AP1 Met Est I Gabarito 2016.2

Prévia do material em texto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
Para as questões 1 e 2, utilize o gráfico abaixo que se refere ao percentual de vendas (em 
relação ao total de veículos vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro 
de 2015 em um determinado município. Assumindo a população: “Veículos Vendidos no 
mês de Dezembro deste Município” e assumindo que o tamanho da população seja 400, 
pede-se: 
 
1) (1,0 pt) Qual o percentual de vendas das demais marcas que não estão nesta tabela? 
2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (absoluta e relativa). 
 
Para as questões de 3 a 7, use a tabela a seguir que mostra a idade dos carros dos professores 
(em anos) em um estacionamento de uma Faculdade: 
 
Classes 
(idade) 
Freqüência 
Simples 
Ponto 
Médio 
Freqüência 
Acumulada 
[0; 3) 30 1,5 30 
[3; 6) 47 4,5 77 
[6; 9) 36 7,5 113 
[9; 12) 30 10,5 143 
[12; 15) 8 13,5 151 
[15; 18) 0 16,5 151 
[18; 21) 0 19,5 151 
[21; 24) 1 22,5 152 
¨Total 152 
 
3) (0,5 pt) Determine a idade média e a idade modal dos carros dos professores desta 
faculdade. 
4) (1,0 pt) Sabendo que !"!
#
= 8.316, determine o desvio padrão da idade dos carros. 
5) (0,5 pt) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 
anos. Quais seriam os escores padronizados destas 5 idades? 
6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
7) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria. Existe assimetria? Se sim, de que tipo? 
 
Para as questões de 8 a 11, utilize o seguinte contexto: As placas de veículos de um 
determinado país são formadas por 4 letras (incluindo K, W e Y) e 2 números (de 0 a 9) 
podendo haver repetição de modo a placa (KKKK-00) é possível. Determine quantas são as 
placas de veículos neste país tais que: 
 
8) (0,5 pt) os dois números são iguais? 
9) (0,5 pt) iniciam com a letra A? 
10) (0,5 pt) terminam com número par? 
11) (0,5 pt) as letras e os números são diferentes? 
 
Para as questões de 12 a 15, considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes 
eventos: 
A: soma das faces igual à 7. 
B: pelo menos uma das faces igual à 6. 
C: as duas faces iguais. 
Determine: 
12) (0,5 pt) ! "; 
13) (0,5 pt) ! "; 
14) (0,5 pt) # $ "; 
15) (0,5 pt) (# % ) ! ( ! "). 
 
16) (0,5 pt) O que é um histograma? 
 
17) (0,5 pt) O que é uma variável quantitativa? 
 
 
________ 
Fórmula: &' = *
+
,-/010
' $ /23'45 
 
 
 
Solução: 
1) Chamemos de “outras” as marcas que não aparecem no gráfico. 
Se somarmos os percentuais das marcas presentes teremos: 
6,25 + 11,25 + 15,00 + 5,00 + 13,75 + 15,00 + 7,50 + 11,25 + 6,25 = 91,25 
Então, restam 8,75% para as outras marcas. 
 !"#$"%&: 8,75'. 
 
---------------------------------------------------------------------- 
 
2) Para a construção da tabela de distribuição de frequência simples relativa, basta usar os 
dados do enunciado e do item a). 
Para as frequências simples absolutas, usemos regras de três simples: Assim, para a marca 
GM, por exemplo: 
(,)*
-..
=
/
4..
; 6,25 =
-../
4..
; 6,25 =
/
4
; < = 6,25 × > ? < = 25 
Assim, para determinar as respectivas frequências simples absolutas, basta multiplicar as 
frequências relativas por 4. 
Logo, obtemos: 
Marca do 
 Veículo 
Frequência Simples 
Absoluta Relativa 
(%) 
GM 25 6.25 
Ford 45 11.25 
VW 60 15.00 
Toyota 20 5.00 
Renault 55 13.75 
Fiat 60 15.00 
BMW 30 7.50 
Peugeot 45 11.25 
Honda 25 6.25 
Outras 35 8.75 
Total 400 100.00 
 
 
3) MODA: 
Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior freqüência absoluta. No caso, é a 
classe [3; 6), cuja freqüência absoluta é: 47. A moda é o ponto médio desta classe, que é 4,5. 
Logo: 
 = !, " 
 
MÉDIA: 
Para o cálculo da média precisamos dos valore s de #$ e %$. No caso, #$ são as freqüências 
absolutas e %$ são os pontos médios das classes. 
Assim, podemos formar a tabela complementar: 
Classes 
(idade) 
Freqüência 
Simples (#$) Ponto Médio (%$) #$%$ 
[0; 3) 30 1,5 45,0 
[3; 6) 47 4,5 211,5 
[6; 9) 36 7,5 270,0 
[9; 12) 30 10,5 315,0 
[12; 15) 8 13,5 108,0 
[15; 18) 0 16,5 0,0 
[18; 21) 0 19,5 0,0 
[21; 24) 1 22,5 22,5 
¨Total 152 972,0 
Assim, a média será calculada através da fórmula: 
 %& = ')*+*) = -./01/ = 6,4 anos. 
Logo: 23 = 5, ! 
 
------------------------------------------------------ 
 
4) Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula 7 = 80) ('#$%$/ 9 #%&/:. Assim: 
7 = ;<# >?#$%$/ 9 #%&/@ = ; <<AB (CDE<6 9 <AB × (6,4:/: = ; <<AB (CDE<6 9 <AB × 4F,G6: 
=8HDI0J01/ 9 4F,G6 = KA4,L< 9 4F,G6=K<E,LA = E,LD 
Logo: M = N, O 
 
----------------------------------------------------- 
 
5) Os escores padronizados são obtidos subtraindo-se a média e dividindo o desvio padrão. Ou 
seja. 
 ! =
"! # "$
%
 
Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos: 
 & =
'(),*
+,-
=
(*,*
+,-
= #1,19. ' =
/(),*
+,-
=
(&,*
+,-
= #0,38. 
 ! =
"#$%,&
!,'
=
(,%
!,'
= 2,32. & =
"($%,&
!,'
=
"",%
!,'
= 3,13. # =
)!$%,&
!,'
=
"%,%
!,'
= 4,48. 
Assim, a seqüência de escores padronizados será: 
 
-1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48 
 
-------------------------------------------------- 
 
6) O coeficiente de variação é dado pela fórmula: 
*+ =
-
/0
=
3,7
6,4
= 5,98 
 
Logo: 
CV=0,58. 
 
-------------------------------------------------- 
 
7) O Coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula: 
 =
/0 : /;
-
=
6,4 : 4,9
3,7
=
1,<
3,7
= 5,91. 
A distribuição é assimétrica à DIREITA. 
> = ?, @A 
 
 
------------------------------------------------------------------- 
 
8) Para que os dois números sejam iguais, é necessário que o segundo número seja igual ao primeiro, 
independente da escolha deste. Como não há restrições para as letras, todas estão valendo. Assim, 
teremos: 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 26 26 26 10 1 
 
Logo: 
26 × 26 × 26 × 26 × 15 × 1 = 26& × 15 = B. @CD. EC? 
 
----------------------------------------------------- 
 
9) Para iniciar com a letra A, a única restrição está na primeira letra, que tem que ser exatamente a letra 
A. Então teremos apenas 1 possível letra na primeira posição e as demais livres. 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
1 26 26 26 10 10 
Logo: 
1 × 26 × 26 × 26 × 15 × 15 = 26! × 15) = A. E@E. C?? 
 
10) Para terminar com um número par, o último algarismo só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8 e os demais são 
livres. Assim, só há 5 possibilidades para o último algarismo da placa. 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 26 26 26 10 5 
Logo: 
26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 5 = 26 × 50 = !!. "#". "$$ 
 
11) Para que as letras e os números sejam diferentes, nem as letras e nem os números podem se repetir, 
então, se uma letra já saiu, a próxima não pode ter esta letra, então a quantidade de letras possíveis será 
uma unidade menor. O mesmo vale para os números. Assim: 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 25 24 23 10 9 
Logo: 
26 × 25 × 24 × 23 × 10 × 9 = %!. !&!. $$$ 
 
-------------------------------------------------------- 
 
12) Inicialmente, vamos visualizar os eventos A, B e C. 
' = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 
* = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6), (1,6)} 
+ = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
 
-' / * é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a A e a B. Assim, 
 
7 / 8 = {(:, ;), (;, :)} 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
13) * / + é o conjunto (ou evento)dos elementos comuns a B e a C. Assim, 
 
8 / < = {(;, ;)} 
 
----------------------------------------------- 
 
14) A-C é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em C. Assim, 
 
7 > < = {(:, ;), (!, ?), (%, #), (#, %), (?, !), (;, :)} = 7 
 
------------------------------------------------------------ 
 
15) Para este item, façamos por partes: 
inicialmente , 
 
' @ *
= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6)} 
 
* / + = {(6,6)} obtido no item b). 
Agora, 
(7 @ 8) / (8 / <) = {(;, ;)}. 
 
16) Histograma é a representação gráfica da distribuição de frequências para dados agrupados. 
 
17) Variável quantitativa é aquela variável que assume valores numéricos.