Carga eletrica e lei de Coulomb

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NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB 1 INTRODUÇÃO Quando você arrasta os sapatos ao caminhar sobre um carpete e depois segura uma maçaneta metálica, pode sentir uma desagradável descarga provocada pela eletricidade estática. Qual é a causa desse fenômeno e por que em um dia seco é mais fácil ocorrer essa descarga do que em um dia úmido? Os átomos que constituem seu corpo são mantidos unidos e não se rompem, embora as partículas que constituem esses átomos geralmente se movam com velocidades elevadas. Por quê? O que ocorre realmente em um circuito elétrico? Como funcionam um motor e um gerador elétricos? E, afinal, o que é a luz? As respostas a todas essas perguntas têm como base os princípios de um ramo fundamental da física conhecido como eletromagnetismo — o estudo das interações elétricas e magnéticas. Essas interações envolvem partículas que possuem uma grandeza chamada carga elétrica, uma propriedade da matéria tão fundamental quanto a massa. O estudo dos fenômenos eletromagnéticos ocupará nossa atenção em todos os capítulos desta Disciplina. Neste capítulo começamos o estudo do eletromagnetismo examinando a natureza da carga elétrica. Mostraremos que a carga elétrica é quantizada e obedece a um princípio de conservação. A seguir, passaremos a estudar as interações entre cargas elétricas que estão em repouso em nosso sistema de referência, conhecidas como interações eletrostáticas. Essas interações são extraordinariamente importantes: elas mantêm unidos os átomos e as moléculas que constituem nosso corpo e são responsáveis por inúmeras aplicações tecnológicas. As interações eletrostáticas são descritas por uma relação simples chamada lei de Coulomb e podem ser estudadas de modo mais conveniente usando-se o conceito de campo elétrico. Neste capítulo, vamos explorar todos esses conceitos e depois aprofundá-los nos capítulos seguintes. Um dos primeiros fenômenos de origem eletrostática foi observado pelos gregos e descrito por Tales de Mileto por volta do ano 600 a.C. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektron em grego), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidade de atrair pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno sempre permaneceu no campo da lógica e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi quantificada e equacionada no século XVIII pelo cientista francês Charles A. Coulomb. 2 PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉTRICAS Carga elétrica Inúmeras experiências simples demonstram a existência de forças eletrostáticas. Por exemplo, após passar um pente em seu cabelo, você verificará que o pente atrai pequenos pedaços de papel. A força eletrostática de atração é frequentemente forte o bastante para suspender os pedaços. O mesmo efeito ocorre com outros materiais atritados, tais como o vidro ou a borracha. Uma outra experiência simples é atritar um balão inflado com lã, ou com seu cabelo (figura 1). Em um dia seco, o balão atritado ficará aderido à parede de um cômodo, frequentemente por horas. Quando os materiais se comportam dessa maneira, diz-se que estão carregados eletricamente. Você pode dar a seu corpo uma carga elétrica andando sobre um tapete de lã ou deslizando em um assento de carro. Você pode então sentir, e remover, a carga em seu corpo tocando levemente uma outra pessoa. Nas condições apropriadas, uma faísca visível pode ser vista quando você a toca e um pequeno choque é sentido pelas duas pessoas. (Essa experiência funciona melhor em um dia seco, porque a umidade excessiva no ar pode fornecer uma via para a carga escapar do corpo carregado.) 
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 FIGURA 1 Friccionar um balão em seu cabelo em um dia seco torna o balão e seu cabelo eletricamente carregados. 
 Experiências demonstram também que há dois tipos de carga elétrica, chamadas por Benjamin Franklin (1706-1790) de positiva e negativa. A figura 2 ilustra as interações entre as duas cargas. Uma haste de borracha dura (ou de plástico) que seja friccionada com peliça (ou um material acrílico) é suspensa por um fio. Quando uma haste de vidro que tenha sido friccionada com seda é aproximada da haste de borracha, esta é atraída para a haste de vidro (figura 2a). Se forem aproximadas duas hastes de borracha carregadas (ou duas hastes de vidro carregadas), como na figura 2b, a força entre elas é de repulsão. Essa observação demonstra que a borracha e o vidro têm tipos diferentes da carga. Usamos a convenção sugerida por Franklin; a carga elétrica na haste de vidro é chamada de positiva e a da haste de borracha, de negativa. Com base nessas observações, concluímos que cargas iguais se repelem e cargas diferentes se atraem. 
 
 
FIGURA 2 (a) Uma haste de borracha carregada negativamente, suspensa por um fio, é atraída por uma haste de vidro carregada positivamente, (b) Uma haste de borracha carregada negativamente é repelida por outra haste de borracha carregada negativamente. Sabemos que somente dois tipos de carga elétrica existem porque toda a carga desconhecida que se observa experimentalmente ser atraída por uma carga positiva é repelida também pela carga negativa. Nunca foi observado um corpo carregado que fosse repelido ou atraído tanto por uma carga positiva como por uma carga negativa. Outra característica importante da carga elétrica é que a carga resultante em um sistema isolado sempre é conservada. Quando dois corpos inicialmente neutros são carregados ao ser esfregados entre si, não é criada carga no processo. Os corpos tornam-se carregados porque elétrons são transferidos de um corpo para o outro. Um corpo ganha uma quantidade de carga negativa dos elétrons transferidos para ele enquanto o outro perde uma quantidade igual de carga negativa e, consequentemente, fica com uma carga positiva. Para o sistema isolado de dois corpos, nenhuma transferência de carga ocorre por intermédio da fronteira do sistema. A única mudança é que a carga foi transferida entre os dois membros do sistema. Por exemplo, quando uma haste de vidro é friccionada com seda, como na figura 3, a seda ganha uma carga negativa cuja magnitude é igual à da carga positiva na haste de vidro porque elétrons negativamente carregados são transferidos do vidro para a seda. Do mesmo modo, quando a borracha é friccionada com peliça, elétrons são transferidos da peliça para a borracha. Um corpo não carregado contém um número enorme de elétrons (da ordem de 1023). Entretanto, para cada elétron negativo também está presente um próton positivamente carregado; logo, um corpo não carregado não tem nenhuma carga resultante de um ou de outro sinal. 
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 FIGURA 3 Quando uma haste de vidro é friccionada contra a seda, elétrons são transferidos do vidro para a seda. Por causa da conservação de carga, cada elétron adiciona carga negativa à seda e uma carga positiva igual é deixada na haste. 
 Quantização da carga elétrica No século XVIII, a carga elétrica era considerada como um fluido contínuo. Entretanto, no início do século XX, Robert Millikan (1868-1953) descobriu que o fluido elétrico não era contínuo e, sim, que a carga elétrica era constituída por um múltiplo inteiro de uma carga fundamental e, ou seja, a carga q de um certo objeto pode ser escrita como q = ne, com n = 1, 2, 3,......onde e possui o valor de 1,60.10-19 C, sendo considerada uma das constantes fundamentais da natureza. Podemos então dizer que a carga elétrica existe em pacotes discretos ou, em termos modernos, é “quantizada”, não podendo assumir qualquer valor. Outras experiências da época de Millikan mostraram que o elétron tem carga -e e o próton +e, o que assegura que um átomo neutro tem o mesmo número de prótons e elétrons. A Tabela 1 sumariza as cargas e massas das partículas atômicas. 
 TABELA 1 Principais propriedades dos constituintes de um átomo. Certas expressões de uso coloquial, como "a carga contida em uma esfera", "a quantidadede carga transferida" e ''a carga que um elétron possui", dão a impressão de que a carga é uma substância. (Na verdade, usamos algumas expressões semelhantes neste capítulo.) É preciso ter em mente, porém, que a carga não é uma substância, e sim uma propriedade das partículas, como a massa. Unidade SI A unidade SI de carga é o Coulomb (C). Ele é definido em termos da unidade de corrente elétrica, o ampère (A), como a carga que passa por um determinado ponto em 1 segundo quando uma corrente de 1 ampère está fluindo através daquele ponto.Veremos mais detalhes em capítulos posteriores. Corpos neutros Todos os objetos da natureza contêm cargas, porém na maioria das vezes não conseguimos percebê-las. Isto se deve ao fato de que os objetos contêm quantidades iguais dos dois tipos de cargas: cargas positivas e cargas negativas. Assim, a igualdade leva ao equilíbrio de cargas e dizemos que os objetos são eletricamente neutros, ou seja, não possuem uma carga líquida. Se este equilíbrio é desfeito, dizemos que um corpo está eletrizado, ou seja, uma carga líquida existirá e ele poderá interagir eletricamente. Condutores e isolantes Podemos classificar os materiais de acordo com a facilidade com a qual as cargas elétricas se movem em seu interior. Os bons-condutores ou simplesmente condutores são materiais nos quais as cargas elétricas se movem com facilidade, como os metais (como o cobre dos fios elétricos), o corpo humano e a água de torneira. Os maus-condutores, também conhecidos como isolantes, são materiais nos quais as cargas não podem se mover, como os plásticos (usados para isolar fios elétricos), a borracha, o vidro e a água destilada. Como exemplo de um mau condutor, citamos um tapete de fibras em um dia seco. Quando você esfrega os pés no tapete, o atrito de seus sapatos com as fibras produz cargas elétricas que permanecem em seu corpo, pois elas não 
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podem escoar através das fibras isolantes. Quando você toca a seguir um objeto condutor como uma maçaneta metálica, ocorre uma rápida transferência de carga elétrica e você sente um choque (ver figura 4). 
 FIGURA 4 Choque através de uma maçaneta metálica. Todos os metais são bons condutores, enquanto muitos materiais não metálicos são isolantes. No interior de um metal como o cobre, um ou mais elétrons de cada átomo se destacam e podem mover-se livremente através do material, do mesmo modo que as moléculas de um gás podem mover-se livremente através dos espaços entre os grãos de um balde de areia. O movimento desses elétrons negativos produz a transferência da carga elétrica através do metal. Os elétrons restantes permanecem ligados aos núcleos carregados positivamente, os quais, por sua vez, permanecem relativamente fixos no interior do metal. Em um isolante não existe praticamente nenhum elétron livre, e a carga elétrica não pode ser transferida através do material. Os semicondutores são materiais com propriedades elétricas intermediárias entre as dos condutores e as dos maus-condutores, como o silício (usado nos microcircuitos dos computadores) e o germânio. Os supercondutores são condutores perfeitos, ou seja, materiais nos quais as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência. Nos próximos capítulos vamos discutir apenas os condutores e maus condutores. 3 PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO Eletrização por Atrito Quando dois corpos feitos de materiais diferentes são atritados entre si, o contato entre eles acontece com tal proximidade que os átomos de um material interagem fortemente com os átomos do outro. Nessa interação, ocorre a transferência de elétrons de um corpo para o outro. O que cede elétrons fica eletrizado positivamente, e aquele que recebe elétrons fica eletrizado negativamente. Por exemplo: atritando-se um pedaço de vidro com um pano de seda, o vidro se eletriza positivamente, e a seda, negativamente como mostra a figura 5. Antes de continuar com a leitura, pense a respeito da seguinte questão: se o vidro fica eletrizado positivamente devido à perda de certa quantidade de elétrons, quantos elétrons deve receber o pano de seda, que fica eletrizado negativamente? Se você respondeu que a quantidade de elétrons que um perde é a mesma que o outro ganha, acertou. Ou seja, o vidro e a seda adquirem cargas elétricas de mesmo valor absoluto, porém com sinais contrários. Você verá adiante que é possível efetuar a medição das cargas e comprovar esse fato. Isso significa que, se o vidro fica com carga +Q, a seda fica com carga -Q. 
 FIGURA 5 Atrito entre um pedaço de vidro e um pano de seda, o vidro se eletriza positivamente, e a seda, negativamente. 
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Ou seja, na eletrização de corpos isolados, não há criação de cargas: apenas transferência de um corpo para outro. Esse fato está relacionado com o que se chama princípio da conservação da carga elétrica. Num sistema de corpos eletrizados que trocam cargas entre si, a carga elétrica total não se altera desde que o sistema esteja eletricamente isolado, ou seja, não troque cargas com o exterior. Em outras palavras: Num sistema isolado de corpos eletrizados, a soma algébrica das cargas de todos os corpos permanece constante. Q1 + Q2 + ... + Qn = Q’1 + Q’2 + ... + Q’n A transferência de elétrons ocorre do material que tem mais facilidade de liberá-los para outro cuja facilidade maior é de recebê-los. Pense: qual seria a razão de um material ter mais facilidade que outro? Pode-se imaginar que o fator determinante seja a força de atração do núcleo. E é exatamente esse o motivo: perde elétrons o material cujos núcleos atômicos exercem menor força sobre os elétrons periféricos. Com base nesse fato, foi elaborada experimentalmente uma relação de materiais, ordenados de tal modo que, quando atritados dois a dois, fica positivo aquele que vem antes na lista. Essa relação de materiais recebeu o nome de série triboelétrica (ver figura 6). 
 
 FIGURA 6 Série triboelétrica. 
 Eletrização por Contato Considere o condutor A, previamente eletrizado com carga negativa, e o condutor B, inicialmente neutro. É possível eletrizar o condutor B sem atritar suas superfícies. Para tanto, basta haver o contato elétrico entre eles como mostra a figura 7. 
 
 
FIGURA 7 Eletrização por contato. Encontro entre um condutor eletrizado e outro neutro. Ao se realizar esse contato, a repulsão entre os elétrons de A faz com que haja transferência de parte desses elétrons para B. No final, ambos os condutores ficarão eletrizados negativamente como na figura 8. 
 FIGURA 8 Processo final de eletrização por contato de um corpo A negativamente carregado e um B neutro. Após o contato, a carga final em cada condutor é proporcional às dimensões de cada um. Ao condutor de maior dimensão caberá, no final, uma parcela maior da carga total. Se os condutores tiverem dimensões iguais, no final as 
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cargas serão iguais em cada um deles. Você pode verificar, com base no princípio da conservação da carga, que o valor comum será igual à média aritmética da carga total inicial. Desde que os corpos envolvidos formem um sistema eletricamente isolado, o princípio da conservação da carga nos permite escrever: QA + QB = Q’A + Q'B Se A estivesse inicialmente eletrizado positivamente e B neutro, com o contato a carga positiva de A atrairia elétrons livres de B e, no final, A e B ficariam eletrizados positivamente como indicado na figura 9. 
 FIGURA 9 Processo final de eletrização por contato de um corpo A positivamente carregado e um B neutro. Observe que, na eletrização por contato, os corpos adquirem cargas de mesmo sinal. Se os corpos forem isolantes, a eletrização por contato, sem esfregação, ocorre com menor intensidade ou eficiência. Na prática, esse tipo de eletrização é mais utilizado com corpos condutores. CONTATO DE UM CONDUTOR ELETRIZADO COM A TERRA A carga elétrica em excesso num condutor pode ser escoada para a Terra tanto através do ar úmido, que é condutor, como pela conexão direta com o solo terrestre, realizada por algo capaz de conduzir cargas elétricas, comoo corpo humano ou um fio metálico. Quando se faz o contato entre um corpo eletrizado e o solo, tanto um como outro ficam eletrizados. Lembre que a redistribuição das cargas é proporcional às dimensões dos corpos envolvidos. Como as dimensões do corpo são desprezíveis em comparação com a da Terra, a carga elétrica que nele permanece é praticamente nula. Assim, ao ligarmos um condutor eletrizado à Terra, dizemos que ele se descarrega ou que fica eletricamente neutro. Nas figuras 10a, 10b, 10c e 10d, um corpo condutor, sustentado por um suporte isolante, está eletrizado negativamente em 10a e positivamente em 10b. As letras Ch representam uma chave interruptora, ou simplesmente interruptor - que, quando aberta, mantém o condutor eletrizado isolado do solo terrestre. 
O símbolo representa a ligação com a Terra. Fechando-se o interruptor Ch, o condutor perde imediatamente o excesso de cargas e fica neutro. Em 10c, os elétrons em excesso no corpo se transferem para a Terra através do fio condutor. Em 10d, elétrons da Terra se deslocam para o condutor, neutralizando o excesso de cargas positivas. O condutor (ar úmido, corpo humano, metal) que permite "escoar" a carga do corpo eletrizado para o solo terrestre costuma ser denominado fio terra. 
 FIGURA 10 Contato de um condutor eletrizado com a Terra. Eletrização por Indução Observe a figura 11 em que o corpo B é aproximado do condutor A, sem que haja contato. Nessa situação, observa-se uma separação de cargas no condutor neutro. Isso pode ser comprovado aproximando pedacinhos de papel, que serão atraídos pelo condutor A de um lado e de outro. O que aconteceu com esse condutor que era neutro e agora passa a atrair pedacinhos de papel? 
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O que ocorre é que os elétrons livres de A se afastam, distribuindo-se na região oposta ao corpo eletrizado, enquanto a parte voltada para o corpo eletrizado fica positiva. 
 
 
 FIGURA 11 Processo de Eletrização por Indução. É possível verificar que o condutor não está eletrizado, tanto é que, se afastarmos o corpo eletrizado, as cargas separadas no condutor voltam à situação inicial, e ele já não é capaz de atrair os pedaços de papel. Quando há separação de cargas em um corpo neutro pela aproximação de outro carregado, dizemos que esse corpo neutro sofreu indução eletrostática. O corpo eletrizado que causa a indução (no caso, o corpo B) é denominado indutor, e o corpo que sofre a indução (A) chama-se induzido. Pense agora no que deve acontecer se ligarmos o induzido A ao solo enquanto o indutor estiver próximo. Os elétrons livres de A, repelidos pelo indutor, escoam-se para a Terra. Desfazendo o contato com a Terra e, em seguida, afastando o indutor (ver figura 12), o induzido ficará eletrizado positivamente, com a carga distribuída na sua superfície externa. 
 
 
 
 FIGURA 12 Processo final de Eletrização por Indução. O induzido, quando ligado a um fio terra, se eletriza sempre com carga de sinal contrário à do indutor. Um caso interessante é a eletrização por indução de dois corpos condutores (A e B, na figura 13) que estão em contato mútuo e inicialmente neutros. Suponhamos que aproximemos da esfera A um bastão eletrizado, por exemplo, com cargas positivas. Nessa situação, os elétrons livres tanto de A como de B serão atraídos pelo bastão e ficarão acumulados na região de A voltada para o bastão, enquanto na região oposta de B, haverá falta de elétrons. Eliminando o contato entre A e B e afastando o bastão, as duas esferas ficarão eletrizadas com cargas de sinais contrários. 
 
 
 
 FIGURA 13 Outra forma de promover o processo de eletrização por indução. 4 LEI DE COULOMB Descoberta Em 1784, o físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) realizou experimentos com uma balança de torção (figura 14) e mediu as atrações e repulsões elétricas entre duas esferas eletricamente carregadas e deduziu a lei que governa a eletrostática: A força elétrica exercida por um corpo carregado sobre outro depende diretamente do produto do módulo das cargas e inversamente do quadrado da distância que os separa. 
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 FIGURA 14 A balança de torção de Coulomb, que foi utilizada para estabelecer a lei do inverso do quadrado para a força eletrostática entre duas cargas. 
A lei de Coulomb Em termos matemáticos: 
 1 22q qF ,r Introduzindo a constante de proporcionalidade, k, a expressão matemática para a Lei de Coulomb fica: 
 1 22kq qF .r [1] Note que a Lei de Coulomb assemelha-se a lei da gravitação de Newton, F = Gm1m2/r2. As duas equações descrevem leis do tipo inverso do quadrado que envolvem uma propriedade de partículas, massa em um caso, carga no outro. Entretanto, as forças gravitacionais são sempre atrativas, enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas, dependendo dos sinais das duas cargas. A diferença resulta do fato de que existe apenas um tipo de massa, mas existem dois tipos de carga elétrica. A constante k é definida por: 
 0
1k ,4 
onde ε0 = 8,85418781762.10-12C2/Nm2, é a constante de permissividade elétrica do vácuo, e k = 8,99.109 N.m2/C2. Portanto podemos escrever a lei de Coulomb como 
  1 220
q q1F .4 r [2] 
 Forma vetorial da lei de Coulomb Até aqui consideramos apenas o módulo da força entre duas cargas, determinada de acordo com a lei de Coulomb. A força, sendo um vetor, também tem propriedades direcionais. No caso da lei de Coulomb o sentido da força é determinado pelo sinal relativo das duas cargas elétricas. A força de atração ou de repulsão entre as cargas puntiformes em repouso atua ao longo da linha que as une (ver figura 15). 
 
 FIGURA 15 Forças entre as cargas q1 e q2 a) de mesmo sinal e b) de sinais contrários. 
Podemos representar a força eletrostática em termos vetoriais como: 
 9 
 
 1 212 122
0 12
q q1 ˆF r ,4 r [3] 
onde 12F é a força exercida sobre a partícula 1 pela partícula 2, r12 representa o módulo do vetor 12r , e 12rˆ indica o vetor unitário do sentido de 12r (figura 15). Ou seja, 
 1212
12
rrˆ r [4] 
De acordo com a terceira lei de Newton, a força exercida sobre a partícula 2 pela partícula 1, 21F , é oposta a 12F , e pode ser expressa como: 
 
 1 221 212
0 21
q q1 ˆF r ,4 r [5] 
Como 21rˆ possui sentido oposto ao vetor 12rˆ , temos que:  12 21F F [6] Princípio da superposição Outra semelhança entre a força gravitacional e a força eletrostática é que ambas obedecem ao princípio de superposição. Em um sistema com n partículas carregadas as partículas interagem independentemente, aos pares, e a força que age sobre uma das partículas, a partícula 1, por exemplo, é dada pela soma vetorial       resultante 12 13 14F F F F ... [7] 
onde, por exemplo, 14F é a força que age sobre a partícula 1 devido à presença da partícula 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Uma bola positivamente carregada, pendurada em um fio, é aproximada de um corpo não condutor. A bola é atraída pelo corpo. A partir desse experimento não é possível determinar se o corpo está carregado negativamente ou neutro. Por que não? Que experimento adicional o ajudaria a decidir-se entre essas duas possibilidades? SOLUÇÃO A atração entre a bola e o corpo poderia ser uma atração entre cargas opostas ou uma atração entre um corpo carregado e um corpo neutro, devido à polarização das moléculas do corpo neutro. Dois experimentos adicionais possíveis ajudariam a determinar se o corpo está carregado. Primeiramente, uma bola sabidamente neutra poderia ser trazida para perto do corpo - se a bola for atraída pelo corpo, o corpo estará carregado negativamente. Outra possibilidade seria trazer uma bola sabidamente carregada negativamente para perto do corpo - se a bola for repelida pelo corpo, o corpo estará carregado negativamente. Se a bola for atraída, estará neutro. 02.Por que sentimos uma vibração nos dedos quando tocamos a tela da televisão? SOLUÇÃO O bombardeio de elétrons responsável pela formação de imagens acaba por estabelecer uma carga negativa que recobre toda a tela do aparelho. Ao tocarmos nela, reagimos como um fio-terra, que retira a eletricidade do televisor. Dessa forma, os elétrons saltam para os dedos, produzindo pequenas faíscas que provocam essa sensação parecida com cócegas. É mais fácil observar o mesmo efeito aproximando a cabeça da tela: os cabelos, fortemente atraídos pela carga negativa, ficam literalmente em pé. 03. Em Força Eletrostática cuja fórmula F= k.q1.q2/d2 serve para dois corpos carregados. Qual seria a fórmula que calcula a atração de dois corpos sendo um deles neutro e outro carregado? Porque um corpo neutro tem q = 0 e não poderia usar a mesma formula, pois a força também daria zero, o que não é verdade porque notamos uma força de atração entre os corpos. SOLUÇÃO O "corpo" neutro é composto por partículas, não é? A presença de uma carga nas vizinhanças, acaba por "polarizar", mesmo que levemente, o "corpo" neutro. Sugiro pesquisar sobre o "Efeito Casimir" e as "Forças de Van der Waals". 04. Determine o número de elétrons que deverá ser fornecido a um condutor metálico, inicialmente neutro, para que fique eletrizado com carga elétrica igual a –1,0 C. Dado: carga elementar e = 1,6 · 10–19 C 
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SOLUÇÃO A carga elétrica de qualquer corpo pode ser expressa sempre da seguinte forma: Q = ± ne em que: n = 1, 2, 3... e e é a carga elementar. Assim: –1,0 = – n · 1,6 · 10–19 n = 1,0 / 1,6 · 10–19 = 0,625 · 1019 n = 6,25 · 1018 elétrons 05. Durante uma aula de Física do professor Gomes, uma aluna de longos cabelos loiros começa a penteá-los usando pente de plástico. Após passar o pente pelos cabelos, nota que ele atrai pequenos pedaços de papel que se encontram sobre sua carteira. Admirada, ela pergunta ao professor Gomes qual a explicação para tal fato. O professor pede que os demais alunos se manifestem. Cinco deles deram respostas diferentes, qual acertou a explicação? Aluno A — O pente é um bom condutor elétrico. Aluna B — O papel é um bom condutor elétrico. Aluno C — Os pedaços de papel já estavam eletrizados. Aluna D — O pente ficou eletrizado por atrito no cabelo. Aluno E — Entre o pente e os pedaços de papel ocorre atração gravitacional. SOLUÇÃO O pente ficou eletrizado devido ao atrito com o cabelo. Resposta: aluna D 06. Três pequenas esferas metálicas A, B e C idênticas estão eletrizadas com cargas +3q, –2q e +5q, respectivamente. Determine a carga de cada uma após um contato simultâneo entre as três. SOLUÇÃO Q = [(+3q) + (–2q) + (+5q)] / 3 QA = QB = QC = + 2q Resposta: + 2q 07. Três pequenas esferas condutoras, M, N e P, idênticas estão eletrizadas com cargas + 6q, + q e – 4q, respectivamente. Uma quarta esfera, Z, igual às anteriores, encontra-se neutra. Determine a carga elétrica adquirida pela esfera Z, após contatos sucessivos com M, N e P, nessa ordem. SOLUÇÃO Como os condutores são idênticos, após o contato entre dois deles cada um fica com metade da soma algébrica das suas cargas iniciais. Assim, no contato entre Z e M, temos: *antes QZ = 0 QM = + 6q 
*após Q’Z = + 3q Q’M = + 3q No contato entre Z e N, temos: *antes Q’Z = + 3q QN = + q 
*após Q’’ Z = + 2q Q’N = + 2q Finalmente, no contato entre Z e P, temos: *antes Q’’ Z = + 2q QP = – 4q 
*após Q’’’ Z = – q Q’P = – q Portanto, após os contatos sucessivos de Z com M, N e P, sua carga elétrica Q’’’ Z é dada por: Q’’’ Z = – q 08. Considere que na série triboelétrica aparecem, pela ordem e inicialmente neutros, corpos de: vidro, lã, seda e plástico. Atrita-se vidro com lã e seda com plástico. a) Quais os sinais das cargas adquiridas pela lã e pela seda? b) Se o vidro for colocado próximo do plástico, haverá atração ou repulsão? SOLUÇÃO a) Ao atritarmos dois materiais da série triboelétrica, adquire carga elétrica positiva aquele que é listado primeiro, e o seguinte, negativa. Assim, a lã fica com carga negativa e a seda com carga positiva. 
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 b) Haverá atração, pois o vidro e o plástico apresentam cargas de sinais opostos. 09. Em uma esfera metálica oca, carregada positivamente, são encostadas esferas metálicas menores, presas a cabos isolantes e inicialmente descarregadas. 
 O Professor Gomes pede que você determine os sinais das cargas que passam para as esferas menores, I e II. SOLUÇÃO As cargas elétricas se distribuem na superfície externa da esfera oca. A esfera I toca a face interna da esfera oca, que está eletricamente neutra. A esfera I não adquire carga elétrica. A esfera II toca a face externa, onde estão distribuídas as cargas elétricas positivas. A esfera II perde elétrons para essa superfície e torna-se eletricamente positiva. 10. Duas partículas A e B, eletrizadas com cargas de mesmo sinal e respectivamente iguais a QA e QB, tal que QA = 9 QB, são fixadas no vácuo a 1,0 m de distância uma da outra. Determine o local, no segmento que une as cargas A e B, onde deverá ser colocada uma terceira carga C, para que ela permaneça em repouso. SOLUÇÃO Inicialmente, façamos um esquema da situação: 
 Como as cargas A e B têm o mesmo sinal, as forças de interação que agirão sobre a terceira carga terão a mesma direção, mas sentidos opostos, não importando qual o seu sinal. Uma vez que essa terceira carga deve ficar em repouso, os módulos das forças que agem sobre ela devem ser iguais (resultante nula). Assim: 
 
 
 
 
A B
22
B B
22
k Q q k Q q
x 1 x
9 Q Q
x 1 x
 
x2 = 9 (1 – x)2 x = 3 (1 – x) x = 0,75m A carga C deve ser colocada a 0,75 m de A e a 0,25 m de B. Nota: • A equação x2 = 9 (1 – x)2 admite uma outra solução, que não satisfaz às condições do problema. Ela corresponde a um ponto fora do segmento que une A e B, em que as forças têm mesmo módulo e mesmo sentido e, portanto, não se equilibram. 
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11. Quatro pequenas esferas de massa m estão carregadas com cargas de mesmo valor absoluto q, sendo duas negativas e duas positivas, como mostra a figura. As esferas estão dispostas formando um quadrado de lado a e giram numa trajetória circular de centro O, no plano do quadrado, com velocidade de módulo constante v. Suponha que as únicas forças atuantes sobre as esferas sejam devidas à interação eletrostática. A constante de permissividade elétrica é ε0. Todas as grandezas (dadas e solicitadas) estão em unidades SI. Determine a expressão do módulo da força eletrostática resultante F que atua em cada esfera e indique sua direção. 
 SOLUÇÃO a) Cada uma das quatro cargas elétricas está sujeita a três forças exercidas pelas outras três cargas. 
 Devido à simetria, podemos observar que as forças resultantes em cada carga têm intensidades iguais. Por exemplo, considerando a carga nominada por A, temos: 
 Observe que: 
 
 
 
 

AB DA 2
CA 2 2
qqF F k a
qq qqF k k a .2a 2
 
Somando os vetores BAF e DAF , temos: 
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  


2 2 2 2
BA DA BA
BA
2
S F F 2F
S 2F
qqS 2k a
 
A força resultante de A é dada por: 
2 2
2
qq qq1F 2k ka 2 a
qq1F 2 k2 a
 
    
 
0
2
2
0
Como:
1k 4
Então:
2 2 1 1 qF 2 4 a
 
         
 
 EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 01. Por que as experiências em eletrostática não funcionam bem em dias úmidos? 02. Em um dia seco, logo após lavar seus cabelos para remover a oleosidade natural e secá-los completamente, penteie seus cabelos com um pente de plástico. Pequenos pedaços de papel serão atraídos pelo pente. Explique por quê. 03. Bons condutores elétricos, como os metais, são em geral também bons condutores de calor; isolantes elétricos, como a madeira, são maus condutores de calor. Explique a razão pela qual deveria existir uma relação entre a condução elétrica e a condução térmica desses materiais. 04. Um núcleo é constituído por prótons e nêutrons. Isso mostra que, além da força elétrica e da força gravitacional, deveexistir outro tipo de interação. Explique. 05. A vida seria diferente se o elétron fosse carregado positivamente e o próton fosse carregado negativamente? A escolha dos sinais tem algum significado sobre as interações físicas e químicas? Explique. 06. Uma esfera metálica descarregada está suspensa com um fio de náilon. Quando um bastão de vidro carregado positivamente é colocado próximo da esfera, ela é atraída e se move em direção ao bastão. Porém, se a esfera toca o bastão, ela repentinamente se afasta dele. Explique por que ela é inicialmente atraída e a seguir repelida. 07. Os elétrons livres de um metal são atraídos pela força de gravidade da Terra. Então, por que eles não se acumulam na base de um condutor, tal como a sedimentação de partículas no fundo de um rio? 08. Que semelhanças existem entre uma força elétrica e uma força gravitacional? Quais são as diferenças mais relevantes entre essas forças? 09. A força elétrica entre um elétron e um próton, entre dois elétrons ou entre dois prótons é muito mais intensa do que a força gravitacional entre uma dessas partículas e qualquer outra. Contudo, embora o Sol e os planetas contenham prótons e elétrons, é a força gravitacional que mantém um planeta em sua órbita em torno do Sol. Explique essa aparente contradição. 10. Quando você puxa uma fita de plástico transparente de um rolo e tenta posicioná-la com precisão sobre uma folha de papel, a fita geralmente enrola e adere em um local que você não deseja. Por quê? 
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11. Temos “n” esferas condutoras idênticas e neutras. Uma outra esfera, igual às outras, encontra-se carregada com uma carga “q”. Encontre a carga final dessa esfera após contatos sucessivos com as “n” esferas neutras. 12. Dispomos de quatro pequenas esferas metálicas com as seguintes cargas elétricas: 
 As quatro esferas são idênticas. O número e representa a carga elementar. a) Se juntássemos as quatro esferas dentro de uma caixa quadrada, com fundo liso, isolante, como mostra a figura abaixo, após minutos onde estariam as esferas e com que carga elétrica? 
 b) Voltando à situação inicial de cargas, seria possível deixar três delas neutras? Justifique sua resposta descrevendo a situação. c) E deixar todas positivas, seria possível? 13. Uma esfera metálica tem uma carga de + 8,0 μC. Qual é a carga resultante depois de 6,0.1013 elétrons terem sido colocados sobre ela? 14. Uma placa contém uma carga de -3,0 μC, enquanto um bastão contém uma carga de +2,0 μC. Quantos elétrons devem ser transferidos da placa para o bastão, de modo que os dois objetos tenham a mesma carga? 15. O objeto A é metálico e eletricamente neutro. Ele é carregado por indução de modo a adquirir uma carga de -3,0.10-6 C. O objeto B é idêntico ao objeto A e também é eletricamente neutro. Ele é carregado por indução de modo a adquirir uma carga de +3,0.10-6 C. Encontre a diferença de massa entre os objetos carregados e diga qual tem a maior massa. 16. Uma esfera condutora suspensa por um cordão é atraída para um bastão carregado positivamente. A esfera tem necessariamente uma carga negativa? Outra esfera condutora suspensa é repelida pelo bastão carregado positivamente. Essa esfera tem necessariamente carga positiva? 17. Explique, de um ponto de vista atômico, por que a carga geralmente é transferida por elétrons. 18. Duas cargas pontuais livres +q e +4q estão à distância L uma da outra. Uma terceira carga é colocada de forma que o sistema inteiro esteja em equilíbrio. a) Encontre o sinal, o módulo e a localização da terceira carga. b) Mostre que o equilíbrio é instável. 19. Pequenas esferas, carregadas com cargas elétricas negativas de mesmo módulo Q, estão dispostas sobre um anel isolante e circular, como indicado na figura 1. Nessa configuração, a intensidade da força elétrica que age sobre uma carga negativa, colocada no centro do anel (ponto P), é de 20N. 
 O Professor Gomes acrescenta sobre o anel três outras cargas de mesmo módulo Q, mas positivas, como na figura 2. Qual será a nova intensidade da força elétrica no ponto P? 
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 20. Cargas q, 2q, e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a, como indicado na figura abaixo: 
 Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras três, é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo, direção e sentido). 21. Três partículas carregadas estão sobre uma linha reta, separadas pela distância d, como mostra a figura: 
 As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. Descobre-se que a carga q3, que é livre para se deslocar, está em equilíbrio sob a ação das forças elétricas. Encontre q1 em termos de q2. 22. Fixa-se uma carga Q em cada um de dois vértices opostos de um quadrado. Coloca-se uma carga q em cada um dos outros dois vértices. a) Se a força elétrica resultante sobre Q é nula, qual é a relação entre Q e q? b) Poderia escolher-se q de forma a anular a força elétrica resultante sobre todas as cargas? Explique sua resposta. 23. Quatro cargas pontuais idênticas (q = +10,0µC) estão localizadas nos vértices de um retângulo, como mostra a figura: 
 As dimensões do retângulo são L = 60,0 cm e W= 15,0 cm. Calcule a magnitude e a direção da força elétrica resultante exercida na carga situada no vértice esquerdo inferior pelas outras três cargas. 24. Um próton e um elétron são mantidos em posições fixas sobre o eixo x. O próton está em x = -d, enquanto o elétron está em x = +d. Eles são soltos simultaneamente, e a única força que afeta seus movimentos é a força eletrostática de atração que cada um aplica ao outro. Qual partícula alcança primeiro a origem? Explicite seu raciocínio. 25. Dois objetos pequenos, A e B, estão fixos e separados por 3,00 cm no vácuo. O objeto A tem uma carga de + 2,00 μC, e o objeto B uma carga de -2,00 μC. Quantos elétrons devem ser removidos de A e colocados em B para fazer com que a força eletrostática que atua sobre cada objeto seja uma força de atração com um módulo de 68,0 N? 26. Três cargas são fixas em um sistema de coordenadas x, y. Uma carga de +18 μC está sobre o eixo y em y = +3,0 m. Uma carga de -12μC está na origem. Por último, uma carga de +45 μC está sobre o eixo x em x = 3,0 m. Determine o módulo, a direção e o sentido da força eletrostática resultante sobre a carga em x = +3,0 m. Especifique a direção em relação ao eixo -x. 
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27. Uma carga pontual de -0,70 μC está presa a um vértice de um quadrado. Uma carga idêntica está presa ao vértice diagonalmente oposto. Uma carga pontual q é presa a cada um dos vértices que sobraram. A força resultante que atua sobre qualquer uma das duas cargas q é nula. Encontre o módulo e o sinal algébrico de q. 28. Nos vértices de um triângulo equilátero de lado L = 3,0 cm, são fixadas cargas q pontuais e iguais. Considerando q = 3,0 μC, determine o módulo da força, em N, sobre uma carga pontual q0 = 2,0 μC, que se encontra fixada no ponto médio do triângulo. Dado: K = 9 · 109 (SI) 
 29. Duas cargas pontuais positivas, q1 e q2 = 4q1, são fixadas a uma distância d uma da outra. Uma terceira carga negativa q3 é colocada no ponto P entre q1 e q2, a uma distância x da carga q1, conforme mostra a figura: 
 a) Calcule o valor de x para que a força sobre a carga q3 seja nula. b) Verifique se existe um valor de q3 para o qual tanto a carga q1 como a q2 permanecem em equilíbrio, nas posições do item a, sem necessidade de nenhuma outra força além das eletrostáticas entre as cargas. Caso exista, calcule este valor de q3; caso não exista, responda “não existe” e justifique. 30. Duas partículas eletrizadas com cargas elétricas iguais a Q estão fixas nos vértices opostos A e C de um quadrado de lado ℓ. A força de repulsão entre elas tem intensidade Fe (figura a). Quando colocadas nos vértices adjacentes A e B, a força de repulsão passa a ter intensidade F’e (figura b). 
 Qual a relação que existe entre F’e e Fe?