Matematica Essencial Geometria Vetores no plano cartesiano aua2

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02/02/2016 Matematica Essencial: Geometria: Vetores no plano cartesiano
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Matemática Essencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria 
Superior  Cálculos
Geometria Plana: Vetores no plano cartesiano
Definição de vetor
Soma de vetores e propriedades
Aplicações geométricas
Diferença de vetores
Produto por escalar e propriedades
Módulo de vetor e propriedades
Produto escalar e propriedades
Ângulo entre dois vetores
Vetores ortogonais
Vetores paralelos
Definição de vetor
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos
(segmentos)  com  a  mesma  direção,  mesmo  sentido  e  mesmo  módulo
(intensidade).
1. A direção é a da reta que contém o segmento.
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
3. O módulo é o comprimento do segmento.
Uma  quarta  característica  de  um  vetor  é  formada  por  dois  pares
ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele
termina  (extremidade)  e  as  coordenadas  do  vetor  são  dadas  pela
diferença  entre  as  coordenadas  da  extremidade  e  as  coordenadas  da
origem.
Observação:  Existe  uma  definição,  não  necessariamente  geométrica,
muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de
objetos  matemáticos  como:  matrizes,  conjuntos,  funções,  soluções  de
equações diferenciais, etc.
Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele
é dado por v=(6,10), pois:
v = (7,12)­(1,2) = (6,10)
Esta  classe  de  objetos  é  representada  por  um  segmento  de  reta
(representante) desta família que tem as mesmas características.
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O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em
(0,0) e a extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado
por
v = (a,b)
Soma de vetores e suas propriedades
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da soma de vetores
1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².
2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:
v + w = w + v
3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:
u + (v + w) = (u + v) + w
4. Elemento neutro:  Existe  um  vetor Ø=(0,0)  em R²  tal  que  para  todo
vetor u de R², se tem:
Ø + u = u
5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor ­v em R²
tal que:
v + (­v) = Ø
Aplicações geométricas
Ponto  médio  de  um  segmento:  Dado  um  segmento  de  reta,  cujas
extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=
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(x2 ,y2 ), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y) onde
x=(x1 + x2 )/2    e    y=(y1 + y2 )/2
Centro  de  gravidade  de  um  triângulo:  Tomemos  os  vértices  de  um
triângulo como as extremidades dos vetores v1=(x1  ,  y1  ),  v2=(x2  ,y2  )  e
v3=(x3  ,y3  ). O centro de gravidade deste  triângulo é dado pelo vetor g=
(x,y) onde
x=(x1 + x2 + x3 )/3    e    y=(y1 + y2 + y3 )/3
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v­w = (a­c,b­d)
Produto por escalar e suas propriedades
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de
k por v, por:
k.v = (ka,kb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:
1. 1 v = v
2. (ab) v = a (b v) = b (a v)
3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b.
4. a (v + w) = a v + a w
5. (a + b) v = a v + b v
Exercício:  Dados  os  vetores  v=(3,4)  e  w=(8,12),  construa  no  plano
cartesiano os vetores: v, w, ­v, ­w, v+w e v­w.
Módulo de um vetor e suas propriedades
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O  módulo  ou  comprimento  do  vetor  v=(a,b)  é  um  número  real  não
negativo, definido por:
Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.
Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor v=(cos(t),sen(t)) é unitário.
Observações
1. Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o
espaço R², dados por:
i=(1,0)   e   j=(0,1)
2. Para obter um versor de v, que é um vetor unitário u com a mesma
direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de
v, isto é:
3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde
k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.
a. Se k=0 então w será o vetor nulo.
b. Se 0<k<1 então |w|<|v|.
c. Se k>1 então |w|>|v|.
d. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v.
4. Todo  vetor  v=(a,b)  do  plano  cartesiano  possui  uma  projeção
horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a i e uma projeção vertical
b  j  (sobre  o  eixo  OY)  e  o  vetor  v  pode  ser  escrito  como  a  soma
destas projeções:
v = a i + b j
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Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor v=(3,4)? Qual é o módulo
deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R².
Produto escalar
Dados  os  vetores  v=(a,b)  e  w=(c,d),  definimos  o  produto  escalar  ou
produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:
v.w = a.c + b.d
Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(­7,12) é dado por:
v.w = 2.(­7) + 5.(12) = 56
O produto escalar entre v=(2,5) e w=(­5,2) é:
v.w = 2.(­5) + 5.(2) = 0
Exercício:  Faça  um  gráfico  em  R²,  com  muito  cuidado  nas  medidas  e
mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.
Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e
w e k escalar:
1. v.w = w.v
2. v.v = |v| |v| = |v|²
3. u.(v+w) = u.v + u.w
4. (kv).w = v.(kw) = k(v.w)
5. |kv| = |k||v|
6. |u.v|<|u||v|  (desigualdade de Schwarz)
7. |u+v|<|u|+|v|  (desigualdade triangular)
Ângulo entre dois vetores
Outra  forma  de  escrever  o  produto  escalar  entre  os  vetores  v  e  w  é
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v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo formado entre v e w.
Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w,
pois:
desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3,1416...
Exercício:  Faça  uma  análise  quando  q=0,  q=pi/2  e  q=pi.  Determine  o
ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir
gráficos com esses objetos vetoriais.
Vetores ortogonais
Dois vetores v e w são ortogonais se:
v.w = 0
Exercício:  Dado  o  vetor  v=(3,7),  obtenha  pelo  menos  dois  vetores  do
plano  que  sejam  ortogonais  a  v.  Construa  geometricamente  estes
vetores.
Vetores paralelos
Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente
de zero, tal que:
v = k w
Exercício: Obter pelo menos dois  vetores do plano que sejam paralelos
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ao vetor v=(3,7). Construa geometricamente estes vetores.
Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 14/out/2004.