TABELA INTEGRAIS

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UFERSA - Universidade Federal 
Rural do Semi-árido 
Campus de Pau dos Ferros 
Professor: Fernando Henrique Fernandes 
TABELA DE INTEGRAIS 
INTEGRAIS IMEDIATAS 
VIII. ∫ sec(𝑥)2 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
IX. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)2𝑑𝑥 = −cot𝑔(𝑥) + 𝐶 
X. ∫ sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = sec⁡(𝑥) + 𝐶 
XI. ∫ cos𝑒𝑐(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 
XII. ∫
𝑑𝑥
√1−𝑥2
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 
XIII. ∫
𝑑𝑥
a2+𝑥2
=
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 
XIV. ∫
𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
I. ∫ tg(𝑥) 𝑑𝑥 = − ln|cos(𝑥)| + 𝐶 = ln|sec(𝑥)| + 𝐶 
II. ∫ cotg(𝑥) 𝑑𝑥 = ln⁡|𝑠𝑒𝑛⁡(𝑥)| + 𝐶 
III. ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln⁡|sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
IV. ∫ cosec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln⁡|cosec(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 
 
a. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
{
 
 
 
 
cos2(𝑥) + sen2(𝑥) = 1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1)
sen2(𝑥) =
1-cos(2x)
2
 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2)
cos2(𝑥) =
1+cos(2x)
2
 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3)
1 + 𝑡𝑔2(𝑥) = sec2(𝑥) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4)
𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥) + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑥)⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5)
 
 
b. INTEGRAIS⁡DE⁡FUNÇÕES⁡TRIONOMÉTRICAS⁡ELEVADAS⁡A⁡“N” 
Integral “n” Ímpar “n” Par 
∫𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 , ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 
(1) (2) e (3) 
∫𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 , ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
 
(4) e (5) 
∫𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 ,∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
Integração por 
partes 
(4) e (5) 
 
Integral “n” ou “m” Ímpar “n” e “m” Par 
∫𝑠𝑒𝑛𝑚(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
(1) (2), (3) e, eventualmente (1) 
OBS.: Se n=m, temos que 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2
 
 
Integral “m” Ímpar ou “n” Par “m” Par e “n” Ímpar 
∫𝑡𝑔𝑚(𝑥)𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔𝑚(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
(4) e (5) Integração por Partes 
 
c. FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
∫𝑠𝑒𝑛𝑎(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑎+1(𝑏𝑥)
𝑏(𝑎 + 1)
+ 𝐶 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) 
∫𝑐𝑜𝑠𝑎(𝑏𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠𝑎+1(𝑏𝑥)
𝑏(𝑎 + 1)
+ 𝐶 ⁡⁡⁡⁡⁡(2) 
∫𝑡𝑔𝑎(𝑏𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑏𝑥)𝑑𝑥 =
𝑡𝑔𝑎+1(𝑏𝑥)
𝑏(𝑎 + 1)
+ 𝐶 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3) 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔𝑎(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑏𝑥) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑎+1(𝑏𝑥)
𝑏(𝑎 + 1)
+ 𝐶 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4) 
Para valores de ‘a’ não nulo e positivos; e valores reais de ‘b’. 
 ∫𝑠𝑒𝑐𝑎(𝑏𝑥)𝑡𝑔(𝑏𝑥)𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑐𝑎(𝑏𝑥)
𝑏(𝑎)
+ 𝐶 (4)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5) 
∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑏𝑥) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎(𝑏𝑥)
𝑏(𝑎)
+ 𝐶⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(6) 
 
d. FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA 
∫𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑛
𝑠𝑒𝑛𝑛−1(𝑥) cos(𝑥) +
𝑛 − 1
𝑛
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 (1) 
∫𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛−1(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) +
𝑛 − 1
𝑛
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 (2) 
∫𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑛 − 1
𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥)𝑡𝑔(𝑥) +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
∫𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 (3) 
∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
−1
𝑛 − 1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 (4) 
∫𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑡𝑔𝑛−1(𝑥)
𝑛 − 1
− ∫𝑡𝑔𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5) 
∫𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−1(𝑥)
𝑛 − 1
− ∫𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−2(𝑥)𝑑𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡(6) 
∫
1
(𝑥2 + 𝑎2)𝑛
= 𝑥
(𝑥2 + 𝑎2)
2𝑎2(𝑛 − 1)
1−𝑛
+
2𝑛 − 3
2𝑎2(𝑛 − 1)
∫
1
(𝑥2 + 𝑎2)𝑛−1
𝑑𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (7) 
 
e. FUNÇÕES SENO E COSSENO DE ARCOS DIFERENTES 
i. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) cos(𝑏) =
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏)] 
ii. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) sen(𝑏) =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) − 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏)] 
iii. 𝑐𝑜𝑠(𝑎) cos(𝑏) =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏)] 
f. SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
⁡⁡⁡Para⁡ −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑃𝑎𝑟𝑎⁡ −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑃𝑎𝑟𝑎⁡⁡0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
⁡𝑜𝑢⁡⁡𝜋 ≤ 𝜃 <
3𝜋
2
 
FRAÇÕES PARCIAIS 
Para cada fator de 𝒒(𝒙)no formato: Adiciona-se às Frações Parciais: 
(𝑥 − 𝑎𝑖) 
𝐴
(𝑥 − 𝑎𝑖)
 
(𝑥 − 𝑎𝑖)
𝑟 
𝐵1
(𝑥 − 𝑎𝑖)𝑟
+
𝐵2
(𝑥 − 𝑎𝑖)𝑟−1
+⋯+
𝐵𝑟
(𝑥 − 𝑎𝑖)
 
(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 
𝐶𝑥 + 𝐷
(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
 
(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑟 
𝐶1𝑥 + 𝐷1
(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑟
+
𝐶2𝑥 + 𝐷2
(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑟 − 1
+ ⋯+
𝐶𝑟𝑥 + 𝐷𝑟
(𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)