distribuída. O fator de atrito é uma função do tipo: f = φ (Re, rugosidade relativa) que pode ser avaliado pelos diagramas de Moody ou Rouse, Fig.4.9. 97 Figura 4.9 – Diagrama de Moody. O perfil de velocidade média no tempo em um tubo é muito sensível à magnitude da altura média da rugosidade, e. O cisalhamento laminar é significativo apenas perto da parede na subcamada laminar com espessura δv. Se a espessura é suficientemente grande, ela sobrepõe os elementos de rugosidade da parede (imperfeição superficial), de tal forma que a rugosidade tem efeito desprezível sobre o escoamento. Nessa situação, a parede do tubo é considerada hidraulicamente lisa, Fig.4.10 (a). Os tubos de plástico e de vidro são exemplos de tubos lisos. Se a subcamada laminar é relativamente fina, os elementos de rugosidade projetam-se para além dessa camada e a parede é rugosa, Fig.4.10 (b). Figura 4.10 – (a) Uma parede lisa e (b) uma parede áspera. Conclusão: 98 Exercícios Capítulo 4 – Escoamento de Fluidos Incompressíveis Ex.51 - Químico(a) de Petróleo Júnior – Fundação CESGRANRIO-PETROBRAS, Mar/2010. Ex.52 – Químico(a) de Petróleo Júnior – Fundação CESGRANRIO-PETROBRAS, Mar/2010. 99 Ex.53 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Ex.54 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 100 Ex.55 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. Ex.56 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 101 Ex.57 – Engenheiro de Equipamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Ago/2007. Ex.58 – Engenheiro(a) de Processamento Jr – CESGRANRIO-Petroquímica Suape, Jul/2009. 102 Ex.59 – Engenheiro(a) de Processamento Jr – CESGRANRIO-Petroquímica Suape, Set/2001. Ex.60 – Engenheiro(a) de Equipamento Jr (Eletrônica) – Cesgranrio-PETROBRAS, Mar/2010. 103 Ex.61 – Engenheiro de Petróleo Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Set/2001. 104 Ex.62 – Engenheiro(a) de Equipamento Jr (Mecânica)- UnB/CESPE-PETROBRAS, Mai/2005. Ex.63 – Engenheiro de Equipamento Júnior (Mecânica) - REFAP, Jul/2007. Ex.64 – Engenheiro de Equipamento Júnior (Mecânica) - REFAP, Jul/2007. 105 Ex.65 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior – CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006. Ex.66 – Engenheiro(a) Naval Júnior – CESGRANRIO-PETROBRAS, Mar/2010. 106 Ex.67 – Eng.(a) de Equipamento Jr (Terminais e dutos)-CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. Ex.68 – Engenheiro Químico Júnior - COPEL, Jun/2005. Ex.69 – Engenheiro Químico Júnior - COPEL, Jun/2005. 107 Ex.70 – Engenheiro Químico Júnior - COPEL, Jun/2005. Ex.71 – Engenheiro de Equipamento Júnior - CESGRANRIO-TERMOAÇU, Jan/2008. 108 Ex.72 – Engenheiro de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Dez/2005. Ex.73 – Engenheiro Químico – Fundação VUNESP-CETESB, Dez/2009. 109 Ex.74 – Engenheiro Químico – Fundação VUNESP-CETESB, Dez/2009. Ex.75 – Engenheiro Químico – Fundação VUNESP-CETESB, Set/2008. 110 Ex.76 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 Ex.77 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 Ex.78 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 Ex.79 – Químico(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, jun/2008. 111 Ex.80 – Químico(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, jun/2008. Ex.81 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mai/2006 Ex.82 – Eng.(a) de Equipamentos Jr (Eletrônica) – CESGRANRIO/PETROBRAS, Mar/2010. 112 Capítulo 5 Turbomáquinas 5.1 Introdução As turbomáquinas são dispositivos que fornecem ou extraem energia de um fluido que escoa por meio de impelidores rotativos ou pás. Uma turbobomba, mais comumente chamada de bomba, adiciona energia a um sistema, resultando em aumento de pressão, promovendo assim o escoamento ou o aumento de vazão. Uma turbina extrai energia de um sistema e faz sua conversão para outra forma de energia útil, geralmente a elétrica. As bombas são componentes essenciais de sistemas de tubulação projetadas para transportar líquidos. De modo similar, as turbomáquinas são chamadas sopradores, ventiladores ou compressores, ao promoverem o escoamento de ar ou outros gases em dutos. Uma turbina é uma máquina que extrai energia do escoamento de água a alta pressão, ou vapor ou ar. O modo pelo qual é feita a transformação do trabalho mecânico em energia hidráulica e o recurso para cedê-la ao fluido, aumentando sua pressão e/ou a sua velocidade permitem classificar as bombas em: • Bombas de deslocamento positivo, divididas em rotativas e alternativas; • Bombas cinéticas, divididas em: de fluxo radial (turbobombas), de fluxo axial e de fluxo misto; • Bombas especiais, como por exemplo, bomba com ejetor. Deslocamento positivo Rotativas engrenagens palhetas parafuso lobular ou de rolos elemento flexível (peristáltica) Alternativas pistão diafragma Cinéticas fluxo radial fluxo axial fluxo misto As bombas de deslocamento positivo possuem uma ou mais câmaras, em cujo interior o movimento de um elemento propulsor comunica energia de pressão ao líquido, provocando o seu deslocamento. Nas bombas alternativas, o líquido recebe a ação das forças diretamente de um pistão ou uma membrana flexível. 113 A Fig.5.1 a seguir, apresenta esquematicamente algumas bombas. (a) Bomba de engrenagens (b) Bomba lobular (c) Bomba de pistão (d) Bomba diafragma (e) Bombas cinéticas Figura 5.1 – Exemplos de bombas. 114 5.2 Turbobombas Uma turbobomba apresenta duas partes principais: um impelidor ou rotor, que impõe um movimento giratório ao líquido, e um tubo coletor, ou carcaça,que direciona o líquido para a região do rotor e transporta-o para fora sob uma pressão mais alta. A Fig.5.2 mostra uma bomba de fluxo radial típica de sucção única, em que são apresentadas a parte da carcaça que circunda o rotor, chamada de voluta e o os diferentes tipos de rotores. Figura 5.2 – Bomba de sucção única e seus componentes. 5.2.1 Cavitação A cavitação refere-se ao fenômeno observado em turbobombas (bombas centrífugas), que ocorre quando a pressão interna na bomba cai ao nível da pressão de vapor do líquido na temperatura em que se encontra, iniciando o processo de vaporização. Inicialmente formam-se pequenas bolsas, bolhas ou cavidades, que quando são transportadas através da turbobomba para regiões de maior pressão, elas colapsam rapidamente, gerando pressões localizadas extremamente altas. Essas bolhas colapsadas perto de contornos sólidos podem enfraquecer a superfície sólida, e após, repetidos colapsos, podem causar erosão, corrosão e fadiga da superfície, conforme pode ser observado na Fig.5.3. 115 Figura 5.3 – Efeito da cavitação sobre o rotor de uma bomba centrífuga. Além de provocar corrosão, desgastando, removendo partículas e destruindo pedaços dos rotores e dos tubos de aspiração junto à entrada da bomba, a cavitação se apresenta produzindo: • Queda de rendimento; • Marcha irregular, trepidação e vibração da máquina, pelo desbalanceamento que acarreta; • Ruído, provocado pelo fenômeno de “implosão”, que faz com que faz com que o líquido se precipite nas bolsas ou cavidades quando a pressão externa é superior à existente no interior das mesmas. Isso acontece de forma aleatória, sendo impossível prever todas as características com que o fenômeno irá se desenvolver. 5.2.2 NPSH (sigla em inglês: Net Positive Suction Head) A fim de caracterizar as condições para que ocorra boa “aspiração” do líquido, foi introduzida na terminologia de instalações de bombeamento a noção de NPSH, que representa a disponibilidade de energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba e que a ele permitirá atingir o bordo da pá do rotor sem ser observado o efeito da cavitação. Embora não seja comum a tradução desse termo, às vezes é possível encontrar o termo equivalente: altura positiva líquida de sucção (APLS). Como esse conceito se refere à disponibilidade de energia do líquido ao entrar na bomba, a qual depende da maneira como é projetada a instalação, o NPSH neste caso é chamado disponível. Seu valor pode ser determinado observando a Fig.5.4. 116 Figura 5.4 – Tubulação de sucção de uma bomba. Equação geral da energia entre (1) e (2): Logo: 117 De forma geral, como representado na Fig.5.5, temos para o NPSHdisponível: Figura 5.5 – Detalhes da tubulação de sucção e a determinação do NPSH disponível. Diz-se que a bomba trabalha afogada quando seu centro se acha a uma altura, hs, abaixo do nível do reservatório. Assim para que não haja o fenômeno da cavitação é necessário que: 5.3 Ponto de Operação ou de Funcionamento O ponto de operação é o ponto de intersecção determinado entre a curva característica da bomba, fornecida pelo fabricante e uma função decrescente com a vazão, e a curva de desempenho do sistema, função crescente com a vazão, conforme pode ser observado na Fig.5.6. Valor fornecido pelo fabricante da bomba 118 Figura 5.6 – Curva característica da bomba e a curva de desempenho do sistema. Na Fig.5.6, h0 representa a carga estática total do sistema. Quando a bomba opera com Q = 0 (válvula fechada), determina-se o “shut-off”, a carga máxima fornecida pela bomba. 5.4 Eficiência ou Rendimento Para o adequado entendimento dos cálculos associados ao rendimento das bombas, torna- se necessária a definição de alguns termos: • Carga útil de elevação, hA. É a energia por peso de fluido, fornecida ao líquido, pela passagem pela bomba. • Carga total de elevação, he. É a energia total por peso de fluido que o rotor fornece ao líquido. he = hA + hint Perdas hidráulicas devido ao escoamento do fluido no interior da bomba, principalmente nos mancais e dispositivos de vedação (gaxetas) 119 • Carga motriz de elevação, hm. É a grandeza que traduz o trabalho exterior por peso de fluido, que é preciso fornecer ao rotor para que se tenha a carga he. hm = he + hpass Assim é possível definir as seguintes potências: • Potência motriz, Potm É a potência fornecida pelo motor ao eixo da bomba. Este termo traduz o consumo de energia da bomba, sendo medido com freio motor (Brake Horse Power - BHP). Potm = γ Q hm • Potência de elevação, Pote É a potência hidráulica (Water Horse Power – WHP). Pote = γ Q he • Potência útil, Potu Também conhecida como pump output ou Liquid Horse Power – LHP Potu = γ Q hA Podemos definir agora, as seguintes eficiências: 1. Eficiência mecânica, ηmec 2. Eficiência hidráulica, ηhidr Trabalho resistente passivo da bomba 120 3. Eficiência global ou total, ηglobal 4. Eficiência volumétrica, ηvol Onde QL = vazão por vazamento. A Fig.5.7 apresenta os valores padrão, para as eficiências, global e volumétrica, observados em bombas rotativas e alternativas. Figura 5.7 – Curvas de desempenho para bombas de deslocamento positivo 121 5.5 Associação de bombas 5.5.1 Bombas em Paralelo Associação conforme a Fig.5.8 com o objetivo de fornecer maiores vazões. é a potência requerida de cada bomba individual. Figura 5.8 – Curvas características para bombas que operam em paralelo. 5.5.2 Bombas em Série Associação conforme a Fig.5.9 com o objetivo de atingir altas demandas de carga. é a potência requerida de cada bomba individual. 122 Figura 5.9 – Curvas características para bombas que operam em série. Capítulo 6 Análise Dimensional e Semelhança 6.1 Introdução Como pouquíssimos escoamentos reais podem ser solucionados com exatidão, usando-se apenas métodos analíticos, o desenvolvimento da mecânica dos fluidos tem dependido muito de resultados experimentais. Em geral, a solução de problemas reais envolve uma combinação de análise e informação experimental. Contudo, o trabalho experimental de laboratório é simultaneamente dispendioso e demorado. Um objetivo óbvio é obter o máximo de informações do mínimo de experiências. A análise dimensional em muitos casos auxilia a alcançar esse objetivo. Quando a realização de testes experimentais em um protótipo de tamanho real é impossível ou de custo proibitivo, o único modo viável de atacar o problema é o teste de modelos em laboratório. Entretanto, os escoamentos no modelo e no protótipo devem ser relacionados por leis de escala conhecida. 6.2 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos 123 O Teorema π de Buckingham é a teoria que organiza a metodologia para assegurar a homogeneidade dimensional. Assim, para um determinado problema físico, a variável dependente x1 pode ser expressa em termos das variáveis independentes como: x1 = f (x2, x3, ..., xn) onde n representa o número total de variáveis. Demonstra-se que existe outra função, π1 = φ (π2, π3, ..., πn), rigorosamente equivalente à anterior para o estudo do fenômeno em questão, onde
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