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EXERCICIOS FINAIS segunda prova ALGA UFPEL 2018/1

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EXERCI´CIOS DE REVISA˜O DA SEGUNDA AVALIAC¸A˜O
1. Verifique se o conjunto V = {(x, x2), x ∈ R com as operac¸o˜es definidas por
(x1, x
2
1)⊕ (x2, x22) = (x1 + x2, (x1 + x2)2)
α(x1, x
2
1) = (αx1, α
2x21)
e´ um espac¸o vetorial.
2. Verifique se o conjunto V = R3 = {(x, 2x, 3x);x ∈ R} com as operac¸o˜es usuais e´ um
espac¸o vetorial.
3. Verificar se o conjunto S e´ subespac¸o vetorial do R2, relativamente a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o por escalar usuais: S = {(x, y); y = −x}.
4. Verificar se o conjunto S e´ subespac¸o vetorial do R2, relativamente a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o por escalar usuais: S = {(x, y);x = y2}.
5. Determinar os subespac¸o˜s do R3 gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2,−1, 3)}
b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)}
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
6. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3.
7. Classificar os seguintes subconjuntos em linearmente independentes (LI) ou linearmente
dependentes(LD):
a) {(2,−1), (3, 5)}
b) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)}
c) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)}
d) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}
8. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do espac¸o R2:
a) {(1, 2), (−1, 3)}
b) {(3,−6), (−4, 8)}
c) {(0, 0), (2, 3)}
9. Verificar se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3:
a) {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 2, 0)}
b) {(1, 0, 1), (0,−1, 2), (−2, 1, 4)}
c) {(1, 2, 3), (4, 1, 2)}
10. Encontrar uma base e a dimensa˜o do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema:
x+ 2y − 2z − t = 0
2x+ 4y + z + t = 0
x+ 2y + 3z + 2t = 0
11. Determine quais das seguintes func¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares:
a) f : R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ y, x− y)
b)f : R2 → R
(x, y) 7→ xy
c) h : M2 → R [
a b
c d
]
7→ det
[
a b
c d
]
d) N : R→ R; N(x) = |x|.
Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes das transformac¸o˜es lineares
ou das matrizes dadas:
12. T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (y, 2y)
13. T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y)
14. T : R4 → R4, definida por T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w)
15.
A =
[
1 2
0 −1
]
16.
B =
 1 2 30 1 2
0 0 1


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