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EXERCI´CIOS DE REVISA˜O DA SEGUNDA AVALIAC¸A˜O 1. Verifique se o conjunto V = {(x, x2), x ∈ R com as operac¸o˜es definidas por (x1, x 2 1)⊕ (x2, x22) = (x1 + x2, (x1 + x2)2) α(x1, x 2 1) = (αx1, α 2x21) e´ um espac¸o vetorial. 2. Verifique se o conjunto V = R3 = {(x, 2x, 3x);x ∈ R} com as operac¸o˜es usuais e´ um espac¸o vetorial. 3. Verificar se o conjunto S e´ subespac¸o vetorial do R2, relativamente a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais: S = {(x, y); y = −x}. 4. Verificar se o conjunto S e´ subespac¸o vetorial do R2, relativamente a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais: S = {(x, y);x = y2}. 5. Determinar os subespac¸o˜s do R3 gerados pelos seguintes conjuntos: a) A = {(2,−1, 3)} b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)} c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)} 6. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3. 7. Classificar os seguintes subconjuntos em linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes(LD): a) {(2,−1), (3, 5)} b) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)} c) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)} d) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)} 8. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do espac¸o R2: a) {(1, 2), (−1, 3)} b) {(3,−6), (−4, 8)} c) {(0, 0), (2, 3)} 9. Verificar se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3: a) {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 2, 0)} b) {(1, 0, 1), (0,−1, 2), (−2, 1, 4)} c) {(1, 2, 3), (4, 1, 2)} 10. Encontrar uma base e a dimensa˜o do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema: x+ 2y − 2z − t = 0 2x+ 4y + z + t = 0 x+ 2y + 3z + 2t = 0 11. Determine quais das seguintes func¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares: a) f : R2 → R2 (x, y) 7→ (x+ y, x− y) b)f : R2 → R (x, y) 7→ xy c) h : M2 → R [ a b c d ] 7→ det [ a b c d ] d) N : R→ R; N(x) = |x|. Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes das transformac¸o˜es lineares ou das matrizes dadas: 12. T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (y, 2y) 13. T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y) 14. T : R4 → R4, definida por T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w) 15. A = [ 1 2 0 −1 ] 16. B = 1 2 30 1 2 0 0 1
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