Exercícios AV3 - 2014.1 - com gabarito

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1) Dados os vetores u = 5i + 
j - k e v = (m -1)k - 2i, quanto vale m se eles são ortogonais?
2 – Dados os vetores a = 3ux +6uy – 1uz , b = = mux + uy e c = ux - 4uy – uz , quanto vale m se eles são coplanares?
3) Dados os vetores u(3,5,m) e v(-4,0,3), quanto vale m se o ângulo entre os vetores é de 45º?
4) ) Dados os vetores u = 5i + 23j - k e v = 2i -45j +2k , quanto vale u + v e u – v ?
5) Dados os vetores u(-5 , 9, 3), v(-5,0,-2) e w = (0, -9, 8) quanto vale o volume do paralelepípedo formado pelos 3 vetores?
6) Determine as coordenadas do centro, dos eixos maior e menor, dos focos, a distância focal e a excentricidade da elipse (x-1)2/16 +(y-2)2/9 = 1 
7) Determine as coordenadas do centro, dos vértices AA e BB, dos focos, a distância focal e a excentricidade da hipérbole x2/16 - y2/9 = 1 
8) Determinar a equação da parábola, sabendo que: Vértice V(0,0), passa pelo ponto Q(3,4) e concavidade voltada para baixo.
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1) Se são ortogonais o produto escalar é zero.
2) se são coplanares o produto misto é zero.
3) i) u.v = 3x(-4) + 5x0 + mx3= 3m -12
 ii) u.v = (√32 + 52 + m2) (√(-4)2 + 02 + 32) cos 45º 
 u.v = (√34 + m2) √25 
 i = ii
3m – 12 = (√34 + m2) 5
 
m = raízes da equação do 2º grau
4) u + v = (5+2 , 23 + (-45) , -1 + 2) = (7,-22,1)
 u - v = (5-2 , 23 - (-45) , -1 - 2) = (3,58,-3)
5) O volume é dado pelo produto misto, dos 3 vetores, em valor absoluto.
6) (x-1)2/16 +(y-2)2/9 = 1 ( (x-xc)2/a2 +(y-yc)2/b2 
a = 4 ; b = 3 ; c = √ 42 - 32 = √7
Centro: C = (xc , yc)=(1,2)
eixo maior: A = (a+xc, yc) = ( 4+1 , 2) = (5,2) 
 A’ = (-a+xc, yc) = (- 4+1 , 2) = (-3,2)
eixo menor: B = (xc, b+yc) = ( 1 , 3 + 2) = (1,5)
 B’ = (xc, -b+yc) = ( 1 , -3 + 2) = (1,-1)
focos; F = (1+√7, 2) F’ = (1-√7, 2), 
a distância focal: de (1+√7, 2) até (1-√7, 2), temos a distância de 2√7,
e a excentricidade da elipse: e = c /a = √7 / 4
 y
 5
 2 
 
 -3 0 1 5 x
 -1
7) x2/16 - y2/9 = 1 
a= 4, b=3, c =√a2 + b2 = √ 16 + 9 = 5 , e = c/a = 5/4 
Centro: C = (0,0)
Vértice: A = (4,0) A’ = (-4,0) 
focos: F= (5,0) F’ = (-5,0), 
distância focal: de (5,0) até (-5,0),, temos a distância de 10. 
a excentricidade da hipérbole: e = 5/4
8) Determinar a equação da parábola, sabendo que: Vértice V(0,0), passa pelo ponto Q(4,-4) e concavidade voltada para baixo.
Se concavidade voltada para baixo temos: x2=2py e p<0
Se Q pertence à parábola então 42 = 2p . (-4)
-16/8 = p = -2
x2=-4y
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