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Mecanica dos Fluidos

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Mecânica dos Fluidos 
 Prof. Fábio Bicalho Cano 
2	
  
	
  
 
Sumário 
 
Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais 
1.1 Introdução 05 
1.2 Fluido como Contínuo 05 
1.3 Definição de Fluido 08 
1.4 Dimensões e Unidades 12 
1.5 Viscosidade 15 
1.6 Regime Permanente e Transiente 18 
1.7 Trajetórias e Linhas de Corrente 18 
1.8 Escoamento Unidimensional 19 
1.9 Classificação dos Escoamentos 20 
Exercícios – Capítulo 1 23 
Capítulo 2 - Estática dos Fluidos 
2.1 Introdução 28 
2.2 Pressão em um Ponto 28 
2.3 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 30 
2.3.1 Variação da Pressão em um Fluido Incompressível em Repouso 32 
2.3.2 Pressões na Atmosfera (sistema gasoso) 33 
2.4 Escalas de Pressão e Manômetros 34 
2.5 Tensão Superficial 38 
Exercícios – Capítulo 2: Tensão superficial, pressão e pressão de coluna 43 
2.6 Forças sobre Áreas Submersas Planas 51 
2.7 Empuxo e Flutuação 57 
2.8 Estabilidade 58 
3	
  
	
  
2.8.1 Estabilidade Vertical 59 
2.8.2 Estabilidade à Rotação 59 
Exercícios – Capítulo 2: Força sobre Superfície submersa, empuxo e estabilidade 64 
Capítulo 3 - Análise de Escoamentos 
3.1 Introdução 67 
3.2 Análise de Escoamento na Formulação do Volume de Controle 67 
3.2.1 Equação Básica da Formulação de Volume de Controle 69 
3.2.2 Princípio da Conservação da Massa – Equação da Continuidade 69 
3.2.3 – Equação do momento Linear 71 
3.2.4 Equação do Momento Angular 74 
3.3 Análise Diferencial e Escoamentos 76 
3.3.1 Equação da Continuidade na Forma Diferencial 76 
3.3.2 Equação Diferencial do Escoamento de um Fluido – Equação de Navier-Stokes 77 
Exercícios – Capítulo 3 78 
Capítulo 4 – Escoamentos de Fluidos Incompressíveis 
 
4.1 Introdução 83 
4.2 Equação de Bernoulli 83 
4.2.1 Teorema de Torricelli 86 
4.2.2 Pressão Estática, Pressão de Estagnação e Pressão Dinâmica 87 
4.3 Equação Geral da Energia 90 
Exercícios – Capítulo 4 94 
Capítulo 5 - Turbomáquinas 
5.1 Introdução 108 
5.2 Turbobombas 110 
5.2.1 Cavitação 110 
5.2.2 NPSH (sigla em inglês: Net Positive Suction Head) 111 
4	
  
	
  
5.3 Ponto de Operação ou de Funcionamento 113 
5.4 Eficiência ou Rendimento 114 
5.5 Associação de bombas 117 
5.5.1 Bombas em Paralelo 117 
5.5.2 Bombas em Série 117 
Capítulo 6 - Análise Dimensional e Semelhança 
6.1 Introdução 118 
6.2 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos 118 
6.3 Semelhança 120 
Exercícios – Capítulo 5 e Capítulo 6 122 
7. Bibliografia 137 
8. Respostas dos Exercícios 138 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5	
  
	
  
Capítulo 1 
Conceitos Fundamentais 
 
1.1 Introdução 
 
O conhecimento e a compreensão correta da mecânica dos fluidos é extremamente 
importante em muitas áreas da engenharia. Compreender os princípios básicos e os conceitos da 
mecânica dos fluidos é essencial na análise de qualquer sistema no qual um fluido é o meio 
operante. 
Na biomecânica, o escoamento de sangue é de particular interesse. Já na meteorologia e 
na engenharia oceanográfica, a compreensão do deslocamento dos movimentos do ar e das 
correntes marítimas requer conhecimentos de mecânica dos fluidos. 
Engenheiros aeronáuticos usam seus conhecimentos de fluidos para aumentar a 
sustentação aerodinâmica e diminuir a resistência em aeronaves e para projetar motores a jato. 
Engenheiros mecânicos projetam bombas, turbinas, motores de combustão interna, 
compressores a ar, equipamentos de ar-condicionado, equipamentos de controle de poluição e 
usinas de energia baseados no correto entendimento da mecânica dos fluidos. 
Os engenheiros civis também devem usar os resultados do estudo da mecânica dos 
fluidos para compreender o transporte de sedimentos nos rios, a erosão, a poluição do ar e da 
água e para projetar sistemas de tubulações, usinas de tratamento de esgoto, canais de irrigação e 
sistemas de controle de alagamento, entre outros. 
Para os engenheiros químicos, o conhecimento dos fenômenos de transporte, é 
fundamental para o entendimento operacional das operações unitárias de separação mecânica 
(centrifugação, ciclones, elutriação, filtração, floculação, flotação e sedimentação) de operações 
energéticas (aquecimento, condensação, produção de vapor, refrigeração, resfriamento, trocador 
de calor e evaporação) e de operações de transferência de massa (absorção, adsorção, 
cristalização, destilação, extração líquido-líquido, secagem e separação por membranas). 
 
 
1.2 Fluido como Contínuo 
 
 
Na maioria das aplicações de engenharia, estamos interessados nos efeitos médios ou 
macroscópicos de muitas moléculas e não no comportamento microscópico ou molecular. São 
esses efeitos macroscópicos que geralmente percebemos e medimos. Tratamos, assim, um fluido 
6	
  
	
  
como uma substância infinitamente divisível, um contínuo, e deixamos de lado o comportamento 
das moléculas individuais, conforme a representação na Fig.1.1. 
 
 
Figura 1.1 – A energia cinética macroscópica é uma forma organizada de energia muito mais útil 
que a energia cinética microscópica desorganizada das moléculas. 
 
O conceito do contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. Este conceito é válido 
no tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais. Entretanto, ele passa a 
falhar sempre que o livre percurso médio (λ) das moléculas apresenta a mesma ordem de 
grandeza da menor dimensão significativa do problema. 
A propriedade primária usada para determinar se a idéia de contínuo é apropriada ou não 
é a massa específica, definida por: 
 
Figura 1.2 – Massa específica de um ponto. 
7	
  
	
  
Na Fig.1.2, o termo Δm é a massa contida no volume ΔV, e δV é o menor volume ao 
redor de um ponto no qual a média estatística é mantida. Assim, abaixo de δV, a idéia do 
contínuo não se aplica. 
A massa específica do ar na pressão de 101,3 kPa e na temperatura de 150C é 1,23 kg/m3. 
Para a água, o valor normalmente utilizado para a massa específica é 1000 kg/m3. 
Com a hipótese de contínuo, as propriedades do fluido podem ser adotadas e aplicadas como uma 
função contínua de x, y, z e t. Por exemplo, a massa específica pode ser escrita ρ(x,y,z,t). 
A massa específica de um fluido pode ser também expressa na forma adimensional a 
partir da gravidade específica, SG, ou da densidade relativa, definida como sendo a razão entre a massa 
específica do fluido e a massa específica da água a 4 oC, que é igual a 1000 kg/m3. A gravidade específica 
de líquidos é uma função da temperatura; para a maioria dos líquidos a gravidade específica decresce 
com o aumento da temperatura. 
Assim, por exemplo, a densidade relativa (d.r.) do mercúrio é igual a: 
 
 
 
Na indústria do petróleo a densidade relativa do óleo cru (e seus derivados) é 
normalmente determinada em termos de uma escala chamada oAPI (graus API). 
A equação para escala API é: 
 
 
O peso específico γ é definido como o peso do fluido por unidade de volume. É calculado 
através do produto da massa específica com a aceleração da gravidade. 
γ = ρ ∗ g 
8	
  
	
  
1.3 Definição de Fluido 
 
A Mecânica dos Fluidos lida com o comportamento dos fluidos em repouso e em 
movimento. 
A definição mais elementar de fluido diz que fluido é a matéria (substância) que não tem 
forma própria, assumindo portanto, o formato do recipiente, conforme observado na Fig.1.3. 
 
Figura 1.3 – Classificação elementar para fluido. 
 
Antes de se apresentar uma definição de fluido mais complexaque permite construir uma 
estrutura lógica para o desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos, deve-se definir uma tensão de 
cisalhamento (tangencial). Uma força ∆F que age em uma área ∆A pode ser decomposta em uma 
componente tangencial ∆Fs e uma componente normal ∆Fn, conforme a Fig.1.4 abaixo: 
 
Figura 1.4 – Forças em um elemento de fluido. σ ii é a tensão normal e τ ij é a tensão de 
cisalhamento. 
9	
  
	
  
A área δA é a menor área para qual a média estatística é mantida no domínio do contínuo, 
conforme pode ser observado na Fig.1.5. 
 
Figura 1.5 – Tensão normal em um ponto. 
 
A força dividida por área, na qual esta atua, é chamada de tensão. A componente normal 
da força dividida pela área é a tensão normal e a força tangencial dividida pela área é a tensão de 
cisalhamento. 
 
As Fig.1.6 e Fig.1.7 condensam as informações necessárias para o entendimento da 
notação associada às tensões. 
 
Figura 1.6 – Componentes de força e de tensão num elemento de área δAx no plano x. 
10	
  
	
  
 
Figura 1.7 – Notação para tensão. 
 
 Assim, temos como exemplo a tensão de cisalhamento τyx, originada por força tangente 
ao plano, a seguinte notação associada à representação: 
τyx 
 
 
 
Agora, podemos a definir um fluido: 
 
“Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a 
aplicação de uma tensão de cisalhamento”. 
 
Os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou vapor) nas quais a matéria existe. 
Diferentemente, para os sólidos temos: 
 
“Sólido é a matéria que se deforma quando uma tensão de cisalhamento 
lhe é aplicada, mas não continuamente”. 
 
Dessa forma, para os sólidos, temos a representação da Fig.1.8: 
PLANO DE APLICAÇÃO DA FORÇA DIREÇÃO DA FORÇA APLICADA 
11	
  
	
  
 
Figura 1.8 – Resistência à variação de forma de um sólido. 
 
 Já os fluidos, seguem o comportamento da Fig.1.9. 
 
Figura 1.9 – A tensão cisalhante causa uma deformação contínua no fluido. Elemento de fluido 
submetido a uma taxa de deformação δθ/δt. 
12	
  
	
  
A análise da estrutura molecular dos materiais revela que as moléculas de um material 
dito sólido são pouco espaçadas e estão sujeitas a forças intermoleculares intensas e coesivas. 
Esta configuração permite ao sólido manter sua forma, e lhe confere a propriedade de não ser 
deformado facilmente. Já nos fluidos, o espaçamento entre as moléculas é maior e as forças 
intermoleculares são mais fracas. Por este motivo, os fluidos podem ser mais facilmente 
deformados. 
Cabe aqui uma observação importante: 
“O fluido em contato com a fronteira sólida tem a mesma velocidade da fronteira, isto é, 
não há deslizamento entre o fluido e a fronteira. Esta é uma observação experimental e que 
tem sido comprovado independentemente do tipo de fluido e da superfície. Esta condição é 
chamada de condição de não deslizamento ou condição de não escorregamento”. 
 
 
1.4 Dimensões e Unidades 
 
Quantidades físicas requerem descrições quantitativas, quando se resolve problemas de 
engenharia. Referimo-nos a quantidades físicas como dimensões. Há quantidades que são 
consideradas dimensões fundamentais ou básicas (primárias): comprimento, massa, tempo e 
temperatura. As dimensões de todas as outras quantidades, chamadas quantidades secundárias ou 
derivadas, podem ser expressas em termos das dimensões fundamentais. As quantidades primárias 
são aquelas para as quais são estabelecidas escalas arbitrárias de medida. 
Para dar às dimensões de uma quantidade um valor numérico, um conjunto de unidades 
deve ser selecionado. A Tab.1.1 abaixo, contem as unidades do sistema internacional (SI) e do 
sistema CGS, conhecidos como sistemas métricos. 
 
Tabela 1.1 – Unidades SI e CGS. 
 
13	
  
	
  
As Tab.1.2 e Tab.1.3 apresentam as grandezas físicas e as unidades comumente utilizadas 
na Mecânica dos Fluidos. 
Tabela 1.2 – Grandezas físicas comuns da Mecânica dos Fluidos no Sistema Internacional de 
unidades. 
 
 
Tabela 1.3 - Grandezas físicas comuns da Mecânica dos Fluidos no Sistema Convencional de 
unidades dos Estados Unidos. 
 
 
Observação: 
“Todas as equações teóricas são dimensionalmente homogêneas, ou seja, as 
dimensões, do lado esquerdo e direito da equação, são iguais e todos os termos 
aditivos separáveis que compõem a equação apresentam obrigatoriamente a mesma 
dimensão”. 
14	
  
	
  
 A Tab.1.4 apresenta as dimensões e unidades diretamente associadas aos sistemas SI e 
CGS. 
 
Tabela 1.4 – Unidades e Dimensões 
 
 
 
 
15	
  
	
  
1.5 Viscosidade 
 
É fato claramente observável que o escoamento de mel de um reservatório é bem mais 
lento do que o escoamento de água do reservatório. 
Da definição de fluido, sabe-se que o elemento fluido, quando submetido a qualquer 
tensão de cisalhamento, sofre uma taxa de deformação ou taxa de cisalhamento. Desse modo, os 
fluidos podem ser classificados, de um modo geral, de acordo com a relação entre a tensão de 
cisalhamento aplicada e a taxa de deformação angular. Os fluidos, nos quais a tensão de 
cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação, são chamados fluidos 
newtonianos, enquanto nos não-newtonianos a tensão de cisalhamento não é diretamente 
proporcional à taxa de deformação. 
Na prática, o que é observado nos diferentes tipos de fluidos é o comportamento da tensão 
em relação à taxa de deformação. A Fig.1.10 apresenta o comportamento esperado para os fluidos 
newtonianos e não-newtonianos. 
 
Figura 1.10 – (a) Tensão de cisalhamento como função da taxa de deformação. (b) Viscosidade 
aparente como função da taxa de deformação. 
 
Observação: 
 
 
 
 
Viscosidade	
  aparente,	
  η	
  
16	
  
	
  
Os fluidos não-newtonianos podem ou não apresentar um comportamento dependente do 
tempo. A Fig.1.11 apresenta este comportamento. 
 
 
Figura 1.11 – (a) Curva tensão de cisalhamento por taxa de deformação. (b) Curva tensão de 
cisalhamento por tempo (efeito transiente associado aos fluidos reopético e tixotrópico) 
 
Considerando o efeito transiente da Fig.1.11(b), o fluido reopético é aquele que necessita 
de um aumento gradual na tensão de cisalhamento para manter constante a taxa de deformação. 
Na situação oposta, o fluido que requer um decréscimo na tensão de cisalhamento para manter 
constante a taxa de deformação é chamado tixotrópico. 
 
Os gases e líquidos, de uma forma geral, tendem a ter um comportamento newtoniano. 
Atenção especial deve ser dada aos líquidos compostos por longas cadeias de hidrocarbonetos, 
pois tendem a se comportar como não-newtoniano. 
 
São exemplos de fluidos não-newtonianos: 
• Fluido pseudoplástico: polietileno fundido, lama e plasma sanguíneo. 
• Fluido dilatante: amido/etileno glicol, amido/água e óxido de titânio. 
• Fluido de Bingham: maionese, pasta de dente, asfalto e chocolate. 
• Fluido tixotrópico: tintas em geral. 
 
 
17	
  
	
  
De uma forma geral, podemos escrever para a viscosidade: 
 
 
Desta relação temos a seguinte análise dimensional: 
 
 
 
 A viscosidade absoluta e a viscosidade cinemática são funções da temperatura e seguem 
um comportamento padronizado para líquidos (querosene, água, etc.) e gases (H2, ar, CO2, etc.) 
conforme observado na Fig.1.12. 
 
Figura 1.12 – Comportamento padrão observado para a viscosidade de líquidos e gases em 
função da temperatura. 
18	
  
	
  
1.6 Regime Permanente e Transiente 
Em geral as propriedades do fluido serão funções da posição e do tempo. Contudo, se as 
propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo, o 
escoamento é denominado permanente. Matematicamente, a definição de escoamentopermanente é: 
 
onde φ representa qualquer propriedade do fluido. Assim, para escoamentos permanente 
φ = φ(x, y, z). 
 Se considerarmos um escoamento transiente teremos: φ = φ (x, y, z, t). 
 
1.7 Trajetórias e Linhas de Corrente 
 
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma 
representação visual do campo de escoamento. Tal representação é provida pelas linhas de trajeto, 
de emissão ou de corrente. 
A trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes 
sucessivos, conforme observado na Fig. 1.13. 
 
 
Figura 1.13 – Trajetória de um flutuante colorido com o tempo. 
 
 
 
 A linha de corrente é a linha tangente aos vetores de velocidade das diferentes partículas 
no mesmo instante. Na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, uma vez 
que, a mesma é levantada num tempo específico. A Fig. 1.14 apresenta a concepção da linha de 
corrente. 
 
19	
  
	
  
 
 
Figura 1.14 – (a) linhas de corrente. (b) Tubo de corrente. 
 
 Podemos destacar as seguintes propriedades dos tubos de corrente: 
• Os tubos de corrente são fixos quando o regime é permanente; 
• Os tubos de corrente são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não existe passagem 
de partículas de fluido através do tubo de corrente. 
 
1.8 Escoamento Unidimensional 
 A vazão volumétrica Q de um escoamento é determinada conforme os cálculos a seguir: 
20	
  
	
  
 
1.9 Classificação dos Escoamentos 
 A Fig.1.15 a seguir, apresenta uma ampla classificação da Mecânica dos Fluidos, tendo-
se por base as características físicas observáveis dos campos de escoamento. 
 
Figura 1.15 – Classificação da mecânica dos fluidos contínuos. 
21	
  
	
  
 
O escoamento em dutos, de seção reta circular, fornece um perfil parabólico, quando o 
fluido que escoa é incompressível. O perfil de velocidade nesta situação é representado pela 
seguinte equação: 
 
 
conforme a representação da Fig.1.16: 
 
Figura 1.16 – Perfil parabólico de velocidades num tubo de seção reta circular. 
 
 Matematicamente, na situação da Fig.1.16, podemos escrever para o escoamento de um 
fluido incompressível: 
 
 
O regime de escoamento de um fluido é classificado conforme o desenvolvimento 
apresentado por Osborn Reynolds, Fig. 1.17 
22	
  
	
  
 
Figura 1.17 – Esquema simplificado da experiência de Reynolds. 
 
 
 As particularidades dos escoamentos, externo e interno, podem ser visualizadas nas 
Fig.1.18 e Fig.1.19. 
 
23	
  
	
  
 
Figura 1.18 – Esquema da formação de uma camada limite sobre uma placa. 
 
 
 
Figura 1.19 – Escoamento interno em dutos. 
Exercícios – Capítulo 1 
Ex.1 – Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior-Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez 2008 
24	
  
	
  
 
Ex.2 - Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior-Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez 2008 
 
Ex.3 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008 
 
Ex.4 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008 
25	
  
	
  
 
Ex.5 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 
 
Ex.6 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 
 
Ex.7 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 
 
Ex.8 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006 
 
Ex.9 – Engenheiro de Equipamento Júnior(Mecânica), CESGRANRIO-PETROBRAS, Set/2001 
26	
  
	
  
 
Ex.10 – Eng. de Equipo Júnior(Terminais e Dutos), CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008 
27	
  
	
  
 
 
Ex.11 – Engenheiro(a) de Equipamento Júnior, CESGRANRIO-TERMOAÇU, Jan/2008 
 
Ex.12 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Dez/2005 
28	
  
	
  
 
Ex.13 – Assessor Técnico-Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009 
 
Ex.14 – Fiscal-Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009 
 
 
 
Capítulo 2 
29	
  
	
  
Estática dos Fluidos 
 
2.1 Introdução 
 Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente, quando uma tensão tangencial 
de qualquer magnitude lhe é aplicada. 
 Em um fluido estático e homogêneo, uma partícula retém a sua identidade por todo o tempo e o 
elemento fluido não se deforma. A ausência de movimento relativo (e, por conseguinte, de deformação 
angular) implica a ausência de tensões de cisalhamento. Portanto, os fluidos em repouso suportam 
somente tensões normais. 
 
2.2 Pressão em um Ponto 
 A pressão é definida através da razão entre uma força compressiva normal, infinitesimal, 
dividida pela área infinitesimal sobre a qual ela atua. Isso define a pressão em um ponto: 
 
 Dois importantes princípios relacionados à pressão (leis de Pascal) serão relacionados a 
seguir: 
• Em um fluido confinado por fronteiras sólidas, a pressão atua perpendicularmente à 
superfície da fronteira, conforme as representações da Fig.2.1. 
 
Figura 2.1 – Direção da pressão do fluido sobre superfícies de confinamento. 
30	
  
	
  
• A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção, conforme 
a representação da Fig.2.2 
 
Figura 2.2 – Pressão agindo uniformemente em todas as direções de um pequeno volume de 
fluido. 
 Com o objetivo de demonstrar a homogeneidade da distribuição da pressão ao redor de 
um ponto, vamos considerar a Fig.2.3. 
 
Figura 2.3 – Pressão em um ponto no Fluido. Δz = 1 (comprimento unitário em z) 
 
31	
  
	
  
 Como θ é arbitrário, essa relação é válida para todos os ângulos em um ponto. 
Poderíamos ter analisado um elemento no plano xz e concluiríamos de forma semelhante que: 
Px = Pz = P 
Assim, conclui-se que a pressão no fluido é constante em um ponto, isto é, 
a pressão é uma função escalar! 
 
2.3 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 
 Quando um fluido está em repouso ou em movimento de corpo rígido, onde todas as 
partículas mantêm as mesmas posições relativas, de modo que não ocorre movimento relativo 
entre camadas adjacentes, ou seja, quando o fluido se movimenta sem deformação, de maneira 
que não existem tensões de cisalhamento. Ilustrações destes comportamentos são observadas na 
Fig.2.4. 
 
Figura 2.4 – Situações incluídas na estática dos fluidos. (a) líquidos em repouso, (b) líquidos 
com aceleração linear, (c) líquidos com aceleração centrípeta. 
 
 Dessa forma, a variação de pressão é determinada através da aplicação da segunda lei de 
Newton para o movimento, que fornece: 
• 
• 
 
Considerando a situação mais geral, ou seja, àquela referente ao movimento de corpo rígido, 
podemos considerar a representação da Fig.2.5, que apresenta um elemento de volume de fluido 
submetido a uma aceleração constante: 
 
32	
  
	
  
 
 
Figura 2.5 – Elemento de volume isolado de um fluido com aceleração constante. 
33	
  
	
  
 
2.3.1 Variação da Pressão em um Fluido Incompressível em Repouso 
 Um fluido incompressível tem a massa específica constante. 
A pressão a uma distância h abaixo da superfície livre (interface líquido-gás) de um 
fluido em repouso será determinada através da equação básica da estática dos fluidos na situação 
de repouso, ou seja, quando . Assim podemos escrever: 
34	
  
	
  
 
 
Considerando um referencial com eixo y vertical, com sentido positivo para cima, temos: 
 
• Para y = 0 (superfície livre) tem-se p = 0 (pressão manométrica); 
• Para y = – h tem-se p = p(h); 
Assim temos: 
 
Portanto: 
 
 
Esta equação é algumas vezes chamada de teorema de Stevin, e indica quea diferença de 
pressão entre dois pontos num fluido estático pode ser determinada medindo-se a diferença de 
elevação entre eles. 
2.3.2 Pressões na Atmosfera (Sistema Gasoso) 
 Para a atmosfera a massa específica é uma função da altitude, ou seja, ρ = ρ (z). A 
atmosfera pode ser dividida em quatro camadas: a troposfera, a estratosfera, a ionosfera e a 
exosfera. Como as condições mudam com o tempo e a latitude na atmosfera, com camadas mais 
p = ρ g h 
	
  
35	
  
	
  
espessas no equador e camadas mais finas nos pólos, baseamos nossos cálculos na atmosfera 
padrão, que ocorre na latitude 400. Na atmosfera padrão a temperatura na troposfera varia 
linearmente com a altitude, T(z) = T0 – αz, em que a taxa de variação α = 0,0065 K/m e 
T0 = 288 K (15 0C). Na parte da estratosfera entre 11 e 20 km, a temperatura é constante e igual a 
– 56,5 0C (vôo das aeronaves). A temperatura aumenta novamente e até atingir um máximo por 
volta de 50 km; daí ela decresce até a margem da ionosfera. A Fig.2.6 apresenta estas variações 
observadas na atmosfera padrão. 
 
Figura 2.6 – Atmosfera padrão. 
 
 A variação de pressão na troposfera (onde se observa uma variação linear da temperatura 
com a altitude), pode ser avaliada pelo desenvolvimento a seguir. 
 
 p = ρ R T (situação de gás ideal) 
 dp = – ρ g dz (camada gasosa estagnada) 
Portanto: 
 
 
36	
  
	
  
⇒ 
 
⇒ 
 
Na estratosfera, na região entre 11 e 20 km, onde a temperatura é constante temos: 
 
 
⇒ 
 
⇒ 
 
 
2.4 Escalas de Pressão e Manômetros 
A pressão absoluta chega a zero quando um vácuo ideal é atingido, ou seja, quando não 
resta mais nenhuma molécula em um determinado espaço. Dessa forma, uma pressão absoluta 
negativa é impossível. Uma segunda escala é definida medindo pressões relativas à pressão 
atmosférica local. Essa pressão é chamada pressão manométrica (ou pressão relativa, ou ainda 
pressão efetiva). A Fig.2.7 apresenta um paralelo entre essas duas escalas de pressão. 
 
37	
  
	
  
 
Figura 2.7 – Pressão manométrica e pressão absoluta. 
 
 
 
 
 
 
Os dispositivos utilizados para medir pressão são denominados manômetros. Os 
manômetros são chamados elementos mecânicos para a medição direta de pressão. 
A pressão atmosférica é medida através do barômetro, no qual a altura de uma coluna de 
mercúrio é medida. Assim é comum chamar a pressão atmosférica de pressão barométrica. 
Os manômetros mais comuns utilizados nas medidas de pressão são os manômetros 
metálicos ou de Boudon e os manômetros diferencias com tubo em U. As Fig.2.8 e Fig.2.9 
ilustram as características dos manômetros de Bourdon. 
 
 
Figura 2.8 – Princípio de funcionamento do manômetro de Bourdon. 
Pabsoluta = Patmosférica local + Pmanométrica 
 
38	
  
	
  
 
Figura 2.9 – Tipos de tubos de Bourdon. 
 
 
 Os manômetros do tipo tubo em “U” são instrumentos que utilizam colunas de líquidos 
para medir pressão. Dessa forma, as seguintes regras são úteis para a obtenção da equação 
manométrica de um sistema com múltiplos líquidos: 
 
Regra 1 - Quaisquer dois pontos na mesma elevação em volume contínuo do mesmo 
líquido estão à mesma pressão; 
 
Regra 2 - A pressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido. 
 
 
 
39	
  
	
  
Exemplo ilustrativo: Montar a equação manométrica para o manômetro com tubo em U a seguir. 
 
Procedimento: 
1) Marcar os pontos de interesse e as interfaces; 
2) Traçar paralelas através das interfaces, buscando marcar os pontos de mesma pressão; 
3) Ordenar os todos os pontos marcados numa ordem crescente; 
4) Relacionar, através do teorema de Stevin, o ponto com o ponto anterior; 
5) Realizar o somatório de todas as equações obtidas no item 4. 
P1 = PH2O 
P2 = P1 + ρH2O g 0,250 (adotando o SI) 
P3 = P2 
P4 = P3 – S1 g 0,275 
P5 = P4 – ρAR g h (sistema gasoso – pressão de coluna desprezível. ρAR(150C,1atm) = 1,23 kg/m3) 
 P6 = P5 
P7 = P6 + S2 g 0,150 
Póleo = P7 
Póleo = PH2O + ρH2O g 0,250 – S1 g 0,275 + S2 g 0,150 
+ 
40	
  
	
  
 
2.5 Tensão Superficial 
 A tensão superficial, geralmente representada pela letra σ, é uma grandeza física 
associada às forças atrativas entre as moléculas que compõem a matéria. Esta propriedade é, 
geralmente observada nas interfaces líquido-gás, como resultado de um desequilíbrio de forças 
intermoleculares, conforme pode ser observado na Fig.2.10. 
 
Figura 2.10 – Visão no nível molecular das forças intermoleculares agindo em uma molécula na 
superfície de um líquido comparada com as do interior. 
 
 O trabalho, δw, necessário para modificar a área, S, de uma amostra, de uma grandeza 
infinitesimal, dS, é proporcional a dS, o que permite escrever: 
δw = σ dS 
 
 
 A análise dimensional da equação acima fornece: 
 
 Os líquidos tendem a adotar formas que tornam mínima a sua superfície, de modo que o 
número máximo de moléculas fica no interior da fase líquida, envolvidas pelas moléculas 
vizinhas e com elas interagindo. As gotículas de líquido, por isso, tendem a ser esféricas, pois a 
esfera é a forma geométrica que apresenta menor razão superfície/volume. 
σ = constante de proporcionalidade ≡ “TENSÃO” SUPERFICIAL 
41	
  
	
  
 Deve-se observar que a força devido à tensão superficial é determinada através do 
produto da tensão superficial pelo comprimento total da interface líquido-gás que limita a área 
que sofrerá a variação de forma. Este conceito é apresentado na Fig. 2.11. 
 
Figura 2.11 – Modelo utilizado para o cálculo do trabalho de deformação de uma película líquida 
quando um fio metálico de comprimento, l, é erguido da superfície de um líquido e arrasta o 
líquido até uma altura, h. 
 
 O efeito da tensão superficial pode ser avaliado analisando os diagramas de corpo livre da 
metade de uma gotícula e metade de uma bolha, conforme ilustrado na Fig. 2.12. 
 
 
Figura 2.12 – Forças internas em (a) uma gotícula e (b) uma bolha. 
42	
  
	
  
 Conforme a Fig.2.12, a força da pressão, pπR2, na gotícula, equilibra a força da tensão 
superficial em volta da circunferência. Então, 
pπR2 = 2πRσ 
 
Já para a bolha, a força da pressão é equilibrada pelas forças da tensão superficial nas duas 
circunferências. Assim, 
pπR2 = 2 (2πRσ) 
 
 
Uma conseqüência da tensão superficial é a capilaridade, que é a subida ou descida de um 
líquido contido em um tubo de pequenas dimensões. Há duas situações possíveis: uma na qual o 
fluido é dito molhar a superfície, e outra na qual o fluido não molha a superfície, tudo 
dependendo do ângulo de contato, θ, que a superfície líquida faz com a superfície base e a fase 
gasosa, conforme ilustrado na Fig.2.13. 
 
Figura 2.13 – Ângulo de contato, θ. (a) gota de líquido molha a superfície do sólido, 
0o < θ < 90º. (b) gota de líquido não molha a superfície do sólido, 90º < θ < 180º. 
 
43	
  
	
  
 Em tubos capilares, o ângulo de contato θ, que a superfície líquida faz com a superfície 
base e a fase gasosa, pode ser representado conforme a Fig.2.14. 
 
Figura 2.14 – Ângulo de contato com líquido que molha a superfície do tubo capilar. 
 
 A Fig.2.15 ilustra a formação do menisco e o comportamento capilar de líquidos que 
molham a superfície capilar, por exemplo, a água, onde se observa uma elevação, e de líquidos 
que não molham a superfície capilar, por exemplo, o mercúrio, onde se observa uma depressão. 
 
Figura 2.15 – Ângulo de contato em tubo capilar com observação da elevação e da depressão.Configuração de menisco em água (θ < 900) e em mercúrio (θ > 90º) 
 
44	
  
	
  
 A Fig.2.16 indica a elevação de um líquido em um tubo capilar de vidro limpo devido à 
tensão superficial. O líquido tem um ângulo de contanto β (= θ, ângulo oposto pelo vértice) com 
o tubo de vidro. Experimentos têm mostrado que este ângulo, tanto para água como para a 
maioria dos líquidos, em tubo de vidro limpo, é zero. Há também casos no qual este ângulo de 
contato é maior que 900 (por exemplo, mercúrio); tais líquidos têm queda capilar. Se h é a 
elevação capilar, D, o diâmetro, γ, o peso específico do líquido e σ, a tensão superficial, h pode 
ser determinado igualando componente vertical da força de tensão superficial ao peso da coluna 
de líquido, na situação de equilíbrio: 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Elevação em tubo capilar. 
 
 
 
 
 
45	
  
	
  
Exercícios Capítulo 2 - Tensão 
superficial, pressão e pressão de coluna 
 
 
Ex.15 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, Maio/2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46	
  
	
  
Ex.16 – Engenheiro(a) de Equipamentos Jr - Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
 
Ex.17 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
 
 
 
 
 
Ex.18 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
47	
  
	
  
Ex.19 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
Ex.20 – Engenheiro(a) de Equipamento Jr (Mecânica)- UnB/CESPE-PETROBRAS, Mai/2005. 
 
 
48	
  
	
  
Ex.21 – Engenheiro de Equipamento Júnior (Mecânica) - REFAP, Jul/2007. 
 
Ex.22 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior – CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006. 
 
Ex.23 – Eng.(a) de Equipamento Jr (Terminais e dutos)-CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 
 
49	
  
	
  
Ex.24 – Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 
 
Ex.25 – Engenheiro de Equipamento Júnior -CESGRANRIO-TERMOAÇU, Jan/2008. 
 
Ex.26 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
 
50	
  
	
  
Ex.27 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
 
Ex.28 – Assessor Técnico - Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
 
Ex.29 – Assessor Técnico - Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
 
51	
  
	
  
Ex.30 – Engenheiro(a) de Processamento Jr – CESGRANRIO-Petroquímica Suape, Jul/2009. 
 
Ex.31 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 
 
Ex.32 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mai/2006 
 
52	
  
	
  
Ex.33 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mai/2006 
 
Ex.34 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Set/2001 
 
53	
  
	
  
2.6 Forças sobre Áreas Submersas Planas 
 A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas submersas é um problema 
frequente da estática dos fluidos. Essas forças estão associadas à distribuição de pressões nos 
fluidos. Os reservatórios da Fig.2.17 possuem paredes planas típicas submetidas a pressões que 
variam de zero na superfície do fluido (pressão manométrica) até um valor máximo no fundo do 
reservatório. 
 
Figura 2.17 – Paredes planas retangulares. 
 
 A força real que atua na parede dispõe-se sobre a mesma de forma distribuída, mas 
analiticamente, este efeito distribuído é equivalente ao efeito de uma única força resultante, FR, 
atuando sobre um único ponto chamado centro de pressão. Assim: 
 (I) 
onde é a pressão média e A, a área total da parede. 
 O fato da pressão variar linearmente com a profundidade, nos permite escrever: 
 (II) 
onde γ é o peso específico do fluido e d é a profundidade total do reservatório. 
 Substituindo (II) em (I) temos: 
 
54	
  
	
  
 Analisando as Fig.2.18 e Fig.2.19, verificamos que o centro de pressão, onde a força 
resultante FR atua, localiza-se a em relação ao fundo do reservatório. 
 
 
Figura 2.18 – Parede retangular vertical 
 
 
 
Figura 2.19 – Parede inclinada retangular 
 
 
De forma geral, uma força resultante pode ser obtida através da integração da distribuição de 
pressões sobre a superfície plana submersa. Para exemplificar, vamos considerar a superfície 
plana submersa apresenta na Fig.2.20, a seguir. 
55	
  
	
  
 
Reservatório de fluido com comporta 
 
Figura 2.20 – Procedimento geral para cálculo de forças que atuam sobre áreas planas 
submersas. 
 
 Para uma pequena área dA na superfície, existe uma força dF atuando 
perpendicularmente, gerada pela pressão do fluido P. 
 Assim: 
dF = P (dA) = γ h (dA) 
56	
  
	
  
 Com a superfície é inclinada de um ângulo θ , é conveniente trabalhar no plano da 
superfície, utilizando dessa fora, a cota y para indicar a posição sobre a superfície em qualquer 
profundidade h. 
h = y sen θ 
∴ dF = γ (y sen θ) (dA) 
 
 A magnitude da força resultante sobre uma determinada superfície de área A, é 
matematicamente calculada por: 
 
 
 Considerando o centróide, centro geométrico da área A em questão, pode-se definir: 
 
onde, LC é a distância compreendida entre a superfície livre do fluido e o centro geométrico 
(centróide) da área A, medida ao longo da superfície inclinada. 
∴ FR = γ senθ LC A 
Mas, LC senθ = dC (onde dC = distância vertical da superfície livre do fluido até o centróide) 
⇒ FR = γ dC A = PC A 
sendo, PC é a pressão do fluido na profundidade do centróide (centro geométrico da área). 
 A força resultante não age, em geral, no centróide. A força resultante atua no centro de 
pressão, que é o ponto na superfície onde a força resultante age reproduzindo o mesmo efeito da 
força distribuída de pressão sobre a superfície como um todo. Este efeito é avaliado em função 
do momento de força considerando eixo S. 
 Pode-se verificar ainda na Fig.2.20 que o momento da força dF é escrito como: 
dM = dF y 
 
57	
  
	
  
Sabendo que dF = γ (y sen θ) (dA), temos: 
dM = y [ γ (y senθ) dA] = γ senθ y2 dA 
Agora, o momento da força resultante FR que atua no centro de pressão, em relação ao eixo S, 
será dado por: 
FR LP = γ senθ y2dA = γ senθ y2dA 
onde LP é a distância compreendida entre a superfície livre do fluido e o centro de pressão da 
área A, medida ao longo da superfície inclinada. 
Pode-se agora, a partir da mecânica, definir o segundo momento de inércia I da área 
total A, pela expressão: 
I = y2 dA 
∴ FR LP = γ senθ ( I ) 
 
Como FR = γ dC A = γ senθ (LC A) temos: 
 
 Através do teorema da transferência de momento de inércia da mecânica pode-se 
escrever: 
I = IC + A LC2 
onde, IC é o segundo momento de inércia da área de interesse A avaliado sobre seu eixo 
centroidal que passa pelo centróide da superfície plana submersa. Assim, 
 
 Reescrevendo a equação acima temos: 
 
 
58	
  
	
  
 
 Na Fig.2.20, o segundo momento da área A da comporta, com configuração retangular, 
em relação ao eixo cc que passa pelo centróide, é avaliado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para outras configurações de áreas submersas temos para o segundo momento de inércia 
da área os valores da Tab.2.1, a seguir. 
 
Tabela 2.1 – Valores de IC para diversas configurações de interesse na engenharia. 
 
 
59	
  
	
  
 
2.7 Empuxo e Flutuação 
 Um corpo que está imerso num fluido ou flutuando na superfície livre de um líquido está 
submetido a uma força que tem origem na distribuição de pressões ao redor do corpo, chamada 
de força de empuxo, FE. A força de empuxo num corpo submerso é dada pela diferença entre a 
componente vertical da força originada peladistribuição de pressões na parte inferior do corpo e 
a componente vertical da força originada pela distribuição de pressões na parte superior do 
corpo. Vamos considerar a Fig.2.21 a seguir. 
 
Figura 2.21 – Força de empuxo gerada em corpo cilíndrico, num fluido em repouso, em função 
da distribuição de pressões na partes inferior e superior deste corpo. 
 Na Fig.2.21, o corpo submerso, no qual iremos calcular a força de empuxo, é um cilindro 
com área da base A e altura h. Sua massa específica é ρc e está submerso em um líquido de 
massa específica ρ . Assim a força resultante vertical exercida sobre o corpo pela distribuição de 
pressão será dada por: 
FE = (p1 – p2) A 
Mas temos que: 
p1 – p2 = ρ g h 
Portanto: 
60	
  
	
  
FE = ρ g h A 
Seja ∀ o volume do corpo submerso, 
∀ = A h 
Logo: 
FE = ρ g ∀ 
 
 A equação matemática acima expressa o princípio de Arquimedes: 
“Num corpo total ou parcialmente imerso num fluido, age uma força vertical 
de baixo para cima, chamada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do 
volume de fluido deslocado”. 
 
Vamos agora considerar algumas definições: 
• Corpo flutuante ou flutuador – qualquer corpo que permanece em equilíbrio quando 
estiver parcial ou totalmente imerso num líquido; 
• Volume de carena – é o volume de fluido deslocado pela parte imersa do flutuador. O 
peso do volume de carena é igual à intensidade do empuxo; 
• Centro de carena ou centro de empuxo – é o ponto de aplicação do empuxo. Se o 
volume for homogêneo, o centro de carena coincidirá com o centro de gravidade do 
volume de carena. 
 
2.8 Estabilidade 
 As forças que agem num corpo total ou parcialmente submerso em repouso são eu peso, 
cujo ponto de aplicação é o centro de gravidade do corpo, e o empuxo cujo ponto de aplicação é 
o centro de carena. Torna-se evidente que, para que um flutuador esteja em equilíbrio, é 
necessário que essas duas forças tenham a mesma intensidade, a mesma direção e sentidos 
opostos. Vamos agora analisar a estabilidade desse equilíbrio. 
 Considere um corpo em equilíbrio. Aplique uma força de forma que esse corpo desloque 
em relação à posição inicial. Retirando esta força, três comportamentos reativos são esperados 
para esse corpo: 
61	
  
	
  
1o) O corpo retorna à posição de equilíbrio inicial. Diz-se então que o equilíbrio é estável. 
2o) O corpo afasta-se cada vez mais da posição inicial. Diz-se que o equilíbrio é instável. 
3o) O corpo permanece na nova posição, sem retornar, mas sem se afastar mais da posição 
inicial. Diz-se que o equilíbrio é indiferente ou neutro. 
 A análise da estabilidade no caso de flutuadores reduz-se à estabilidade vertical e de 
rotação, pois para os deslocamentos horizontais o equilíbrio é indiferente. 
 
2.8.1 Estabilidade Vertical 
 Dois casos são possíveis: 
Caso 1 – Corpo totalmente submerso em equilíbrio 
 Se o corpo estiver totalmente submerso em equilíbrio, o volume deslocado é sempre o 
mesmo. Qualquer que seja o deslocamento, sempre existirá o equilíbrio, de forma que é um caso 
de equilíbrio indiferente ou neutro. 
Caso 2 – Corpo parcialmente submerso em equilíbrio 
 Nesse caso, ao se deslocar o corpo para baixo, o volume de carena e o empuxo 
aumentam, levando a uma situação em que FE > W. Ao se retirar a força que causou o 
deslocamento, o flutuador sobe até que haja uma diminuição no volume de carena que leve 
novamente a FE = W. Se o corpo for deslocado para cima, o volume de carena diminui, de forma 
que FE < W. Ao se retirar a força aplicada, o corpo desce até que FE = W. Nota-se então, que em 
relação aos deslocamentos verticais, os flutuadores têm equilíbrio estável. 
 
2.8.2 Estabilidade à Rotação 
 Vamos supor agora, um flutuador obrigado a abandonar a sua posição de equilíbrio, por 
uma pequena força que o faça girar de um pequeno ângulo em torno de um eixo de rotação. 
Nessa situação, devemos examinar dois casos com comportamentos diferentes. 
Caso 1 – Corpo totalmente submerso em equilíbrio 
 Seja um corpo totalmente submerso em equilíbrio, cujo centro de gravidade esteja abaixo 
do centro de carena, conforme a Fig.2.22. 
62	
  
	
  
 
 
Figura 2. 22 – Estabilidade à rotação: Equilíbrio estável em que se observa o momento 
restaurador, onde CC é o centro de carena e CG o centro de gravidade 
 Se o corpo na Fig.2.22 (a), girar de um pequeno ângulo, o CG e o CC permanecem 
inalterados, mas será criado um momento restaurador, Fig.2.22 (b), que tende a girar o corpo no 
sentido contrário ao da rotação. O corpo tenderá novamente à posição inicial (a), sendo, portanto, 
o equilíbrio estável. 
 Se o CG estiver acima do CC, conforme observado na Fig.2.23, o momento conjugado 
criado pelo empuxo e pelo peso tenderá a girar mais o corpo, de forma que o mesmo se afastará 
mais da posição de equilíbrio inicial. Nesse caso, o equilíbrio será instável. 
 
Figura 2.23 – Estabilidade à rotação: Equilíbrio instável. 
 
 
 
Observa-se que em um corpo totalmente submerso em equilíbrio, 
para que haja a estabilidade à rotação, o centro de gravidade 
(CG) deverá estar abaixo do centro de carena (CC). 
63	
  
	
  
 Em um corpo homogêneo em equilíbrio, totalmente submerso num fluido homogêneo, o 
centro de gravidade do corpo coincide com o centro de carena. Dessa forma, o corpo estará 
sempre em equilíbrio indiferente ou neutro. 
 A Fig.2.24, apresenta uma representação de todas as condições de estabilidade de um 
corpo submerso. 
 
Figura 2.24 – Estabilidade de um corpo submerso: (a) equilíbrio instável; (b) equilíbrio neutro; 
(c) equilíbrio estável. 
 
Caso 2 – Corpo parcialmente submerso em equilíbrio 
 Nesse caso, a análise não é tão simples como no caso de corpos totalmente submersos. É 
óbvio que se o centro de gravidade (CG) estiver abaixo do centro de carena (CC) termos a 
garantia do equilíbrio estável. Entretanto essa situação não é necessária. 
 Algumas vezes, a rotação causa uma variação no formato do volume de carena, o que não 
acontece com o corpo totalmente submerso, o que cria um deslocamento no centro de carena, em 
relação ao corpo, tal que o equilíbrio pode ser estável mesmo que o CC esteja abaixo do CG. 
 
64	
  
	
  
Nota-se que se um corpo estiver totalmente submerso, o volume deslocado com a rotação 
é constante, de forma que o CC acompanha o movimento do corpo, mantendo-se fixo em relação 
a ele. Isso, como já vimos, quando o CC está abaixo do CG, causa o aparecimento de um 
momento conjugado a favor da rotação, provocando um afastamento da posição de equilíbrio. 
Estando o corpo parcialmente submerso, conforme observado na Fig.2.25, a rotação em 
torno do eixo O, promove uma alteração no volume de carena, de ABCD, inicialmente, para 
LICB, com conseqüente deslocamento do centro de carena para a esquerda, em CC’. Assim o 
corpo permanece em equilíbrio estável. 
 
Figura 2.25 – Copo parcialmente submerso, com CC abaixo do CG. 
 
 Nota-se ainda na Fig.2.25, que o sentido do momento conjugado pode ser analisado pela 
posição do ponto M, chamado de metacentro, que é a interseção do eixo de simetria do 
flutuador (eixo O) com a direção do empuxo. Assim temos: 
• Se o ponto M estiver acima do CG, o momento conjugado será contrário à 
rotação, e o equilíbrio será estável; 
• Se o ponto M estiver abaixo do CG, o momento conjugado será a favor da 
rotação, e o equilíbrio será instável; 
• Se o ponto M coincidir com o CG, o equilíbrio será indiferente ou neutro. 
 
 
 
 
65	
  
	
  
A altura metacêntrica é defina como a distância do CG até o ponto de interseção da 
força de empuxo, M. Se é positivo, o equilíbrio é estável e se for negativo, o equilíbrio éinstável, como pode ser observado na Fig.2.26. 
 
Figura 2.26 – Estabilidade de um corpo flutuante: (a) posição de equilíbrio; (b) posição 
girada, com indicação do comprimento metacêntrico . 
 
 Para o caso de navios em flutuação, geralmente o centro de gravidade está localizado 
acima do centro de empuxo, de maneira que há um limite de inclinação para a existência de um 
momento de força restaurador. Para ângulos de inclinação maiores que esse limite, cria-se um 
momento de força que faz o navio emborcar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66	
  
	
  
Exercícios Capítulo 2 – Força sobre 
Superfície submersa, empuxo e estabilidade 
Ex.35 - Engenheiro(a) de Equipamentos Jr - Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
Ex.36 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
67	
  
	
  
Ex.37 – Engenheiro de Petróleo Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Set/2001. 
 
Ex.38 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 
 
68	
  
	
  
Ex.39 – Engenheiro de Processamento Júnior, CESGRANRIO/TERMOAÇU, Jan/2008. 
 
Ex.40 - Engenheiro de Processamento Júnior, CESGRANRIO/TERMOAÇU, Jan/2008. 
 
Ex.41 – Químico(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, jun/2008. 
 
69	
  
	
  
Capítulo 3 
Análise de Escoamentos 
 
3.1 Introdução 
 No estudo de movimento dos fluidos são aplicadas três leis físicas fundamentais: 
1ª) Princípio da conservação da massa; 
2ª) Segunda lei de Newton para o movimento; 
3ª) Princípio da conservação da energia. 
 
3.2 Análise de Escoamento na Formulação do Volume de Controle 
 No estudo da mecânica dos fluidos a abordagem de sistema, que consiste em uma 
quantidade de matéria definida e identificada, se torna, em muitas situações, inadequada, porque 
geralmente um sistema fluido se deforma de tal maneira ao longo do escoamento que deixa de 
ser identificável. Assim, o método mais adequado para análise dos escoamentos é a formulação 
de volume de controle. 
 Vejamos algumas definições: 
• Volume de controle – região arbitrária, no espaço, através da qual o fluido escoa. 
• Superfície de controle – é a superfície do contorno geométrico do volume de controle, 
que pode ser real ou imaginária, indeformável ou deformável, estacionária ou em 
movimento, conforme a conveniência do problema a ser solucionado. 
A Fig.3.1 apresenta uma superfície de controle adequada para a análise de um escoamento no 
interior de dutos. 
 
Figura 3.1 – O volume de controle e sua superfície de controle 
70	
  
	
  
 A vazão Q é o volume de fluido que escoa através da seção por unidade de tempo. De 
forma geral, conforme a representação da Fig.3.2, a vazão é determinada pela integral: 
 
Figura 3.2 – Escoamento através de um elemento de área dA circular de uma seção de uma 
superfície de controle 
 
 Já a vazão mássica, , será determinada por: 
 
 Para um escoamento com distribuição de velocidade uniforme na seção teremos para a 
vazão volumétrica e para a vazão mássica: 
 
 
71	
  
	
  
onde é a componente da velocidade de escoamento na direção normal à seção e A é a área da 
seção. 
3.2.1 Equação Básica da Formulação de Volume de Controle 
 Seja B uma grandeza extensiva genérica e β a grandeza intensiva específica 
correspondente. Então para o volume de controle temos: 
 
 O balanço da propriedade extensiva B acima, é escrito matematicamente como: 
 
 
3.2.2 Princípio da Conservação da Massa – Equação da Continuidade 
 Como no sistema a quantidade de matéria é definida e identificada, o princípio da 
conservação da massa estabelece: 
 
Temos ainda que: B = M e β = 1. 
Portanto podemos escrever: 
 
 
72	
  
	
  
Essa equação é chamada equação da continuidade na foram integral e representa 
matematicamente um balanço de massa para o volume de controle considerado. 
 
A equação da continuidade pode assumir as formas particulares a seguir. 
a) Em regime permanente. 
No regime permanente, as propriedades do fluido e as características do escoamento 
ficam invariantes com o tempo, ou seja, qualquer derivada em relação ao tempo é nula, de forma 
que a equação da continuidade é escrita como: 
 
b) Em escoamento permanente e incompressível 
Em regime permanente e incompressível não existe a variação temporal e a massa 
específica é constante, de maneira que a equação da continuidade fica reduzida a: 
 
 Para exemplificar, vamos aplicar a equação da continuidade ao volume de controle da 
Fig.3.3 na seguinte situação: 
• Regime permanente; 
• Escoamento com propriedades uniformes nas seções transversais; 
• Duto com parede rígida e impermeável. 
73	
  
	
  
 
Figura 3.3 – Esquema de um escoamento num duto redutor com seção circular. 
 
 Como a parede do duto é impermeável, não há fluxo de massa através da seção (3) da 
superfície de controle ( ), ficando a equação da continuidade para o problema: 
 
Escrita como: 
 
Fornecendo finalmente o seguinte resultado: 
ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2 
Que para fluido incompressível fornece: 
V1 A1 = V2 A2 = Q = constante 
 
74	
  
	
  
3.2.3 – Equação do momento Linear 
 
 
Seja a grandeza extensiva genérica do sistema B igual à quantidade de momento linear e 
β a grandeza específica correspondente. Assim temos: 
Bsistema = m e 
 
Portanto: 
 
ou seja: 
 
 
Para exemplificar a aplicação da expressão acima, vamos considerar a Fig.3.4 com o 
objetivo de determinar a força exercida pelo escoamento do fluido, em regime permanente, sobre 
o duto redutor curvo. 
75	
  
	
  
 
Figura 3.4 – Esquema de um escoamento num tubo redutor curvo. 
Considerando as hipóteses: 
• regime permanente, 
• escoamento com perfis uniformes nas ecoes transversais, e 
• duto com parede impermeável, 
podemos aplicar para este escoamento o seguinte equacionamento: 
 
 As forças FD,x e FD,y são as componentes da força resultante , que representa a força 
total exercida pela parede do duto sobre o fluido dentro do volume de controle, devido às 
distribuições de tensões normais e cisalhantes, projetadas nas direções x e y, respectivamente. 
 Como o escoamento tem propriedades uniformes nas seções transversais temos: 
76	
  
	
  
 
 3.2.4 Equação do Momento Angular 
 A segunda lei de Newton para o movimento de um sistema em relação a um referencial 
inercial é escrita como: 
 
onde é o momento linear total (quantidade de movimento) do sistema. 
 Em algumas situações é mais conveniente trabalhar com torques (momentos de força) ao 
invés de força. Assim temos: 
 
77	
  
	
  
onde é o vetor posição do ponto de aplicação da força resultante em relação à origem do 
referencial inercial. 
 Da matemática podemos escrever: 
 
Como é a velocidade e , o momento linear, o segundo termo, do lado direito, da 
equação acima, é zero. Portanto: 
 
 Logo a equação geral de uma propriedade extensiva , momento angular, será dada por: 
 
Ou seja, 
 
 Assim como exemplo, o torque (momento de força) transmitido por um jato livre de água 
a turbina de Pelton, Fig.3.5, será quantificado, no regime permanente, por: 
 
78	
  
	
  
Figura 3.5 – Esquema simplificado de uma turbina de Pelton com detalhe da incidência do jato 
de água sobre uma pá, tendo os jatos desviados vazão Q/2. 
 Como , a equação do momento angular é escrita na forma: 
 
 O rotor possui uma velocidade angular ω, de maneira que as pás se movem com 
velocidade linear VP dada por VP = ω R, sendo ainda a velocidade do jato VJ. Considerando a 
velocidade relativa Vr, dada por: Vr = VJ – VP = VJ – ω R, podemos escrever:Essas expressões permitem avaliar finalmente o torque transmitido pelo jato livre de água 
para a turbina de Pelton com sendo igual a: 
Mjato = – Meixo = R (VJ – ωR) (1 + cos θ) ρ Q 
3.3 Análise Diferencial e Escoamentos 
 As equações diferenciais possibilitam a realização de um estudo mais detalhado dos 
escoamentos, ou seja, permitem a determinação das distribuições das grandezas intensivas de 
interesse. 
 
3.3.1 Equação da Continuidade na Forma Diferencial 
 O teorema da divergência de Gauss permite escrever: 
 
79	
  
	
  
onde: S é a superfície que envolve o volume , e é uma grandeza vetorial. 
 A equação da continuidade é escrita como: 
 
Do teorema de Gauss temos: 
 
 Portanto podemos escrever: 
 
 Como o VC é arbitrário, para que a integral acima seja sempre nula, devemos impor que: 
 
 A equação acima é a equação da continuidade na forma diferencial. 
 Alguns casos particulares da equação da continuidade na forma diferencial são 
observados para as seguintes situações: 
a) Escoamento incompressível (ρ = cte) 
 
b) Escoamento em regime permanente 
 
80	
  
	
  
 
3.3.2 Equação Diferencial do Escoamento de um Fluido – Equação de Navier-Stokes 
 A equação diferencial de o movimento para o caso de escoamento incompressível, 
laminar e com viscosidade constante é chamada de equação de Navier-Stokes e é escrita como: 
 
onde: , é o operador denominado derivada substantiva ou derivada material ou 
ainda derivada hidrodinâmica, significando que a taxa de variação temporal é calculada 
conforme o observador se move com a substância. 
Para o caso de escoamento ideal, onde não são considerados os efeitos viscosos, a 
equação de Navier-Stokes é escrita como: 
 
Essa equação é conhecida como equação de Euler. 
 
Exercícios Capítulo 3 – Análise de 
Escoamentos 
Ex.42 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
81	
  
	
  
 
Ex.43 - Engenheiro de Petróleo Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Set/2001. 
82	
  
	
  
 
Ex.44 - Engenheiro(a) de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 
 
 
 
Ex.45 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
83	
  
	
  
 
Ex.46 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.47 – Fiscal Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
84	
  
	
  
 
Ex.48 – Assessor Técnico-Química, IESES-CONFEA/CREA, Out/2009. 
 
Ex.49 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 
85	
  
	
  
 
 
Ex.50 - Engenheiro(a) de Equipamentos Jr - Mecânica, UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
Capítulo 4 
86	
  
	
  
Escoamentos de Fluidos 
Incompressíveis 
 
4.1 Introdução 
 Todos os fluidos reais, quando movimentados, possuem viscosidade. Entretanto, em 
muitos casos de escoamento é razoável desprezar os efeitos viscosos. Neste caso, há somente 
tensões normais atuando nos fluidos, a qual é igual ao valor negativo da pressão termodinâmica. 
 
4.2 Equação de Bernoulli 
 No escoamento sem atrito de um elemento de fluido através de uma tubulação podemos 
considerar, conforme a Fig.4.1, três formas de energia ao aplicarmos o princípio da conservação 
de energia: 
 
Figura 4.1 – elemento de fluido em uma tubulação. 
 
• Energia potencial: Ep = m g z = w z; w = m g ≡ peso do elemento de fluido. 
 
• Energia cinética: 
 
• Energia de escoamento, Ee, (energia de pressão ou trabalho de escoamento). Essa 
energia tem relação com a quantidade de trabalho necessário para mover o elemento de 
fluido através da seção contra uma pressão p, conforme observado na Fig.4.2. 
87	
  
	
  
 
Figura 4.2 – Energia de escoamento. 
 Trabalho = p A L = p ∀ 
w = m g = ρ ∀ g = γ ∀ 
∴ 
 
Assim, para o escoamento genérico, sem atrito da Fig.4.3, podemos escrever: 
 
 
Figura 4.3 – Elemento de fluido utilizado para deduzir a equação de Bernoulli. 
88	
  
	
  
 Pelo princípio da conservação de energia: 
Etotal = Ee + Ec + Ep = constante 
 Portanto: 
Ee (1) + Ec (1) + Ep (1) = Ee (2) + Ec (2) + Ep (2) 
 
 
 
Dividindo por w temos: 
 
 
Equação de Bernoulli 
Onde: 
 
 
 
 
# Condições para aplicação da equação de Bernoulli: 
• Escoamento em regime permanente; 
• Escoamento incompressível; 
• Escoamento não viscoso; 
• Escoamento onde não se observa a transferência de calor; 
• Escoamento ao longo da linha de corrente. 
89	
  
	
  
 
4.2.1 Teorema de Torricelli 
 Para o escoamento de um fluido, contido em um grande reservatório, através de uma 
saída temos o equacionamento a seguir. 
90	
  
	
  
 
4.2.2 Pressão Estática, Pressão de Estagnação e Pressão Dinâmica 
 Vamos considerar os termos da equação de Bernoulli apresentados na Fig4.4. 
91	
  
	
  
 
Figura 4.4 – Carga mecânica total, carga de pressão, carga de velocidade e carga de elevação. 
 
 A soma dos termos da equação de Bernoulli, é chamada de carga piezométrica e 
a soma dos três termos é chamada carga mecânica total. 
A pressão p é muitas vezes chamada de pressão estática e a soma dos dois termos 
 é chamada pressão total ou pressão de estagnação (pT), determinada em um ponto 
de estagnação no escoamento. 
 
 
 
 Podemos agora, considerar os medidores de pressão da Fig.4.5 
92	
  
	
  
 
 
Figura 4.5 – Medidores de pressão: (a) tubo piezométrico; (b) tubo de Pitot; 
(c) tubo de Pitot estático. 
 
 Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2) temos: 
 
 z1 = z2 (tubo na horizontal) 
 (ponto de estagnação – entrada do Pitot) 
 Portanto: 
 
 Logo: 
 
 Da equação anterior, verificamos que através do tubo de Pitot permite quantificar a 
vazão: 
 
 
 
 
 
 A Fig.4.6 apresenta outros medidores de escoamento. 
93	
  
	
  
 
 
 
 
(a) Medidor de Orifício – placa fina com orifício concêntrico ou excêntrico interposta entre flanges de 
tubos. Apresenta geometria simples, é de baixo custo e de fácil instalação ou reposição, mas de 
delevada perda de carga. 
 
 
 
(b) Medidor Venturi – Tem uma forma que tenta 
imitar os padrões de escoamento. A seção do 
difusor cônico a jusante da garganta permite 
uma excelente recuperação de pressão, o que 
proporciona uma baixa perda de carga total. 
 
 
 
(c) Bocal Medidor – medidor alternativo em 
relação ao medidor de orifício por ser menos 
suscetível à erosão e desgaste, e alternativo em 
relação ao medidor Venturi por ser mais barato 
e de simples construção. 
 
 
(d) Rotâmetro ou medidores de área variável ou 
medidores de flutuador – Tubo afunilado com 
escoamento vertical, onde o flutuador é 
carregado para cima até que a força de arrasto 
e o peso do flutuador se equilibram. 
 
 
 
(e) Medidor de Turbina – Um rotor com palhetas, 
mantido dentro do duto, gira em função do 
escoamento do fluido. A velocidade de rotação 
é medida utilizando um detector eletromecânico 
externo, o que permite medir, com segurança, 
vazões de fluidos corrosivos ou tóxicos. 
 
Figura 4.6 – Alguns medidores de vazão: (a) medidor de orifício; (b) medidor Venturi; 
(c) bocal de escoamento ou bocal medidor; (d) rotâmetro e (e) medidor de turbina. 
4.3 Equação Geral da Energia 
94	
  
	
  
 Com o objetivo de ampliar o balanço de energia apresentado pela equação de Bernoulli, 
podemos adicionar outros termos em seu equaciomento de forma a generalizá-la. 
 Com este propósito introduziremos os seguintes termos com dimensão de energia por 
peso de fluido conforme observado na Fig.4.7: 
• hA ≡ energia por peso de fluido adicionada por dispositivos mecânicos(por exemplo, 
bombas); 
• hR ≡ energia por peso de fluido retirada por dispositivos mecânicos (por exemplo, 
turbinas) 
• hL ≡ energia por peso de fluido perdida por atrito com as paredes da tubulação e por 
perdas singulares ou localizadas ou menores. 
 
Figura 4.7 – Sistema de escoamento de fluido – equação geral da energia. 
 
 
 
 A Fig.4.8 apresenta algumas situações de escoamento que levam ao aparecimento de 
zonas de circulação, relacionadas diretamente com a dissipação de energia. 
 
95	
  
	
  
 
Figura 4.8 – Recirculações e a dissipação de energia em escoamentos. 
 
 As perdas de energia em escoamentos totalmente desenvolvidos em válvulas, cotovelos, 
expansões, contrações, entradas, saídas, curvas e outros tipos de encaixes são chamadas de 
perdas singulares ou perdas localizadas ou ainda, perdas menores. 
96	
  
	
  
 A magnitude dessa dissipação de energia é diretamente proporcional à carga de 
velocidade do fluido. Portanto temos: 
 
onde, K ≡ coeficiente de perda ou coeficiente de resistência. 
 Alguns valores de K podem ser observados na Tab.4.1 
Tabela 4.1 – Valores do coeficiente de perda para algumas perdas localizadas. 
 
 
A perda de carga distribuída associada ao atrito com a parede da tubulação é avaliada 
pela equação de Darcy-Weisbach: 
 
onde, f ≡ fator de atrito ou coeficiente de perda de carga distribuída. 
 O fator de atrito é uma função do tipo: 
f = φ (Re, rugosidade relativa) 
que pode ser avaliado pelos diagramas de Moody ou Rouse, Fig.4.9. 
97	
  
	
  
 
Figura 4.9 – Diagrama de Moody. 
 O perfil de velocidade média no tempo em um tubo é muito sensível à magnitude da 
altura média da rugosidade, e. O cisalhamento laminar é significativo apenas perto da parede na 
subcamada laminar com espessura δv. Se a espessura é suficientemente grande, ela sobrepõe os 
elementos de rugosidade da parede (imperfeição superficial), de tal forma que a rugosidade tem 
efeito desprezível sobre o escoamento. Nessa situação, a parede do tubo é considerada 
hidraulicamente lisa, Fig.4.10 (a). Os tubos de plástico e de vidro são exemplos de tubos lisos. Se 
a subcamada laminar é relativamente fina, os elementos de rugosidade projetam-se para além 
dessa camada e a parede é rugosa, Fig.4.10 (b). 
 
Figura 4.10 – (a) Uma parede lisa e (b) uma parede áspera. 
 
Conclusão: 
 
 
98	
  
	
  
Exercícios Capítulo 4 – Escoamento de 
Fluidos Incompressíveis 
Ex.51 - Químico(a) de Petróleo Júnior – Fundação CESGRANRIO-PETROBRAS, Mar/2010. 
 
Ex.52 – Químico(a) de Petróleo Júnior – Fundação CESGRANRIO-PETROBRAS, Mar/2010. 
 
99	
  
	
  
Ex.53 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
Ex.54 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
 
100	
  
	
  
Ex.55 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
 
Ex.56 – Engenheiro de Processamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Dez/2008. 
 
101	
  
	
  
Ex.57 – Engenheiro de Equipamento Júnior - UnB/CESPE-PETROBRAS, Ago/2007. 
 
Ex.58 – Engenheiro(a) de Processamento Jr – CESGRANRIO-Petroquímica Suape, Jul/2009. 
 
 
102	
  
	
  
Ex.59 – Engenheiro(a) de Processamento Jr – CESGRANRIO-Petroquímica Suape, Set/2001. 
 
 
Ex.60 – Engenheiro(a) de Equipamento Jr (Eletrônica) – Cesgranrio-PETROBRAS, Mar/2010. 
 
 
 
103	
  
	
  
Ex.61 – Engenheiro de Petróleo Júnior, UnB/CESPE-PETROBRAS, Set/2001. 
 
104	
  
	
  
Ex.62 – Engenheiro(a) de Equipamento Jr (Mecânica)- UnB/CESPE-PETROBRAS, Mai/2005. 
 
Ex.63 – Engenheiro de Equipamento Júnior (Mecânica) - REFAP, Jul/2007. 
 
Ex.64 – Engenheiro de Equipamento Júnior (Mecânica) - REFAP, Jul/2007. 
 
105	
  
	
  
Ex.65 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior – CESGRANRIO-PETROBRAS, Mai/2006. 
 
Ex.66 – Engenheiro(a) Naval Júnior – CESGRANRIO-PETROBRAS, Mar/2010. 
 
106	
  
	
  
Ex.67 – Eng.(a) de Equipamento Jr (Terminais e dutos)-CESGRANRIO-PETROBRAS, Jun/2008. 
 
 
Ex.68 – Engenheiro Químico Júnior - COPEL, Jun/2005. 
 
Ex.69 – Engenheiro Químico Júnior - COPEL, Jun/2005. 
 
107	
  
	
  
Ex.70 – Engenheiro Químico Júnior - COPEL, Jun/2005. 
 
 
Ex.71 – Engenheiro de Equipamento Júnior - CESGRANRIO-TERMOAÇU, Jan/2008. 
 
 
 
 
 
 
108	
  
	
  
Ex.72 – Engenheiro de Petróleo Júnior - CESGRANRIO-PETROBRAS, Dez/2005. 
 
Ex.73 – Engenheiro Químico – Fundação VUNESP-CETESB, Dez/2009. 
 
109	
  
	
  
Ex.74 – Engenheiro Químico – Fundação VUNESP-CETESB, Dez/2009. 
 
 
Ex.75 – Engenheiro Químico – Fundação VUNESP-CETESB, Set/2008. 
 
 
 
110	
  
	
  
Ex.76 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 
 
Ex.77 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 
 
Ex.78 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mar/2004 
 
Ex.79 – Químico(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, jun/2008. 
 
111	
  
	
  
Ex.80 – Químico(a) de Petróleo Júnior, CESGRANRIO-PETROBRAS, jun/2008. 
 
Ex.81 – Químico(a) de Petróleo Júnior – UnB/CESPE – PETROBRAS, Mai/2006 
 
Ex.82 – Eng.(a) de Equipamentos Jr (Eletrônica) – CESGRANRIO/PETROBRAS, Mar/2010. 
 
112	
  
	
  
Capítulo 5 
Turbomáquinas 
 
5.1 Introdução 
 As turbomáquinas são dispositivos que fornecem ou extraem energia de um fluido que 
escoa por meio de impelidores rotativos ou pás. Uma turbobomba, mais comumente chamada de 
bomba, adiciona energia a um sistema, resultando em aumento de pressão, promovendo assim o 
escoamento ou o aumento de vazão. Uma turbina extrai energia de um sistema e faz sua 
conversão para outra forma de energia útil, geralmente a elétrica. As bombas são componentes 
essenciais de sistemas de tubulação projetadas para transportar líquidos. De modo similar, as 
turbomáquinas são chamadas sopradores, ventiladores ou compressores, ao promoverem o 
escoamento de ar ou outros gases em dutos. Uma turbina é uma máquina que extrai energia do 
escoamento de água a alta pressão, ou vapor ou ar. 
 O modo pelo qual é feita a transformação do trabalho mecânico em energia hidráulica e o 
recurso para cedê-la ao fluido, aumentando sua pressão e/ou a sua velocidade permitem 
classificar as bombas em: 
• Bombas de deslocamento positivo, divididas em rotativas e alternativas; 
• Bombas cinéticas, divididas em: de fluxo radial (turbobombas), de fluxo axial e de fluxo 
misto; 
• Bombas especiais, como por exemplo, bomba com ejetor. 
 
 
 
 
 
 Deslocamento positivo 
 
 
 Rotativas 
engrenagens 
palhetas 
parafuso 
lobular ou de rolos 
elemento flexível (peristáltica) 
 
 
 Alternativas 
pistão 
 
diafragma 
 
 
 
 
 Cinéticas 
fluxo radial 
fluxo axial 
fluxo misto 
 
 As bombas de deslocamento positivo possuem uma ou mais câmaras, em cujo interior o 
movimento de um elemento propulsor comunica energia de pressão ao líquido, provocando o seu 
deslocamento. 
 Nas bombas alternativas, o líquido recebe a ação das forças diretamente de um pistão ou 
uma membrana flexível. 
113	
  
	
  
 A Fig.5.1 a seguir, apresenta esquematicamente algumas bombas. 
 
 
 
(a) Bomba de engrenagens 
 
 
 
 
(b) Bomba lobular 
 
 
 
(c) Bomba de pistão 
 
 
 
 
 
 
(d) Bomba diafragma 
 
 
 
 
 
(e) Bombas cinéticas 
 
Figura 5.1 – Exemplos de bombas. 
114	
  
	
  
5.2 Turbobombas 
 Uma turbobomba apresenta duas partes principais: um impelidor ou rotor, que impõe um 
movimento giratório ao líquido, e um tubo coletor, ou carcaça,que direciona o líquido para a 
região do rotor e transporta-o para fora sob uma pressão mais alta. A Fig.5.2 mostra uma bomba 
de fluxo radial típica de sucção única, em que são apresentadas a parte da carcaça que circunda o 
rotor, chamada de voluta e o os diferentes tipos de rotores. 
 
 
 
Figura 5.2 – Bomba de sucção única e seus componentes. 
 
5.2.1 Cavitação 
 A cavitação refere-se ao fenômeno observado em turbobombas (bombas centrífugas), que 
ocorre quando a pressão interna na bomba cai ao nível da pressão de vapor do líquido na 
temperatura em que se encontra, iniciando o processo de vaporização. Inicialmente formam-se 
pequenas bolsas, bolhas ou cavidades, que quando são transportadas através da turbobomba para 
regiões de maior pressão, elas colapsam rapidamente, gerando pressões localizadas 
extremamente altas. Essas bolhas colapsadas perto de contornos sólidos podem enfraquecer a 
superfície sólida, e após, repetidos colapsos, podem causar erosão, corrosão e fadiga da 
superfície, conforme pode ser observado na Fig.5.3. 
 
 
115	
  
	
  
 
Figura 5.3 – Efeito da cavitação sobre o rotor de uma bomba centrífuga. 
 
 Além de provocar corrosão, desgastando, removendo partículas e destruindo pedaços dos 
rotores e dos tubos de aspiração junto à entrada da bomba, a cavitação se apresenta produzindo: 
• Queda de rendimento; 
• Marcha irregular, trepidação e vibração da máquina, pelo desbalanceamento que acarreta; 
• Ruído, provocado pelo fenômeno de “implosão”, que faz com que faz com que o líquido 
se precipite nas bolsas ou cavidades quando a pressão externa é superior à existente no 
interior das mesmas. Isso acontece de forma aleatória, sendo impossível prever todas as 
características com que o fenômeno irá se desenvolver. 
 
 
5.2.2 NPSH (sigla em inglês: Net Positive Suction Head) 
 A fim de caracterizar as condições para que ocorra boa “aspiração” do líquido, foi 
introduzida na terminologia de instalações de bombeamento a noção de NPSH, que representa a 
disponibilidade de energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba e que a ele 
permitirá atingir o bordo da pá do rotor sem ser observado o efeito da cavitação. Embora não 
seja comum a tradução desse termo, às vezes é possível encontrar o termo equivalente: altura 
positiva líquida de sucção (APLS). 
 Como esse conceito se refere à disponibilidade de energia do líquido ao entrar na bomba, 
a qual depende da maneira como é projetada a instalação, o NPSH neste caso é chamado 
disponível. Seu valor pode ser determinado observando a Fig.5.4. 
 
 
 
116	
  
	
  
 
Figura 5.4 – Tubulação de sucção de uma bomba. 
 
	
  
	
  
Equação	
  geral	
  da	
  energia	
  entre	
  (1)	
  e	
  (2):	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Logo:	
  	
  
	
  
	
  
 
 
117	
  
	
  
 
 De forma geral, como representado na Fig.5.5, temos para o NPSHdisponível: 
 
Figura 5.5 – Detalhes da tubulação de sucção e a determinação do NPSH disponível. Diz-se que 
a bomba trabalha afogada quando seu centro se acha a uma altura, hs, abaixo do nível do 
reservatório. 
 
Assim para que não haja o fenômeno da cavitação é necessário que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Ponto de Operação ou de Funcionamento 
 O ponto de operação é o ponto de intersecção determinado entre a curva característica 
da bomba, fornecida pelo fabricante e uma função decrescente com a vazão, e a curva de 
desempenho do sistema, função crescente com a vazão, conforme pode ser observado na 
Fig.5.6. 
Valor fornecido pelo fabricante da 
bomba 
118	
  
	
  
 
 
 
Figura 5.6 – Curva característica da bomba e a curva de desempenho do sistema. 
 
Na Fig.5.6, h0 representa a carga estática total do sistema. Quando a bomba opera com 
Q = 0 (válvula fechada), determina-se o “shut-off”, a carga máxima fornecida pela bomba. 
 
5.4 Eficiência ou Rendimento 
 Para o adequado entendimento dos cálculos associados ao rendimento das bombas, torna-
se necessária a definição de alguns termos: 
• Carga útil de elevação, hA. É a energia por peso de fluido, fornecida ao líquido, pela 
passagem pela bomba. 
• Carga total de elevação, he. É a energia total por peso de fluido que o rotor fornece ao 
líquido. 
he = hA + hint 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
Perdas hidráulicas devido ao escoamento do fluido 
no interior da bomba, principalmente nos mancais 
e dispositivos de vedação (gaxetas) 
119	
  
	
  
• Carga motriz de elevação, hm. É a grandeza que traduz o trabalho exterior por peso de 
fluido, que é preciso fornecer ao rotor para que se tenha a carga he. 
hm = he + hpass 
 
 
 
 
 Assim é possível definir as seguintes potências: 
• Potência motriz, Potm 
É a potência fornecida pelo motor ao eixo da bomba. Este termo traduz o consumo 
de energia da bomba, sendo medido com freio motor (Brake Horse Power - BHP). 
Potm = γ Q hm 
 
• Potência de elevação, Pote 
É a potência hidráulica (Water Horse Power – WHP). 
Pote = γ Q he 
• Potência útil, Potu 
Também conhecida como pump output ou Liquid Horse Power – LHP 
Potu = γ Q hA 
 
 Podemos definir agora, as seguintes eficiências: 
1. Eficiência mecânica, ηmec 
 
2. Eficiência hidráulica, ηhidr 
 
Trabalho resistente passivo da 
bomba 
120	
  
	
  
 
3. Eficiência global ou total, ηglobal 
 
4. Eficiência volumétrica, ηvol 
 
Onde QL = vazão por vazamento. 
 
A Fig.5.7 apresenta os valores padrão, para as eficiências, global e volumétrica, 
observados em bombas rotativas e alternativas. 
 
Figura 5.7 – Curvas de desempenho para bombas de deslocamento positivo 
 
 
 
 
121	
  
	
  
 
5.5 Associação de bombas 
5.5.1 Bombas em Paralelo 
 Associação conforme a Fig.5.8 com o objetivo de fornecer maiores vazões. é a 
potência requerida de cada bomba individual. 
 
Figura 5.8 – Curvas características para bombas que operam em paralelo. 
 
5.5.2 Bombas em Série 
 Associação conforme a Fig.5.9 com o objetivo de atingir altas demandas de carga. é a 
potência requerida de cada bomba individual. 
122	
  
	
  
 
Figura 5.9 – Curvas características para bombas que operam em série. 
Capítulo 6 
Análise Dimensional e Semelhança 
 
6.1 Introdução 
Como pouquíssimos escoamentos reais podem ser solucionados com exatidão, usando-se 
apenas métodos analíticos, o desenvolvimento da mecânica dos fluidos tem dependido muito de 
resultados experimentais. Em geral, a solução de problemas reais envolve uma combinação de 
análise e informação experimental. 
Contudo, o trabalho experimental de laboratório é simultaneamente dispendioso e 
demorado. Um objetivo óbvio é obter o máximo de informações do mínimo de experiências. A 
análise dimensional em muitos casos auxilia a alcançar esse objetivo. 
Quando a realização de testes experimentais em um protótipo de tamanho real é 
impossível ou de custo proibitivo, o único modo viável de atacar o problema é o teste de 
modelos em laboratório. Entretanto, os escoamentos no modelo e no protótipo devem ser 
relacionados por leis de escala conhecida. 
 
6.2 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos 
123	
  
	
  
 O Teorema π de Buckingham é a teoria que organiza a metodologia para assegurar a 
homogeneidade dimensional. Assim, para um determinado problema físico, a variável 
dependente x1 pode ser expressa em termos das variáveis independentes como: 
x1 = f (x2, x3, ..., xn) 
onde n representa o número total de variáveis. 
 Demonstra-se que existe outra função, π1 = φ (π2, π3, ..., πn), rigorosamente equivalente à 
anterior para o estudo do fenômeno em questão, onde

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