Lista 4 Calculo 1

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4ª Lista de Exercícios de Cálculo I 
 
 
1) Calcule os limites: 
 
a) 
0
lim
x x
x
e e
senx
−
→
−
 b) 
1
1lim
1nx
x
x→
−
−
 
 
c) 
0
lim
x
tgx x
x senx→
−
−
 d) ( )22
ln( )lim
2x
senx
xpi pi→ −
 
 
e) 2 50lim 3
x
x
e senx x
x x→
−
+
 f) 
0
ln( 3 )lim
ln( )x
sen x
senx+→
 
 
g) 30limx
x arcsenx
sen x→
−
 h) 
0
1lim
tgx
x x→
 
 
 
 
 
i) 
cos
2
5lim 5
2
x
x
x
pi
pi
−
→
 
− 
 
 
 
j) 
2
1
0
lim
x
x
senx
x→
 
 
 
 k) 
0
lim( cot 2 )
x
x g x
→
⋅ 
 
l) 
0
1lim ln
x
x x+→
  
  
  
 
 
 
m) 
1
1lim
1 lnx
x
x x→
 
− 
− 
 
 
n) 1lim ln ( )
x
x e x e
x→+∞
  
⋅ + − +  
  
 
 
o) 2 20
1 1lim
x x sen x→
 
−  
 
 
 
2) Prove a desigualdade: 
 
ln(1 ) , 0x x x+ < ∀ > 
 
Dica: Aplique o TVM para a função 
( ) ln(1 )f x x= + no intervalo [0, ]x . 
 
 
 
 
3) Ache os extremos de: 
 
a) 4 2( ) 2f x x x= − + 
 
b) 23( ) 2 ( 1)f x x= − − 
 
c) ( ) cos , 
2 2
f x senx x xpi pi= + − ≤ ≤ 
 
d) ( ) , 0
ln
xf x x
x
= > 
 
e) ( ) lnf x x arctgx= − 
 
f) 2 32( ) 6 7
3
f x x x= − 
 
g) 
2
1
1
2( ) 1
xef x
x
−
=
+
 
 
h) [ ]( ) , ,
2 cos
senxf x x
x
pi pi= ∈ −
+
 
 
i) ( ) 3 3 , (0,2 )f x sen x senx x pi= − ∈ 
 
4) Qual o maior e o menor valor abso-
luto da função dada no exercício 3, 
item c? 
 
5) Qual o maior e o menor valor absoluto 
da função 4 2( ) 3 6 1f x x x= − + − no inter-
valo [–2, 2]? 
 
6) Generalizemos o problema de maxi-
mização visto em aula: considere um 
cone circular reto de raio R e altura H. 
Determine o cilindro circular reto de 
volume máximo que pode ser inscrito 
nesse cone. 
 
7) O volume de um prisma hexagonal 
regular é 36m³. Quais devem ser suas 
dimensões para que sua área total seja 
mínima? 
 
8) Mostre que dentre os cilindros circu-
lares retos de volume igual a V, aquele 
que tem a menor área total é o cilindro 
eqüilátero (h=2r). 
9) Um cilindro tem área total 216pi . 
Qual o seu volume, sabendo que é 
máximo? 
 
10) Um jardineiro constrói um jardim 
em forma de setor circular com perime-
tro de 30m. Quais devem ser as dimen-
sões de tal jardim, para que sua área 
seja máxima? 
 
11) Determine dois números positivos 
cuja soma seja 4 e tal que a soma do 
cubo do menor com o quadrado do 
maior seja mínima. 
 
12) Na elipse 
2 2
2 2 1, , 0
x y
a b
a b
+ = > , 
inscreve-se um retângulo com os lados 
paralelos aos eixos da elipse. Nessas 
condições, quais as dimensões do 
retângulo de área máxima que pode 
ser inscrito? 
 
13) Uma chapa de largura l é dobrada, 
como na figura, para formar uma calha. 
Calcule θ para que a área da secção 
transversal seja máxima. 
 
 
 
 
14) Determine os pontos de inflexão 
das curvas dadas pelas funções: 
 
a) 3 2( ) 3 9 9f x x x x= − − + 
 
b) 2
1( )
1
f x
x
=
+
 
 
c) 2( ) ln(1 )f x x= + 
 
d) 2( ) ln( 1)f x x x= + + 
 
15) Verifique se as curvas abaixo 
possuem assíntotas e em caso afir-
mativo, determine-as. 
 
a) 
2 1
1
xy
x
+
=
+
 b) 3
1
( 2)y x= + 
 
c) 1/ 1xy e= − d) 2
1
xy xe= 
 
e) 3 21y x= − f) 2
8
4
y
x
=
+
 
 
g) 2 3³ 6y x x= + 
 
 
16) Estude o comportamento e faça um 
esboço do gráfico das seguintes fun-
ções: 
 
a) 4 2 10y x x= − + 
b) 2
6
1
xy
x
=
+
 
c) 1/ xy e−= 
d) y x senx= + 
e)
3
23
xy
x
=
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 
a) 2 b) 1/n c) 2 d) –1/8 e) 1/3 
 
f) 1 g) –1/6 h) 1 i) 1 j) 1/6e− 
 
k) 1/2 l) 1 m) 1/2 n) 
21 e
e
−
 o) –1/2 
 
3) 
 
a) (-1, 1), (1, 1) →máximos 
 (0, 0) → mínimo 
 
b) (1, 2) → máximo 
 
c) , 2
4
pi 
→ 
 
máximo 
 
d) (e, e) → mínimo 
 
e) Não possui extremos 
 
f) (0, 0) → máximo 
 (1, –2/3) → mínimo 
 
g) (0, e) → mínimo 
 
h) 2 3,
3 3
pi 
− − →  
 
mínimo 
 
2 3
,
3 3
pi 
→  
 
 máximo 
 
i) , 4
2
pi 
− → 
 
mínimo 
 
3
,4
2
pi 
→ 
 
máximo 
 
4) 1, 2m M= − = 
 
5) 25, 2m M= − = 
 
 
6) raio do cilindro → 2R/3 
 Altura do cilindro → H/3 
 
7) Aresta da base → 2m 
 Altura → 2 3 
 
8) 3
2
VR
pi
= 9) 432pi 
 
10) Raio do setor → 7,5m 
 Comp. Do arco do setor → 15m 
 
11) 4/3 e 8/3 12) 2 e 2a b 
 
13) 120º 
 
14) 
a) (1, –2) b) 1 3,
43,
 
± 
 
 
 
c) ( 1, ln 2)± d) (0,0) 
 
15) 
a) 1x = − e 1y x= − 
b) 2 e 0x y= − = 
c) 0 e 0x y= = 
d) 0 e x y x= = 
e) Sem assíntotas 
f) 0y = 
g) 2y x= + 
 
16)