RESUMO DA SEGUNDA AREA DE ALGA PROFESSORA LUCIANA CHIMENEZ UFPEL

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ESPAC¸OS VETORIAIS
Seja um conjunto V, na˜o-vazio, sobre o qual esta˜o de-
finidas as operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar,
isto e´:
∀u,v ∈ V,u+ v ∈ V
∀α ∈ R,∀u ∈ V, αu ∈ V .
O conjunto V com essas duas operac¸o˜es e´ chamado
espac¸o vetorial real se forem verificados os seguintes
axiomas:
A) Em relac¸a˜o a` adic¸a˜o:
A1) (u+ v) +w = u+ (v +w)
A2) u+ v = v + u
A3) ∃0 ∈ V, ∀u, tal que u+ 0 = u
A4) ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0
M) Em relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o por escalar:
M1) (αβ)u = α(βu)
M2) (α+ β)u = αu+ βu
M3) α(u+ v) = αu+ αv)
M4) 1u = u.
SUBESPAC¸OS VETORIAIS
Um subconjunto S, na˜o-vazio, de um espac¸o vetorial V
e´ um subespac¸o vetorial de V se estiverem satisfeitas
as condic¸o˜es:
I) Para quaisquer u,v ∈ S, tem-se u+ v ∈ S.
II) Para quaisquer α ∈ R,u ∈ S, tem-se αu ∈ S.
SUBESPAC¸OS GERADOS
Fixado um conjunto de vetores {v1,v2,v3, . . . ,vn}, es-
tamos interessados em fazer todas as combinac¸o˜es li-
neares poss´ıveis com estes vetores e determinar o con-
junto formado por estas combinac¸o˜es. Este novo con-
junto sera´ chamado subespac¸o gerado por esses vetores.
VETORES LINEARMENTE INDEPENDEN-
TES
Sejam V um espac¸o vetorial e A =
{v1,v2,v3,v4, . . . ,vn} ⊂ V um conjunto. Considere-
mos a equac¸a˜o a1v1+a2v2+a3v3+a4v4+. . .+anvn =
0. Se esta equac¸a˜o tem como soluc¸a˜o somente os
valores a1 = a2 = a3 = a4 = . . . = an = 0, dizemos
que o conjunto A e´ linearmente independente
(LI).
TESTE 1: Para o caso particular de dois vetores, po-
demos dizer que eles sa˜o LD se, e somente se, um vetor
e´ mu´ltiplo escalar do outro, ou seja, a raza˜o entre suas
coordenadas da´ sempre uma mesma constante.
TESTE 2: Ja´ para o caso de treˆs vetores, eles sa˜o LD
se forem coplanares, ou seja, (−→u ,−→v ,−→w ) = 0.
BASE DE UM ESPAC¸O VETORIAL
Um conjunto B = {v1, v2, v3, . . . , vn} ⊂ V e´ uma base
do espac¸o vetorial V se: i) Be´ LI; ii) B gera V.
DIMENSA˜O DO ESPAC¸O VETORIAL
Seja V um espac¸o vetorial. Se V possui uma base com
n vetores, enta˜o V tem dimensa˜o n e denota-se dim V
= n. Assim, a dimensa˜o de um espac¸o vetorial expressa
o nu´mero de vetores que sua base possui.
TESTE: Uma forma pra´tica para determinar a di-
mensa˜o de um espac¸o vetorial e´ verificar o nu´mero de
varia´veis livres de seu vetor gene´rico. Esse nu´mero e´ a
dimensa˜o do espac¸o.
TRANSFORMAc¸A˜O LINEAR
Sejam V e W dois espac¸os vetoriais. Uma trans-
formac¸a˜o linear (aplicac¸a˜o linear) e´ uma func¸a˜o de V
em W , T : V → W , que para quaisquer que sejam
u e v em V e quaisquer que sejam k ∈ R, satisfaz as
seguintes condic¸o˜es:
i) T (u+ v) = T (u) + T (v);
ii) T (kv) = kT (v).
Observac¸a˜o: Decorre da definic¸a˜o, que uma trans-
formac¸a˜o linear T : V → W leva o vetor nulo de V no
vetor nulo de W , isto e´, T (0) = 0.
Isto nos ajuda a verificar se as transformac¸o˜es na˜o sa˜o
lineares, pois se T (0) 6= 0, enta˜o T na˜o e´ linear.
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, estaremos
entendendo por autovalor e autovetor de A, autovalor
e autovetor da transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn,
associada a` matriz A em relac¸a˜o a` base canoˆnica, isto
e´, TA(v) = A.v (na forma coluna).
Ca´lculo: Dada uma matriz A, de ordem n × n, de-
terminamos seus autovalores e autovetores da seguinte
forma
1o) Encontramos as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico
(que sera˜o os autovalores):
det(A− λI) = 0.
2o) Encontramos os autovetores associados a cada
autovalor λ, substituindo-os na equac¸a˜o abaixo e
resolvendo-a:
(A− λI)v = 0.