Apostila Concreto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
Curso de Concreto Armado 
Sylvia Regina Mesquita de Almeida 
Daniel de Lima Araújo 
Apostila das disciplinas de Concreto Estrutural I e Concreto 
Estrutural II do curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal de Goiás. 
Goiânia, 2004
 
SUMÁRIO 
CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO ....................................................... 3 
1.1 GENERALIDADES..................................................................................................................... 3 
1.2 CONCRETO ................................................................................................................................ 4 
1.3 AÇO PARA CONCRETO ARMADO....................................................................................... 10 
1.4 AS BASES DO DIMENSIONAMENTO .................................................................................. 11 
1.5 AÇÕES....................................................................................................................................... 13 
1.6 CRITÉRIOS DE SEGURANÇA................................................................................................ 16 
1.7 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE RESISTÊNCIA.............................................................. 24 
CAPÍTULO 2 TEORIA DA FLEXÃO APLICADA AO CONCRETO ARMADO ...................... 27 
2.1 GENERALIDADES................................................................................................................... 27 
2.2 TEORIA DA FLEXÃO APLICADA AO CONCRETO ARMADO......................................... 29 
CAPÍTULO 3 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES ..................................................... 36 
3.1 LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS ........................................................................................... 38 
3.2 DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................ 42 
3.3 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA..... 46 
3.4 SEÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL ................................................................................. 48 
3.5 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS E VIGAS-
PAREDES .......................................................................................................................................... 54 
3.6 VERIFICAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DA ARMADURA ................................... 58 
3.7 EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES ............................................ 59 
CAPÍTULO 4 CISALHAMENTO ..................................................................................................... 63 
4.1 VIGAS DE MATERIAL HOMOGÊNEO................................................................................. 63 
4.2 VIGAS DE CONCRETO ARMADO ........................................................................................ 67 
4.3 MODELOS DE TRELIÇA ........................................................................................................ 69 
4.4 TRELIÇA DE MÖRSCH GENERALIZADA........................................................................... 75 
4.5 PEÇAS COM ALTURA VARIÁVEL....................................................................................... 77 
4.6 CISALHAMENTO NAS PROXIMIDADES DOS APOIOS.................................................... 78 
4.7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ........................................................................................... 78 
4.8 CONSEQÜÊNCIAS DA ANALOGIA DA TRELIÇA ............................................................. 80 
CAPÍTULO 5 DETALHAMENTO DE VIGAS................................................................................ 85 
5.1 ANCORAGEM .......................................................................................................................... 85 
5.2 DIÂMETROS MÍNIMOS INTERNOS DAS BARRAS DOBRADAS .................................... 95 
5.3 EMENDAS DAS BARRAS....................................................................................................... 95 
 
 
 
2
CAPÍTULO 6 FLEXÃO SIMPLES - ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ........................ 102 
6.1 ESTADO LIMITE DE FISSURAÇÃO ................................................................................... 102 
6.2 CONTROLE DE FISSURAÇÃO POR MEIO DA LIMITAÇÃO DA ABERTURA 
ESTIMADA DAS FISSURAS......................................................................................................... 104 
6.3 CONTROLE DE FISSURAÇÃO SEM A VERIFICAÇÃO DA ABERTURA DE FISSURAS
 106 
6.4 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA (ELS-DEF)...................................... 107 
6.5 DESLOCAMENTO A CONSIDERAR................................................................................... 108 
6.6 AVALIAÇÃO DA FLECHA IMEDIATA .............................................................................. 109 
6.7 AVALIAÇÃO DA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO.......................................................... 112 
6.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES NO ESTÁDIO I............................... 114 
6.9 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES NO ESTÁDIO II ............................. 116 
CAPÍTULO 7 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA.............................................. 119 
7.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ................................................................................................. 119 
7.2 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (SEÇÕES RETANGULARES)...................................... 121 
7.3 DETALHAMENTO................................................................................................................. 132 
7.4 CASO GERAL DE FLEXÃO COMPOSTA ........................................................................... 133 
7.5 PROCESSOS APROXIMADOS DA NBR 6118 / 2001 PARA DIMENSIONAMENTO À 
FLEXÃO COMPOSTA ................................................................................................................... 135 
CAPÍTULO 8 PILARES DE CONCRETO ARMADO ................................................................. 138 
8.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 138 
8.2 DIMENSÕES MÍNIMAS DE PILARES................................................................................. 142 
8.3 MODELOS MATEMÁTICOS DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS....................................... 143 
8.4 INSTABILIDADE E EFEITOS DE 2a ORDEM..................................................................... 146 
8.5 COMPRIMENTO EQUIVALENTE le PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS
 153 
8.6 MÍMIMO MOMENTO DE DIMENSIONAMENTO DE PRIMEIRA ORDEM ................... 154 
8.7 CRITÉRIOS DA NBR 6118/2003 PARA DISPENSA DA CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS 
LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM ( PILARES POUCO ESBELTOS )......................................... 154 
8.8 CRITÉRIO DA NBR 6118 / 2003 PARA CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA EM PILARES 
ESBELTOS (90 < λ ≤ 140)............................................................................................................. 156 
8.9 CRITÉRIOS DA NBR 6118 / 2003 PARA DISPENSA DA CONSIDERAÇÃO DOS 
EFEITOS GLOBAIS DE 2A ORDEM ( PILARES ESBELTOS INDESLOCÁVEIS ).................. 157 
8.10 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS GLOBAIS DE SEGUNDA ORDEM........................ 159 
8.11 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS PARA PILARES DE CONCRETO ARMADO......... 160 
 
CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO 
1.1 GENERALIDADES 
O concreto simples é um material que possui alta resistência à compressão, mas uma 
resistência pequena à tração. A idéia de se juntar a esse material barras de aço na parte tracionada 
surgiu na França e teve seu maior desenvolvimento na Alemanha, onde surgiu a primeira teoria 
consistente,comprovada cientificamente, publicada em 1902 por seu idealizador E. Mörsch. 
O concreto armado se torna viável devido basicamente a três fatores indispensáveis: 
• trabalho conjunto do concreto e do aço; 
• coeficientes de dilatação térmica do concreto e do aço praticamente iguais; 
• concreto funcionando como protetor contra oxidação da armadura; 
Suas principais vantagens dizem respeito à economia, facilidade de formas e execução, 
manutenção de baixíssimo custo, resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e desgastes mecânicos e 
ao fato de resultar em uma estrutura monolítica, hiperestática, que apresenta maiores reservas de 
segurança. Seu peso próprio elevado constitui sua principal desvantagem, seguida de dificuldades para 
reformas ou demolições e o baixo grau de proteção térmica que oferece às construções. 
No Brasil, o projeto de estruturas de concreto armado deve obedecer à NBR 6118, 
atualmente em processo revisão, em fase de consulta pública. A alteração dessa norma, tem sido 
conhecida por seu nome afetivo NB1-2000, em homenagem à primeira norma brasileira, justamente a 
de estruturas de concreto armado. Outras normas internacionais importantes são o ACI 318, do 
American Concrete Institute, adotado Estados Unidos. Essa norma é utilizada como referência nos 
demais países da América do Norte e em alguns países da América Latina, Ásia e Oceania. O CEB 90, 
código do Comité Euro-International du Béton , adotado na Europa e utilizada como referência 
também no Brasil. 
 
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1.2 CONCRETO 
1.2.1 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
1.2.1.1 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 
A resistência à compressão constitui uma das mais importantes propriedades mecânicas do 
concreto e sua determinação se dá através de ensaios de resistência normalizados ( NBR 5738, 
NBR 5739, NBR 12655 ). A partir do resultado desses ensaios, faz-se uma análise estatística das 
resistências obtidas, obtendo-se o chamado valor característico. Denomina-se resistência característica 
do concreto (fck) o valor abaixo do qual se encontram apenas 5% dos resultados obtidos, ou seja, um 
valor para o qual se têm no mínimo 95% de segurança em relação à ruptura por compressão. Para um 
lote de concreto ensaiado, o valor de sua resistência característica à idade em questão a ser considerada 
nos cálculos pode ser estabelecido pela expressão (1.1). 
dcmck sff 65,1−= (1.1) 
onde, 
fcm - é a resistência média para o lote em questão; 
fck - é a resistência característica do concreto; 
sd - é o desvio padrão do lote ensaiado. 
O desvio padrão é influenciado primordialmente pela qualidade da execução, mostrando-se 
independente da resistência do concreto. Assim, para corpos de prova cilíndricos pode-se adotar os 
seguintes valores médios para o desvio padrão: 
• sd = 4,0 MPa - para concreto executado com controle tecnológico, rigorosa fiscalização, 
materiais medidos em peso e correção de água e agregado miúdo em função de determinação 
rigorosa da umidade; 
• sd = 5,5 MPa - para concreto executado com controle tecnológico, rigorosa fiscalização, 
cimento medido em peso, agregados em volume e correção de água e agregado miúdo em 
função de determinação rigorosa da umidade; 
• sd = 7,0 MPa - para concreto executado com cimento medido em peso, agregados em volume 
e correção de água e agregado miúdo em função de estimativa da umidade. 
 
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Além da padronização dos ensaios, foi necessário se padronizar também a idade do 
concreto quando da execução do ensaio, pois sabe-se que o concreto apresenta um grande incremento 
de resistência nos primeiros dias após a moldagem, estabilizando-se esse crescimento após certo 
tempo. Adotou-se para análise da resistência característica valores obtidos para concreto com idade de 
28 dias, por se tratar da idade convencional em que uma estrutura usual é colocada sob seu 
carregamento total. 
O carregamento que atua em uma peça de concreto armado pode ser dividido em ações de 
longa e de curta duração. Constituem ações de longa duração o peso próprio da estrutura, o de 
materiais usados para revestimento e alguns tipos de sobrecarga que, em função de sua natureza, possa 
ser considerada praticamente permanente. As sobrecargas móveis decorrentes da utilização da 
estrutura são consideradas ações de curta duração. 
Estudos e ensaios realizados principalmente por H. Rüsch apontam para uma redução na 
resistência do concreto quando submetido a carregamentos de longa duração. Essa redução pode ser 
considerada da ordem 15% e é levada em consideração nas normas atuais multiplicando-se a 
resistência característica de compressão obtida em ensaios de curta duração por 0,85. 
a. Módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson 
O diagrama tensão x deformação do concreto é curvo, como mostra a figura (1.1), e não 
apresenta limite de proporcionalidade entre tensões e deformações. Define-se então módulo de 
elasticidade inicial ou tangente do concreto (Eco) como a tangente à curva tensão x deformação, ou seja 
a derivada da curva, na origem. Tal valor é de especial importância pois o trecho inicial do diagrama, 
no qual se concentram as tensões no concreto em serviço, sofre uma variação muito pequena de 
inclinação da curva. Em geral, esse trecho praticamente linear corresponde a tensões até 0,5 fck e, em 
alguns casos, até 0,7 fck. 
εc
σc
 fc
Eco
Ecs0,5 fc
 
figura 1.1 - Diagrama tensão x deformação do concreto. 
 
 
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Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto 
utilizado na idade de 28 dias, o valor módulo de elasticidade tangente pode ser estimado a partir da 
resistência média à compressão do concreto. A partir de ensaios comparativos chegou-se à expressão 
adotada pela NB1-2000 (1.2), para Eco e fck em MPa. 
ckco fE 600.5= (1.2) 
O módulo de elasticidade inicial numa idade inferior ou igual a 7 dias pode também ser 
avaliado através desta expressão, substituindo-se fck por fckj. Pode-se também utilizar a expressão (1.2) 
para se relacionar tensões e deformações de tração. 
A expressão (1.2) conduz a valores inferiores aos obtidos utilizando-se a expressão (1.3), 
prescrita pela NBR 6118 / 78 ( figura 1.2 ). 
5,3 600.6 += ckco fE (1.3) 
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
fck
Ec
o NBR 6118 / 78
NB1-2000
 
figura 1.2 – Comparação entre os valores de módulo de elasticidade inicial do concreto prescritos pela 
NBR 6118 / 78 e a NB1-2000. 
 
Nas análises elásticas, deve-se utilizar o módulo de elasticidade secante, especialmente 
para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, definido como 
85% do valor do módulo de elasticidade tangente (1.4). 
ckcs fE 760.4= (1.4) 
Permite-se adotar um módulo único para tração e compressão, correspondente ao módulo 
secante (1.4), na avaliação do comportamento de uma peça ou seção de concreto armado. Já na 
avaliação do comportamento global da estrutura, deve-se utilizar o módulo de elasticidade inicial (1.2). 
O coeficiente de deformação transversal do concreto, ν, chamado coeficiente de Poisson, 
sofre pequena variação com a resistência à compressão. A NB1-2000 mantém o valor sugerido pela 
 
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NBR 6118 / 78, prescrevendo o valor médio ν = 0,2. O módulo de elasticidade transversal, Gc, pode 
ser tomado como Gc = 0,4 Ecs. 
b. Diagrama tensão x deformação simplificado 
Em ensaios realizados por E. Grasper para concretos com fck variados observou-se que a 
tensão máxima corresponde a deformações da ordem de0,2 % e que a ruptura é atingida para uma 
deformação em torno de 0,35 %. Assim, as modernas normas para projeto de estruturas de concreto, 
inclusive a NBR 6118 / 78, passaram a adotar o diagrama simplificado da figura (1.3) como base para 
o dimensionamento de concreto armado. 
σc
εc0,2 % 0,35 %
0,85 fcd
A B
O
 
figura 1.3 - Diagrama tensão x deformação simplificado do concreto em compressão. 
 
Segundo o diagrama, o trecho inicial OA corresponde a uma parábola do segundo grau 
cuja equação é válida para εc entre 0 e 0,2 %. 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
002,0
1185,0 ccdc f
εσ (1.5) 
O trecho AB é constituído por uma reta, paralela ao eixo das deformações, válida para εc 
entre 0,2 e 0,35 %. 
cdc f85,0=σ (1.6) 
Estudos têm mostrado que concretos de alta resistência rompem com deformações 
inferiores a 0,35 % e, nesses casos, o diagrama tensão deformação da figura (1.3) não é adequado para 
representação do comportamento do concreto à compressão. No entanto, a NB1-2000 não apresenta 
recomendações especiais para esse tipo de concreto. 
 
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1.2.1.2 RESISTÊNCIA À TRAÇÃO 
As normas NBR 7222 e NBR 12142 estabelecem formas de determinação da resistência à 
tração indireta, fct,sp, e da resistência à tração na flexão, fct,f, respectivamente. A resistência à tração 
direta, fct, pode ser considerada como 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f . Na falta de ensaios para determinação de fct,sp 
e de fct,f , a NB1-2000 permite que se utilize a expressão (1.7) para o cálculo da resistência à tração 
direta média, com valores em MPa. 
3
2
3,0 ckctm ff = (1.7) 
Os limites inferior e superior da resistência característica do concreto à tração serão então, 
ctmctk ff 7,0inf, = (1.8) 
ctmctk ff 3,1inf, = (1.9) 
Nos casos correntes pode-se adotar para fctk o valor da expressão (1.8). 
A NBR 6118 / 78 sugeria a adoção da relação (1.10) para determinação da resistência à 
tração do concreto, com valores em MPa. 
ckctk ff 06,07,0 += (1.10) 
0
1
2
3
4
5
20 26 32 38 44 50 56
fck
fc
tk NBR 6118 / 78
NB1-2000
 
figura 1.4 – Comparação entre os valores de fctk prescritos pela NBR 6118 / 78 e a NB1-2000. 
 
Para concreto não fissurado, a NB1-2000 permite que se utilize o diagrama 
tensão x deformação simplificado da figura (1.5). 
 
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σct
εct0,15 %
Eco
fctk
0,90 fctk
 
figura 1.5 - Diagrama tensão x deformação simplificado do concreto na tração. 
1.2.2 CARACTERÍSTICAS REOLÓGICAS 
1.2.2.1 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
O comportamento do concreto quando submetido à variação de temperatura se traduz em 
uma variação de volume da peça, podendo a mesma ser ou não danosa à estrutura. No caso de 
estruturas submetidas a variações normais de temperatura, tal ação impõe à peça deformações que, em 
caso de estruturas hiperestáticas, introduzem esforços à mesma. 
tct ∆= αε (1.11) 
Em geral, do ponto de vista estrutural aborda-se o problema de como o de uma variação 
uniforme de temperatura. Somente em casos muito especiais, considera-se variação diferencial de 
temperatura entre as fibras. 
Para estimativa dos efeitos de variação de temperatura adota-se α = 10-5 como coeficiente 
de dilatação térmica do concreto. 
1.2.2.2 RETRAÇÃO 
A retração é um fenômeno que se caracteriza pela perda de água intersticial, ocasionando 
diminuição de volume da peça, daí o nome retração. Surgem tensões de compressão no interior e de 
tração na superfície da peça capazes de provocar fissuras caso não seja colocada armadura para evitar 
tal ocorrência. Embora o fenômeno da retração se faça sentir até 2 ou 3 anos após a concretagem, o 
processo é mais intenso na primeiras 6 a 18 horas, devendo-se tomar especial cuidado em relação ao 
processo de cura do concreto. Para se reduzir os efeitos da retração deve-se tomar alguns cuidados, a 
saber: 
• umedecer as fôrmas e os agregados; 
• reduzir o tempo entre a colocação do concreto e o início da cura; 
 
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• manter a superfície do concreto úmida e protegida da ação do vento e da radiação solar. 
1.2.2.3 DEFORMAÇÃO LENTA 
A partir de observações práticas constatou-se que as peças de concreto armado apresentam, 
além da deformação inicial, uma deformação que se processa lentamente, podendo atingir valores 
elevados ao longo dos anos. Com base nessa constatação, pesquisadores investigaram o fenômeno e 
através de resultados de ensaios experimentais chegaram a conclusões e recomendações adotadas pelas 
principais normas hoje em vigor. 
A deformação lenta caracteriza-se por ser uma deformação plástica, pois uma vez retirado 
o carregamento, apenas uma parcela da deformação, dita anelástica, desaparece. A outra, chamada de 
fluência, constitui uma deformação residual e sua consideração é obrigatória no dimensionamento de 
arcos e abóbadas com coeficiente de segurança à flambagem menor que 5. 
1.3 AÇO PARA CONCRETO ARMADO 
Até recentemente, o aço empregado em concreto armado era fabricado em duas categorias. 
Na fabricação do aço de categoria A, obtido após laminação a quente seguida de resfriamento ao ar 
livre, utilizam-se elementos químicos adicionais, visando a obtenção de ligas especiais. O aço de 
categoria B também é obtido após laminação a quente, com encruamento por deformação a frio. Não 
se utilizam, no entanto, ligas especiais no processo de fabricação. O processo de fabricação do aço tipo 
A tem custo ligeiramente superior aos do tipo B. A NB1-2000 prevê apenas a utilização de aço tipo A 
e, com isso, a tendência é de que o aço B deixe de ser fabricado. 
O aço empregado em concreto armado tem nomenclatura em função da tensão de 
escoamento, composta pelas letras CA, de concreto armado, seguida da tensão de escoamento em 
kgf/mm2. Assim um aço CA-50 é um aço para concreto armado com tensão de escoamento de 500 
MPa. No Brasil são normalizados os seguintes tipos de aço: CA-25, CA-32, CA-40, CA-50 e CA-60, 
embora apenas os tipos CA50 e CA-60 sejam encontrados com facilidade no mercado. 
As barras utilizadas como armadura são fornecidas com comprimento entre 11 e 12 metros, 
apresentando os seguintes diâmetros padronizados: 5; 6,3; 8; 10; 12,5; 16; 20; 25 e 32 milímetros. 
Normalmente, o aço CA-60 só é encontrado nos diâmetros 5 e 6 mm. 
 
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11
1.3.1 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
1.3.1.1 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
As categorias A e B do aço para concreto armado apresentam diferenças em relação ao 
diagrama tensão x deformação. O primeiro apresenta patamar de escoamento definido, o mesmo não 
acontecendo com o segundo. 
A figura (1.6) apresenta o diagrama tensão x deformação simplificado do aço para concreto 
armado adotado pela NB1-2000, que corresponde ao diagrama simplificado usualmente adotado para o 
aço de categoria A. 
σs
εs
f yd
1, 0 %O
A B
εyd
 
figura 1.6 - Diagrama tensão x deformação aproximado do aço para concreto armado. 
 
No trecho 0-A do digrama, correspondente à fase elástica, há uma proporcionalidade direta 
entre tensões e deformações, dada pela expressão (1.12). No trecho A-B, correspondente à fase 
plástica, a tensão se mantém constante (expressão 1.13). 
sss E εσ = para εs entre 0 e εyd (1.12) 
σ s ydf= para εs entre εyd e 1 % (1.13) 
1.4 AS BASES DO DIMENSIONAMENTO 
O objetivo do dimensionamento de uma estrutura em concreto armado é garantir uma 
adequada segurança contra ruptura provocada pelas solicitações, limitar as deformações de forma a 
não se comprometer o uso a que a construção de destina e garantir a durabilidade da mesma adotando-
se providênciasnecessárias para se evitar corrosão da armadura. Assim, diz-se que uma estrutura se 
torna inviável ao uso quando atinge um estado tal que se vê comprometido um ou mais dos três 
requisitos indispensáveis a seu emprego. Conforme se dê o comprometimento da estrutura 
estabelecem-se os estados limites: último, quando a estrutura é levada à ruína, ou de utilização, quando 
se verifica a inadequação ao uso ou o comprometimento da durabilidade. 
 
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1.4.1 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
São estados relacionados ao colapso da estrutura ou a qualquer outra forma de ruína 
estrutural que impeça sua utilização. Deve-se garantir a segurança das estruturas de concreto em 
relação aos seguintes estados limites últimos: 
• perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 
• esgotamento da capacidade resistente da estrutura como um todo ou de parte da mesma 
devido às solicitações normais e tangenciais. 
• esgotamento da capacidade resistente da estrutura como um todo ou de parte, considerando-
se os efeitos de segunda ordem (instabilidade elástica ou flambagem); 
• estado limite último provocado por solicitações dinâmicas. 
Nas verificações relativas ao estado limite de esgotamento da capacidade resistente, pode-
se admitir redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptação 
plástica da estrutura. Pode-se admitir em geral que as verificações para as solicitações normais e 
tangenciais sejam feitas como se as mesmas atuassem separadamente. Em determinadas situações, 
indicadas explicitamente pela NB1-2000, a interação entre elas deve ser considerada. 
Em construções especiais, pode ser necessário se verificar a segurança em relação a outros 
estados limites últimos que podem ocorrer inclusive durante as fases executivas. 
O esgotamento da capacidade resistente da estrutura pode ter diversas causas, a saber: 
• ruptura de seções críticas da estrutura, ou seja, incapacidade dessas seções de absorver as 
solicitações atuantes; 
• perda total ou parcial de estabilidade da estrutura, ou seja, incapacidade da mesma de 
absorver as reações de apoio ou forças de ligação dos vínculos internos; 
• formação de um mecanismo de colapso após a plastificação de uma ou mais seções da 
estrutura; 
• deterioração por fadiga. 
1.4.2 ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
Os estados limites de serviço ou de utilização caracterizam a impossibilidade de utilização 
da estrutura, mesmo que não tenha sido esgotada a capacidade resistente da mesma, tanto em relação 
aos usuários quanto em relação às maquinas e aos equipamentos utilizados. Várias causas podem 
 
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determinar um estado tal que se vejam comprometidas as condições de conforto, durabilidade e 
utilização funcional da estrutura, a saber: 
• aparecimento de deformações excessivas para uma utilização normal da estrutura (ELS-
DEF); 
• fissuração excessiva nas mesmas condições (ELS-F e ELS-W); 
• existência de danos indesejáveis como corrosão etc.; 
• vibração excessiva (ELS-VE). 
Os estados limites relativos à fissuração inaceitável se dividem em estado limite de 
formação de fissuras (ELS-F) e estado limite de abertura de fissuras (ELS-W). A necessidade de 
verificação de um ou de outro estado limite depende do tipo de estrutura projetada. Estruturas de 
concreto armado devem ser verificadas em relação ao estado limite de abertura de fissuras. 
Estruturas protendidas devem ser verificadas ainda em relação ao estado limite de descompressão 
(ELS-D), onde a tensão normal deve ser nula em um ou mais pontos da seção transversal verificada. 
Essas estruturas também devem ser verificadas em relação ao estado limite de compressão excessiva 
(ELS-CE), onde as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. 
1.5 AÇÕES 
As ações F que determinam as solicitações S podem ser classificadas em diretas, indiretas 
e ter caráter permanente, variável ou excepcional. 
1.5.1 AÇÕES DIRETAS 
São forças efetivamente aplicadas à estrutura, que podem ser desmembradas conforme sua 
atuação ao longo do tempo em permanentes Fg, acidentais Fq ou excepcionais. 
1.5.1.1 CARGAS PERMANENTES 
São constituídas pelo peso próprio da estrutura, por sobrecargas fixas, determinadas para 
cada caso específico, e pelos empuxos permanentes de terra e de outros materiais granulosos quando 
os mesmos não forem removidos. 
São considerados concretos com massa específica normal aqueles que depois de secos em 
estufa apresentam massa específica entre 2.000 kg/m3 e 2.800 kg/m3. Para a estimativa do peso próprio 
da estrutura , nos casos em que for conhecida a massa específica real, a NB1-2000 permite que se 
adote os valores 2.400 kg/m3 para concreto simples e de 2.500 kg/m3 para concreto armado. Quando a 
massa específica real do concreto utilizado for conhecida, pode-se considerar a massa específica do 
 
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concreto armado como a do concreto simples acrescida de um valor entre 100 kg/m3 e 150 kg/m3. 
Concretos especiais devem ter sua massa específica determinada experimentalmente conforme as 
prescrições da NBR 12655. 
As massas específicas dos materiais de construção correntes, necessárias para o cálculo do 
peso dos elementos estruturais fixos, podem ser avaliadas com base nos valores indicados na 
NBR 6120. Os pesos de instalações permanentes devem são considerados com os valores nominais 
indicados pelos respectivos fornecedores. 
1.5.1.2 CARGAS ACIDENTAIS 
As cargas acidentais são prescritas pela NBR 6120 no caso de edificações usuais e pelas 
NBR 7188 e NBR 7189 no caso de estruturas sujeitas a carregamento móvel e devem ser dispostas nas 
posições mais desfavoráveis para o elemento estudado. São exemplos de cargas acidentais: 
• as cargas verticais de uso da construção; 
• as cargas móveis, com a consideração do impacto vertical; 
• as forças resultantes de impacto lateral; 
• a força longitudinal devida à frenagem ou à aceleração; 
• a força centrífuga. 
1.5.1.3 AÇÃO DO VENTO 
A NB1-2000 determina a obrigatoriedade de se considerar a ação do vento. Os esforços 
devidos a essa ação devem ser determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123, sendo 
permitido o emprego de regras simplificadoras previstas em normas brasileiras específicas. 
1.5.1.4 AÇÃO DA ÁGUA 
A ação da água deve ser considerada no dimensionamento de estruturas como 
reservatórios, tanques ou decantadores, ou ainda em estruturas em que a água da chuva possa ficar 
retida devido a deficiências de caimento ou de deformações da própria estrutura. No primeiro caso, 
deve-se considerar um nível d’água característico, que pode ser admitido como igual ao máximo 
compatível com o sistema de extravasão. No segundo caso, deve ser considerada uma lâmina ‘água 
correspondente ao nível de drenagem efetivamente garantido pela construção. 
1.5.1.5 AÇÕES VARIÁVEIS DURANTE A CONSTRUÇÃO 
Em algumas estruturas, a verificação da segurança da estrutura para a etapa relativa à obra 
acabada não garante a segurança durante a execução da mesma. Nesse caso, devem ser feitas 
verificações adicionais em relação as fases construtivas mais significativas e sua influência na fase 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
15
final Em cada uma dessas fases, deve-se considerar as estruturas provisórias auxiliares com os 
respectivos pesos e as cargas acidentais de execução. 
1.5.2 AÇÕES INDIRETAS 
São ações que redundam em deformações impostas à estrutura e são oriundas de efeitos de 
variação de temperatura, retração do concreto, fluência do concreto, recalques de apoio, imperfeições 
geométricas ou protensão. Algumas dessasações, que não introduzem esforços em estruturas 
isostáticas, em estruturas hiperestáticas causam esforços, que são tanto maiores quanto maior for a 
rigidez da estrutura. 
1.5.2.1 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
Para estimativa dos efeitos de variação de temperatura adota-se α = 10−5 como coeficiente 
de dilatação térmica do concreto. A NB1-2000 prevê ainda variações de temperatura entre: 
• ± 5oC e ± 10oC, para peças maciças ou ocas com espaços vazios fechados e menor 
dimensão superior a 70 cm; 
• ± 10oC e ± 15oC, para as peças cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm. 
Para peças cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm, é permitido que se faça uma 
interpolação linear entre os calores anteriormente indicados. 
1.5.2.2 RETRAÇÃO 
Nos casos correntes das estruturas de concreto armado, a NB1-2000 permite que se 
considere a deformação por retração constante e igual a 15 x 10-5. Este valor é válido para peças com 
dimensões entre 10 cm e 100 cm e umidade ambiente não inferior a 75%. 
A NBR-6118/78 prevê ainda os seguintes valores para a deformação por retração retração: 
• 20 x 10-5, nos arcos com menos de 0,5% de armadura; 
• 25 x 10-5, nas abóbadas com menos de 0,1% de armadura. 
1.5.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
São ações decorrentes de catástrofes como terremotos, incêndios, explosões etc., e por isso 
mesmo de ocorrência muito pouco provável. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
16
1.6 CRITÉRIOS DE SEGURANÇA 
O objetivo do dimensionamento de uma estrutura é se conciliar o menor custo possível 
com a garantia de que a mesma não atinja um estado limite. Para tanto deve-se levar em consideração 
a incerteza em relação à resistência dos materiais que compõem o concreto armado, a possibilidade de 
avaliação inexata das ações estimadas, e erros devido à introdução de hipóteses simplificadoras 
usualmente adotadas no processo de cálculo. Em função de estudos probabilísticos que levam em 
conta o controle de qualidade exercido no processo de confecção dos diversos materiais e a 
possibilidade de combinação das diversas ações, a NB1-2000 estabelece valores para coeficientes de 
segurança para minoração da resistência dos materiais e para combinação das solicitações. 
1.6.1 RESISTÊNCIA 
Os valores característicos fk das resistências são aqueles que têm uma determinada 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido mais desfavorável em relação à segurança, em um 
lote de material. No dimensionamento das peças de concreto armado os valores de resistência 
característicos devem ser minorados de um coeficiente γm para obtenção das resistências de cálculo fd. 
m
k
d
f
f γ= (1.14) 
No estado limite último devem ser adotados os coeficientes da tabela (1.1). No caso de 
peças para as quais se preveja condições desfavoráveis de execução deve-se multiplicar o coeficiente 
γc por 1,1. Essas condições desfavoráveis podem ser relativas, por exemplo, ao transporte do concreto, 
à utilização de adensamento manual ou a condições deficientes de concretagem por concentração de 
armadura. No caso de peças pré-moldadas, deva-se consultar a NBR 9062. 
Em obras de pequena importância, pode-se utilizar o aço CA-25, sem que seja necessário 
realizar o controle de qualidade estabelecido pela NBR 7480. Para tanto, deve-se multiplicar o 
coeficiente de segurança do aço γs por 1,1. 
 
 
tabela 1.1 – Valores dos coeficientes de minoração de resistência previstos pela NB1-2000. 
Combinações 
Concreto 
( γc ) 
Aço 
( γs ) 
Normais 1,4 1,15 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
17
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,00 
Os coeficientes de minoração expressam a incerteza sobre o resultado do processo de 
fabricação do material. Como o aço é um material homogêneo com processo de fabricação controlado, 
a incerteza sobre sua resistência característica é inferior à que há em relação ao concreto. Por isso, os 
coeficientes de minoração de resistência do aço empregados pela NB1-2000 são inferiores aos do 
concreto. 
Nas verificações relativas aos estados limites de serviço não é necessário minorar a 
resistência dos materiais, ou seja, γm = 1,1. 
1.6.2 COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO DE SOLICITAÇÕES 
Um estado limite é atingido devido a uma combinação das diversas ações que atuam na 
estrutura. Os coeficientes de majoração diferem entre si conforme se esteja dimensionando para um 
estado limite último ou para um estado limite de utilização. De forma geral, as ações podem agir no 
sentido favorável ou desfavorável em relação à segurança, de acordo com a combinação de solicitação 
em estudo. Quando a ação tende a aumentar a solicitação, diz-se que a mesma é favorável e emprega-
se a ela um coeficiente de majoração. No caso de uma ação que diminua a solicitação, a mesma é 
desfavorável e deve ser utilizado um coeficiente de minoração. 
O coeficiente γf é composto por três parcelas: a primeira, γf 1, considera a variabilidade 
das ações; a segunda, γf 2, considera a probabilidade de ocorrência simultânea das ações; e a terceira, 
γf 3, considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de 
vista das solicitações. 
321 ffff γγγγ = (1.15) 
 
 
 
 
 
tabela 1.2 – Parcela ( γf 1 γf 3 ) do coeficiente γf para combinações no estado limite último. 
Permanentes 
(g) 
Variáveis (q) Protensão (p) 
Recalque de 
apoio e retração 
Desf. Fav. Desf. Fav. Desf. Fav. Desf. Fav. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
18
Normais 1,4 0,9 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0,0 
Especiais ou de construção 1,3 0,9 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0,0 
Excepcionais 1,2 0,9 1,0 0,0 1,2 0,9 0,0 0,0 
 
A tabela (1.2) apresenta a parcela ( γf 1 γf 3 ) do coeficiente de ponderação para as ações 
prescritos pela NB1-2000 para combinações relativas ao estado limite último. Esses valores podem ser 
modificados em casos especiais, de acordo com a NBR 8681. Para combinações relativas aos estados 
limites de utilização, adota-se γf 1 γf 3 = 1. 
Nos casos em que são previstas mais de uma ação variável, deve-se levar em conta a 
probabilidade de sua ocorrência simultânea. Para a ação com maior probabilidade de ocorrência, dita 
principal, adota-se γf 2 = 1. Para as cargas secundárias, utiliza-se o coeficiente de ponderação da tabela 
(1.3). Nas verificações relativas aos estados limites últimos, γf 2 = ψ0. Nas verificações relativas aos 
estados limites de utilização, adota-se: 
• γf 2 = 1, para as combinações raras; 
• γf 2 = ψ1, para as combinações freqüentes; 
• γf 2 = ψ2, para as combinações quase permanentes. 
É totalmente desprovida de sentido a verificação dos estados limites de utilização para 
solicitações devidas às ações excepcionais, uma vez que além de tais ações terem pouquíssima 
probabilidade de ocorrência, nesses casos torna-se irrelevante garantir condições de conforto e 
durabilidade, bastando garantir as condições de segurança à ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 
tabela 1.3 – Coeficiente γf 2 para ponderação das ações variáveis. 
Ações ψ0 ψ1(1) ψ2 
Cargas acidentais de edifícios 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
19
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que 
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,4 0,3 0,2 
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,4 0,2 0,0 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em que a ação variável 
principal tem pequena variabilidade durantegrandes intervalos de 
tempo (exemplo: depósitos) 
0,6 0,2 0,0 
Temperatura 
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
(1) Nos casos de pontes e principalmente de problemas de fadiga, consultar o capítulo 23 da NB1-2000 
 
Exemplo 1: 
Nas estruturas usuais de edifícios residenciais e comerciais - exceto indústrias, depósitos e congêneres 
- devem ser verificadas pelo menos duas combinações de carregamento: 
( ) gkkqkqgkgkd FFFFFF εε 6,02,14,04,12,14,1 21 ++++= (1.16) 
onde, 
combinação 1: Fgk – cargas permanentes 
 Fq1k – vento 
 Fq2k – carga acidental 
 Fεgk – efeito da temperatura 
combinação 2: Fgk – cargas permanentes 
 Fq1k – carga acidental 
 Fq2k – vento 
 Fεgk – efeito da temperatura 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
20
Nos edifícios com nós pouco deslocáveis, ou seja, naqueles em que os efeitos de segunda ordem sejam 
desprezíveis, permite-se substituir essas duas combinações por apenas uma. 
( ) gkwkqkgkgkd FFFFFF εε 6,02,18,04,12,14,1 ++++= (1.17) 
onde, 
Fqk – carga acidental 
Fwk – vento 
 
Exemplo 2: 
Nos projetos de bibliotecas, arquivos, oficinas e estacionamentos, deve-se verificar pelo menos duas 
combinações: 
combinação 1 
( ) gkkqkqgkgkd FFFFFF εε 6,02,18,04,12,14,1 21 ++++= (1.18) 
onde, 
Fgk – cargas permanentes 
Fq1k – vento 
Fq2k – carga acidental 
Fεgk – efeito da temperatura 
combinação 2 
( ) gkkqkqgkgkd FFFFFF εε 6,02,16,04,12,14,1 21 ++++= (1.19) 
onde, 
Fgk – cargas permanentes 
Fq1k – carga acidental 
Fq2k – vento 
Fεgk – efeito da temperatura 
1.6.3 CONDIÇÕES DE SEGURANÇA 
O princípio básico da verificação de segurança das estruturas de concreto estabelece que as 
resistências devem ser maiores ou no máximo iguais às solicitações. As condições de segurança devem 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
21
ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos previstos para o tipo de 
construção considerada. 
dd SR ≥ (1.20) 
Onde, 
Rd – são os valores de cálculo dos esforços resistentes; 
Sd – são os valores de cálculo dos esforços solicitantes; 
Os esforços resistentes são função dos valores de cálculo das propriedades dos materiais, 
fd, enquanto os esforços atuantes são função dos valores de cálculo das ações, Fd. Os esforços 
resistentes e atuantes são função ainda de parâmetros que descrevem a geometria da estrutura e de 
constantes que representam as restrições pré-estabelecidas de projeto, para as resistências e para as 
solicitações, respectivamente. 
Os valores de cálculo dos esforços resistentes devem ser determinados a partir dos valores 
de cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo. As 
solicitações de cálculo são calculadas para a combinação de ações considerada, de acordo com a 
análise estrutural. As tabelas (1.4) e (1.5) apresentam um resumo das combinações a serem 
consideradas em projeto para os estados limites últimos e de serviço, respectivamente.. 
Os critérios de segurança não dizem respeito apenas às condições analíticas, a serem 
observadas em projeto. Na fase de construção devem ser tomados cuidados especiais em relação a: 
• critérios de detalhamento, conforme previsto pela NB1-2000; 
• controle dos materiais conforme normas específicas, especialmente a NBR 12655; 
• controle de execução da obra conforme a norma específica brasileira, ainda em fase de 
elaboração. 
A NB1-2000 permite que o cálculo das solicitações seja feito tanto em regime elástico 
quanto em regime elasto-plástico. Embora o segundo represente melhor o comportamento da estrutura, 
permitindo um dimensionamento mais econômico, o primeiro é ainda hoje muito mais empregado 
devido à maior simplicidade dos modelos e métodos de cálculo. 
 
 
 
22 
tabela 1.4 – Combinações de solicitações para os estados limites últimos 
Esgotamento da capacidade resistente para 
peças de concreto armado qkq
n
qjkjkqqgkggkgd FFFFFF εεεεε γγγγ 0
2
01 Ψ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Ψ+++= ∑ 
Esgotamento da capacidade resistente para 
peças de concreto protendido 
Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão como 
carregamento externo com os valores Pkmáx ou Pkmín, caso ela seja desfavorável 
ou favorável, respectivamente. Normais 
Perda de equilíbrio como corpo rígido ( ) ( )
mínsqsnkqnkgnnd
dskgssd
ndsd
QQGF
RGF
FsFs
.γγγ
γ
−+=
+=
≥
 
Especiais ou de construção qkq
n
qjkjkqqgkggkgd FFFFFF εεεεε γγγγ 0
2
01 Ψ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Ψ+++= ∑ 
Combinações 
últimas 
Excepcionais qkq
n
qjkkqqexcqgkggkgd FFFFFFF εεεεε γγγγ 0
2
011 Ψ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Ψ++++= ∑ 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última 
Fgk representa as ações permanentes diretas 
Fsk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk 
Fqk representa as ações variáveis diretas, nas quais Fq1k é a principal 
γg, γεg, γq, γεq de acordo com a tabela (1.2) 
ψ0j e ψ0ε de acordo com a tabela (1.3) 
Fsd representa as ações estabilizantes 
Fnd representa as ações não estabilizantes 
Gsk é a ação permanente estabilizante 
Rd é oesforço resistente, considerado como estabilizante, quando houver 
Gnk é a ação permanente instabilizante 
∑
=
Ψ+=
m
j
jkjknk QQQ
2
01
 
Q1k é a ação variável instabilizante considerada como principal 
ψ0j Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido 
Qs,mín é a ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante 
(1) No caso geral, deverão ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 0,9 
No caso de estruturas usuais de edifícios, essas combinações que consideram γg reduzido (0,9) não precisam ser consideradas 
 
 
 
23 
tabela 1.5 – Combinações de solicitações para os estados limites de serviço 
Combinações quase-
permanentes de serviço (CQP) 
Todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase-
permanentes ψ2 Fqk ∑∑ == Ψ+=
n
j
qjkj
m
i
gikserd FFF
1
2
1
,
 
Combinações freqüentes de 
serviço (CF) 
A ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente ψ1 Fq1k 
e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase-
permanentes ψ2 Fqk 
∑∑
==
Ψ+Ψ+=
n
j
qjkjkq
m
i
gikserd FFFF
2
211
1
,
 Combinações 
de serviço 
Combinações raras de serviço 
(CR) 
A ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico 
Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores 
freqüentes ψ1 Fqk 
∑∑
==
Ψ++=
n
j
qjkjkq
m
i
gikserd FFFF
2
11
1
,
 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinação de serviço 
Fq1k representa o valor característico das ações variáveis principais diretas 
ψ1 representa o fator de redução de combinação freqüente para o ELS 
ψ2 representa o fator de redução de combinação quase-permanente para o ELS 
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
 
24
1.7 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE RESISTÊNCIA 
O dimensionamento das armaduras longitudinais de elementos lineares sujeitos a 
solicitações normais deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes (NRd, MRd) que constituam 
uma envoltória dos esforços solicitantes (NSd, MSd), determinados na análise estrutural. A partir dos 
limites estabelecidos para as deformações do aço e do concreto, são estabelecidas 5 situações de ruína 
por deformação plástica excessiva. 
Tração uniforme. 
y
z
|εsd| = 1%
Nd
 
Domínio 1: Tração não uniforme, semcompressão. 
y
z
|εsd| = 1%
Nd
Md
0 ≤ |εcd| ≤ 1%
 
Domínio 2: Flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do concreto 
 e com máximo alongamento permitido. 
y
z
|εsd| = 1%
Nd
Md
0 ≤ |εcd| ≤ 0,35%
 
Domínio 3: Flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento 
do aço. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
 
25
y
z
εyd ≤ |εsd| ≤ 1%
Nd
Md
|εcd| = 0,35%
 
Domínio 4: Flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço 
 tracionado sem escoamento. 
y
z
0 ≤ |εsd| ≤ εyd
Nd
Md
|εcd| = 0,35%
 
Domínio 4a : Flexão composta com armaduras comprimidas. 
y
z
|εsd| ≥ 0
Nd
Md
|εcd| = 0,35%
 
Domínio 5 : Compressão não uniforme. 
y
z
|εsd| ≥ 0
Nd
Md
|εcd| = 0,2%
3/7h
 
Compressão uniforme. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 1 
 
26
y
z
|εsd| = 0,2%
Nd
|εcd| = 0,2%
 
As configurações deformadas apresentadas acima foram condensados pela NB1-2000 em 
uma única figura. 
 
d
1%
1
εyd
0,2% 0,35
2
h
3/7 h
3
4
4a
5
d”
d’
Alongamento Encurtamento
 
figura 1.7 - Estados limites últimos. 
 
 
 
CAPÍTULO 2 TEORIA DA FLEXÃO APLICADA AO CONCRETO 
ARMADO 
2.1 GENERALIDADES 
O acompanhamento e análise dos chamados "Ensaios de Stuttgart" constitui uma maneira 
simples de se entender os vários estados de tensões por que passa uma seção sujeita à flexão simples. 
Tais ensaios consistem no carregamento gradativo, do início ao colapso, de uma viga bi-apoiada, 
convenientemente dimensionada, sujeita a duas cargas concentradas simétricas. 
D. E. C.
D. M. F.
P
 a
P
 a
 L
P
 - P
P.a
 
figura 2.1 – Ensaios de Stuttgart. 
 
No trecho situado entre as cargas concentradas, as seções estão sujeitas apenas ao 
momento fletor Pa, pois o esforço cortante é nulo nesse trecho. Analisando-se a seção central na fase 
inicial do carregamento, vê-se que as tensões são de pequeno valor, não ultrapassando ainda no trecho 
tracionado a resistência à tração do concreto, que é pequena em relação à resistência de compressão. A 
essa fase de tensões, denomina-se Estádio I. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
28
bw
dh
d’
εc(Y)
εs = εc(Y)
σ(Y)
Y
Z
As
 
figura 2.2 - Tensões no Estádio I. 
 
Aumentando-se o carregamento, verifica-se que em determinado momento a tensão 
máxima de tração atinge a resistência do concreto fctk, iniciando o processo de plastificação da parte 
tracionada. Pelo diagrama tensão x deformação adotado para o concreto, admite-se que durante o 
processo de plastificação as tensões permaneçam constantes, apesar de a seção continuar a se 
deformar. 
bw
dh
d’
εc(Y)
εs = εc(Y)
σ(Y)
Y
Z
As
 
figura 2.3 - Tensões no Estádio IIa. 
 
Quando toda a seção de encontra plastificada no trecho tracionado, as tensões passam ao 
Estádio II, quando o concreto não apresenta mais resistência à tração. Na parte comprimida, as tensões 
se encontram ainda no regime elástico linear. 
bw
dh
d’
εc(Y)
εs = εc(Y)
σ(Y)
Y
Z
As
 
figura 2.4 - Tensões no Estádio II. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
29
Prosseguindo-se com o processo de carregamento, verifica-se que as tensões de 
compressão também atingem o limite de escoamento. Da mesma forma que ocorre na tração, durante o 
processo de plastificação as tensões permanecem constantes, apesar de a seção continuar a se 
deformar. Assim forma-se no trecho comprimido um diagrama de tensões com um trecho retangular e 
outro em forma de parábola. Esse estado de tensões é denominado estádio III e é o estado para o qual 
de dimensiona as seções à flexão simples segundo a NB1-2000. 
εcc
εctbw
d
X
h
d’
εc(X)
εs = εc(X)
σ(X)
Y
Z
As
 
figura 2.5 - Tensões no Estádio III. 
2.2 TEORIA DA FLEXÃO APLICADA AO CONCRETO ARMADO 
A análise de uma viga de concreto armado submetida a incrementos de carga permite 
compreender seu comportamento e aplicar a teoria da flexão, objeto de estudo da Resistência dos 
Materiais, ao comportamento de materiais não homogêneos. 
Para tanto, parte-se de um trecho de uma viga homogênea com seção transversal qualquer 
cujas deformações são apresentadas na figura (2.6). 
dA
Seção transversal
L.N
εc
ε y
Deformações
dx
MoMo
 
Figura 2.6 – Viga homogênea. 
 
Da resistência dos materiais tem-se a relação de compatibilidade de deformações (2.6) e a 
relação constitutiva (2.1) 
( ) yy φε = (2.1) 
( ) ( )yEy εσ = (2.2) 
ou seja, 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
30
( ) yEy φσ = (2.3) 
Por equilíbrio de forças, obtém-se a relação, 
( ) 0000 ==>==>==>= ∫∫∫∑
AAA
x dAydAyEdAyF φσ (2.4) 
que permite localizar a posição da linha neutra. 
Por equilíbrio de momentos tem-se, 
( ) oo
A
o
A
o MIEMdAyEMdAyyMM ==>==>==>= ∫∫∑ φφσ 2 (2.5) 
Obtém-se assim a curvatura da seção para uma viga fletida de material homogêneo, 
IE
M o=φ (2.6) 
O concreto armado é um material não homogêneo, mas para valores pequenos de 
carregamento apresenta um comportamento semelhante ao dos materiais homogêneos, trabalhando em 
regime elástico linear. Esse estado, denominado estádio I, permanece até que se inicie a fissuração do 
concreto, quando o mesmo perde resistência na região tracionada. Passa-se então a uma segunda fase, 
denominada estádio II, onde o concreto não apresenta resistência à tração e a região comprimida ainda 
se encontra no regime elástico linear. A terceira fase, denominada estádio III, corresponde à ruptura, 
que pode se dar pelo escoamento da armadura de tração ou pelo esmagamento do concreto na região 
comprimida. 
2.2.1 FASE I – SEÇÃO NÃO FISSURADA 
A fase I corresponde ao início do carregamento, quando o concreto ainda resiste à tração e 
as tensões apresentam comportamento linear, como mostra a figura (2.7). Se σc for a maior tensão de 
compressão no concreto, tem-se que σc ≤ fctk , onde fctk é a resistência característica do concreto à 
tração. 
compressão
Seção transversal
L.N
εc
σ = E ε y
Deformações
tração
σc
Tensões
y1
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
31
Figura 2.7 – Tensões de deformações em uma seção de concreto armado no estádio I. 
 
Por equilíbrio de forças tem-se 
( ) 00 1 =+=>= ∫∑ ss
A
cx AEydAyEF
c
φε (2.7) 
Se n for a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, 
c
s
E
E
n = (2.8) 
então 
00 11 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=>=+ ∫∫ s
A
csc
A
c AnydAyEAEnydAyE
cc
φφφ (2.9) 
Por praticidade, é mais conveniente escrever a integral da expressão (2.9) em função da 
área geométrica da seção transversal e não em função da área de concreto. Lembrando que, 
sc AAA += 
obtém-se então a relação, que fornece a posição da linha neutra. 
( ) 011 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+∫ s
A
c AnydAyEφ (2.10) 
Por equilíbrio de momentos tem-se 
oss
A
co MAyEdAyEMM
c
=+=>= ∫∑ 212 φφ
os
A
c MAnydAyEM
c
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +∫∑ 212φ (2.11) 
A expressão (2.11) também pode ser escrita em termos dos dados da seção transversal bruta. 
( )[ ] osgc MAnyIE =−+ 121φ (2.12) 
onde, 
Ig – é a inércia bruta da seção de concreto. 
 
De (2.12) vêm 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
32
oTc MIE =φ (2.13) 
onde, 
( ) sgT AnyII 121 −+= (2.14) 
é a inércia da seção transformada ou homogeneizada. 
Neste estágio, ainda não houve ruptura do concreto à tração, o que só se dará quandoσt ≥ fctk. 
I
cM
máx =σ (2.15) 
onde c é a distância da linha neutra à fibra mais tracionada. 
O momento correspondente ao início da fissuração será 
c
fI
M ctkTfiss = (2.16) 
e a curvatura 
cE
f
IE
M
c
ctk
Tc
fiss
fiss ==φ (2.17) 
Em geral Mfiss = 10% Mrupt, o que é um valor muito pequeno, atingido para cargas baixas. 
2.2.2 FASE II – SEÇÃO FISSURADA NA ZONA DE TRAÇÃO 
Nessa fase, admite-se que o concreto abaixo da linha neutra esteja fissurado, ou seja, que 
não apresente resistência à tração. Supõe-se ainda que o concreto ainda apresente comportamento 
linear na compressão, o que corresponde a tensões inferiores a 70% fck. O aço têm comportamento 
linear até σs ≤ fyd. 
Seção transversal
L.N
εc
y
Deformações
σc
Tensões
y1
d
Y
Rs
 
Figura 2.8 – Tensões de deformações em uma seção de concreto armado no estádio II. 
 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
33
Por equilíbrio de forças, tem-se 
( ) ( ) 000 =+=>=+=>= ∫∫∑ sss
compressão
dezona
ccss
compressão
dezona
cx EAdAyEAdAyF εεσσ (2.18) 
Então, 
01 =+∫ yAEndAyE sc
compressão
dezona
c φφ (2.19) 
Ou seja, 
01 =+∫ yAndAy s
compressão
dezona
 (2.20) 
o que fornece a posição da linha neutra da seção fissurada. 
 
Por equilíbrio de momentos tem-se 
( ) oss
compressão
dezona
o MyAdAyyMM =+=>= ∫∑ 1σσ (2.21) 
ou seja 
os
compressão
dezona
c MyAndAyE =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ 212φ (2.22) 
De (2.22) vêm 
Fc
o
IE
M=φ (2.23) 
onde, 
2
1
2 yAndAyI s
compressão
dezona
F += ∫ (2.24) 
é a inércia da seção de concreto fissurada. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
34
2.2.3 FINAL DA FASE ELÁSTICA 
O final da fase elástica se dá quando algum dos materiais inicia a plastificação, ou seja, 
quando σs = fyd ou quando σc = 0,7 fcd. 
 
Se σs = fyd 
1yEfE ysydsss φεσ ==>= 
Assim, 
1yE
f
s
yd
y =φ 
e 
yFcys IEM φ= (2.25) 
 
Se σcmáx = 0,7 fcd 
YEf,E
cdf,ccdcc
máx
c 7070 φεσ ==>= 
Assim, 
YE
f,
c
cd
f, cd
70
70 =φ 
e 
cdcd f,Fcf,
IEM 7070 φ= (2.26) 
Assim, se φ0,7 fcd < φy, então, o concreto atinge seu limite elástico ( 0,7 fcd ) antes do aço entrar em 
escoamento. Caso contrário, se φ0,7 fcd > φy, então, o aço entra em escoamento antes do concreto atingir 
seu limite elástico ( 0,7 fcd ). 
2.2.4 FASE III – FASE NÃO LINEAR 
Na fase III, a tensão na armadura aumenta até o escoamento e/ou a deformação no concreto 
aumenta até o limite de 0,35%. A distribuição de tensões não é linear e pode ser idealizada como um 
diagrama parábola - retângulo. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 2 
 
35
Seção transversal
L.N
εc
y
Deformações
σc
Tensões
y1
d
Y
Rs
 
Figura 2.9 – Tensões de deformações em uma seção de concreto armado no estádio III. 
 
Como o comportamento do concreto não é mais linear, deve-se obter a integral do 
diagrama parábola – retângulo na área comprimida a fim de se calcular a resultante de tensões no 
concreto. A NB1-2000 permite a substituição desse diagrama por um retangular equivalente. 
L.N
y
Tensões
d
Rs
L.N
y
0,85 fcd
Tensões
Xd 0,8 X
0,85 fcd
Rs
 
Figura 2.10 – Diagrama de tensões simplificado permitido pela NB1-2000. 
 
 
 
CAPÍTULO 3 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 
 
Atualmente a NBR 6118, apesar de permitir o cálculo dos esforços em regime elástico, 
determina que as seções devem ser dimensionadas para o estado limite último, isto é no estádio III. 
Para tanto são fixadas as seguintes hipóteses básicas: 
 
a . Permanece válida a hipótese de Bernoulli, isto é, as seções permanecem planas até a ruptura. 
εcc
εctbw
d
X
h
d’
εc(X)
εs = εc(X)
Y
Z
As
L.N.
 
Figura 2.1 - Hipótese de Bernoulli. 
 
b. O encurtamento de ruptura do concreto na flexão simples é de 3,5 %o. No entanto, o valor de cálculo 
da tensão limite de compressão, igual a 0,85 fcd é atingido para deformações a partir de 2%o. Para 
deformações inferiores a 2 %o as tensões de compressão caem até zero seguindo uma variação 
parabólica. 
εcd
X
εsd 
σcd = 0,85 fcd
Z
Rcd
Rsd
ε = 0,2%
 
Figura 2.2 - Relação tensão x deformação para uma seção no estádio III. 
c. Para que não haja deformações excessivas para a peça fletida, o alongamento máximo permitido ao 
aço é de 1 %. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
37
 
d. Despreza-se, a favor da segurança a resistência à tração. 
 
e. O valor de cálculo da tensão no aço corresponde à deformação εs no diagrama tensão x deformação 
do aço. 
A norma brasileira permite ainda que, para efeito de dimensionamento, o diagrama 
parábola - retângulo que representa as tensões no concreto seja substituído por um diagrama retangular 
de altura 0,8 X e tensão máxima igual a 0,85 fcd no caso de seções retangulares e tês. 
X
σcd = 0,85 fcd
Z
Rcd
Rsd
σcd = 0,85 fcd
Z
Rcd
Rsd
0,8 X
 
Figura 2.3 - Simplificação na relação tensão x deformação permitida pela NB1-2000. 
 
No caso de flexão simples, os domínios definidos pela NB1-2000 que fornecem as 
possíveis configurações de colapso ficam reduzidos aos domínios 2, 3 e 4. 
d
1%
1
εyd
0,2% 0,35
2
h
3/7 h
3
4
4a
5
d”
d’
Alongamento Encurtamento
 
Figura 2.4 - Estados limites últimos ( NB1-2000 ). 
 
Cabe frisar que as considerações feitas até este momento são válidas para quaisquer formas 
de seção transversal e não apenas para as retangulares. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
38
3.1 LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS 
3.1.1 ANÁLISE DA FRONTEIRA ENTRE OS DOMÍNIOS 3 E 4 
Na fronteira entre os domínios 3 e 4, a deformação no baricentro da armadura é igual à 
deformação de escoamento do aço e a deformação máxima de compressão igual a 0,35% ( Figura 2.5 ). 
εcd = 0,35 %
bw
d
X
h
d’ εsd = εyd
Md L.N.
As
 
Figura 2.5 – Deformações na fronteira entre os domínios 3 e 4. 
 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
ξ ε= = +
x
d yd
0 0035
0 0035
,
,
 (3.1) 
εcd = 0,35%
X
εsd = εyd
σcd = 0,85 fcd
Z
Rcd
Rsd
ε = 0,2%
σcd = 0,85 fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
 
Figura 2.6 - Resultantes de tensão para a fronteira entre os domínios 3 e 4. 
 
Através da relação tensão x deformação no concreto e da simplificação no diagrama de 
tensões permitida pela NB1-2000, pode-se calcular a resultante de cálculo no concreto. 
xbfR wcdcd 8,085,0= (3.2) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura tem-se 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
39
)4,0( xdRMd cd −= (3.3) 
Substituindo-se a expressão (3.2) em (3.3) chega-se à 
)4,01(68,02 ξξµ −== dbf
Md
wcd
 (3.4) 
que, em conjunto com a expressão (3.1) chega-se a, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−+== ydydwcd dbf
Md
εεµ 0035,0
0014,01
0035,0
00238,0
2 (3.5) 
Os valores da expressão (3.5) podem ser tabelados uma vez que a deformação de 
escoamento depende unicamente do aço, 
Es
f yd
yd =ε 
Tabela 3.1 - Valores característicos no limite dos domínios 3 e 4. 
VALORES LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS 3 E 4 
Aço fyk (MPa) εyd (%) ξL (DOM. 3 e 4) µL (DOM. 3 e 4)
CA-25 250 0,1035 0,772 0,363 
CA-32 320 0,1325 0,725 0,350 
CA-40 400 0,1656 0,679 0,336 
CA-50 500 0,2070 0,628 0,320 
CA-60 600 0,2484 0,585 0,305 
 
A fim de se melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas e se 
preservar a capacidade de rotação das peças, a NB1-2000 recomenda que se garanta os seguintes 
limitespara a posição da linha neutra no estado limite último: 
• 5,0≤= dxξ para concretos com fck ≤ 35 MPa 
• 4,0≤= dxξ para concretos com fck > 35 MPa 
Dessa forma, para os casos correntes de detalhamento, não se permite o dimensionamento 
de seções superarmadas, ou seja, no domínio 4. Os limites acima podem ser alterados se forem 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
40
utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas 
regiões. 
A limitação em relação à posição da linha neutra pode ser escrita em termos do coeficiente 
adimensional µ, obtido da equação (3.4),ou do coeficiente ϕ que define o braço de alavanca 
( ϕ = z / d ). 
• para fck ≤ 35 MPa 5,0≤= dxξ => 27200,L ==≤ µµ e 800,L =≤ ϕϕ (3.6.a) 
• para fck > 35 MPa 40,dx ≤=ξ => 22850,L ==≤ µµ e 840,L =≤ ϕϕ (3.6.b) 
Vê-se então que os valores das expressões (3.6) predominam sobre os da tabela (3.1). 
3.1.2 ANÁLISE DA FRONTEIRA ENTRE OS DOMÍNIOS 2 E 3 
Na fronteira entre os domínios 2 e 3, a deformação no baricentro da armadura é igual a 1% 
e a deformação máxima de compressão igual a 0,35% ( figura 3.7 ). 
εcd = 0,35 %
bw
d
X
h
d’ εsd = 1 %
Md L.N.
As
 
Figura 3.7 - Deformações na fronteira entre os domínios 2 e 3. 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
ξ = = + =
x
d
0 0035
0 0035 0 010
7
27
,
, ,
 (3.7) 
A resultante de cálculo no concreto pode ser expressa por, 
xbfR wcdcd 8,085,0= (3.8) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura e rearranjando os termos tem-se, 
),(,
dbf
Md
wcd
ξξµ 4016802 −== (3.9) 
Substituindo-se as expressões (3.7) e (3.8) em (3.9) chega-se à, 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
41
µ = 0158, (3.10) 
Assim, 
para µ < 0 158, Dom. 2 
para ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−+≤≤ ydyd ,
,
,
,, εεµ 00350
001401
00350
0023801580 Dom. 3 
para ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−+> ydyd ,
,
,
,
εεµ 00350
001401
00350
002380 Dom. 4 
ou em função da posição da linha neutra, 
para ξ < 7
27
 Dom. 2 
para 
yd,
,
εξ +≤≤ 00350
00350
27
7 Dom. 3 
para 
yd,
,
εξ +> 00350
00350 Dom. 4 
O dimensionamento no domínio 4 era geralmente evitado pois nesse caso o colapso se 
daria antes que o aço entrasse em escoamento, não sendo portanto antecedido por grandes 
deformações. Nesse caso diz-se que a ruptura se deu "sem aviso prévio". O procedimento adotado na 
prática de projeto para os casos em que o dimensionamento das seções conduzia a seções 
superarmadas consistia em se aumentar a altura da viga ou adotar uma armadura na zona comprimida 
para reforçar a resistência à compressão da peça. O mesmo procedimento deve ser adotado para se 
garantir a condição imposta pela NB1-2000 para a posição da linha neutra, adotando-se para µL e ϕL os 
valores prescritos em (3.6). 
Muitas vezes é comum se comparar não os valores de do coeficiente µ, mas a própria 
altura útil da peça. 
wcdL bf
Mddd µ
1
lim=≥ (3.11) 
com µL estabelecido em (3.6). 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
42
Assim, o primeiro passo do dimensionamento de seções retangulares de concreto armado 
consiste em se determinar o domínio em correspondente às dimensões estimadas para a seção e para o 
momento fletor de dimensionamento Md. Para tanto, calcula-se o coeficiente µ (expressão 2.9) e 
compara-se com os limites estabelecidos para os domínios (tabela 2.1 e expressão 2.10). O mesmo 
pode ser feito utilizando-se os dados relativos à altura útil da seção (expressão 2.11). 
3.2 DIMENSIONAMENTO 
3.2.1 DOMÍNIOS 3 E 4 
As seções dimensionadas nos domínios 3 e 4 apresentam as deformações e as resultantes 
de tensões apresentadas na figura (3.13). 
εcd = 0,35%
X
0 ≤ εsd ≤ 1%
σcd = 0,85 fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
 
Figura 3.8 – Deformações e resultantes de tensão para seções retangulares dimensionadas nos 
domínios 3 e 4. 
 
A resultante de cálculo no concreto pode ser expressa por, 
xbfR wcdcd 8,085,0= (3.13) 
enquanto que a resultante no aço 
sdsd AsR σ= (3.14) 
Estabelecendo-se o equilíbrio de momentos em relação à armadura tem-se 
( )xdRzRMd cdcd 4,0−== (3.15) 
onde, adotando-se, 
ξϕ 4,01−= (3.16) 
tem-se 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
43
dRMd cd ϕ= (3.17) 
Substituindo-se a expressão (3.13) em (3.15) e rearranjando-se os termos chega-se à 
equação do 2o grau, 
0
68,0
4,0 2
2
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dbf
Md
d
x
d
x
wcd
 (3.18) 
que resolvida fornece a raiz 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= µξ
68,0
6,11125,1 (3.19) 
Por compatibilidade de deformações tem-se, 
cdsd x
xd εε −= (3.20) 
Uma vez conhecido εsd, é possível se determinar o valor da tensão na armadura σsd em 
função do tipo de aço. E, uma vez conhecida a tensão na armadura é possível se resolver a equação de 
equilíbrio em forças igualando-se as expressões (3.13) e (3.14) 
xbfAs wcdsd 8,085,0=σ (3.21) 
que rescrita nas formas (3.22) e (3.23) fornecem a área de aço procurada 
para o domínio 4 
sdsd
wcd
d
MdxbfAs σϕσ ==
68,0 (3.22) 
para o domínio 3 
ydyd
wcd
fd
Md
f
xbf
As ϕ==
68,0
 (3.23) 
Cabe lembrar que o dimensionamento no domínio 4 é geralmente evitado, optando-se por 
se aumentar a altura da viga ou se adotar uma armadura na zona comprimida para reforçar a resistência 
à compressão da peça. Com as exigências sobre a posição da linha neutra para garantia de ductilidade, 
descarta-se praticamente o dimensionamento no domínio 4. 
3.2.2 DOMÍNIO 2 
No domínio 2 o fenômeno de ruptura apresenta características especiais. O processo se 
inicia pelo escoamento da armadura. Nesse instante, como a deformação no concreto é inferior a 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
44
0,35% o diagrama de tensões ainda não corresponde ao diagrama parábola - retângulo para o qual a 
norma permite a transformação em diagrama retangular. No entanto, convém observar que o 
escoamento da armadura se inicia a partir do escoamento do aço, para um valor de deformação inferior 
à deformação de ruptura. Há então um processamento de ruptura onde se verifica que durante o 
escoamento da armadura o momento se mantém constante. Considerando-se a fase final da ruptura, 
quando o escoamento da armadura é suficiente para que seja atingido o encurtamento máximo do 
concreto, tem-se a seguinte configuração 
εsd = 1,0%
X
0 ≤ εcd ≤ 0,35% σcd = 0,85 fcd
Rcd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
 
Figura 3.9 - Deformações e resultantes de tensão para seções retangulares dimensionadas no domínio 
2. 
 
Como a distribuição de tensões no concreto obedece à mesma configuração já estudada 
para os domínios 3 e 4, a equação de equilíbrio para momento em relação à armadura é a mesma 
apresentada em (3.17). Uma vez que a força resultante no concreto corresponde também à (3.13), a 
posição da linha neutra pode ser obtida pela raiz da expressão (3.18). Como nesse caso a deformação 
final na armadura é conhecida, a tensão na mesma será, para ambos os tipos de aço, igual a 
ydsd f=σ 
Assim a equação de equilíbrio em forças fornece a área de aço necessária. 
ydyd
wcd
fd
Md
f
xbfAs ϕ==
68,0 (3.24) 
No caso em que o diagrama de tensões no concreto ainda esteja no regime elástico, o 
coeficiente que determina o braço de alavanca ϕ a ser adotado deve ser 
ϕ ξ= −1 0 8
3
, 
e não 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
45
ξϕ 4,01 −= 
como apresentado em (3.16). 
No limite entre os domínios 2 e 3 tem-se 
2590
27
7 ,==ξ 
O maior valor de ϕmáx que corresponde ao regimeelástico seria, 
9310
3
2590801 ,,,máx =−=ϕ (3.25) 
que corresponde a um valor ξmím pela formulação adotada 
ξ ϕmín má x= − =1 0 0 1725,4 , (3.26) 
Assim, no dimensionamento no domínio 2 pode-se utilizar as expressões desenvolvidas 
anteriormente, limitando-se apenas o valor de ϕ na expressão (3.16) pelo máximo previsto em (3.25). 
Armadura mínima de tração 
O valor de armadura teoricamente necessário para dimensionamento de uma seção de 
concreto armado é obtido em regime de ruptura, isto é, dimensionando-se a seção no estádio III. 
Contudo, nos casos em que as dimensões transversais da seção sejam muito superiores às necessárias 
para o dimensionamento, a peça em serviço trabalhará ainda no estádio I. Nesse caso, um excesso de 
carga pode fazê-la passar bruscamente do estádio I ao II, levando a uma ruptura brusca do bordo 
tracionado. Dessa forma, adota-se no bordo tracionado um valor mínimo de armadura com o intuito de 
se fazer com que a seção de concreto armado apresente uma resistência superior àquela apresentada 
por uma seção de concreto simples de mesmas dimensões. 
A armadura longitudinal mínima de tração em vigas é aquela determinada pelo 
dimensionamento da seção para um momento fletor mínimo. dado pela expressão (3.27). 
sup,8,0 ctkomín fWMd = (3.27) 
Onde, 
Wo - é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais 
tracionada; 
fck,sup - é o valor superior da resistência característica do concreto à tração. 
O dimensionamento para Mdmín pode ser considerado atendido se forem respeitadas as 
taxas mínimas de armadura apresentadas na tabela (3.2). 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
46
Tabela 3.2 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas. 
Valores de ρmín (%) para CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15 
fck (em MPa) FORMA DA SEÇÃO 
ωmín 
20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 0,035 0,115 0,144 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
T com mesa comprimida 0,024 0,100 0,100 0,118 0,138 0,158 0,177 0,197 
T com mesa tracionada 0,031 0,102 0,127 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 
 
3.3 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES COM 
ARMADURA DUPLA 
Quando se deseja reduzir a altura da seção e não se deseja que a mesma trabalhe no 
domínio 4 nem que apresente pouca ductilidade, utiliza-se armadura na face comprimida. Com isso, 
procura-se aumentar a resistência à compressão da peça, evitando-se peças superarmadas. Para as 
seções com armadura dupla são válidos todos os tipos de ruptura previstos para peças com armadura 
simples. Usualmente, contudo, procura-se dimensionar a seção para a condição de peça normalmente 
armada (domínio 3) utilizando-se uma altura inferior à obtida com o uso de armadura simples. Para 
seções subarmadas (domínio 2), dispensa-se o uso de armadura na zona comprimida. 
O dimensionamento de seções com armadura dupla consiste em se determinar as 
armaduras de compressão e de tração que se deve adicionar à seção de concreto simples de forma a 
que a mesma se situe no domínio 3, com posição da linha neutra fixa em 0,5 d ou em 0,4 d, conforme o 
valor de fck. No caso de seções retangulares com armadura dupla tem-se as seguintes resultantes de 
tensões: 
εcd = 0,35%
X
εsd
σcd = 0,85 fcd
R1cd
Rsd
0,8 X
Z
bw
dh
d’
Md
As
As’
R2cd
d”
d-d”
ε’sd
 
Figura 3.10 - Tensões e deformações para seções retangulares com armadura dupla. 
 
Curso de Concreto Armado - Notas de Aula - Capítulo 3 
 
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Onde, 
R1cd - é a resultante de compressão no concreto; 
R2cd - é a resultante na armadura comprimida; 
Rsd - é a resultante na armadura tracionada. 
O momento de dimensionamento Md pode ser dividido em duas parcelas, M1d e M2d 
ddd MMM 21 += (3.28) 
a primeira dada pelo momento a que a seção resiste sem o emprego de armadura de compressão. 
σcd = 0,85 fcd
R1cd
R1sd
0,8 X
Z = ϕL d M1d
R2cd
cf = d-d”
R2sd
M2d
 
Figura 3.11 - Resultantes de tensões para seções retangulares com armadura dupla. 
 
A parcela M1d é função apenas das dimensões da peça e da resistência de cálculo do 
concreto. 
21 dbfM wcdLd µ= (3.28) 
onde, µL é definido por 
27200,L =µ e 800,L =ϕ para concretos com fck ≤ 35 MPa 
22850,L =µ e 840,L =ϕ para concretos com fck > 35 MPa 
A parcela M1d está associada à parcela As1 da armadura de tração que se obtém por 
equilíbrio para a figura (3.11). 
ydL fd
dMAs ϕ
11 = (3.29) 
Uma vez conhecida a parcela M1d , obtém-se a parcela M2d da expressão (3.27), 
ddd MMM 12 −= (3.30) 
A deformação na fibra correspondente à armadura comprimida pode ser obtida por 
compatibilidade (Figura 3.10). 
 
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cd
L
L
cdsd d
"dd
x
"dx' εξ
ξεε −=−= (3.31) 
Assim, é possível se obter a tensão na armadura de compressão por ocasião da ruptura, a qual se 
designa σ’sd. Onde, 
sdssd E '' εσ = para ydsd εε <' (3.32.a) 
ydsd f='σ para ydsd εε ≥' (3.32.b) 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura superior obtém-se 
ydf
d
fc
MAs 22 = (3.33) 
A armadura de tração pode então ser calculada pela soma das expressões (3.29) e (3.33). 
As As As= +1 2 (3.34) 
ou seja, 
ydf
d
ydL
d
fc
M
fd
M
As
21 += ϕ (3.35) 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura inferior obtém-se a armadura de 
compressão, 
sdf
d
'c
Ms'A σ
2= (3.36) 
3.4 SEÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL 
Nas construções usuais os pisos são normalmente compostos por lajes que se apoiam em 
vigas, formando com elas um conjunto monolítico. As vigas, ao se deformarem, impõem a um trecho 
da laje a deformação devida à sua flexão. Esse trecho pode então ser considerado como parte 
integrante da viga para efeito de dimensionamento à flexão, formando as chamadas seções "T e L". 
 
 
 
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( a )
( b ) 
Figura 3.12 - Exemplos de seções com largura variável. 
 
 
A presença das lajes, quando localizadas na zona comprimida pela flexão, se revela 
favorável ao trabalho da viga, já que a mesma propicia uma área de concreto resistente maior que a 
fornecida caso a viga seja um retângulo isolado. 
As normas brasileiras, alemã e o CEB apresentam prescrições para determinação do trecho 
de laje que pode ser incorporado à viga para seu dimensionamento, chamado largura efetiva da viga bf. 
Segundo a NBR-6118, obtém-se a largura fictícia da nervura pela soma de largura real bw com os 
menores catetos das mísulas correspondentes. 
bw
bab4 b2
b3 b1
bf
 
Figura 3.13 - Largura da mesa colaborante. 
 
Chamando-se b2 a distância entre as faces de nervuras fictícias sucessivas, a parte a se 
considerar para o dimensionamento da viga é dada por, 
 
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50
⎩⎨
⎧≤
2
1 5,0
1,0
b
a
b (3.37) 
no caso de lajes internas ou por, 
⎩⎨
⎧≤
4
3
1,0
b
a
b (3.38) 
no caso de lajes extremas. 
A antiga NBR-6118/78 previa ainda as limitações de 0,8 hf , para o caso de lajes internas, e 
de 0,5 hf, para ocaso de lajes extremas, respectivamente. Esses limites não constam da NB1-2000 
(NBR-6118/2000). 
Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa colaborante, a 
largura efetiva da mesa deve respeitar as limitações impostas por elas, como mostra a figura (3.14). 
bef
bf
1 1
2 2
abertura
Figura 3.14 - Largura efetiva com abertura. 
 
O termo "a" que aparece nas expressões (3.37) e (3.38) tem os seguintes valores: 
• para vigas simplesmente apoiadas la = 
• para tramo com momento em uma só extremidade l,a 750=