Fundamentos de Geometria I

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Fundamentos de Geometria I
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
UFG
Professor Paulo Roberto 
RESUMO, DISCUSSÕES E EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E DISCUSSÕES
Exercício 1. Admitindo somente os dois primeiros axiomas de
incidência, I-1 e I-2, é possível provar que existem retas? E que
existem pontos?
Resolução. Para ambos os questionamentos, a resposta é: Não!!
Atenção aluno! É comum imaginar que o Ax. I-1 garanta a existência
de reta. Vamos resgatá-lo para procurar entendê-lo melhor.
Ax. I-1: Qualquer que seja a reta, existe ponto que pertence a ela e
existe ponto que não pertence a ela.
Veja bem! Embora no enunciado de sua hipótese apareça o termo
“reta”, ele não garante a existência de tal objeto. O que ele quer dizer
é que “Caso haja reta, deve existir ponto sobre ela e ponto fora dela”.
Portanto, o Ax. I-1 não garante a existência de reta. E, já que para ele
a existência de ponto está condicionada ao fato de se ter a reta,
então ele também não garante a existência de ponto. Percebe?
Da mesma forma, o Ax. I-2 não garante a existência de ponto,
embora este objeto apareça no enunciado de sua hipótese.
Reveja o Ax. I-2: Dados dois pontos distintos quaisquer, existe uma
única reta que os contém.
Aqui a mesma linha de raciocínio. O Ax. I-2 diz que “caso hajam
dois pontos, por eles obrigatoriamente passa uma e só uma reta”.
Ele não afirma decisivamente que existem pontos e,
consequentemente, que haja reta.
O que se conclui com a discussão acima é que somente com os
axiomas I-1 e I-2 não é possível garantir a existência dos objetos
indefinidos: ponto e reta. Ou seja, não é possível provar a existência
de tais objetos.
Como se prova dada afirmação?
A prova de uma afirmação se dá por intermédio de uma sequência
lógica de outras afirmações estabelecidas anteriormente (axiomas,
proposições, lemas e teoremas).
IMPORTANTE: As proposições, lemas e teoremas são
consequências dos axiomas que se tem à disposição.
Muitas vezes não é possível provar dada afirmação com os
axiomas que já se tem estabelecido. Ou seja, prova-se que é
impossível provar dada afirmação. A ferramenta utilizada para
isso é o modelo para a geometria formada pelos axiomas em
questão.
O que é um modelo para uma geometria e para que serve?
Um modelo para uma geometria definida por um conjunto
de axiomas é dado por uma representação dos objetos primitivos
(ponto e reta) e relações primitivas por outros objetos e relações
matemáticos que satisfaçam os axiomas da geometria em questão.
Modelos servem para dar exemplos e contra-exemplos para
algumas afirmações.
OBSERVAÇÃO: Um contra-exemplo é um exemplo, a partir do
qual se verifica que determinada afirmação não se confirma em uma
geometria definida por um conjunto de axiomas. Em outras palavras,
com ele prova-se que é impossível provar tal afirmação na geometria
em questão.
Propriedade Fundamental dos Modelos
Qualquer teorema que se pode provar com os
axiomas que definem uma geometria é válido em
qualquer modelo que satisfaça esses axiomas.
Isto acontece porque, como o teorema decorre dos
axiomas, e os axiomas são válidos no modelo, segue que o
teorema também é válido no modelo.
Como se prova que é impossível provar dada afirmação?
A prova de que é impossível provar determinada afirmação
em uma geometria definida por um conjunto de axiomas se dá
exibindo um modelo para esta geometria em que a tal afirmação não
se verifica.
Neste caso o raciocínio é o seguinte: Se fosse possível provar a
afirmação em questão na presença de um conjunto de axiomas, ela
seria um teorema. E com a exibição do modelo em que a afirmação
não se verifica tem-se uma contradição à Propriedade Fundamental
dos Modelos, que garante que a afirmação (teorema) valeria em
todos os modelos para a geometria definida por este conjunto de
axiomas.
Como exposto anteriormente, basta exibir um modelo para
a geometria constituída dos axiomas I-1 e I-2 de modo que neste
modelo tal afirmação não se confirme.
Já que se quer provar a impossibilidade de provar a
existência de ponto e de reta, obviamente que o modelo não deve
possuir nenhuma reta e nenhum ponto (ele é vazio).
Isto pode parecer estranho. Porém, como não há elementos
que satisfaçam as hipóteses dos axiomas, as teses não são
contrariadas. Neste caso, diz-se que os axiomas I-1 e I-2 são
satisfeitos por vacuidade.
Voltando ao Exercício 1). Ele quer que se prove que é impossível
provar a existência de reta e de ponto, tendo como axiomas à
disposição somente os dois de incidência I-1 e I-2.
Verificou-se que os axiomas de incidência I-1 e I-2 não
garantem (não é possível provar) a existência de ponto e
nem de reta. Então, para que tais objetos existam, é
necessário que seja declarado em um axioma. Daí a
criação do 3º axioma de incidência I-3.
Axima I-3. Existem pelo menos dois pontos.
Observe que o próprio Ax. I-3 garante a existência de pontos, e
juntamente ao Ax. I-2 tem-se a garantia da existência de reta.
Necessidade de um 3º axioma de incidência.
Exercício 2. Prove que na Geometria de Incidência (geometria
definida pelos três axiomas de incidência) existem pelo menos 3
pontos e existem pelo menos 3 retas.
NOTA: As afirmações 1, 2 e 3 é a sequência lógica de afirmações que provam a
existência de pelo menos 3 pontos. Estas afirmações acompanhadas da afirmação 4 é a
sequência lógica que provam a existência de pelo menos 3 retas. A justificativa das
afirmações são os axiomas apontados.
Exercício 3. Prove que é impossível provar que na Geometria de
Incidência existem mais de 3 pontos e mais de 3 retas.
Retas paralelas e retas que se interceptam
Definição. Duas retas são paralelas se elas
não têm ponto em comum. Duas retas se
interceptam se elas têm um ponto em
comum.
NOTA IMPORTANTE: O fato de se definir um
objeto não garante a sua existência.
Diante da nota, surgem os seguintes
questionamentos: Retas que se interceptam
existem? Retas paralelas existem?
A garantia da existência é dada através de
uma demonstração. E no caso de não ser
possível demonstrar a existência do objeto, como
se garante a sua existência?
O que segue dá subsídios para se
responder esses questionamentos.
Existência de retas que se interceptam
Proposição. Existem retas que se interceptam (admitidos
apenas os três axiomas de incidência).
Demonstração: Pelo Ax. I3 existem dois pontos A e B.
Devido ao Ax. I2 existe uma reta r que contém A e B (Até
aqui foi mostrada a existência de reta). Agora, pelo Ax. I1,
existe um ponto C fora da reta r. Como A pertence a r e C
não pertence a r, então A e C são pontos distintos.
Portanto, pelo Ax. I2, existe uma reta s que contém os
pontos A e C. Assim, as retas distintas r e s têm o ponto A
em comum e, portanto, são retas que se interceptam,
como se queria demonstrar.
Afirmação 1. Existem retas paralelas (admitindo somente os
três axiomas de incidência).
Resposta: A resposta é falsa. O modelo dados pelos três
pontos A,B e C e pelas três retas {A, B}, {A, C} e {B, C}, no
qual não existem retas paralelas, prova que é impossível
provar a existência de retas paralelas, admitindo somente os
axiomas de incidência.
Afirmação 2. Não existem retas paralelas (admitindo somente
os três axiomas de incidência).
Resposta: A resposta também é falsa. Considere o modelo
dado pelos três pontos A,B e C e pelas quatro retas {A, B},
{A, C}, {B, C} e {A}. As retas {B, C} e {A} são paralelas, pois
não têm ponto em comum. Isto prova que é impossível
provar que não existem retas paralelas.
Como não é possível provar nem a existência e nem a
não existência de retas paralelas, diz-se que esta afirmação
é indecidível (sem uma decisão).
Portanto, para que hajam retas paralelas, isto deve
ser declarado em um axioma. E isto será feito em dois
axiomas, um garantindo a existência e outrogarantindo a
unicidade.
Axiomas de Paralelismo
Axioma P1. Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o
ponto P fora de r, existe pelo menos uma reta paralela a r
por P. (Existência)
Axioma P2. Qualquer que seja a reta r e qualquer que seja o
ponto P fora de r, existe no máximo uma reta paralela a r
por P. (Unicidade)
Exercício 4. Prove que, utilizando-se dos cinco axiomas (os três de
incidência e os dois de paralelismo):
(a) existem pelo menos 4 pontos e pelo menos 6 retas.
COMENTÁRIO IMPORTANTE: A ferramenta fundamental
na demonstração do Lema da Transversal efetuada
acima foi o Axioma P-2. Sem ele não se teria chegado à
contradição. Será que existe outra maneira de
demonstrar esse lema que não utilize o Axioma P-2
direta ou indiretamente? Se existir tal demonstração
significa que o Axioma P-2 não é imprescindível para a
veracidade do lema, ou seja, pode-se dispensá-lo; caso
contrário, ele é indispensável para a demonstração. O
próximo exercício é referente a tal questionamento.
Com apenas o conteúdo apresentado nas unidades 1 e 2
(os três axiomas de incidência e os dois de paralelismo) tem-se
que as retas têm uma quantidade finita de pontos; a própria
geometria tem uma quantidade finita de pontos, podendo ser
denominada “geometria finita”. Portanto, para que se tenha reta
com quantidade infinita de pontos, isto tem que ser declarado em
um axioma. Neste intuito, na Unidade 3 deu-se uma pausa na
abordagem da Geometria para dedicar-se à cardinalidade de
conjuntos.
Na unidade 3 vê-se que existem infinitos de diferentes
cardinalidades. E assim, qual deles adotar? O 6º axioma – Axioma
da Régua – apresentado na unidade 4 tem este objetivo. Além de
garantir que a reta tenha infinitos pontos, ele proporciona
continuidade à reta e que a distância entre dois pontos da reta é a
mesma distância entre dois números reais correspondentes.
A geometria definida com o acréscimo do novo
axioma, o Axioma da Régua, não é mais finita. Logo,
nenhum dos modelos vistos anteriormente em que
pontos eram letras e retas eram conjuntos de letras é
modelo para esta geometria.
Desta forma, a seguir são apresentados modelos
para esta nova geometria.
Neste modelo, a relação de pertinência é definida assim: um ponto pertence a
reta se as suas coordenadas satisfazem a equação da reta.
Para a verificação do Axioma da Régua, tem-se que
estabelecer a distância cartesiana e os sistemas de coordenadas
apropriadamente.
1
1
-1
-1
0
1
1
-1
-1
0
Surpreso com o aspecto da circunferência no modelo do
taxista?
O objeto circunferência, por causa da definição, depende
da definição de distância. Mudando-se a maneira de se definir
distância, pode-se mudar o aspecto da figura. Estamos
acostumados com o aspecto arredondado, mas isto é devido aos
cursos de geometria tradicionais e de geometria analítica
assumirem a definição de distância entre dois pontos aquela dada
no modelo cartesiano.
Existem ainda outras maneiras de se definir distância!
Definição. O perímetro de uma figura plana é a medida do
comprimento de seu contorno.
Exercício 9. Calcule o perímetro da circunferência no modelo do
taxista do Exercício 8.
1
1
-1
-1
0
1
1
-1
-1
0
Outras definições – Outros objetos
A seguir, uma proposição que relaciona a ordem de pontos na reta
com a ordem de suas respectivas coordenadas (números reais).
RESUMO, DISCUSSÕES E EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS – UNIDADE 5
Note que, embora nos dois modelos (cartesiano e do taxista) o
sistema de coordenadas para retas inclinadas seja diferente, o objeto
segmento é igual. A diferença ocorre no comprimento do segmento.
Modelo Bizarro
Representação dos objetos indefinidos:
• Ponto: como no modelo cartesiano.
• Reta: como no modelo cartesiano.
Assim, no modelo bizarro, segmentos verticais e inclinados
têm o mesmo aspecto do que no modelo cartesiano. Porém,
segmento horizontais e, consequentemente, triângulos que tenha
lado horizontal, podem ter aspecto bem diferente. Como exemplo,
veja o exercício 2 a seguir.
Reta separa o plano
Exercício 3: Prove que é impossível provar que toda reta separa o
plano na presença dos seis axiomas atuais.
NOTA: Lembre-se , a prova da impossibilidade de provar é feita
exibindo: 1- um modelo no qual valem os axiomas atuais e 2- uma
situação dentro deste modelo que a afirmação em questão não se
verifica. Neste caso, a afirmação é “toda reta separa o plano”.
Como os axiomas anteriores não garantem que toda reta
separa o plano (Exercício 3), para que isto ocorra deve ser
declarado em um axioma.
Axioma de Separação do Plano
Axioma de separação do plano. Toda reta separa o plano.
Observação. O axioma de separação do plano é independente dos
demais, pois o modelo bizarro satisfaz todos os outros seis
axiomas, e, como mostrado no Exercício 3, não satisfaz o axioma
de separação do plano.
Pasch e o Axioma de Separação do Plano
Proposição. Se uma reta corta uma lado de um triângulo, sem
passar pelos vértices, então ela corta um dos outros dois lados
também.
Exercício 4. Prove que o axioma de separação do plano é
indispensável para demonstrar a proposição acima .
Prova. Caso este axioma fosse dispensável, a proposição seria válida
em todo modelo que satisfaz os outros axiomas, mas que não
satisfaz o axioma de separação do plano. Veja que isto não
acontece na situação apresentada abaixo no modelo bizarro.
Interior de Triângulo e interior de Circunferência
Não tem sentido interior de triângulo no modelo bizarro, porque o
interior de triângulo é definido como a interseção de semiplanos e
não existe semiplano neste modelo.
Por outro lado, tem sentido o interior de circunferência no modelo
bizarro, pois depende de distância
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EAD 
 
 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria I 
Professor: Paulo Roberto Bergamaschi 
 
 
Gabarito da Atividade 1 
 
 Segue as soluções das questões da Atividade 1, acompanhadas de 
comentários, quando necessário. 
 
1) Admitindo-se apenas os três axiomas de incidência, prove que: 
(a) existem pelo menos 3 pontos. 
(b) existem pelo menos 3 retas. 
(c) é impossível provar que existem mais de 3 retas. 
 
Resolução. 
(a) PROVA: Pelo Axioma I-3, existem dois pontos e . O axioma I-2 garante a 
existência de uma reta que contém os pontos e . E o axioma I-1 garante 
que existe um ponto fora da reta . Logo, fica provado que existem pelo 
menos três pontos, a saber, , e . 
 
(b) PROVA: Pelo Axioma I-3, existem dois pontos e . O axioma I-2 garante a 
existência de uma reta que contém os pontos e . E o axioma I-1 garante 
que existe um ponto fora da reta . Como está em e está fora de , então 
são distintos. Portanto, pelo Axioma I-2, existe uma reta que contém os pontos 
 e . De modo semelhante, existe uma reta que contém os pontos e . 
Logo, fica provado que exisem pelo menos três retas, a saber, , e . 
 
(c) Para provar que é impossível provar que existem mais de três retas, basta exibir 
um modelo para a geometria formada pelos três axiomas de incidência em que 
se tenha exatamente três retas (e não mais de 3 retas). Um modelo que atende a 
este quesito é o seguinte: pontos são as letras , e e retas são os conjuntos 
de letras { , }, { , } e { , }. 
 
COMENTÁRIOS: 
1) Note que esta representação é de fato um modelo para a geometria formada 
pelos três axiomas de incidência. Como ele possui 3 pontos, atende ao 
Axioma I-3. Já que toda reta (conjunto formada por duas letras) possui ponto 
(letra) pertencentea ela e ponto (letra) não pertencente a ela, então satisfaz o 
Axioma I-1. O Axioma I-2 também é satisfeito, já que para cada par de 
pontos (par de letras), existe uma reta (conjunto de letras) que os contém. 
 
2) A prova da impossibilidade de provar se justifica pelo seguinte argumento: 
Caso fosse possível provar a existência de mais de 3 retas, esta afirmação se 
tornaria um teorema da geometria formada apenas com os três axiomas de 
incidência. Logo, pela Propriedade Fundamental dos Modelos, tal afirmação 
(teorema) deveria ser válida em todo modelo para tal geometria, o que não é 
verdade, já que se exibiu um modelo em que tal afirmação não é satisfeita. 
 
2) Construa um modelo para a geometria composta pelos 5 axiomas, os três de 
incidência I-1, I-2 e I-3 e os dois de paralelismo P-1 e P-2. Justifique a validade do 
seu modelo. 
 
Resolução. Considere a seguinte representação: pontos são as letras , , e e 
retas são os conjuntos de letras { }, { }, { }, { }, { } e { }. A 
seguir, a verificação de que esta representação é um modelo para a geometria 
composta pelos cinco axiomas em questão. 
 
a) Os quatro pontos garantem a existência de pelo menos dois pontos. Portanto, 
o Axioma I-3 está satisfeito. 
 
b) Para toda reta (conjunto de par de letras) existe ponto (letra) não pertencente 
a ela, então o Axioma I-1 está satisfeito [Aqui considerou-se o novo 
enunciado do Ax. I-1, em que dispensa-se a existência de ponto na reta, com 
a presença dos axiomas de paralelismo (Veja o item 15 da Unidade 2)]. 
 
c) Para cada par de pontos (par de letras), existe uma única reta (conjunto de 
letras) que os contém. Isto mostra que o Axioma I-2 também está satisfeito. 
 
d) Para a verificação da validade do Axioma P-1, deve-se, para cada reta e para 
cada ponto fora da reta, exibir uma reta paralela à reta dada passando pelo 
ponto dado. Isto é feito na tabela abaixo. 
 
Reta Ponto fora da reta Reta paralela contendo o ponto 
{ } 
 { } 
 { } 
{ } 
 { } 
 { } 
{ } 
 { } 
 { } 
{ } 
 { } 
 { } 
{ } 
 { } 
 { } 
{ } 
 { } 
 { } 
 
e) Para a verificação da validade do Axioma P-2, deve-se, para cada reta e para 
cada ponto fora da reta, exibir no máximo uma paralela (ou uma ou nenhuma) 
à reta dada passando pelo ponto dado. Isto pode ser visto na tabela acima. 
Note que a reta da 3ª coluna é a única reta paralela à reta da 1ª coluna que 
passa pelo ponto da 2ª coluna. 
 
3) Um axioma é independente dos demais se não pode ser provado a partir deles. Na 
verdade, o que se pretende é confirmar que eles são axiomas de fato. Prove, 
justificando cada passagem da prova, que: 
NOTA IMPORTANTE: A prova de que um axioma é independente dos demais 
segue o seguinte raciocínio. Supondo o contrário, que ele seja dependente dos demais 
axiomas, que quer dizer que seria possível prová-lo utilizando-se dos demais 
axiomas, ele seria um teorema na geometria composta pelos demais axiomas. Assim, 
pela Propriedade Fundamental de Modelos, ele seria válido em todos os modelos que 
satisfaz os demais axiomas. Porém, exibindo um modelo que não satisfaz tal axioma 
e que satisfaz os demais axiomas, chega-se a uma contradição. Fica assim provado 
que o axioma é independente dos demais. 
Logo, para a prova da independência de um axioma dos demais axiomas, basta a 
exibição de um modelo adequado. Isto é feito abaixo. 
 
(a) O axioma I-2 é independente de I-1, I-3, P-1 e P-2. 
 
Resolução. Modelo que satisfaz os axiomas I-1, I-3, P-1 e P-2, mas que não satisfaz o 
axioma I-2: os pontos são as letras , e e as retas são os conjuntos de letras { }, 
{ } e { }. 
 De fato, como existem 3 pontos, o Axioma I-3 é satisfeito. O Axioma I-1 
também é satisfeito, pois toda reta possui ponto fora dela. A verificação de que o 
Axioma P-1 é satisfeito é realizada na tabela abaixo. 
 
Reta Ponto fora da 
reta 
Reta paralela contendo o ponto Verificação de que a reta é 
paralela 
{ } 
 { } { } { } 
 { } { } { } 
{ } 
 { } { } { } 
 { } { } { } 
{ } 
 { } { } { } 
 { } { } { } 
 
A reta paralela dada na 3ª coluna é a única paralela à reta dada na 1ª coluna pelo ponto 
fora dado na 2ª coluna. Logo, também é satisfeito o Axioma P-2. Para verificar que o 
Axioma I-2 não é satisfeito, basta notar que para nenhum par de pontos, existe uma reta 
que os contém. Na verdade, basta verificar isto para um par de pontos; por exemplo, não 
tem nenhuma reta que contém o par formado pelos pontos e (Para que isto fosse 
possível, o modelo deveria ter a reta { , }, o que não acontece). 
 
(b) O axioma P-2 é independente de I-1, I-2, I-3 e P-1. 
 
Resolução. Modelo que satisfaz os axiomas I-1, I-2, I-3 e P-1, mas que não satisfaz o 
axioma P-2: os pontos são as letras , e e as retas são os conjuntos de letras { }, 
{ }, { }, { }, { } e { }. 
De fato, como existem 3 pontos, o Axioma I-3 é satisfeito. O Axioma I-1 
também é satisfeito, pois toda reta possui ponto nela e fora dela (Aqui considerou-se o 
enunciado antigo do Ax. I-1, pois sem o axioma P-2 não é possível provar que toda reta 
possui ponto sobre ela). A verificação de que o Axioma I-2 é satisfeito é realizada na 
tabela abaixo. 
 
Par de pontos Única reta que contém o par de pontos 
 e { } 
 e { } 
 e { } 
 
A verificação de que o Axioma P-1 é satisfeito é feita com auxílio da tabela abaixo 
 
Reta Ponto fora da 
reta 
Paralela à reta pelo 
ponto fora dela 
Verificação de que a reta é paralela 
{ } { } { } { } 
{ } { } { } { } 
{ } { } { } { } 
{ } 
 { } e { } { } { } e { } { } 
 { } e { } { } { } e { } { } 
{ } 
 { } e { } { } { } e { } { } 
 { } e { } { } { } e { } { } 
{ } 
 { } e { } { } { } e { } { } 
 { } e { } { } { } e { } { } 
 
Pela tabela acima pode-se notar que existe reta e existe ponto fora dela, tal que existem 
mais de uma paralela à reta dada pelo ponto fora dela dado; por exemplo, tomando a 
reta { } e o ponto fora dela , existem duas retas, { } e { }, paralelas à reta { } 
(portando mais de uma) passando pelo ponto . Logo, este modelo não satisfaz o 
Axioma P-2. 
 
4) Prove a propriedade transitiva de paralelismo: Se a reta r é paralela à reta s, e s é 
paralela à reta t, então r é paralela à t. 
 
Resolução. Hipótese: e Tese: 
 
Demonstração. Suponha, por contradição, que a reta não seja paralela à reta . Assim, 
a reta intercepta a reta em um ponto . Devido a hipótese, tem-se que e são 
ambas paralelas à reta . Desta forma, pelo ponto fora da reta existem duas paralelas 
a , a saber, as retas e . Isto contradiz o axioma P-2, que garante que por um ponto 
fora de uma reta deve ter no máximo uma paralela à reta dada. A contradição se deu ao 
assumir que não seja paralela à reta ; logo, a reta é paralela à reta . 
 
5) Dizer que um axioma (ou uma dada afirmação) é indispensável para provar uma 
determinada propriedade significa que é impossível provar esta propriedade sem a 
presença daquele axioma (ou daquela afirmação). Como você prova que o axioma de 
paralelismo P-2 é indispensável para provar a Propriedade transitiva de paralelismo? 
Justifique. 
 
Resolução. Como dito no enunciado da questão, um axioma é indispensável para provar 
dada afirmação quando é impossível prová-la sem a presença dele. Ou seja, na ausência 
de tal axioma não se tem a garantia da validade da afirmação. Como já mencionado, a 
prova da impossibilidade de provar se dá com a exibição de um modelo. Nestecaso, um 
modelo no qual não valha a Propriedade transitiva de paralelismo e nem o axioma P-2. 
 O modelo dado no item (b) da 3ª questão apresenta esta situação. Lá foi 
mostrado que o axioma P-2 não é satisfeito. Para verificar que nele não vale a 
Propriedade transitiva de paralelismo, basta considerar as retas { }, { } e 
 { }. Veja que é paralela a e é paralela a , porém e têm o ponto em 
comum, ou seja, não é paralela a . 
 
6) Sejam r e s retas que se interceptam. Admitindo-se os cinco axiomas (os três de 
incidência e os dois de paralelismo), mostre que não existe uma reta paralela às duas 
retas r e s. 
 
Resolução. Hipótese: as retas r e s se interceptam em um ponto . 
 Tese: Não existe uma reta paralela às duas retas r e s. 
 
Demonstração. Suponha, por contradição, que exista uma reta que seja paralela às 
duas retas r e s. No entanto, por hipótese, r e s se interceptam em um ponto . Como é 
paralela a (suposição) e pertence a ( é o ponto de interseção entre e ), então 
está fora de . Desta forma, por fora de , existem duas retas e paralelas a , fato 
que contradiz o axioma P-2. Com esta contradição, conclui-se que não existe a reta 
 paralela às duas retas r e s. 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EAD 
 
 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria I 
Professor: Paulo Roberto Bergamaschi 
 
 
Atividade 2 - Gabarito 
 
 
1) (Valor: 20 pontos) Prove que o Axioma da Régua é independente dos cinco primeiros 
axiomas. 
 
Resolução. A prova de que o Axioma da Régua é independente dos outros cinco axiomas é 
feita exibindo um modelo, no qual valem os cinco primeiros axiomas e não vale o Axioma da 
Régua. Basta exibir um modelo de geometria finita. Por exemplo, pontos são representados 
pelas letras , , e e retas são representadas pelos conjuntos de letras { }, { }, 
{ }, { }, { } e { }. Evidentemente, por ser finito não satisfaz o Axioma da Régua. 
 
 
2) (Valor: 20 pontos) Sejam e dois pontos quaisquer. Mostre que 
a distância de até no modelo do taxista é maior ou igual à distância de até no 
modelo cartesiano. Em que situações, estas distâncias são iguais? 
 
Sugestão: Já que distância é sempre maior ou igual a zero, faça o desenvolvimento 
utilizando o quadrado das distâncias. 
 
Resolução. Seguindo a sugestão, tem-se: 
 
(I) 
 (√ )
 
 
 
 
| |
 | |
 
 
(II) 
 | | | | 
 | |
 | |
 
 | || | 
 
Comparando as duas equações (I) e (II), nota-se que 
 
 ( )
 
 ( )
 
 ( )
 
 ( )
 
 
( )( ) 
 
Já que distância é não negativa, então e, consequentemente, 
 
 
 
ou seja, , como se queria demonstrar. 
 
 Se , então ( )
 
 ( )
 
. Comparando as equações 
(I) e (II) novamente, a igualdade ocorre se | || | , acarretando: 
 
i) | | , o que significa que , ou seja, e são pontos de uma reta 
vertical; 
ou 
ii) | | , o que significa que , ou seja, e são pontos de uma reta 
horizontal. 
 
3) Faça uma figura representando a semi-circunferência superior de centro (1, 0) e raio 1: 
 
(a) (Valor: 10 pontos) no modelo cartesiano; 
 
Resolução. : Semicircunferência cartesiana de centro e raio 
 . 
 
 { 
 }
 { √ }
 { } 
 
 
Figura 1. Semicircunferência cartesiana de centro e raio . 
 
(b) (Valor: 10 pontos) no modelo do taxista; 
 
Resolução. : Semicircunferência do taxista de centro e raio 
 . 
 
 { 
 }
 { | | | | }
 { | | } 
 
 | | | | {
 
 [ ] 
 
 
 
 
Figura 2. Semicircunferência do taxista de centro e raio . 
 
 
4) (Valor: 20 pontos) Questão no modelo do taxista. Considere os pontos , 
 e . Sejam , e as retas determinadas pelos pontos e , e e 
e , respectivamente, e sejam , e os seus sistemas de coordenadas. Os números 
 e são iguais? Teriam que ser iguais? Tem sentido calcular ? Justifique as 
suas respostas. Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de duas maneiras: 
pela fórmula da distância e pela diferença das coordenadas. 
 
Resolução. 
i) A reta determinada pelos pontos e tem a equação . O 
sistema de coordenada para a reta é | | ; 
ii) A reta determinada pelos pontos e tem a equação . O 
sistema de coordenada para a reta é ; 
iii) A reta determinada pelos pontos e tem a equação . O 
sistema de coordenada para a reta é ; 
 
Respostas: 
 e . Portanto, . 
 Não teriam que ser iguais pois, embora o ponto seja o mesmo, as retas são distintas e 
os sistema de coordenadas, e , responsáveis pelo cálculo da coordenada, são 
distintos. 
 Não tem sentido calcular , já que não pertence à reta . 
 
 Cálculo dos comprimentos dos lados do triângulo pela fórmula da distância: 
 
- lado : | | | | | | | | 
- lado : | | | | | | | | 
- lado : | | | | | | | | 
 
 Cálculo dos comprimentos dos lados do triângulo pela diferença das coordenadas: 
 
- lado : | | | | | | 
- lado : | | | | | | 
- lado : | | | | | | 
 
Note que os valores foram iguais nas duas maneiras de calcular o comprimento dos lados, 
conforme declarado no Axioma da Régua. 
5) (Valor: 20 pontos) Considerando os axiomas de incidência, os de paralelismo e o da 
régua, é possível afirmar que em um triângulo, qualquer lado é menor que a soma dos 
outros dois? Justifique a sua resposta. 
 
Resposta: Não! Basta considerar o triângulo da questão (4), no modelo do taxista. Neste 
triângulo, conforme calculado no final da questão (4), o lado mede 6 (u.c.) e os lados e 
 medem 3 (u. c.) cada um. Logo, nele o lado NÃO é menor do que a soma dos outros 
dois lados. 
 
 
IMPORTANTE: O que se quer dizer com a solução desta questão é que com os axiomas 
de incidência, os de paralelismo e o da régua não se pode afirmar que “em todo 
triângulo, qualquer lado tem a medida menor do que a soma das medidas dos outros 
dois lados” 
 
 
 
 
 
RESUMO, DISCUSSÕES E EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS – UNIDADE 6
Para a definição de ângulo, é preciso ter conhecimento do
objeto semirreta. Então, primeiro será dada a definição de
semirreta.
Ângulo
0,50
1
0,50
1
0,50
1
2
-1 1 20,5
-1 1 20,5
Interior de ângulo
IMPORTANTE: O conceito de semiplano surge quando a reta separa
o plano, ou seja, quando está presente o Axioma da Separação do
Plano. Como o modelo bizarro não satisfaz tal axioma, não tem
sentido interior de ângulo neste modelo.
Medida de ângulo
Teorema do transferidor. Existe medida de ângulo.
Como se mede ângulo nos modelos cartesiano e do taxista
OBSERVAÇÕES
1) Embora o objeto ângulo possa ser igual nos dois
modelos, note que pode ter medidadiferente no modelo
do taxista em relação ao modelo cartesiano. Isto ocorre
porque a maneira de medir ângulo depende de distância
(comprimento do vetor) e esta pode diferir de um modelo
para o outro, como ocorreu no exemplo anterior.
2) Não tem sentido medida de ângulo no modelo bizarro,
pois para a definição de medida de ângulo é preciso estar
valendo o axioma de separação do plano.
O Modelo de Moulton
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
IMPORTANTE
O modelo de Moulton satisfaz os axiomas
anteriores. Para maiores detalhes, veja o texto
encaminhado via plataforma Moodle – Ipê,
Unidade 6.
Distância no modelo de Moulton
Distância no modelo de Moulton
Medida de ângulo no modelo de Moulton
1ª Situação 2ª Situação
Definição. Um ângulo é dito ângulo reto quando a sua medida é 90°.
Retas Perpendiculares
Resposta: Com os axiomas vistos até o momento não se
pode garantir existência e nem unicidade. A prova de que
é impossível provar a existência e/ou unicidade é exibindo
um exemplo em um modelo, lembra-se? Isto será feito a
seguir no modelo de Moulton.
Perpendicular por um ponto fora de uma dada reta
IMPORTANTE: No modelo cartesiano, distância e medida de ângulo (e
consequentemente, retas perpendiculares) funciona como na geometria
analítica. Nos demais modelos, isto também pode ser utilizado, com as
devidas adequações. Nestes, é preciso estar atento para aquilo que eles
são distintos do modelo cartesiano.
Retas Perpendiculares na Geometria Analítica
Distância de um ponto a uma reta
Como se sabe, na geometria euclidiana, determina-se a
distância de um ponto a uma reta baixando-se uma perpendicular
do ponto à reta e calculando-se a distância do ponto ao pé da
perpendicular (ponto de encontro da perpendicular com a reta).
Como se viu, na presença dos sete axiomas atuais, nem sempre a
perpendicular existe. Por esta razão define-se distância de um
ponto a uma reta de outra maneira.
Retas Equidistantes
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE MATEMÁTICA E 
TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EAD 
 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria I Professor: Paulo Roberto Bergamaschi 
 
Atividade 3 - Gabarito 
 
1) Considere os pontos e e a reta que os contém. 
 
Resolução. A reta que contém os pontos e é horizontal e tem equação . 
 
(a) (Valor: 10 pontos) Encontre um sistema de coordenadas para a reta no modelo cartesiano, no 
modelo do taxista e no modelo bizarro. 
 
Um sistema de coordenadas para a reta : 
 no modelo cartesiano é √ ; 
 
 no modelo do taxista é | | ; 
 
 no modelo bizarro é {
 se inteiro
 se n o inteiro
 
 
NOTA: No modelo bizarro, caso a reta seja horizontal, observe que se a abscissa do ponto é um 
número inteiro, a imagem do ponto ainda é um inteiro, só que transladado de 2 unidades para a direita; ao 
passo que se a abscissa não é um número inteiro, a imagem do ponto também não é um inteiro, já que é 
o valor da própria abscissa. 
 
(b) (Valor: 10 pontos) Calcule a distância do ponto ao ponto nos modelos: cartesiano, do taxista 
e no bizarro. 
 
Distância do ponto ao ponto : 
 No modelo cartesiano: √ √ ; 
 No modelo do taxista: | | | | | | ; 
 No modelo bizarro: | | | | | | | | . 
 
2) Considere os pontos , e (
 
 
 ). 
 
Resolução. Os três pontos , e estão sobre a reta horizontal de equação . Um sistema de 
coordenadas para esta reta , nos modelos cartesiano e bizarro, foi apresentado no item (a) da questão (1) 
anterior. 
(a) (Valor: 5 pontos) Verifique que, no modelo cartesiano, o ponto está entre os pontos e . 
Apresente os cálculos. 
 
Resolução. Para verificar se um ponto está entre outros dois, basta utilizar a proposição dada no item 17 
da Unidade 4, que relaciona a ordem de pontos na reta com a ordem de suas respectivas coordenadas. 
Lembre-se que coordenadas dos pontos são as suas imagens (números reais) via sistema de coordenadas. 
 
No modelo cartesiano: , e (
 
 
 ) 
 
 
. 
Como 
 
 
, ou seja, , então, pela proposição mencionada, está entre e 
 . 
 
(b) (Valor: 10 pontos) A ordem dada no item (a) se mantém no modelo bizarro? Justifique a sua 
resposta, apresentando os cálculos. 
 
Resolução. NÃO! No modelo bizarro, a ordem dada no item (a) não se mantém. 
No modelo bizarro: , e (
 
 
 ) 
 
 
. Portanto, , e, pela proposição mencionada, está entre e , diferentemente 
do modelo cartesiano. 
 
(c) (Valor: 10 pontos) Determine e desenhe, no modelo bizarro, o segmento . 
 
Resolução. Por definição de segmento: { } { }. 
 
 { } { } { } { }
 { } { 
 
 
 } { } { 
 
 
 } 
 
Na 2ª igualdade, utilizou-se o símbolo “ ” para indicar que a ordem das coordenadas obedece à 
mesma ordem dos respectivos pontos, conforme proposição do item 17 da Unidade 4, ou seja, a imagem 
do ponto está entre as imagens dos pontos e . Na 3ª igualdade, já que a coordenada de é 
menor do que a coordenada de , visto que 
 
 
 , obteve-se a desigualdade 
 
 
 
 . Uma vez que entre 
 
 
 e não há números inteiros, conforme nota no final da resolução da 1ª 
Questão, obteve-se a desigualdade 
 
 
 , apresentada após a 4ª igualdade e finalizando a 
determinação do segmento . 
Portanto, { } { 
 
 
 }. 
 
 
 
Figura 1. Segmento no modelo bizarro. 
 
(d) (Valor: 5 pontos) O ponto pertence ao segmento ? Justifique a sua resposta 
 
Resolução. O ponto não pertence ao segmento , pois ele é distinto de e de e, como verificado no 
item (b), ele não está entre e . 
 
 
Proposição. Se uma reta corta o interior de um lado de um triângulo sem passar pelos vértices, então ela 
terá que cortar um dos outros dois lados. 
 
3) Resolva os itens abaixo. 
 
IMPORTANTE: Por definição, um triângulo é a união de três segmentos, definidos por três pontos não 
colineares. Se o segmento pertence a uma reta vertical ou inclinada, nos modelos vistos até aqui 
(cartesiano, do taxista e bizarro), independentemente dos pontos, ele tem o mesmo aspecto. Por outro 
lado, no modelo bizarro, se o segmento pertence a uma reta horizontal, dependendo de seus pontos 
extremos e devido à maneira em que foi definido o sistema de coordenadas, , ele pode ter um aspecto 
distinto em relação aos outros dois modelos e, consequentemente, triângulo também pode ter um aspecto 
distinto. 
 
(a) (Valor: 15 pontos) Construa, no modelo bizarro, o triângulo , sendo , e 
 . Verifique que a reta corta o lado deste triângulo. Justifique a sua 
construção. 
 
Resolução. Como os pontos e pertencem à reta vertical , e e pertencem à reta inclinada 
 , no modelo bizarro os segmentos e têm o mesmo aspecto que tem no modelo 
cartesiano. Já que o segmento pertence à reta horizontal , no modelo bizarro não tem o mesmo 
aspecto que no modelo cartesiano (Veja Figura (2)). De fato, e 
 e 
 
 { } { } { } { }
 { } {} { } { } 
 
 
 
 
Figura 2. Triângulo e reta vertical cortando somente o lado do triângulo . 
 
ATENÇÃO: Evidentemente, pela Figura (2), nota-se que a reta não corta o lado e sim o lado 
 do triângulo . Houve um erro em parte do enunciado do item (a). Ao inv s de: “Verifique que a 
reta corta o lado deste triângulo”, deveria ser enunciado: “Verifique que a reta corta 
o lado deste triângulo”. Por m, n o há nenhum prejuízo no restante da quest o. 
 Considera-se correto, então, tanto a resposta que a reta NÃO corta o lado como a 
resposta que a reta corta o lado . 
 
 
(b) (Valor: 15 pontos) O triângulo e a reta , obtidos no item (a), servem para provar que a 
proposição enunciada acima é dependente do Axioma de Separação do Plano? Justifique a sua 
resposta. 
 
Resolução. A resposta à pergunta feita no exercício é SIM. De fato, caso a proposição não fosse 
dependente do Axioma de Separação do Plano, seria possível prová-la sem a presença desse axioma. 
Portanto, pela Propriedade Fundamental dos Modelos, tal proposição seria válida em todo modelo para a 
geometria anterior a este axioma (composta somente pelos axiomas de incidência, de paralelismo e da 
régua); em particular no modelo bizarro. Isto é uma contradição, já que o triângulo e a reta , 
do modelo bizarro, exibidos na Figura (2), mostram que existe um triângulo e existe uma reta que corta 
um dos lados deste triângulo, sem passar pelos vértices, mas que não corta nenhum dos outros dois lados 
do triângulo. 
 
4) No modelo bizarro, a circunferência de centro em e raio é idêntica* àquela do 
modelo cartesiano. Em relação a esta circunferência, responda, justificando a sua resposta; 
(a) (Valor: 10 pontos) O ponto é interior a esta circunferência? 
(b) (Valor: 10 pontos) O ponto é exterior a esta circunferência? 
 
 
 
 
*A circunferência pode diferir daquela do modelo 
cartesiano, em relação aos pontos dela que pertencem à reta 
horizontal que passa pelo seu centro, principalmente se o 
raio e/ou a abscissa do centro não for um número inteiro. 
Verifique! 
 
 
Resolução. Um ponto é interior à circunferência se a distância dele até o centro da circunferência é menor 
do que o raio. E é exterior à circunferência se a distância dele até o centro é maior do que o raio. 
 
(a) Os pontos e pertencem à reta inclinada . Portanto, a distância entre eles é a mesma do 
modelo cartesiano, ou seja, 
 √ √
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
√ 
 
 
Como , conclui-se que o ponto é interior à circunferência dada. 
 
(b) Os pontos e pertencem à reta horizontal cuja equação é . Assim, suas respectivas 
coordenadas são 
 (a abscissa de é não inteira) e 
 
 (a abscissa de é inteira) 
 
Portanto, 
 
 | | | | | | 
 
Já que , tem-se que o ponto é exterior à circunferência dada. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE MATEMÁTICA E 
TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EAD 
 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria I Professor: Paulo Roberto Bergamaschi 
 
 
Atividade 4 - Gabarito 
 
1) (Valor: 20 pontos) Encontre a equação da reta perpendicular à reta de Moulton 
pelo ponto . Desenhe a reta e a perpendicular procurada. Justifique a sua resposta. 
 
Resolução. Como a reta tem declividade negativa ( ), a perpendicular a ela, aqui 
denominada , tem declividade positiva ( ), e no modelo de Moulton, é do tipo 
“quebrada”, definida assim: 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Como a reta cruza a reta no ponto , o valor da constante é . Para a determinação 
do coeficiente de inclinação , pode-se utilizar do fato (da Geometria Analítica*) que o produto 
entre os coeficientes angulares da reta e de sua perpendicular é igual a , ou seja, 
 
 . 
 
Logo, a equação da reta perpendicular s procurada é: 
 
 {
 
 
 
 
. 
 
 
Figura 1. Reta e reta perpendicular , por , no modelo de Moulton. 
 
* Perceba que todo modelo se apoia no modelo cartesiano, cada um com sua particular diferença. 
Assim, os conceitos da Geometria Analítica, que são aplicáveis ao modelo cartesiano, são 
ferramentas bastante úteis que podem ser utilizadas na resolução de problemas envolvendo os 
modelos, bastando estar atento para a diferença do modelo em estudo. Por exemplo, o modelo de 
Moulton se difere do cartesiano apenas em relação às retas de declividade positiva, as quais sofrem 
uma “quebra” exatamente sobre o eixo . Portanto, fora do eixo , os objetos se comportam 
como no modelo cartesiano. A diferença ocorre quando o objeto está contido em uma reta 
“quebrada” e atravessa o eixo . 
 
2) Considere a reta de Moulton dada por se e se ⁄ . 
 
(a) (Valor: 10 pontos) Determine a reta de Moulton paralela à reta e que passa pelo ponto 
 . Justifique a sua resposta, apresentando os seus cálculos. 
 
Resolução. No modelo de Moulton, as retas verticais, horizontais e de declividade negativa são 
como no modelo cartesiano. A reta de declividade positiva sofre uma quebra no eixo , de modo a 
reduzir a sua declividade pela metade a partir do eixo ; no entanto cada uma de suas partes, à 
esquerda e à direita deste eixo, é parte de uma reta cartesiana. Assim, novamente, pode-se utilizar 
de conceitos da Geometria Analítica, a saber: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular. 
Desta forma, a paralela tem o mesmo coeficiente angular da reta , que é à esquerda do eixo 
e ½ à direita do eixo (veja a equação da reta no enunciado da questão). Como a paralela passa 
pelo ponto ela corta o eixo no valor . Essas informações são suficientes para se 
determinar a paralela à reta , que passa pelo ponto : 
 
 {
 
 
 
 
 
 
(b) (Valor: 10 pontos) A reta dada na questão e a paralela obtida no item (a) são 
equidistantes? Justifique a sua resposta. 
 
Resposta: Não! As paralelas e não são equidistantes. Analisando a Fig. (2) abaixo, nota-se que 
 
 , 
 
ou seja, existem dois pontos e em tais que , o que implica que, de fato, 
e não são equidistantes. 
 
 
 
Figura 2. Retas r e s paralelas, no modelo de Moulton. 
 
Cálculo da distância de até : A reta perpendicular à reta , pela origem, tem equação 
 . O ponto é a interseção das retas e ; portanto, ( 
 
 
 
 
 
 ). Assim, 
 
 √( 
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 √
 
 
 
√ 
 
. 
 
Cálculo da distância de até : A reta perpendicular à reta 
 
 
 , pelo ponto A, tem equação 
 . O ponto é a interseção das retas e ; portanto, (
 
 
 
 
 
). Assim, 
 
 √(
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 √
 
 
 
 √ 
 
. 
 
Logo, . 
 
3) Considere a reta de Moulton dada por se e se ⁄ . 
 
(a) (Valor: 10 pontos) Qual é a distância do ponto ( 
 
 
) à reta dada. Justifique a sua 
resposta, apresentando os seus cálculos. 
 
Resolução. O ponto está na região, acima da reta , entre as retas e 
 e, portanto, não existe perpendicular à , passando por . Seja o ponto de encontro da reta 
com o eixo . Então,Figura 3. Distância do ponto à reta 
 
A menor das distâncias entre o ponto e pontos da reta é a distância de até , que no modelo 
de Moulton é: 
 
 √ (
 
 
 )
 
 
√ 
 
. 
 
Logo, a distância do ponto à reta é 
√ 
 
. 
 
========================================== 
Verificação: Seja um ponto qualquer sobre a parte da reta que está à esquerda do eixo (veja 
a Fig. (3)). O segmento está totalmente contido à esquerda do eixo e, por isso, é um 
segmento cartesiano, seja qual for a declividade da reta que contém e . Então, 
 
 , isto é, 
 
Seja um ponto qualquer sobre a parte da reta que está à direita do eixo . Neste caso, 
e podem estar sobre uma reta horizontal ou de declividade negativa (veja o ponto na Fig. (3)) 
ou podem estar sobre uma reta de declividade positiva (veja o ponto na Fig. (3)). Em todo caso, 
tem-se . Logo, a distância de até é a menor das distâncias de a pontos 
da reta , ou seja, 
 
 { } . 
 
=============================================== 
 
(b) (Valor: 10 pontos) Qual é a distância do ponto ( 
 
 
) à reta dada. Justifique a sua 
resposta, apresentando os seus cálculos. 
 
Resolução. O ponto está na região, abaixo da reta , entre as retas e 
 e, portanto, existem duas perpendiculares à , passando por , uma que corta a reta à 
direita do eixo , no ponto (
 
 
 
 
 
), e outra que corta à esquerda do eixo , no ponto 
 ( 
 
 
 
 
 
) (Veja Fig. (4)). Seja um ponto qualquer situado na parte da reta que está à 
esquerda do eixo , tem-se . Seja um ponto qualquer na parte da reta 
que está à direita do eixo , tem-se . Isto implica que varrendo todos os 
pontos da reta r, as duas menores distâncias de Q a r são: e . Assim, a menor das 
distâncias de à reta é a menor dentre estas duas distâncias. 
 
 
Figura 4. Distância do ponto à reta . 
 
Cálculo das distâncias: 
 √( ( 
 
 
))
 
 ( 
 
 
 
 
 
)
 
 √
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
. 
 
 √( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
 
 
 
)
 
 √
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
. 
 
Como 
 √ 
 
 
 √ 
 
, tem-se . Portanto, a distância de à reta é 
 √ 
 
. 
 
================================ 
Determinação do ponto : 
A perpendicular à reta , à esquerda do eixo , que passa por tem equação . 
Substituindo nela as coordenadas do ponto , obtem-se 
 
 
. Assim, a equação da perpendicular 
 é 
 
 
. Sendo a interseção entre as retas e , tem-se ( 
 
 
 
 
 
). 
Determinação do ponto : 
A perpendicular à reta , à direita do eixo , que passa por tem equação . 
Substituindo nela as coordenadas do ponto , obtem-se 
 
 
. Assim, a equação da perpendicular 
 é 
 
 
. Sendo a interseção entre as retas e , tem-se (
 
 
 
 
 
). 
====================================== 
 
4) Um ângulo é, por definição, o conjunto formado pelos pontos que estão em duas semirretas de 
mesma origem. Sejam , e . Calcule a medida do ângulo , 
justificando a sua resposta, apresentando os seus cálculos: 
 
(a) (Valor: 10 pontos) no modelo cartesiano; 
 
 
 
Figura 5. Ângulo , no modelo cartesiano. 
 
Resolução. ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
 
A medida do ângulo é a medida do ângulo tal que 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗⃗⃗ ⃗|| ⃗⃗⃗⃗ ⃗| ; . 
 
Já que ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , tem-se , ou seja, . Logo, ( ) . 
 
Outra Maneira: Como o lado AC é bissetriz do 1º quadrante, a semirreta faz com o eixo 
 um ângulo de 45°. Do mesmo modo, a semirreta faz com o eixo um ângulo de 45°. 
Logo, somando-se estes ângulos, tem-se ( ) . 
 
(b) (Valor: 10 pontos) no modelo de Moulton. 
 
Resolução. O vértice do ângulo está sobre o eixo . A definição de medida de ângulo no 
modelo de Moulton indica que a medida do ângulo de Moulton é igual à medida de um ângulo 
cartesiano . O lado do ângulo está à esquerda do eixo , então pode-se tomar igual a 
 . O lado do ângulo está à direita do eixo ; assim o ponto deve ser tomado no 
prolongamento cartesiano, à direita do eixo , da parte da reta de Moulton ⃡⃗⃗⃗ ⃗ que está à esquerda 
do eixo . Por exemplo, . Veja a Fig. (6). 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗| √ √ 
 
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | √ √ 
 
 
Figura 6. Ângulo BÂC, no modelo de Moulton. 
 
A medida de Moulton do ângulo é a medida cartesiana do ângulo tal que 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗⃗⃗ ⃗|| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 
 
 √ √ ( ) 
 
√ 
 . 
 
Logo, a medida do ângulo no modelo de Moulton é . 
 
OBSERVAÇÃO: Para a medida de ângulo no modelo cartesiano, veja o item 8 da Unidade 6, e para 
a medida de ângulo no modelo de Moulton, veja o item 15 desta mesma unidade. 
 
5) (Valor: 20 pontos) Como você definiria ângulos opostos pelo vértice? Com os axiomas vistos até 
o presente momento, é possível provar que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida? 
Justifique a sua resposta. 
 
Resolução. 
Definição. Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as semirretas opostas dos 
lados do outro. 
 
 
Figura 7. Ângulos opostos pelo vértice. 
 
OBSERVAÇÃO. Na Fig. (7), os ângulos e são opostos pelo vértice, assim como os ângulos 
e também são. 
 
SIM, é possível provar que os ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. 
 
Prova: Pelo Teorema 22L da Unidade 6, tem-se: (1) e (2) . 
Comparando as equações (1) e (2), conclui-se que . 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
REGIONAL CATALÃO 
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA 
CURSO DE MATEMÁTICA EAD 
 
 
Disciplina: Fundamentos de Geometria I 
Professor: Paulo Roberto Bergamaschi 
07 de outubro de 2017. 
Avaliação Presencial - Gabarito 
 
 
1) Admitindo-se apenas os três axiomas de incidência, prove que: 
(a) (Valor: 10,0 pontos) existem pelo menos 3 pontos e pelo menos 3 retas. 
 
Resolução. Pelo Axioma I-3 existem pelo menos dois pontos; sejam e estes pontos. Devido ao 
Axioma I-2, existe uma única reta que contém os pontos e . Pelo Axioma I-1, existe um ponto 
 fora da reta . Até aqui provou-se que existem pelo menos 3 pontos, , e . O ponto está fora 
da reta , então ele é distinto de e também de (já que estes estão em ). Logo, pelo Axioma I-2, 
existe uma única reta que contém e e existe uma única reta que contém e . Fica, então, 
provado que existem 3 retas, a saber: , e . 
 
(b) (Valor: 10,0 pontos) é impossível provar que existem mais de 3 pontos. Justifique. 
 
Resolução. Para provar que é impossível provar que existem mais de 3 pontos, basta exibir um 
modelo para a geometria formada pelos três axiomas de incidência em que se tenha exatamente 
três pontos (e não mais de 3 pontos). Um modelo que atende a este quesito é o seguinte: pontos são 
as letras , e e retas são os conjuntos de letras { , }, { , } e { , }. 
 
Verificação de que a representação dada é, de fato, um modelo: 
 
A representação possui 3 pontos, atende ao Axioma I-3. Já que todareta (conjunto formada por 
duas letras) possui ponto (letra) pertencente a ela e ponto (letra) não pertencente a ela, então satisfaz 
o Axioma I-1. O Axioma I-2 também é satisfeito, já que para cada par de pontos (par de letras), 
existe uma reta (conjunto de letras) que os contém. 
 
2) Lema da Transversal: Sejam r e s retas paralelas. Se uma reta t corta s, então t corta r 
também. 
 
(a) (Valor: 10,0 pontos) Segue os passos de uma demonstração do Lema da Transversal. A sua 
tarefa é justificar cada um dos passos. A justificativa pode ser o apontamento da utilização da 
hipótese, de um determinado axioma, de um passo anterior, ou outro fato. Para a justificativa, 
utilize o espaço entre parênteses à frente da afirmação do passo ou espaço adicional, se 
necessário (Veja, como exemplo, a justificativa do Passo 2). 
 
Demonstração do Lema da Transversal: 
Passo 1: Seja o ponto de interseção entre as retas e (Devido a hipótese: a reta corta ); 
Passo 2: Suponha que não intercepta a reta (negação da tese); 
Passo 3: A reta é paralela à reta , por (Pelo Passo 2: não intercepta ); 
Passo 4: A reta é paralela à reta , por (Pela hipótese e Passo 1 ( )); 
Passo 5: O ponto está fora da reta (Pelo passo 1 e hipótese ( e é paralela a )); 
Passo 6: Por , fora de , passam duas paralelas à reta (Passos 3 e 4: // e // , por ); 
Passo 7: Portanto, tem-se uma contradição (Contradição ao Axioma P-2); 
Passo 8: Logo, a reta corta a reta (Devido a contradição à suposição no Passo 2). 
 
(b) (Valor: 10,0 pontos) Prove que o axioma de paralelismo P-2 é indispensável para provar o 
Lema da Transversal. 
 
Resolução. O Axioma P-2 ser indispensável para se provar o Lema da Transversal significa que não 
é possível prova-lo sem a presença deste axioma. Para tanto, basta apresentar um modelo que não 
valha o axioma P-2 (satisfaz somente I-1, I-2, I-3 e P-1) e uma situação neste modelo em que não se 
verifica o Lema da Transversal. 
 Tal modelo é: pontos são as letras , e ; e retas são os conjuntos de letras , , 
 , , e . 
 Situação em que não se verifica o Lema da Transversal: Considere as paralelas 
 e e a reta corta em ; porém não corta . 
 
Verificação de que a representação dada satisfaz os axiomas I-1, I-2, I-3 e P-1, ma não satisfaz 
P-2: 
 
A representação possui 3 pontos, então atende ao Axioma I-3. Já que toda reta (conjunto formada 
por duas letras) possui ponto (letra) pertencente a ela e ponto (letra) não pertencente a ela, então 
satisfaz o Axioma I-1 (Veja Tab. (1) abaixo). O Axioma I-2 também é satisfeito, já que para cada 
par de pontos (par de letras), existe uma única reta (conjunto de letras) que os contém (Veja Tab (2) 
abaixo). Vale o Ax. P-1, pois qualquer que seja a reta e qualquer que seja o ponto fora da reta, 
existe pelo menos uma reta paralela à reta dada passando pelo ponto dado (Veja Tab (3) abaixo). 
Não vale o Ax. P-2, já que existem duas retas paralelas e à reta , passando pelo ponto 
 fora da reta . 
 
Tabela 1. Verificação da validade do Axioma I-1. 
Reta Ponto sobre a reta Ponto fora da reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2. Verificação da validade do Axioma I-2. 
Par de pontos Única reta que contém o par de pontos 
 e Única reta que contém, simultaneamente e , é 
 e Única reta que contém, simultaneamente e , é 
 e Única reta que contém, simultaneamente e , é 
 
 
Tabela 3. Verificação da validade do Axioma P-1. 
Reta Ponto fora da reta Paralelas à reta pelo ponto fora 
 
 
 
 
 e 
 e 
 
 e 
 e 
 
 e 
 e 
 
3) Sejam os pontos e 
 
(a) (Valor: 10,0 pontos) Determine a equação da reta que contém os pontos e nos modelos 
cartesiano, do taxista e de Moulton. Apresente os seus cálculos. 
 
Resolução. Note que e . Então, os pontos e pertencem a uma reta de 
declividade positiva. Ou seja, nos modelos cartesiano e do taxista estes pontos pertencem a uma reta 
 de equação . Assim, para os pontos e , tem-se, respectivamente: 
 
 (I), 
 
 (II). 
 
 Resolvendo o sistema formado pelas equações (I) e (II), obtém-se 
 
 
 e 
 
 
. Logo, em 
ambos os modelos cartesiano e do taxista a equação da reta que contém os pontos e é 
 
 
 
 
 
. 
 Por ser de declividade positiva, no modelo de Moulton, a reta que contém os pontos P e 
sofre uma “quebra” e é da seguinte maneira 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Para obter os valores de e , basta substituir as coordenadas dos pontos e , de acordo com o 
sinal de suas abscissas. Para o ponto ( ), tem-se 
 
 (i) 
 
E para o ponto , tem-se 
 
 
 
 
 (ii). 
 
A solução do sistema composto pelas equações (i) e (ii) é 
 
 
 e 
 
 
. Logo, para o modelo de 
Moulton, a equação da reta que contém os pontos e é: 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
(b) (Valor: 10,0 pontos) Calcule a distância de a nos três modelos mencionados no item (a). 
Em qual modelo esta distância é maior? Em qual é menor? Justifique, apresentando os 
cálculos e argumentos. 
 
 
Figura 1. Distância de P a Q nos modelos cartesiano, do taxista e de Moulton. 
 
Resolução. Cálculo da distância de a : 
 
- No modelo cartesiano: √ √ ; 
 
- no modelo do taxista: | | | | | | | | 
 
- no modelo de Moulton: 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
(√ √ ) 
 
Tem-se: √ 
 
 
(√ √ ) . Logo, a distância maior é a do modelo do taxista e a menor é a 
do modelo cartesiano, conforme exibido na Fig. (1). 
 
4) Sejam , e (
 
 
 ). 
 
(a) (Valor: 10,0 pontos) Decida qual dos três pontos está entre os outros dois, no modelo 
bizarro. Justifique a sua decisão, apresentando os cálculos. 
 
Resolução. Os três pontos , e pertencem à reta horizontal No modelo bizarro, o 
sistema de coordenadas para esta reta é: 
 
 {
 se nte ro
 se 
. 
 
Assim, 
 ; e (
 
 
 ) 
 
 
. 
 
Portanto, . Logo, pela Proposição (do item 17 da unidade 4) que relaciona a 
ordem dos pontos sobre uma reta com a ordem de suas respectivas coordenadas, via sistema de 
coordenadas, tem-se que está entre e , no modelo bizarro. 
 
(b) (Valor: 10,0 pontos) Determine e desenhe o segmento , no modelo bizarro. Justifique, 
apresentando os cálculos. 
 
Resolução. 
 
 { 
 
 
} { 
 
 
 }
 { 
 
 
 nte ro}
 { 
 
 
 n o nte ro}
 { 
 
 
 nte ro} { 
 
 
 n o nte ro}
 { 
 
 
 nte ro} {n o nte ro} 
 
Logo, { 
 
 
 n o nte ro}. 
 
 
Figura 2. Segmento no modelo bizarro. 
 
5) (Valor: 20,0 pontos) No modelo de Moulton, seja a reta de equação . Determine 
a reta perpendicular à reta , que passa pelo ponto . Desenhe as duas retas e em 
um mesmo sistema de coordenadas. Justifique, apresentando os cálculos. 
 
Resolução. A reta tem declividade negativa, então a perpendicular a ela tem declividade 
positiva. Por se no modelo de Moulton, sofre “quebra” sobre o e xo , de modo que á direita do 
eixo a sua declividade reduz pela metade. A equação da perpendicular é 
 
 {
 
 
 
 
. 
 
Além disso, a reta e a reta que contém a parte da perpendicular que fica à esquerda do eixo 
são retas cartesianas (Veja Fig. (3)) e, portanto, para elas vale o seguinte: “o produto dos 
coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a ”. Ass m, já que o coef c ente angular 
da reta é , o coeficiente angular da parte da reta “quebrada” que f ca à esquerda do e xo 
é 
 
 
. Já que a reta perpendicular passa pelo ponto , tem-se . Logo, a reta 
perpendicular à reta , pelo ponto , é definida por 
 
 {
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
Figura 3. Retas perpendiculares no modelo de Moulton. 
 
Outra maneira: A reta perpendicular a sofre uma quebra sobre o eixo , no ponto . 
Conhecendo-se a parte dela que está à esquerda desse eixo, basta lembrar que a declividade à direita 
do eixo é reduzida pela metade e tem-se também a parte à direita do eixo. 
 
 
Figura 4. Auxiliar para a determinação da perpendicular à reta , pelo ponto . 
 
Para determinar a parte à esquerda do eixo , basta então conhecer outro ponto de . 
Faça (Veja Fig. (4)). Por definição, para que duas retas sejam perpendiculares, a 
união delas deve conter um ângulo reto. Assim, tomando o ponto na reta , tem-se 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ | ⃗⃗⃗⃗ ⃗|| ⃗⃗⃗⃗ ⃗| , 
 
ou seja, 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 
 
Portanto, . Tomando , tem-se . Agora, para determinar a parte à 
esquerda do eixo , basta encontrar a equação da reta cartesiana que contém e , que é 
 
 
 
 . E o fato da parte à direita ter a declividade reduzida pela metade dá que ela tem 
equação 
 
 
 . Unindo-se as duas partes, tem-se a equação da reta perpendicular a , pelo 
ponto : 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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