Matemática Aplicada

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Matema´tica Aplicada II
Viatcheslav I. Priimenko e Fernando D. de Siqueira
11 de janeiro de 2017
Prefa´cio
O presente livro tem como objetivo complementar a bibliografia para a disciplina
Matema´tica Aplicada II, ministrada para estudantes do Curso de Po´s-Graduac¸a˜o do
Laborato´rio de Engenharia e Explorac¸a˜o de Petro´leo - LENEP do Centro de Cieˆncia
e Tecnologia - CCT da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
- UENF. Ale´m disso, acreditamos que este livro tambe´m possa ser um suporte
dida´tico para va´rias outras disciplinas ministradas na UENF, bem como em outras
instituic¸o˜es de ensino superior.
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Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o em Equac¸o˜es
Diferenciais Parciais
1.1 Modelos Matema´ticos
Muitas ide´ias importantes da matema´tica teˆm a sua origem em cieˆncias f´ısicas. Por
exemplo, o ca´lculo foi criado na tentativa de escrever na forma correta o movimento
de corpos. As equac¸o˜es matema´ticas sempre servem como uma linguagem para for-
mular conceitos em f´ısica, como por exemplo as equac¸o˜es de Maxwell, que descrevem
fenoˆmeno eletrodinaˆmico, equac¸o˜es de Newton descrevem sistemas mecaˆnicos, etc.
Durante de muitos anos matema´ticos e f´ısicos estenderam tal conexa˜o, incluindo
todas as a´reas da cieˆncia em tecnologia, criando uma nova a´rea chamada modela-
gem matema´tica. O modelo matema´tico e´ uma equac¸a˜o (ou sistema de equac¸o˜es),
cuja soluc¸a˜o carateriza o comportamento de um processo f´ısico relacionado. Neste
sentido, podemos dizer que o sistema de Maxwell e´ o modelo para o fenoˆmeno
eletrodinaˆmico. Em geral, o modelo matema´tico e´ a descric¸a˜o simplificada da reali-
dade f´ısica explicada em termos matema´ticos. Os principais passos da modelagem
matema´tica podem ser resumidos aa seguinte maneira, ver Fig.1.1. Usualmente o
Figura 1.1: Modelagem Matema´tica
processo comec¸a com a ana´lise de um problema real com objetivo de extrair o princi-
pal processo f´ısico usando idealizac¸a˜o e va´rias proposic¸o˜es. Formulando um modelo
f´ısico ideal, podemos tambe´m formular o correspondente modelo matema´tico em ter-
mos de equac¸o˜es diferenciais, integrais ou modelos estat´ısticos. Apo´s essa etapa, o
modelo matema´tico deve ser estudado em detalhes usando me´todos apropriados. Se
os resultados obtidos for satisfato´rios, enta˜o o modelo matema´tico pode ser aceito.
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Se na˜o, os dois modelos, f´ısico e matema´tico, devem ser modificados com base na
avaliac¸a˜o realizada, e a seguir, os modelos atualizados devem ser avaliados de novo,
diversas vezes, ate´ receber resultados satisfato´rios.
Neste livro no´s estudamos modelos baseados em equac¸o˜es diferenciais parciais
(PDE’s), ou, em outras palavras, examinamos fenoˆmenos f´ısicos os quais podem ser
caracterizados por equac¸o˜es diferenciais parciais. O leitor provavelmente conhece
sistemas f´ısicos governados por equac¸o˜es diferencias ordina´rias (ODE’s). Considere-
mos como exemplo a modelagem do processo de decaimento radiativo.
A radioatividade e´ uma propriedade caracter´ıstica de substaˆncias cujos a´tomos
experimentam decomposic¸a˜o expontaˆnea. Tais substaˆncias podem existir em iso´topos,
”radioativos”insta´veis ou na forma esta´vel. O decaimento usualmente ocorre em uma
taxa de variac¸a˜o constante. Como os a´tomos diminuem, a taxa de variac¸a˜o de massa
do iso´topo radioativo e´ simplesmente proporcional a` massa presente.
Inicialmente definimos as varia´veis do problema e fornecemos alguns dados
relevantes. Seja t = tempo desde de in´ıcio do experimento, e m(t) = massa do
iso´topo radioativo.
A massa do iso´topo radioativo e´ sempre um nu´mero positivo mas, com o tempo,
ela torna-se pequeno quanto mais a substaˆncia e´ convertida em material na˜o radi-
oativo esta´vel. Recorde o fato de que a taxa de variac¸a˜o da massa dm
dt
do iso´topo
radioativo e´ proporcional a massa m em um dado instante de tempo. Aqui temos
que a massa e´ decrescente. Isto significa que a derivada, dm
dt
e´ negativa, o que implica
que a constante de proporcionalidade k deve ser negativa. Escrevemos:
(1.1)
dm
dt
= −km .
A soluc¸a˜o da Eq.(1.1) e´:
(1.2) m(t) = m0e
−kt ,
onde a constante m0 > 0 caracteriza a massa do iso´topo radiativo no tempo inicial
t = 0. Observe que quando t → ∞ a func¸a˜o m(t) → 0. Alguns membros desta
Figura 1.2: Soluc¸a˜o da Eq.(1.1) para diferentes valores de m.
famı´lia de func¸o˜es (para va´rios valores de m0) sa˜o mostrados na Fig.1.1.
Modelos baseados em PDE’s distinguem-se de baseados em ODE’s, porque as
soluc¸o˜es delas dependem de mais que uma varia´vel e sa˜o baseados em PDE’s. Os
modelos de PDE’s podem depender tambe´m da varia´vel de tempo, ale´m de depender
de va´rias varia´veis espaciais.
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1.2 Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
1.2.1 Equac¸o˜es e Soluc¸o˜es
A modelagem matema´tica de problemas em cieˆncias aplicadas resulta frequente-
mente na formulac¸a˜o de uma Equac¸a˜o Diferencial Parcial (EDP), (ou sistema de
equac¸o˜es diferenciais parciais), que e´ uma equac¸a˜o envolvendo uma func¸a˜o desco-
nhecida, que depende de duas ou mais varia´veis independentes e de suas derivadas
parciais. No caso de apenas duas varia´veis, podemos formular a definic¸a˜o qa seguinte
maneira:
Definic¸a˜o 1.1. Uma EDP da ordem n de duas varia´veis independentes e´ uma
equac¸a˜o da seguinte forma
(1.3) Φ(x, y, u, ux, uy, . . . , D
nu) = 0 , (x, y) ∈ D ⊂ R2 ,
onde, como foi indicado, as varia´veis independentes (x, y) pertenc¸am a um domı´nio
dado D e
Dku =
∂ku
∂lx∂my
, 1 ≤ k ≡ l +m ≤ n , l,m ∈ N .
Definic¸a˜o 1.2. Como soluc¸a˜o da EDP (1.3) vamos entender uma func¸a˜o u = u(x, y),
definida e diferencia´vel n vezes no domı´nio D, u ∈ Cn(D), que apo´s sua substituic¸a˜o
em (1.3) reduza esta equac¸a˜o ate´ a igualdade va´lida para qualquer (x, y) ∈ D.
A condic¸a˜o u(x, y) ∈ Cn(D) e´ necessa´ria para calcular as derivadas ate´ ordem
n da func¸a˜o u e, depois, substituir elas em Eq.(1.3). Tal func¸a˜o suave chama-se
soluc¸a˜o cla´ssica. Depois nos extenderemos esta definic¸a˜o para incluir func¸o˜es mais
fracas tambe´m; tais soluc¸o˜es chamam-se soluc¸o˜es fracas. Graficamente, a soluc¸a˜o
Figura 1.3: Representac¸a˜o da soluc¸a˜o u = u(x, y) no espac¸o R3 das varia´veis (x, y, u)
u = u(x, y) da Eq.(1.3) e´ uma superf´ıcie suave no espac¸o R3 das varia´veis (x, y, u),
que fica acima do domı´nio D ⊂ R2, ver Fig.1.2.1. Uma representac¸a˜o alternativa e´
Figura 1.4: Gra´fico da soluc¸a˜o u = u(x, y) no plano (x, u).
plotar no plano (x, u) o gra´fico da func¸a˜o u = u(x, y0) para um tempo fixo y = y0,
ver Fig.1.2.1.
Em geral, uma EDP como (1.3) tera´ um nu´mero infinito das soluc¸o˜es que
dependem de func¸o˜es arbitra´rias.
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Exemplo 1.1. A equac¸a˜o da onda
(1.4) utt − c20uxx = 0 , (c0 > 0− uma constante) ,
tem a soluc¸a˜o geral, representada como a soma de uma onda viajante para a direita
F (x− c0t) com a velocidade c0 e de uma onda viajante para a esquerda G(x+ c0t)
com a mesma velocidade c0, ou seja,
(1.5) u(x, t) = F (x− c0t) +G(x+ c0t)
para quaisquer func¸o˜es F,G ∈ C2.
No caso de EDO’s, onde soluc¸o˜es dependem de va´rias constantes arbitra´rias,
para achar uma soluc¸a˜o u´nica e´ necessa´rio saber alguns condic¸o˜es auxiliares, como
por exemplo, iniciais e/ou de fronteira, que determinam estas constantes. Para as
EDP’s temos uma situac¸a˜o parecida: utilizam-se as condic¸o˜es iniciais e de fronteira
para selecionar uma soluc¸a˜o u´nica. Tais condic¸o˜es usualmente construam-se anali-
sando o problema f´ısico associado com o modelo matema´tico. Essas sa˜o as chamadas
condic¸o˜es iniciais e condic¸o˜es de fronteira. As condic¸o˜es de fronteira especificam o
que acontece no limiar da regia˜o de definic¸a˜o, enquanto as condic¸o˜es iniciais forne-
cem informac¸o˜es sobre o estado inicial do processo, ou a partir de onde e com qual
valor a soluc¸a˜o vai se propagar.Quando a regia˜o e´ fechada e as condic¸o˜es de fron-
teira sa˜o fixadas em todo entorno da regia˜o usa-se tambe´m a expressa˜o condic¸o˜es
de contorno.
PDE’s com condic¸o˜es auxiliares chamam-se problemas de valor inicial ou de
Cauchy, problemas de valor contorno, dependendo do tipo das condic¸o˜es auxiliares
especificadas.
Exemplo 1.2. O problema de valor inicial (ou de Cauchy) para a equac¸a˜o de onda
e´
utt − c20uxx = 0 , x ∈ R , t > 0 ,(1.6)
u(x, 0) = f(x) , ut(x, 0) = g(x) , x ∈ R .(1.7)
No caso quando c0 > 0 e´ uma constante e as func¸o˜es f, g ∈ C2(R), a soluc¸a˜o do
problema (1.6)–(1.7) e´ dada pela fo´rmula D’Alambert
(1.8) u(x, t) =
1
2
[f(x− c0t) + f(x+ c0t)] + 1
2c0
∫ x+c0t
x−c0t
g(s)ds .
Enta˜o, os dados auxiliares (1.7) selecionam uma u´nica soluc¸a˜o, definida pela fo´rmula
D’Alambert (1.8).
Os problemas considerados para EDP’s podem ser generalizados em va´rias
direc¸o˜es. Por exemplo, considerando va´rias varia´veis independentes, va´rias func¸o˜es
desconhecidas (governadas por sistemas de EDP’s), etc.
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1.2.2 Problemas Bem Posto
Dado um modelo matema´tico envolvendo EDP’s, condic¸a˜o inicial e/ou condic¸a˜o
de fronteira, e´ deseja´vel que tal problema tenha uma soluc¸a˜o u´nica. Mais ainda,
atendendo a que em geral dos dados do problema - obtidos por medic¸a˜o - sa˜o cons-
tru´ıdas as expresso˜es que definem as condic¸o˜es, pretende-se que o problema seja tal
que pequenos erros nas expresso˜es consideradas na˜o influenciem determinantemente
a soluc¸a˜o. Estas considerac¸o˜es levam-nos ao conceito de problema bem-posto.
O termo matema´tico problema bem-posto vem de uma definic¸a˜o dada por um
matema´tico franceˆs Jacques Hadamard. Ele acreditava que modelos matema´ticos
de fenoˆmenos f´ısicos deveriam ter as seguintes propriedades
1. Existeˆncia da soluc¸a˜o;
2. Unicidade da soluc¸a˜o: condic¸o˜es de contorno e iniciais insuficientes levam a
soluc¸o˜es mu´ltiplas e quando esta˜o em excesso levam a soluc¸o˜es na˜o f´ısicas;
3. A soluc¸a˜o depende continuamente dos dados do problema: isto implica que
pequenas mudanc¸as nos dados do problema causam pequenas mudanc¸as na
soluc¸a˜o.
Assim, podemos criar a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.3. Um problema chama-se bem-posto, se todas essas condic¸o˜es sa˜o
va´lidas. Se alguma das condic¸o˜es na˜o e´ satisfeita, tal problema chama-se mal-posto.
Exemplos de problemas bem-postos incluem a equac¸a˜o de Laplace e a equac¸a˜o
do calor, quando especificamos condic¸o˜es iniciais. Podemos dizer que sa˜o proble-
mas naturais onde os quais tem fenoˆmenos f´ısicos envolvidos nos processos. Em
contrapartida temos os problemas que na˜o sa˜o bem-postos, como por exemplo a
equac¸a˜o de calor inversa, que deduz que a distribuic¸a˜o de temperatura a partir dos
dados finais na˜o e´ bem-posto pois a soluc¸a˜o e´ altamente sens´ıvel a`s mudanc¸as nos
dados finais. Um Problema inverso geralmente na˜o e´ bem posto. Problemas de
continuidade geralmente tem que ser discretizados para que a soluc¸a˜o nume´rica seja
obtida. Em termos de ana´lise funcional, esses problemas sa˜o tipicamente cont´ınuos,
eles podem sofrer de instabilidade nume´rica quando resolvidos com precisa˜o finita,
ou com erros nos dados. Mesmo que um problema seja bem-posto, ele ainda assim
pode ser mal condicionado, significando que um pequeno erro nos dados iniciais pode
resultar em erros muito maiores nas respostas. Um problema mal condicionado e´
caracterizado por ter um elevado nu´mero de condicionamento. Se o problema for
bem-posto, sa˜o boas as chances de que ele possa ser resolvido por um computador
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usando um me´todo nume´rico esta´vel. Se ele na˜o for bem-posto, ele precisa ser refor-
mulado numericamente. Usualmente isso envolve incluir hipo´teses adicionais, como
por exemplo suavidade na soluc¸a˜o.
Exemplo 1.3. Consideremos o problema de Cauchy
uxx + uyy = 0 ,
u(x, 0) = 0 , uy(x, 0) = 0 .
E´ o´bvio que a func¸a˜o u = 0 e´ uma soluc¸a˜o do problema. Agora vamos mudar os
dados iniciais para
u(x, 0) = 0 , uy(x, 0) =
1
n
sinnx ,
que para grandes n representa somente variac¸o˜es pequenas em dados iniciais. Po-
demos verificar que a func¸a˜o
u(x, y) =
1
n2
sinnx sinhny
e´ a soluc¸a˜o do problema que para grandes n cresce ate´∞. Portanto, as variac¸o˜es pe-
quenas em dados iniciais produzem as variac¸o˜es arbitrariamente grandes na soluc¸a˜o.
De acordo com a nossa classificac¸a˜o, tal problema e´ mal-posto.
1.2.3 Linearidade×Na˜o-Linearidade
Um crite´rio mais importante de classificac¸a˜o e´ distingir EDP’s como linear ou na˜o-
linear.
Definic¸a˜o 1.4. A EDP homogeˆnea chama-se linear se a combinac¸a˜o linear da duas
soluc¸o˜es e´ uma soluc¸a˜o tambe´m. No caso contra´rio, esta equac¸a˜o chama-se na˜o-
linear.
A divisa˜o de EDP’s em duas categorias e´ muito importante. Me´todos ma-
tema´ticos desenvolvidos para a soluc¸a˜o de equac¸o˜es lineares e na˜o-lineares e´ muito
vezes totalmente diferentes, e o comportamento de soluc¸o˜es sa˜o bastante diferentes
tambe´m.
Mais formal, linearidade e na˜o-linearidade usualmente definam-se em termos
de um operador diferencial, associado com a EDP. Vamos assumir que a EDP (1.3)
pode ser escrita na seguinte maneira
(1.9) Lu = f ,
9
onde f = f(x, y) e L e´ um operador que inclua todas as operac¸o˜es (diferenciac¸a˜o,
multiplicac¸a˜o, composic¸a˜o, etc.) com a func¸a˜o u = u(x, y). Por exemplo, a equac¸a˜o
da onda utt−c20uxx = 0 pode ser escrita como Lu = 0, onde L e´ o operador diferencial
parcial ∂2t − c20∂2x. Se f = 0, enta˜o a equac¸a˜o (1.9) chama-se homogeˆnea; no caso
contra´rio - na˜o homogeˆnea.
Usando a definic¸a˜o do operador linear, podemos dar a seguinte definic¸a˜o da
linearidade.
Definic¸a˜o 1.5. Um operador L chama-se linear se ele satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
1. L(u+ v) = Lu+ Lv ,
2. L(cu) = cLu ,
onde as func¸o˜es u e v pertenc¸am ao domı´nio de definic¸a˜o do operador L e c e´ uma
constante qualquer.
A EDP (1.9) e´ linear se operador L e´ linear; no caso contra´rio a EDP e´ na˜o
linear.
Exemplo 1.4. A EDP Lu ≡ ut + uux = 0 e´ na˜o linear porque, por exemplo,
L(cu) = cut + c
2uux 6= cLu = c(ut + uux).
As condic¸o˜es (1) e (2) significam que a EDP linear Lu = 0 tem a seguinte
propriedade: se u1, u2, . . . , un sa˜o n soluc¸o˜es, enta˜o a combinac¸a˜o linear
u = c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun
tambe´m e´ uma soluc¸a˜o para quaisquer constantes c1, c2, . . . , cn. Este fato chama-se
o princ´ıpio de superposic¸a˜o para equac¸o˜es lineares. Para EDP’s na˜o lineares nos na˜o
podemos superposicionar soluc¸o˜es nesta maneira.
1.3 Leis de Conservac¸a˜o
Va´rias EDP’s em cieˆncias e engenharias sa˜o obtidas de Leis de Conservac¸a˜o, que
caracterizam a conservac¸a˜o de algumas quantidades ba´sicas da f´ısica de um sistema.
Uma Lei de Conservac¸a˜o determina que a raza˜o de mudanc¸a da quantidade total
de um material contido num volume fixo V e´ igual a fluxo deste material atrave´s
da superf´ıcie fechada S deste domı´nio. Se denotar a densidade deste material como
u(x, t) e o vetor de fluxo como F(x, t), enta˜o a Lei de Conservac¸a˜o sera´ dada por
(1.10)
d
dt
∫
V
udV = −
∫
S
(F · n)dS ,
10
onde dV e´ o elemento de volume e dS e´ o elemento de superf´ıcie, n e´ o vetor orto-
normal externo a` superf´ıcie S, ver Fig.1.3 Aplicando a Teorema da Divergeˆncia de
Figura 1.5: Volume V limitado por uma superf´ıcie fechada S com um elemento da
superf´ıcie dS e vetor ortonormal externo n.
Gauss e calculando a derivada com respeito a` varia´vel t dentro da integral, obtemos
(1.11)
∫
V
(∂u
∂t
+ divF
)
dV = 0 .
Este resultado e´ va´lido para qualquer volume arbitra´rio V , e, se o integrando e´
cont´ınuo, isso tem que ser igual ao zero em qualquer ponto do domı´nio. Portanto,
obtemos a forma diferencial da Lei de Conservac¸a˜o
(1.12)
∂u
∂t
+ divF = 0 .
Emcasos da presenc¸a de uma fonte, caraterizada pela func¸a˜o f(x, t, u), na Eq.(1.10)
tem que ser inserido mais um termo, correspondente a esta func¸a˜o
(1.13)
∫
V
f(x, t, u)dV .
Assim obtemos a seguinte forma integral da Lei de Conservac¸a˜o
(1.14)
d
dt
∫
V
udV = −
∫
S
(F · n)dS +
∫
V
f(x, t, u)dV .
Neste caso, repetindo as considerac¸o˜es utilizadas para obter a forma diferencial da
Lei de Conservac¸a˜o Eq.(1.12), obtemos
(1.15)
∂u
∂t
+ divF = f(x, t, u) .
Equac¸o˜es Constitutivas
A versa˜o um-dimensional da Lei de Conservac¸a˜o e´
(1.16) ut + Fx = f(x, t, u) ,
onde u = u(x, t), F = F (x, t, u), (x, t) ∈ R × R+. De ponto de vista matema´tica ou
emp´ırica, e´ razoavelmente assumir que a relac¸a˜o funcional entre F e u e´
(1.17) F = F (u) .
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Tal relac¸a˜o chama-se equac¸a˜o constitutiva. Assim, as Eqs.(1.16) e (1.17) formam
um sistema fechado para u e F . Substituindo (1.17) em (1.16) obtemos a seguinte
equac¸a˜o
(1.18) ut + c(u)ux = f(x, t, u) ,
onde c(u) = dF
du
. Eq.(1.18) e´ universalmente considerada como a EDP de onda
da primeira ordem, quasi-linear e na˜o-homogeˆneo. Tal equac¸a˜o e´ bem utilizada na
ana´lise de va´rios processos na˜o-lineares, quando os feno´menos de dissipac¸a˜o, tais
como viscosidade e difusa˜o sa˜o desprezados.
Exemplo 1.5. Equac¸a˜o de Burgers. Consideremos o fluxo de um liquido inviscoso
num meio isotro´pico e homogeˆneo. Neste caso a func¸a˜o de fluxo e´ dada pela seguinte
expressa˜o
(1.19) F =
u2
2
.
Substituindo esta expressa˜o na Eq.(1.16) obtemos a seguinte EDP, chamada de
Burgers inviscoso
(1.20) ut + uux = f(x, t, u) .
Exemplo 1.6. Equac¸a˜o de Advec¸a˜o. O fluxo mais simples acontece quando o ma-
terial esta´ carregado por um meio que move com velocidade constante, como, por
exemplo, no caso quando as part´ıculas sa˜o carregadas por a´gua ou vento. Nestes
casos a func¸a˜o de fluxo e´ definida pela seguinte simples relac¸a˜o linear
(1.21) F = cu ,
onde c e´ uma constante positiva, qua carateriza a velocidade do processo. Subs-
tituindo (1.21) em (1.16) obtemos a seguinte Lei de Conservac¸a˜o, chamada como
equac¸a˜o de advec¸a˜o
(1.22) ut + cux = f(x, t, u) .
O termo advec¸a˜o e´ referido a movimento horizontal de um material (propriedade)
f´ısico, por exemplo, a densidade de onda.
Exemplo 1.7. Lei de Fourier. Para um material isotro´pico, caraterizado pela sua
temperatura u, fluxo de calor F depende da magnitude do gradiente da temperatura
u, e na˜o da sua orientac¸a˜o,
(1.23) F = −κ∇u ,
onde κ > 0. Usando Eqs.(1.12) e (1.23) obtemos a seguinte EDP
(1.24)
∂u
∂t
− div(κ∇u) = 0 ,
chamada de calor, que carateriza a distribuic¸a˜o de temperatura num material.
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1.4 Problemas de Valores Inicial e de Contorno
Observamos que em alguns dos modelos matema´ticos estabelecidos surgiram dife-
rentes tipos de condic¸o˜es: inicial e de fronteira. A condic¸a˜o inicial surge, em geral,
quando a EDP’s envolve a varia´vel tempo e diz respeito a` soluc¸a˜o no instante em que
se inicia a contagem deste. Pode ser dada indicando a soluc¸a˜o no instante inicial,
como no caso da equac¸a˜o de calor, e a sua derivada relativamente ao tempo, como
no caso da equac¸a˜o da onda. Um problema diferencial envolvendo apenas condic¸o˜es
iniciais e´ chamado problema de valores (valor) iniciais (inicial) ou tambe´m problema
de Cauchy.
A indicac¸a˜o da soluc¸a˜o na fronteira do domı´nio, como nos modelos matema´ticos
ja´ considerados, definem condic¸o˜es fundamentais para o modelo. Estas condic¸o˜es sa˜o
chamadas condic¸o˜es de fronteira. O problema envolvendo EDP’s e apenas condic¸a˜o
de fronteira diz-se problema de condic¸a˜o de fronteira. Se ale´m das condic¸a˜o de fron-
teira, o problema apresenta condic¸a˜o (condic¸o˜es) inicial (iniciais), enta˜o o problema
diferencial e´ chamado problema de condic¸o˜es iniciais (inicial) e de fronteira (misto).
Exemplo 1.8. Problema com condic¸o˜es iniciais.
(1.25)
utt = c
2
0uxx , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R ,
ut(x, 0) = u1(x) , x ∈ R .
Se o domı´nio espacial e´ substitu´ıdo por um intervalo (a, b), enta˜o a equac¸a˜o com
derivadas parciais tem que ser complementada com condic¸o˜es, para u, na fronteira
e passamos a ter um problema com condic¸o˜es iniciais e de fronteira.
Exemplo 1.9. Seja Ω um domı´nio (aberto) de Rn com fronteira ∂Ω suave - admite
plano tangente em cada ponto da fronteira. Os problemas seguintes apresentam
apenas condic¸o˜es para a fronteira.
4u(x) = f(x) , x ∈ Ω ,
u = g1(x) , x ∈ ∂Ω ,(1.26)
4u(x) = f(x) , x ∈ Ω ,
∂u
∂n
(x) = g2(x) , x ∈ ∂Ω ,(1.27)
4u(x) = f(x) , x ∈ Ω ,
α(x)
∂u
∂n
+ β(x)u(x) = g3(x) , x ∈ ∂Ω ,(1.28)
em que n e´ normal unita´ria exterior ao domı´nio Ω, f e´ uma func¸a˜o definida em Ω,
e gk, k = 1, 2, 3, e α, β sa˜o func¸o˜es definidas em ∂Ω.
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Os exemplos anteriores ilustram os diversos tipos de condic¸o˜es de fronteira.
Estas condic¸o˜es podem ser classificadas do modo seguinte:
1. Primeiro tipo ou de Dirichlet - homoge´nea ou na˜o homoge´nea - a soluc¸a˜o
e´ especificada na fronteira (ver 1.26),
2. Segundo tipo ou de Neumann - a derivada relativamente a` normal unita´ria
exterior ao domı´nio e´ especificada na fronteira (ver 1.27),
3. Terceiro tipo ou de Robin - e´ especificada uma combinac¸a˜o linear da
soluc¸a˜o e da derivada relativamente a` normal na fronteira (ver 1.28).
Observamos que num problema podem surgir va´rios tipos de condic¸o˜es contornas.
Por exemplo, se ∂Ω = Γ1
⋃
Γ2, poderemos ter
u(x) = g1(x) ,x ∈ Γ1 , ∂u
∂n
(x) = g2(x) ,x ∈ Γ2 .
1.5 Ondas
Uma das principais aplicac¸o˜es de EDP’s e´ a ana´lise de propagac¸a˜o das ondas. A
onda e´ um sinal reconhecido que propaga-se de uma parte de meio para outra com
uma velocidade conhecida de propagac¸a˜o. A energia e´ frequentemente transferida
como uma onda. Podemos citar algumas a´reas onde a propagac¸a˜o de ondas tem a
importaˆncia fundamental.
• Mecaˆnica de flu´ıdos
• Acu´stica
• Elasticidade
• F´ısica
• Biologia
• Meios porosos
• Qu´imica
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1.5.1 Ondas Viajantes
A forma matema´tica mais simples de uma onda e´ uma func¸a˜o da seguinte forma
(1.29) u(x, t) = f(x− ct) .
Podemos interpretar u como a amplitude de um sinal, por exemplo, acu´stico. No
tempo t = 0 a onda tem a forma f(x), que e´ o perfil inicial da onda. Enta˜o f(x−ct)
representa o perfil da onda no tempo t, que e´ exatamente o perfil inicial transmitido
para a direita na distaˆncia ct de unidades espaciais. A constante c representa a
velocidade da onda. E´ obvio, que (1.29) representa uma onda viajante direita com
a velocidade c. Semelhante, u(x, t) = f(x + ct) representa uma onda viajante para
esquerda com a velocidade c. Estes tipos de ondas propagam se na forma na˜o
distorcida ao longo das linhas x− ct = constante (ou x+ ct = constante).
1.5.2 Ondas Planas
Outro tipo de onda interessante e´ uma onda plana. Essas ondas sa˜o definidas pela
seguinte expressa˜o matema´tica
(1.30) u(x, t) = A cos(kx− ωt) ,
onde A e´ a amplitude da onda, k e´ o nu´mero de onda, e ω e´ a frequeˆncia. O nu´mero k
e´ uma medida do nu´mero de oscilac¸o˜es espaciais (por 2pi unidades), observadas num
tempo fixo, e a frequeˆncia ω e´ uma medida do nu´mero de oscilac¸o˜es em tempo (por
2pi unidades) observadas num ponto espacial fixo. O nu´mero λ = 2pi/k chama-se o
comprimento de onda, e P = 2pi/ω e´ o per´ıodo.
Observamos, que (1.30) pode ser re-escrito como
u(x, t) = A cos k(x− ω
k
t) ,
portanto (1.30) representa uma onda viajante que se propaga a` direita com veloci-
dade c = ω/k. Este nu´mero chama-se a velocidade de fase. Para calculac¸o˜es a forma
complexa
(1.31) u(x, t) = A exp {i(kx− ωt)}
e´ mais preferida porque o ca´lculo de derivadas de uma func¸a˜o exponencial e´ simples.
Depois de completar o ca´lculo, podemos usar a fo´rmula de Euler expiθ = cos θ +
i sin θ e achar partes real ou imagina´ria para recuperar uma soluc¸a˜o real.
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Exemplo 1.10. (Equac¸a˜o da Onda) Substituindo (1.31) na equac¸a˜o da onda
utt − c20uxx = 0
implica que ω = ±c0k. Portanto, a equac¸a˜o da Onda admite soluc¸o˜es da seguinte
forma
u(x, t) = A exp {ik(x± c0t)} ,
que representam ondas direita e esquerda viajantes com a velocidade c0.
Exerc´ıcios
1. Verificar que a func¸a˜o
u(x, t) =
1√
4pikt
e−x
2/4kt
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de calor
ut − kuxx = 0 , k > 0− constante ,
no domı´nio D = {(x, t) : x ∈ R , t > 0}.
2. Verificar que a func¸a˜o
u(x, y) = ln
√
x2 + y2
satisfaz a` equac¸a˜o de Laplace
uxx + uyy = 0
para qualquer (x, y) 6= (0, 0).
3. Para quais valores de a, b a func¸a˜o u(x, t) = eat sin bx sera´ uma soluc¸a˜o da
equac¸a˜o de calor ut − kuxx = 0?
4. Achar soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o uxt + 3ux = 1. Sugesta˜o: introduzir uma nova
func¸a˜o v = ux e resolver a equac¸a˜o obtida; depois achar u.
5. Mostrar que a equac¸a˜o na˜o linear ut = u
2
x+uxx pode ser reduzida ate´ a equac¸a˜o
de calor ut − kuxx = 0 depois de mudanc¸a w = exp(u).
6. Provar que a func¸a˜o u(x, y) = arctan(y/x) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de La-
place uxx + uyy = 0 para y > 0.
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7. Verificar que a func¸a˜o
u(x, t) =
1
2c0
∫ t
0
dτ
∫ x+c0(t−τ)
x−c0(t−τ)
f(ξ, τ)dξ
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de onda
utt − c20uxx = f(x, t) , c0 > 0− constante ,
para qualquer func¸a˜o f(x, t) cont´ınua com respeito a`s varia´veis x, t.
8. Representar a equac¸a˜o
ut + uux + uxxx = 0
na forma de uma Lei de Conservac¸a˜o, identificando a func¸a˜o de fluxo.
Cap´ıtulo 2
Equac¸o˜es Diferenc¸iais Parciais da
Primeira Ordem
Va´rios problemas em f´ısica, matema´tica, geof´ısica e engenharia de petro´leo pode ser
formulados usando EDP’s da primeira ordem. Do ponto de vista da matema´tica as
EDP’s da primeira ordem tem certa vantagem servindo como uma base conceptual
que pode ser utilizado para EDP’s de ordem superior.
2.1 Classificac¸a˜o de EDP’s da Primeira Ordem
Definic¸a˜o 2.1. A equac¸a˜o
(2.1) F (x, y, u, ux, uy) = 0, (x, y) ∈ D ⊂ R2 ,
onde F e´ uma func¸a˜o dada de seus argumentos, u = u(x, y) e´ uma func¸a˜o desconhe-
cida das independentes varia´veis x e y, que pertenc¸am a um domı´nio dado D em
R2, chama-se a EDP da primeira ordem em duas varia´veis independentes x e y.
Eq.(2.1) e´ frequentemente escrita em termos padronizados p = ux, q = uy:
(2.2) F (x, y, u, p, q) = 0 .
Semelhantemente, a EDP da primeira ordem mais geral, no case de treˆs varia´veis
independents x, y, z, pode ser escrita como
(2.3) F (x, y, z, u, ux, uy, uz) = 0 .
Definic¸a˜o 2.2. Eq.(2.1) ou (2.2) chama-se EDP quasi-linear se ela e´ linear com
respeito a`s derivadas da primeira ordem da func¸a˜o desconhecida u(x, y).
17
18
Assim, a EDP quasi-linear mais geral deve ter a seguinte forma
(2.4) a(x, y, u)ux + b(x, y, u) = c(x, y, u) ,
onde seus coeficientes a, b e c sa˜o as func¸o˜es de x, y e u.
Exemplo 2.1. As seguintes sa˜o exemplos das EDP’s quasi-lineares:
x(y2 + u)ux − y(x2 + u)uy = (x2 − y2)u ,
uux + uy + 10u
2 = 0 ,
(y2 − x2)ux − xyuy = xu .
Definic¸a˜o 2.3. Eq.(2.4) chama-se semi-linear se seus coeficientes a e b na˜o depen-
dem de u.
Portanto, a EDP semi-linear pode ser representada na seguinte forma
(2.5) a(x, y)ux + b(x, y) = c(x, y, u) .
Exemplo 2.2. As seguintes sa˜o exemplos das EDP’s semi-lineares:
xux − yuy = u2 + x2 ,
(x+ 1)2ux + (y − 1)2uy = (x+ y)u2 ,
uy + aux + u
2 = 0 .
Definic¸a˜o 2.4. Eq.(2.1) chama-se linear se a func¸a˜o F e´ linear em relac¸a˜o A˜ s
u, ux, uy.
A forma mais geral da EDP linear e´
(2.6) a(x, y)ux + b(x, y) + c(x, y)u = d(x, y) ,
onde a func¸a˜o d(x, y) e´ dada. Eq.(2.6) chama-se homogeˆnea se d(x, y) ≡ 0 or na˜o
homogeˆnea se d(x, y) 6= 0.
Exemplo 2.3. As seguintes sa˜o exemplos das EDP’s lineares:
xux − yuy − 5u = 0 ,
3ux + (x+ y)
2uy − u = e2x ,
xuy + yux = xy
2 .
As vezes, uma EDP que e´ na˜o-linear chama-se na˜o-linear. Enta˜o, as EDP’s da
primeira ordem frequentemente sa˜o classificadas como linear e na˜o-linear.
19
2.2 Construc¸a˜o de EDP’s da Primeira Ordem
Consideremos um sistema de superf´ıcies geome´tricas, definidas pela equac¸a˜o
(2.7) f(x, y, z, a, b) = 0 ,
onde a, b sa˜o constantes arbitra´rios. Diferenciando Eq.(2.7) com respeito das varia´veis
x, y, obtemos
(2.8) fx + pfz = 0 fy + qfz = 0 ,
onde p = ∂z
∂x
e q = ∂z
∂y
. Eqs.(2.8) envolvem dois paraˆmetros arbitra´rios a e b. Em
geral, esses dois paraˆmetros podem ser eliminados das Eqs.(2.8) para obter a seguinte
EDP da primeira ordem
(2.9) F (x, y, z, p, q) = 0 .
Assim, o sistema de superf´ıcies (2.7) foi reduzido a` Eq.(2.9).
Definic¸a˜o 2.5. Uma equac¸a˜o de tipo (2.7), dependente de dois paraˆmetros ar-
bitra´rios, chama-se soluc¸a˜o completa ou integral completa da Eq.(2.9).
Definic¸a˜o 2.6. Qualquer relac¸a˜o de tipo
(2.10) f(φ, ψ) = 0 ,
que involve uma func¸a˜o arbitra´ria f de duas func¸o˜es conhecidas φ = φ(x, y, z) e
ψ = ψ(x, y, z) e representa uma soluc¸a˜o de PDE da primeira ordem e´ chamada
soluc¸a˜o geral ou integral geral desta EDP.
Obviamente, a soluc¸a˜o geral de EDP da primeira ordem depende de uma
func¸a˜o arbitra´ria. Isso esta´ em contradic¸a˜o a` situac¸a˜o com equac¸o˜es diferenciais
ordina´rias, onde a soluc¸a˜o geral depende de uma constante arbitra´ria. A soluc¸a˜o
geral (2.9) de uma PDE pode ser constru´ıda usando sua integral completa (2.7).
Quando esta func¸a˜o arbitra´ria e´ definida, nos obtemos, usando a soluc¸a˜o geral,
uma soluc¸a˜o particular. Sendo que a soluc¸a˜o geral depende de uma func¸a˜o arbitra´ria,
existe o nu´mero infinito de soluc¸o˜es. Na pra´tica, somente uma soluc¸a˜o, que satisfaz
condic¸o˜es predefinidas, e´ requerida para um problema f´ısico. Tal soluc¸a˜o chama-se
uma soluc¸a˜o particular.
Finalmente, e´ importante dizer que podemos esperar que soluc¸o˜es de uma EDP
sa˜o func¸o˜es sua´veis.
Definic¸a˜o 2.7. Uma func¸a˜o chama-se suave se todas as derivadas dela existem e
sa˜o cont´ınuas.
20
Embora, em geral, soluc¸o˜es na˜o sempre sa˜o sua´veis. A soluc¸a˜o que na˜o e´
diferenciavel em qualquer ponto, chama-se soluc¸a˜o fraca. As soluc¸o˜es fracas mais
comuns sa˜o daquelas que tem suas primeiras derivadas discont´ınuas em pontos de
uma curva.
Exemplo 2.4. Mostrar que um conjunto de esferas (c, r > 0-constantes)
(2.11) x2 + y2 + (z − c)2 = r2
satisfazem a seguinte EDP da primeira ordem
yp− xq = 0 .
Diferenciando Eq.(2.11) com respeito a`s varia´veis x e y, obtemos
x+ p(z − c) = 0 , y + q(z − c) = 0 .
Excluindo a constante arbitra´ria c dessas equac¸o˜es, obtemos a EDP da primeira
ordem
yp− xq = 0 .
Exemplo 2.5. Mostrar que um conjunto de esferas (a, b, r > 0-constantes)
(2.12) (x− a)2 + (y − b)2 + z2 = r2
satisfazem a seguinte EDP da primeira ordem
z2(p2 + q2 + 1) = r2 .
Diferenciando Eq.(2.1) com respeito a`s varia´veis x e y, obtemos
(x− a) + zp = 0 , (y − b) + zq = 0 .
Excluindo as constantes arbitra´rias a, b, obtemos a EDP na˜o-linear da primeira
ordem
z2(p2 + q2 + 1) = r2 .
2.3 EDP’s Lineares da Primeira Ordem e Cara-
ter´ısticas
A EDP da primeira ordem simples e´ uma equac¸a˜o hiperbo´lica, associada com a pro-
pagac¸a˜o de sinais em velocidade finita. A ide´ia fundamental associada com equac¸o˜es
hiperbo´lica e´ a noc¸a˜o de carater´ıstica, uma curva ao longo de qual sinais se propa-
gam. A meta principal deste para´grafo e´ construc¸a˜o de uma base so´lida do conceito
de carater´ısticas, examinando as EDP’s lineares da primeira ordem, dependentes de
uma varia´vel espacial x e do tempo t.
21
2.3.1 Equac¸a˜o de Advec¸a˜o com Coeficientes Constantes
Foi mostrado anteriormente que o problema de Cauchy para a equac¸a˜o de advec¸a˜o
pode ser formuladana seguinte maneira
(2.13)
ut + cux = 0 , x ∈ R, t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
No caso da equac¸a˜o de advec¸a˜o a func¸a˜o de fluxo e´ F = cu, onde c > 0 e´ uma
constante que carateriza a velocidade do processo. Neste caso mais simples, intro-
duzimos um me´todo chamado me´todo das carater´ısticas para a soluc¸a˜o do problema
de Cauchy (2.13).
Consideremos o semi-plano R2+ = {x ∈ R , t > 0}. Suponhamos que x = x(t)
e´ uma curva no semi-plano, comec¸ando de um ponto (x0, 0) do eixo Ox. Quando
um ponto (x(t), t) move-se sobre essa curva, o valor de u(x(t), t) muda na raza˜o
d
dt
u(x(t), t). Pela regra de cadeia, essa derivada pode ser escrita da seguinte forma
(2.14)
d
dt
u(x(t), t) = ux · dx
dt
+ ut .
Se selecionarmos uma curva x = x(t), tal que
(2.15)
dx
dt
= c ,
enta˜o as equac¸o˜es (2.13)–(2.15) fornecem o seguinte resultado
d
dt
u(x(t), t) = cux + ut = 0 .
Isso significa que o valor da func¸a˜o e´ uma constante sobre essa curva particular e
que esse valor e´ igual ao valor de u no ponto inicial (x0, 0). Da condic¸a˜o inicial do
problema de Cauchy (2.13) conclu´ımos que esse valor e´ u0(x0). A curva em especial
x = x(t), que passa pelo ponto (x0, 0) e´ determinada pelas condic¸o˜es
(2.16)
dx
dt
= c , x(0) = x0 .
A soluc¸a˜o do problema de Cauchy (2.16) e´
x = x0 + ct .
Essa curva chama-se caracter´ıstica da equac¸a˜o ut + cux = 0, que defina linhas para-
lelas no plano das varia´veis (x, t) passando os pontos iniciais (x0, 0) do eixo Ox com
inclinac¸a˜o 1/c.
22
A derivada dx
dt
chama-se velocidade das caracter´ısticas, que para esse problema
e´ c.
Usando o fato que a soluc¸a˜o u e´ uma constante nas linhas x = x0 +ct, podemos
construir o valor de u(x, t em qualquer ponto (x, t) ∈ R2+. Para o ponto (x, t) dado
a caracter´ıstica e´ extendida para tra´s do (x, t) ate´ o ponto (x0, 0) do eixo Ox, onde
x0 e´ dado pela fo´rmula x0 = x− ct. Uma vez que a func¸a˜o u(x, t) e´ uma constante
ao longo da caracter´ıstica, o valor da u no ponto (x, t e´ igual da u no ponto (x0, 0).
Utilizando a condic¸a˜o inicial do problema (2.13), esse valor e´
(2.17) u(x, t) = u(x0, 0) = u0(x0) = u0(x− ct) .
A soluc¸a˜o (2.17) e´ uma onda com perfil inicial u0(x) viajando atrave´s de um meio
um-dimensional com velocidade c.
Teorema 2.1. Seja u0(x) ∈ C1(R). Enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o u(x, t) ∈
C2(R2) do problema de Cauchy (2.13) e dada pela formula
(2.18) u(x, t) = u0(x− ct) .
Tal soluc¸a˜o depende continuamente do dado inicial do problema.
Demonstrac¸a˜o. E simples verificar que a func¸a˜o (2.18) satisfaz a`s equac¸o˜es
(2.12) e que essa func¸a˜o e´ u´nica.
Para mostrar a dependeˆncia continua da soluc¸a˜o do problema de Cauchy (2.13),
suponhamos que as func¸o˜es uk0(x), k = 1, 2, sa˜o duas func¸o˜es iniciais u
k
0(x), k =
1, 2, e as func¸o˜es uk(x, t), k = 1, 2, sa˜o as soluc¸o˜es dos problemas de Cauchy que
correspondem a esses dados iniciais. A equac¸a˜o de advec¸a˜o e´ linear, por isso, a
func¸a˜o u ≡ u1 − u2 resolve o problema (2.13) com dado inicial u0 ≡ u10 − u20.
Aplicando a fo´rmula (2.18), temos
u(x, t) = u1(x, t)− u2(x, t) = u10(x− ct)− u20(x− ct) ,
que da´
max
(x,t)∈R2+
|u1(x, t)− u2(x, t)| = max
(x,t)∈R2+
|u(x, t)| = max
x∈R
|u10(x)− u20(x)| .
Portanto, se |u10(x) − u20(x)| ≤ δ para qualquer ponto x ∈ R, enta˜o |u1(x, t) −
u2(x, t)| ≤ δ para qualquer ponto (x, t) ∈ R2+. A dependeˆncia cont´ınua da soluc¸a˜o
de dados iniciais e´ estabelecida no sentido de que pequenas mudanc¸as nos dados
iniciais produzam pequenas mudanc¸as na soluc¸a˜o.
23
Exemplo 2.6. Consideremos um problema de Cauchy
ut + 4ux = 0 , (x, t) ∈ R2+ ,
u(x, 0) = arctan x , x ∈ R .
Ao longo da curva x = x(t), a derivada da u(x(t), t) e´
d
dt
u(x(t), t) = ut + ux
dx
dt
.
Considerando x(t) satisfazendo ao problema
dx
dt
= 4 , t ∈ R+ ,
x(0) = x0 ,
temos que a caracterist´ıca e´ x = x0 + 4t. Ao longo da curva
d
dt
u(x(t), t) = ut + 4ux = 0 ,
u(x(t), t) tem valor constante na curva x = x0+4t. Agora, qualquer ponto (x, t) pode
ser ligado com o ponto (x0, 0) do eixo Ox atrave´s da caracter´ıstica, i.e., x0 = x− 4t.
Uma vez a soluc¸a˜o u e uma constante na caracter´ıstica, o valor da u(x, t) e´
u(x, t) = u(x0, 0) = arctan x0 = arctan(x− 4t) .
A soluc¸a˜o do problema de Cauchy e uma onda com perfil arctanx viajando com
velocidade c = 4.
As caracter´ısticas podem ser usadas para soluc¸a˜o do problema de Cauchy para
equac¸a˜o de advec¸ao na˜o-homogeˆnea
(2.19)
ut + cux = f(x, t) , (x, t) ∈ R2+ ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
A raza˜o da mudanc¸a da soluc¸a˜o ao longo da curva x = x(t) e´
d
dt
u(x(t), t) = ut + ux
dx
dt
,
e a caracter´ıstica com comec¸o no ponto (x0, 0) que procura a soluc¸a˜o na qual
dx
dt
= c , t ∈ R+ ,
x(0) = x0 ,
24
e x = ct + x0. Enta˜o, a raza˜o na mudanc¸a da func¸a˜o u ao longo da caracter´ıstica
para a (2.19) e dada pela fo´rmula
d
dt
u(x(t), t) = ut + ux
dx
dt
= f(x(t), t) .
O valor da u ao longo da caracter´ıstica na˜o e´ constante, mas pode ser encontrado
pela soluc¸a˜o do problema de Cauchy para a equac¸a˜o diferencial ordina´ria
dU
dt
= f(x(t), t) , t ∈ R+ ,
U(0) = u0(x0) ,
onde U(t) ≡ u(x(t), t) e´ o valor da u ao longo da caracter´ıstica x = ct+ x0.
Exemplo 2.7. Consideremos o problema de Cauchy
ut + 4ux = 1 , (x, t) ∈ R2+ ,
u(x, 0) = arctan x , x ∈ R .
A caracter´ıstica da equac¸a˜o e´ x = x0 + 4t. A raza˜o da mudanc¸a da u(x(t), t) ao
longo da caracter´ıstica e
d
dt
u(x(t), t) = ut + 4ux = 1 .
Integrando a u´ltima com respeito a varia´vel t, temos
u(x(t), t) = t+ C ,
onde C e´ uma constante qualquer. Para encontrar o valor de C, notamos que para
t = 0 nas condic¸o˜es iniciais,
C = u(x(0), 0) = u(x0, 0) = arctan x0 .
A caracter´ıstica que passa no ponto (x, t) pode ser estendida para tra´s ate´ o ponto
(x0, 0) do eixo Ox, onde x0 = x− 4t. O valor da u no ponto (x0, 0) portanto, da´ o
valor da u no ponto (x, t)
u(x(t), t) = t+ arctanx0 = t+ arctan(x− 4t) .
Exerc´ıcios
1. Usando o me´todo das caracter´ısticas, resolver o problema de Cauchy
ut + 2ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = e−x
2
, x ∈ R .
25
2. Usando o me´todo das caracter´ısticas, resolver o problema de Cauchy
ut − 16ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = x2 , x ∈ R .
3. Mostrar que a EDP
ut + kuux + q(t) = 0
pode ser reduzida ate´ a equac¸a˜o de Burgers inviscoso
vs + vvx = 0
usando as transformac¸o˜es
v = u exp
(∫
q(t)dt
)
, s =
∫
k exp
(
−
∫
q(y)dy
)
dt .
4. Resolver o problema mixto
ut + cux = 0 , x > 0 , t > 0
u(x, 0) = 1 , x > 0
u(0, t) =
1 + t
1 + 4t2
, t > 0 ,
usando o fato que u deve ser constante em pontos das curvas x = ct+x0, onde
c > 0 e x0 sa˜o constantes. Sugesta˜o: considerar as regio˜es x > ct e x < ct
separadamente.
5. Utilizando o me´todo das caracter´ısticas, resolver o problema de Cauchy
ut + 2ux = −u , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
1
1 + x2
, x ∈ R .
6. Resolver o problema de Cauchy (c-constante)
ut + cux + u = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
7. Resolver o problema de Cauchy (c-constante)
ut + cux = xt , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
8. Resolver o problema de Cauchy (c-constante)
ut + cux = u
2 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
26
2.3.2 Equac¸a˜o de Advec¸a˜o com Coeficientes Varia´veis
Ate´ agora, consideramos uma velocidade constante c para um meio homogeˆneo.
Pore´m, e´ mais comum imaginar um meio com propriedades f´ısicas varia´veis. Nesse
caso, a velocidade de propagac¸a˜o pode depender da coordenada espacial x e do
tempo t, tal que c = c(x, t). Enta˜o, podemos formular um problema de Cauchy do
seguinte modo
(2.20)
ut + c(x, t)ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
O coeficiente c(x, t) na˜o e´ mais constante,mas podemos usar o me´todo das ca-
racter´ısticas para esse caso tambe´m. Uma caracter´ıstica que ultrapassa um ponto
(x0, 0) pode ser constru´ıda como a soluc¸a˜o do problema de Cauchy do seguinte modo
dx
dt
= c(x, t) , x(0) = x0 .
O valor da func¸a˜o u(x(t), t) e´ uma constante nessa caracter´ıstica porque
d
dt
u(x(t), t) = ut(x(t), t) + ux(x(t), x)
dx
dt
= ut + c(x, t)ux = 0
pela equac¸a˜o de advec¸a˜o. Por isso, o valor da soluc¸a˜o do problema de Cauchy para
a equac¸a˜o de advec¸a˜o no ponto (x, t) pode ser constru´ıdo por:
1. Construc¸a˜o das caracter´ısticas por soluc¸a˜o do problema de Cauchy
(2.21)
dx
dt
= c(x, t) , x(0) = x0;
2. Construc¸a˜o do ponto particular (x0, 0) para a caracter´ıstica passando o ponto
(x, t);
3. Utilizando x0 para calcular u(x, t) = u(x0, 0) = u0(x0).
Exemplo 2.8. Resolver o problema de Cauchy
ut + xux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = f(x) .
O problema de Cauchy para construc¸a˜o das caracter´ısticas (2.21), nesse caso e´
dx
dt
= x , x(0) = x0.
A soluc¸a˜o do problema e´ x = x0e
t. Por isso, a soluc¸a˜o do problema de Cauchy inicial
e´
u(x, t) = u(x0, 0) = f(x0) = f(xe
−t).
27
O seguinte teorema e´ va´lido:
Teorema 2.2. Seja c(x, t) ∈ C2. Suponhamos que para t > 0 a caracter´ıstica que
passa em qualquer ponto (x, t) possa ser constru´ıda para tra´s ate´ um ponto x0(x, t)
do eixo Ox. Enta˜o existe a u´nica soluc¸a˜o u(x, t) ∈ C1 do problema de Cauchy
(2.3.2).
Ale´m disso, se a func¸a˜o u(x, t) e´ a soluc¸a˜o do problema de Cauchy com dados
iniciais u0(x) e se v(x, t) e´ a soluc¸a˜o do mesmo problema de Cauchy com dados
iniciais v0(x), enta˜o,
max
(x,t)∈R2
|u(x, t)− v(x, t)| = max
x∈R
|u0(x)− v0(x)| ,
o que significa que a soluc¸a˜o do problema de Cauchy (2.3.2) e´ esta´vel.
Exerc´ıcios
1. Resolver o problema de Cauchy
ut + xtux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
1
1 + x2
, x ∈ R .
a) Resolver o problema de Cauchy (2.21) com c(x, t) = xt para mostrar que
a equac¸a˜o da caracter´ıstica passando o ponto (x0, 0) e´ x = x0e
t2/2.
b) Construir a soluc¸a˜o u(x, t) usando x0 = xe
−t2/2.
2. Resolver o problema de Cauchy (c-constante)
ut + cux + u = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
3. Para o caso u0(x) = exp [−2(x− 2)2], resolver o problema de Cauchy
ut + xux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R ,
e plotar, utilizando o MATLAB, o gra´fico da soluc¸a˜o
u(x, t) , x ∈ [0, 10]
em pontos t = 0, 5; 1; 1, 5.
28
2.4 EDP’s Na˜o-lineares da Primeira Ordem e Ca-
rater´ısticas
Consideremos, agora, o caso em que a velocidade de propagac¸a˜o c depende da soluc¸a˜o
u. Vamos repetir as principais argumentac¸o˜es utilizadas na construc¸a˜o da Lei de
Conservac¸a˜o para este caso, suponhando que uma substaˆncia flui atrave´s de um
tubo, tal que a densidade dela e´ constante atrave´s de cada sec¸a˜o do tubo. Enta˜o,
podemos assumir que a densidade e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel espacial, por exem-
plo da varia´vel x. Denotamos como u(x, t) a densidade no ponto x e tempo t. A
dimensionalidade de u e´ massa/comprimento. A massa da substaˆncia no intervalo
[a, b] e´ ∫ b
a
u(x, t)dx .
Seja F (x, t) a raza˜o com que a substaˆncia ultrapassa o ponto x. Enta˜o, F chama-se
fluxo. No´s adotamos F positiva quando a substaˆncia ultrapassa da esquerda para
a direita e negativa para o caso contra´rio.
Seja a equac¸a˜o de balanc¸o:
(2.22)
d
dt
∫ b
a
u(x, t)dx = F (a, t)− F (b, t) .
Essa equac¸a˜o diz que a raza˜o da mudanc¸a de massa no intervalo [a, b] e´ igual a` raza˜o
(fluxo) na qual a substaˆncia entra no ponto a do intervalo menos a raza˜o na qual
ela sai no ponto b. A equac¸a˜o (2.22) expressa a lei de conservac¸a˜o de massa no
caso um-dimensional.
Suponhamos que a densidade u e o fluxo F sa˜o func¸o˜es do C1. Neste caso,
no´s podemos diferenciar dentro da integral e tambe´m representar a parte direita da
fo´rmula (2.22) como uma integral do seguinte tipo∫ b
a
ut(x, t)dx = −
∫ b
a
Fx(x, t)dx ,
que da´
(2.23)
∫ b
a
[ut(x, t) + Fx(x, t)] dx = 0 .
Portanto, essa igualdade e´ va´lida para qualquer intervalo [a, b] e o integrando deve
ser igual a zero. Enta˜o, as func¸o˜es u, F tem que satisfazer a` equac¸a˜o
(2.24) ut + Fx = 0 .
29
Para reduzir a u´ltima equac¸a˜o em uma func¸a˜o so´, no´s devemos fazer uma suposic¸a˜o
sobre a relac¸a˜o entre u e F . Suponhamos que existe uma relac¸a˜o constitutiva entre
fluxo e densidade dada na seguinte forma
F (x, t) ≡ F (u) .
Supondo que F ∈ C1, temos, enta˜o
(2.25) ut + F
′(u)ux = 0 .
A equac¸a˜o (2.22) chama-se a forma integral da lei de conservac¸a˜o e a equac¸a˜o (2.24)
(e (2.25)) e´ a forma diferencial. A primeira forma e´ mais generalizada que a se-
gunda. Vamos mostrar mais adiante que existem situac¸o˜es em que a equac¸a˜o (2.22)
e´ satisfeita mas a equac¸a˜o (2.24) na˜o e´ definida.
Exercicios
1. Mostrar que a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
ut + uux + au = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) = bx , x ∈ R ,
onde a, b sa˜o constantes, e´
u(x, t) =
abx exp (−at)
(a+ b)− b exp (−at) .
2. Consideremos
uut + ux = 1
com dado de Cauchy u = x/2 na linha x = t para x ∈ (0, 1). Provar que
u =
4x− 2t− x2
2(2− x) .
Achar o dominio de validade da soluc¸a˜o e plotar as carateristicas.
3. Consideremos
uut + ux = 1
com dado de Cauchy u = x na linha t = 1 para x ∈ R. Provar que
u =
x− t2
1 + ln t
+ t2 .
Achar o dominio onde a soluc¸a˜o e valida.
30
2.4.1 Carater´ısticas
Voltando para o problema de valor inicial geral, vamos aplicar o me´todo das carac-
ter´ısticas para o problema
(2.26) ut + c(u)ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R ,
onde c = F ′(u). As caracter´ısticas com in´ıcio no ponto (x0, 0) para esse problema
podem ser constru´ıdas utilizando as seguintes equac¸o˜es
(2.27)
dx
dt
= c(u(x, t)) , x(0) = x0 .
Nesse caso, no´s na˜o sabemos a func¸a˜o u(x, t). Mas por outro lado, o valor da u(x, t)
e´ uma constante ao longo da caracter´ıstica (x(t), t) porque
d
dt
u(x(t), t) = ut + ux · dx
dt
= ut + c(u)ux = 0 .
Como visto anteriormente, isso mostra que o valor da u sobre a caracter´ıstica e´ uma
constante. O valor da u em cada ponto (x, t) da caracter´ıstica e´ o mesmo valor da
u no ponto inicial (x0, 0), que pela condic¸a˜o inicial e´
u(x, t) = u(x0, 0) = u0(x0) .
Sabendo que a func¸a˜o u e´ uma constante ao longo da caracter´ıstica, podemos
Figura 2.1: As caracter´ısticas da lei de conservac¸a˜o na˜o-linear ut+c(u)ux = 0 podem
ser na˜o paralelas
reconsiderar o problema (2.27) para construir a u(x, t). Uma vez que a u(x, t) tem o
valor constante u0(x0) sobre a caracter´ıstica que ultrapassa o ponto (x0, 0), podemos
escrever o problema de valor inicial (2.27) como
dx
dt
= c(u0(x0)) , x(0) = x0 .
Resolvendo o problema, encontramos
(2.28) x = c(u0(x0))t+ x0 .
Como c = constante, as caracter´ısticas sa˜o linhas retas. Pore´m, elas na˜o sa˜o neces-
sariamente linhas pararelas porque a inclinac¸a˜o 1/c(u0(x0)) de cada linha depende
do valor de u no ponto inicial da caracter´ıstica, como mostra a Fig. 2.1.
O procedimento de construc¸a˜o do valor de u no ponto (x, t) e´:
31
1. Construir as caracter´ısticas x = c(u0(x0))t + x0 usando a velocidade c(u) da
equac¸a˜o ut + c(u)ux = 0 e perfil inicial u0(x0).
2. Achar o ponto inicial (x0, 0) da caracter´ıstica que passa atrave´s de (x, t) pela
soluc¸a˜o x = c(u0(x0))t+ x0 para x0.
3. Usar o valor de x0 para calcular u(x, t) = u(x0, 0) = u0(x0).
Exemplo 2.9. Se F = 1
2
u2, enta˜o a lei de conservac¸a˜o ut + Fx = 0 transforma-se
na equac¸a˜o de Burgers, ut + uux = 0, com velocidade c(u) = u.
Consideremos o problema de valor inicial
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
{
0, se x ≤ 0
e−1/x, se x > 0
Uma vez que c(u0(x0)) = u0(x0), a caracter´ıstica que passano ponto (x0, 0) e´ x =
u0(x0)t+ x0, ou
x =
{
0 · t+ x0, se x0 ≤ 0
e−1/x0 · t+ x0, se x0 > 0
A soluc¸a˜o u(x, t) e´ a func¸a˜o
Figura 2.2: As caracter´ısticas do problema
u(x, t) =
{
0, se x ≤ 0
e−1/x0 , se x > 0
onde x0 e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
x0 + e
−1/x0 · t = x ,
isto e´,
x0 = x0(x, t).
Exerc´ıcios
1. Achar a soluc¸a˜o do problema de Cauchy
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =

−1, se x < 0
2x− 1, se 0 ≤ x ≤ 1
1, se x > 1
32
2. Construir a soluc¸a˜o do problema de Cauchy:
ut + u
2ux = −u , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) = 3 , x ∈ R .
3. Definir e plotar as caracter´ısticas do problema de Cauchy:
ut + uux = xt , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =

1, if x ≤ 0
2, if x ∈ (0, 1)
3, if x ≥ 1
4. Definir e plotar as caracter´ısticas do problema de Cauchy:
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0 =

3, if x ≤ 0
2, if x ∈ (0, 1)
1, if x ≥ 1
5. Definir e plotar as caracter´ısticas do problema de Cauchy:
ut + (u
2 + 1)ux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =

1, if x ≤ 0
2, if x ∈ (0, 1)
1, if x ≥ 1.
6. Definir e plotar as caracter´ısticas do problema de Cauchy:
ut + u
3ux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =

2, if x ≤ 0
1, if x ∈ (0, 1)
2, if x ≥ 1.
2.4.2 Cata´strofe de Gradiente e Tempo de Queda
Na sec¸a˜o anterior foi mostrado que a soluc¸a˜o da lei de conservac¸a˜o ut + Fx = 0
poderia ser constru´ıda no ponto (x, t) usando uma caracter´ıstica seguida do ponto
(x, t) de volta em um ponto (x0, 0). Uma suposic¸a˜o impl´ıcita do me´todo e´ que existe
somente uma caracter´ıstica extendida do ponto (x, t). No caso da lei conservativa
na˜o linear, e´ poss´ıvel quando duas ou mais caracter´ısticas interceptam-se no ponto
(x, t) como ilustra a Fig. 2.3. Para a ana´lise detalhada dessa situac¸a˜o consideremos
33
Figura 2.3: Exemplo das carater´ısticas cruzadas
um problema de valor inicial
(2.29)
ut + c(u)ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
Na sec¸a˜o anterior foi mostrado que as caracter´ısticas do problema (2.26) sa˜o as retas
x = c(u0(x0))t+ x0, onde a soluc¸a˜o u e´ uma constante. No caso quando c(u) e´ uma
constante, as caracter´ısticas x = ct + x0 sa˜o as retas paralelas. Mas quando c(u)
na˜o e´ uma constante, as caracter´ısticas x = c(u0(x0))t+x0 na˜o sa˜o necessariamente
as linhas paralelas e podem ultrapassar uma a outra. O valor da soluc¸a˜o u deixa
de ser constante em cada caracter´ıstica individual. Na Fig. 2.4 podemos ver que
Figura 2.4: Carater´ısticas cruzadas podem resultar em declive infinito ux
se as duas caracter´ısticas atravessam u e o valor de u e´ diferente sobre cada linha,
fazendo com que ux(x, t) na direc¸a˜o x tenda para infinito quando t se aproxima da
intersecc¸a˜o das linhas.
A formac¸a˜o de declive (”slowness”) infinito ux na soluc¸a˜o u chama-se cata´strofe
do gradiente.
Vamos supor que c(u) aumenta com u, por exemplo, c(u) = u. Nesse caso,
para valores maiores do que u ≥ 0 temos os maiores valores da velocidade c(u) e a
parte superior do perfil u(x, t) (maiores valores de u) move-se com velocidade mais
ra´pida do que a parte inferior (menores valores de u). Como mostra a Fig. 2.5, se o
Figura 2.5: Parte superior do perfil de soluc¸a˜o u(x, t) propaga-se com a velocidade
maior que a parte inferior quando ut + uux = 0
perfil de u(x, t) em tempo e´ uma func¸a˜o crescente da varia´vel x, enta˜o em um tempo
posterior t o perfil da u(x, t) aparece como ”thinned out”ou ”rarified”. Por outro
lado, se o perfil da u(x, t) tem a forma de um pulso, Fig. 2.6, enta˜o o topo do perfil
alcanc¸a a parte de baixo do perfil que move-se com velocidade menor. Isso forma
um valor infinito da ux criando a cata´strofe do gradiente.
Definic¸a˜o 2.8. O mais cedo tempo tb ≥ 0 no qual acontece a cata´strofe do gradi-
ente na soluc¸a˜o u(x, t) do problema (2.29) chama-se tempo de queda (ou ”breaking
time”em ingleˆs).
34
Figura 2.6: Parte superior do perfil de soluc¸a˜o u(x, t) pode alcanc¸ar ate´ parte infe-
rior, formando a cata´strofe de gradiente
Exemplo 2.10. Consideremos um problema de valor inicial para a equac¸a˜o de
Burgers no meio inviscoso
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = e−x
2
, x ∈ R .
Com velocidade c(u) = u e perfil inicial u0(x) = e
−x2 , as caracter´ısticas com comec¸o
no ponto (x0, 0) sa˜o
x = c(u0(x0))t+ x0 = e
−x20t+ x0 .
Figura 2.7: Parte superior do perfil de soluc¸a˜o u(x, t) pode alcanc¸ar ate´ parte infe-
rior, formando a cata´strofe de gradiente
Um diagrama das caracter´ısticas com pontos iniciais (x0, 0) esta´ representado
na Fig. 2.7. Na figura, o tempo onde as caracter´ısticas ultrapassam uma e outra e´
aproximadamente igual a tb = 1, 2 (valor do tempo de queda).
Consideremos, agora, um me´todo para o ca´lculo do tempo de queda no caso
geral. Consideremos o seguinte problema de Cauchy:
(2.30)
ut + c(u)ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R .
A soluc¸a˜o do problema no ponto (x, t) e´ u(x, t) = u0(x0), onde x0 = x0(x, t) de-
termina o ponto inicial (x0, 0) da caracter´ıstica que ultrapassa o ponto (x, t). A
derivada ux e´
(2.31) ux(x, t) = u
′
0(x0) ·
∂x0
∂x
,
o valor x0 determina-se da equac¸a˜o
x = x0 + c(u0(x0))t
na forma impl´ıcita. Enta˜o
∂x
∂x
=
∂
∂x
[c(u0(x0)t+ x0] ,
35
1 = t
d
dx0
[c(u0(x0)] · ∂x0
∂x
+
∂x0
∂x
.
Resolvendo a u´ltima equac¸a˜o com respeito a ∂x0
∂x
, temos
(2.32)
∂x0
∂x
=
1
1 + t d
dx0
[c(u0(x0)]
.
Substituindo a equac¸a˜o (2.32) na equac¸a˜o (2.31) temos
(2.33) ux(x, t) =
u
′
0(x0)
1 + t d
dx0
[c(u0(x0)]
.
O problema de determinac¸a˜o quando ux e´ igual a infinito reduz-se ao problema
quando o denominador em (2.33) aproxima-se de zero.
Se d
dx0
[c(u0(x0)] ≥ 0 para todos os pontos iniciais (x0, 0), enta˜o o denominador
em (2.33) nunca aproxima-se de zero quando t aumenta. Nesse caso, a cata´strofe do
gradiente na˜o acontece nunca. Por outro lado, se d
dx0
[c(u0(x0)] e´ negativa para um
valor de x0, enta˜o a cata´strofe do gradiente pode acontecer quando t aproxima-se
de − 1d
dx0
[c(u0(x0)]
. O valor de x0 que produz o tempo tb e´ o valor de x0 que produz o
termo d
dx0
[c(u0(x0)] mais negativo. Utilizando esse valor de x0, o tempo de queda e´
(2.34) tb =
−1
d
dx0
[c(u0(x0)]
.
Exemplo 2.11. Consideremos de novo o problema de Cauchy
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 , u(x, 0) = e−x2 , x ∈ R .
Com velocidade c(u) = u e o perfil inicial u0(x) = e
−x2 temos
c(u0(x0)) = c(e
−x20) = e−x
2
0 .
O tempo de queda tb requer buscar o valor mais negativo da func¸a˜o
F (x0) =
d
dx0
[c(u0(x0)] =
d
dx0
e−x
2
0 = −2x0e−x20 .
A derivada F ′(x0) = (−2 + 4x20)e−x20 mostra que F (x0) tem os pontos cr´ıticos x0 =
± 1√
2
com x0 =
1√
2
entregando o valor mais negativo da func¸a˜o F (x0). Enta˜o, o
tempo de queda (2.34) com x0 =
1√
2
e´
tb = − 1−2x0e−x20
=
√
e
2
.
36
Exerc´ıcios
1. Considere o problema de Cauchy
ut + u
2ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
1
1 + x2
, x ∈ R .
a) Construir as caracter´ısticas do problema. Usando MATLAB, construir
as caracter´ısticas no plano das varia´veis (x, t).
b) Calcular o tempo de queda tb.
2. Consideremos o problema de valor inicial
ut + u
2ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
{
1, se x > 0
2x−1
x−1 , se x < 0
Plotar o dado inicial e definir o salto inicial em ux. Plotar as carater´ısticas e
definir o tempo de queda tb.
2.4.3 Soluc¸a˜o Suave por Partes
A construc¸a˜o da EDP na forma de uma lei de conservac¸a˜o pressupo˜e que a soluc¸a˜o
e´ uma func¸a˜o cont´ınua junto com suas derivadas da primeira ordem. O me´todo
das carater´ısticas pode construir tal soluc¸a˜o, mas somente ate´ do tempo quando
primeira vez acontece o cata´strofe de gradiente, tb. Nessa sec¸a˜o a soluc¸a˜o u(x, t)
sera´ continuada paraos tempos maiores do tempo de queda, permitindo que tal
soluc¸a˜o pode ser caraterizada pela uma func¸a˜o suave por partes. Para fazer assim,
no´s retornamos ate´ forma integral da lei de conservac¸a˜o em pontos (x, t) onde u(x, t)
e´ descont´ınua.
Como foi mostrado na sec¸a˜o anterior, as carater´ısticas para o problema de
Cauchy
(2.35)
ut + c(u)ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R
pode ser utilizadas para a construc¸a˜o de uma soluc¸a˜o u(x, t) comec¸ando no tempo
t = 0, mas finalizando no tempo de queda tb de um cata´strofe de gradiente. Nesta
sec¸a˜o no´s vamos modificar o me´todo de carater´ısticas, permitindo que a soluc¸a˜o
u(x, t) quebra-se no tempo t = tb, formando uma func¸a˜o suave por partes para
37
Figura 2.8: Curva x = xs(t) e regio˜es R
±
t ≥ tb. Para definir func¸o˜es (soluc¸o˜es) suaves por partes, suponhamos que x = xs(t)
e´ uma curva no plano das varia´veis (x, t), que divide o semi-plano superior em duas
partes, ver Fig. 2.8. Sejam R− a regia˜o a` esquerda da curva e R+ a` direita dessa
curva.
Definic¸a˜o 2.9. A func¸a˜o u(x, t) chama-se a soluc¸a˜o suave por partes do problema
(2.35) com salto de discontinuidade ao longo da curva xs, se u(x, t) tem as seguintes
propriedades:
1. u(x, t) tem derivadas da primeira ordem cont´ınuas ut e ux em R
+ e R−, e
satisfaz o seguinte problema de Cauchy na regia˜o R−
ut + c(u)ux = 0 , para (x, t) ∈ R− ,
u(x, 0) = u0(x) , parax < xs(0) ,
e na regia˜o R+
ut + c(u)ux = 0 , para (x, t) ∈ R+ ,
u(x, 0) = u0(x) , parax > xs(0) .
2. Em cada ponto (x0, t0) da curva x = xs(t) o limite u(x, t) quando (x, t) →
(x0, t0) em R
− e o limite u(x, t) quando (x, t)→ (x0, t0) em R+ ambos existem
mas na˜o necessariamente sa˜o iguais.
O gra´fico de tal func¸a˜o e´ composto por duas sec¸o˜es de uma superf´ıcie com um
salto ao longo da curva x = xs(t), ver Fig. 2.9.
Figura 2.9: Gra´fico de uma func¸a˜o suave por partes com descontinuidade em pontos
da curva x = xs(t)
Exerc´ıcios
2.4.4 Ondas de Choque
A construc¸a˜o de uma soluc¸a˜o de equac¸a˜o ut+Fx = 0 pelo me´todo das caracter´ısticas
temporariamente para-se quando um cata´strofe de gradiente acontece. No entanto,
o processo f´ısico modelado pelo este lei de conservac¸a˜o na˜o necessariamente termina-
se. Nesta sec¸a˜o nos vamos descrever como a soluc¸a˜o u(x, t) tem que ser continuada
38
depois do tempo de queda, permitindo u(x, t) ser suave por partes, mas obedecendo
ao lei de conservac¸a˜o. A formac¸a˜o de uma discontinuidade depois de cata´strofe de
gradiente e´ uma mudanc¸a drama´tica na natureza da func¸a˜o u(x, t). Tal func¸a˜o sera´
chamada soluc¸a˜o de tipo onda de choque do lei de conservac¸a˜o.
Suponhamos que as carater´ısticas do problema
(2.36)
ut + Fx = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ R
cruzam-se primeira vez no tempo tb = 0, ver Fig. 2.10. Para aplicar o me´todo das
carater´ısticas, uma curva x = xs(t) e´ plotada atrave´s a a´rea onde as carater´ısticas
se cruzam, para separar as carater´ısticas que se aproximam de direita e esquerda,
ver Fig. 2.10. Mas podem ser plotadas muitas curvas para separar as carater´ısticas
cruzadas, por isso agora vamos discutir como usando o lei de conservac¸a˜o selecionar
somente uma curva x = xs(t). Suponhamos que a func¸a˜o u(x, t) e´ uma soluc¸a˜o suave
Figura 2.10: Uso de uma curva para dividir uma regia˜o de cruzamento das cara-
ter´ısticas
por partes do problema de Cauchy (2.36) com salto de descontinuidade ao longo da
curva x = xs(t). Embora a func¸a˜o u(x, t) satsifaz ut + Fx = 0 em cada ponto (x, t)
em R− e R+, as derivadas da u(x, t) na˜o necessaramente existem em pontos da
curva x = xs(t). Para ver o que vai acontecer em pontos da curva x = xs(t), vamos
retornar a` forma original do lei da conservac¸a˜o (2.22). Fixando um ponto (xs(t), t)
na curva, escolhemos a e b em tal maneira, que a < xs(t) < b como mostrado na
Fig. 2.11. A integral na lei de conservaca˜o (2.22) pode ser representado por duas
Figura 2.11: Escolha de pontos a e b
partes
(2.37)
∫ b
a
u(x, t)dx =
∫ x−s (t)
a
u(x, t)dx+
∫ b
x+s (t)
u(x, t)dx .
Substituindo (2.37) na lei de conservac¸a˜o (2.22) e usando a regra de cadeia para
calcular a derivada dessas integrais em relac¸a˜o da variavel do tempo t, obtemos∫ x−s (t)
a
ut(x, t)dx+ u(x
−
s , t)
dxs
dt
+
∫ b
x+s (t)
ut(x, t)dx− u(x+s , t)
dxs
dt
= F (a, t)− F (b, t) .
39
Dirigindo a→ x−s e b→ x+s obtemos a seguinte equac¸a˜o
u(x−s , t)
dxs
dt
− u(x+s , t)
dxs
dt
= F (x−s , t)− F (x+s , t) ,
de qual nos podemos construir a seguinte equac¸a˜o diferencial ordinaria
(2.38)
dxs
dt
=
F (x+s , t)− F (x−s , t)
u(x+s , t)− u(x−s , t)
.
A equac¸a˜o (2.38) mostra que para que uma soluc¸a˜o suave por partes do problema
(2.36) satisfaria a forma integral da lei de conservac¸a˜o (2.22), a curva x = xs(t)
tem que satisfazer a` equac¸a˜o (2.38). Esta equac¸a˜o chama-se a condic¸a˜o de salto de
Rankine-Hugoniot para u(x, t). Usando a notac¸a˜o de salto
[F ](x, t) = F (x+, t)− F (x−, t) , [u](x, t) = u(x+, t)− u(x−, t) ,
A condic¸a˜o de salto de Rankine-Hugoniot reescreve-se como
dxs
dt
=
[F ]
[u]
.
Definic¸a˜o 2.10. Uma soluc¸a˜o suave por partes u(x, t) da equac¸a˜o ut + Fx = 0
com um salto ao longo de curva xs(t), que satisfaz a` condic¸a˜o de Rankine-Hugoniot
(2.38), chama-se soluc¸a˜o de tipo onda de choque da lei de conservac¸a˜o. A curva xs(t)
chama-se caminho de choque.
Exemplo 2.12. Consideremos o seguinte problema de Cauchy para a equc¸a˜o de
Burgers inviscoso:
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
{
1, se x ≤ 0,
0, se x > 0.
As carater´ısticas x = x0+t·c(u0(x0)) do problema sa˜o x = x0+t·0 para x0 ≤ 0, e x =
Figura 2.12: As carater´ısticas e curva que separa as carater´ısticas cruzadas para o
exemplo
x0+t·1 para x0 > 0. Com base na ana´lise das carater´ısticas no semi-plano t ≥ 0 (ver
Fig. 2.12) podemos concluir que a primeira vez o cata´strofe de gradiente acontece
no ponto (0, 0) com tempo de queda tb = 0. Por esta raza˜o vamos procurar uma
soluc¸a˜o de tipo onda de choque com caminho de choque comec¸ando no ponto (0, 0).
Construindo o caminho de choque x = xs(t), podemos separar as carater´ısticas
cruzadas e, usando o me´todo das carater´ısticas, construir a soluc¸a˜o do problema em
40
Figura 2.13: Interpretac¸a˜o gra´fica da soluc¸a˜o do problema
domı´nios R− e R+, ver Fig. 2.13. Se (x, t) ∈ R−, enta˜o existe uma carater´ıstica que
passa este ponto e um ponto (x0, 0) do semi-eixo negativo x < 0. Visto que u e´ uma
constante ao longo dessa linha e o valor de u no ponto (x, t) e´ u(x, t) = u(x0, 0) = 1
para x0 < 0, o valor de u no ponto (x, t) seraˆ u(x, t) = u(x0, 0) = 1. Semelhante,
se um ponto (x, t) ∈ R+, enta˜o u(x, t) = u(x0, 0) = 0. Construindo o caminho de
choque, a soluc¸a˜o do problema de Cauchy seraˆ dada pela seguinte fo´rmula
u(x, 0) =
{
1, se (x, t) ∈ R−,
0, se (x, t) ∈ R+.
A curva x = xs(t) para separar as duas regio˜oes pode ser construida usando
a condic¸a˜o de salto Rankine-Hugoniot; comec¸ando o caminho de choque do ponto
(0, 0):
dxs
dt
=
[F ]
[u]
, xs(0) = 0 .
A funca˜o de fluxo para a equac¸a˜o de Burgers e´ F = u2/2, portanto
dxs
dt
=
1
2
[u2]
[u]
=
u+ − u−
2
,
onde u± sa˜o valores da func¸a˜o u em pontos da curva (da direita - com sinal +, e
da esquerda - com sinal −). Mas u = 1 em R− e u = 0 em R+, portanto u− = 1
e u+ = 0. A condic¸a˜o de salto simplifica-se ate´ dxs/dt = 1/2, o que junto com
a condic¸a˜o inicial xs(0) = 0 permite construir o caminho de choque xs(t) = t/2.
A Fig. 2.13 illustra o caminho de choque x = xs(t) ≡ t/2 e as carater´ısticas do
problema de Cauchy
u(x, 0) =
{
1, se x ≤ t/2,
0, se x > t/2.
Animac¸a˜o dessa func¸a˜o e´ representada na Fig. 2.14. Notamos, que o salto de
Figura 2.14: Animac¸a˜o da soluc¸a˜o detipo onda de choque
discontinuidade propaga-se para a direita com velocidade 1/2.
41
Exerc´ıcios
1. Achar a soluc¸a˜o de tipo onda de choque para o seguinte problema de Cauchy:
ut + u
2ux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
{
2, se x < 0,
1, se x ≥ 0.
Definir o valor da soluc¸a˜o no ponto (x, t) = (7, 3).
2. Resolver o problema de Cauchy:
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =
{
2, x ≤ 1
0, x > 1
Achar o valor da soluc¸a˜o em ponto (x, t) = (2, 3). Analizar a variac¸a˜o de perfil da
soluc¸a˜o.
3. Provar que o caminho de choque x = 3t/2 e a func¸a˜o
u(x, t) =
{
2, x ≤ 3t/2
1, x > 3t/2
satisfaz a condic¸a˜o de Rankine-Hugoniot e a Lei de Conservac¸a˜o na forma integral
do problema de Cauchy
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =
{
2, x ≤ 0
1, x > 0.
2.4.5 Ondas de Rarefac¸a˜o
Ate´ agora, utilizando as caracter´ısticas, foram constru´ıdas as soluc¸o˜es da lei de
conservac¸a˜o na forma de ondas de choque. A partir de agora, vamos examinar o
problema em outra situac¸a˜o extrema: para a equac¸a˜o na˜o linear e´ poss´ıvel ter no
plano das varia´veis (x, t) algumas regio˜es que na˜o conteˆm nenhuma caracter´ıstica.
Para regio˜es desse tipo, o me´todo das caracter´ısticas sera´ modificado para formar
as soluc¸o˜es na forma de ondas de rarefac¸a˜o.
Para mostrar isso, vamos considerar nosso problema de valor inicial para a
equac¸a˜o de Burgers inviscoso
(2.39)
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
{
0, se x ≤ 0
1, se x > 0
42
As caracter´ısticas do problema sa˜o as linhas definidas pela seguinte fo´rmula
(2.40) x =
{
x0, se x0 ≤ 0
t+ x0, se x > 0
Plotando as caracter´ısticas no plano (x, t) (Fig. 2.15), podemos observar que as
caracter´ısticas na˜o sa˜o exibidas na regia˜o (x, t) : 0 < x < t < ∞. Nessa sec¸a˜o,
vamos ver, com a ajuda das ondas de rarefac¸a˜o, onde podemos construir uma soluc¸a˜o
u(x, t) do problema (2.39) nessa regia˜o. Suponhamos que o perfil inicial u(x, 0)
Figura 2.15: Carater´ısticas que na˜o entram numa parte do semi-plano t > 0
Figura 2.16: Suavizac¸a˜o do dado inicial u(x, 0) para criar uma famı´lia de cara-
ter´ısticas, quando ∆x→ 0
e´ modificado para fazer uma transic¸a˜o suave de u = 0 ate´ u = 1 atrave´s de um
intervalo de comprimento ∆x sobre o ponto x = 0. Como mostra a Fig. 2.16, as
caracter´ısticas fazem uma transic¸a˜o suave de linhas com velocidade c = 0 (vertical)
ate´ linhas com velociade c = 1. Considerando o limite ∆x→ 0 (Fig. 2.16) podemos
sugerir que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o ut + uux = 0 na regia˜o 0 < x < t < 0 pode ser
constru´ıda usando a ”famı´lia de caracter´ısticas”. Essa famı´lia consiste de linhas
x = ct, onde c varia de 0 ate´ 1. A func¸a˜o u(x, t) que e´ uma constante sobre cada
uma dessas caracter´ısticas pode ser representada na forma u(x, t) = g(x/t) e e´ uma
func¸a˜o da velocidade das linhas x = ct.
Para buscar uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o ut + uux = 0 na forma u(x, t) = g(x/t),
calculamos as derivadas
ut = − x
t2
g′(
x
t
) , ux =
1
t
g′(
x
t
) .
Substituindo essas derivadas na equac¸a˜o ut + uux = 0, temos:
1
t
g′(
x
t
){−g′(x
t
) +
x
t
} = 0 .
Isso mostra que g′ = 0 (g e´ uma constante) ou g(x/t) = x/t. O exerc´ıcio seguinte
mostra que o caso g′ = 0 e´ imposs´ıvel.
Exerc´ıcio: Consideremos o problema de valor inicial (2.39). Usando o me´todo
das caracter´ısticas, mostrar que u(x, t) ≡ 0 para x ≤ 0 e u(x, t) ≡ 1 para x > t.
Suponhamos que no domı´nio 0 < x < t, u(x, t) = g(x/t) = A, isto e´,
(2.41) u(x, t) =

0, se x ≤ 0
A, se 0 < x ≤ t
1, se x > t
43
Usando a condic¸a˜o de Rankine-Hugoniot para as linhas x = 0, x = t, provar que
u(x, t) na˜o pode ter a soluc¸a˜o do tipo de onda de choque dada no problema (2.39). A
Figura 2.17: Interpretac¸a˜o gra´fica da soluc¸a˜o do problema, constr´ıda usando a
funca˜o u(x, t) = x/t
outra possibilidade para g e´ g(x, t) = x/t. A Fig. 2.17 mostra o diagrama formado
pela func¸a˜o u(x, t) = g(x/t) = x/t na regia˜o 0 < x < t e, usando o me´todo das
carater´ısticas, em domı´nios x < 0 e x > t. A func¸a˜o e´ agora suave por partes e
definida pela fo´rmula
(2.42) u(x, t) =

0, se x ≤ 0
x/t, se 0 < x ≤ t
1, se x > t
Notamos que embora a func¸a˜o u(x, t) seja cont´ınua para t > 0, as derivadas ut e
ux na˜o existem em pontos das linhas x = 0 e x = t e, por isso, a func¸a˜o u(x, t)
na˜o satisfaz a equac¸a˜o diferencial ut + uux = 0 nesses pontos. Mas essa func¸a˜o
satisfaz as condic¸o˜es da definic¸a˜o de soluc¸a˜o fraca da equac¸a˜o ut+uux = 0, que sera´
introduzida posteriormente.
Figura 2.18: Animac¸a˜o da funca˜o u(x, t)
Em geral, uma onda de rarefac¸a˜o e´ uma func¸a˜o na˜o constante dada na seguinte
forma u(x, t) = g((x − a)/t). As linhas x = a + ct no plano das varia´veis (x, t) sa˜o
frequentemente chamadas carater´ısticas porque u e´ uma constante ao longo delas;
embora elas na˜o sa˜o contru´ıdas usando a equac¸a˜o de carater´ısticas dx/dt = c(u)
derivadas de ut + c(u)ux = 0. Estas linhas se distinguem pela sua forma origina´rias
do ponto x = a no eixo Ox, ver Fig. 2.19.
Figura 2.19: Carater´ısticas para uma onda de rarefac¸a˜o u(x, t) = g((x− a)/t)
Exerc´ıcios
1. Construir uma soluc¸a˜o de rarefac¸a˜o do problema
ut + u
2ux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =
{
1, se x ≤ 0
2, se x > 0
44
2. Construir uma soluc¸a˜o de rarefac¸a˜o do problema
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =
{
0, se x ≤ 1
1, se x > 1
3. Resolver o problema de Cauchy:
ut − uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =
{
2, x ≤ 1
0, x > 1
Achar o valor da soluc¸a˜o em ponto (x, t) = (1, 3). Analizar a variac¸a˜o de perfil da
soluc¸a˜o.
4. Achar a soluc¸a˜o do problema de Cauchy
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0
u(x, 0) =

−1, se x < 0
2x− 1, se 0 ≤ x ≤ 1
1, se x > 1
2.4.6 Um Exemplo com Ondas de Rarefac¸a˜o e Choque
Em geral, leis de conservac¸a˜o na˜o-lineares podem ter soluc¸o˜es const?u´ıdas como uma
combinac¸a˜o das ondas de choque e rarefac¸a˜o. Vamos analisar um exemplo de tal
soluc¸a˜o.
Consideremos o problema de valor inicial para a equac¸a˜o de Burgers inviscoso
(2.43)
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =

0, se x ≤ 0
1, se 0 < x < 1
0, se x ≥ 1
Com c(u) = u as carater´ısticas x = x0 + tc(u(x0, 0)) sa˜o
x = x0 + t · 0 , se x0 ≤ 0
x = x0 + t · 1 , se 0 < x0 < 1
x = x0 + t · 0 , se x0 ≥ 1
A posic¸a˜o das carater´ısticas no plano das varia´veis (x, t) e´ apresentada na Fig. 2.20.
Podemos ver a´reas como com crusamento das carater´ıstcas tanto sem nenhuma
45
Figura 2.20: Carater´ısticas do problema de Cauchy (2.43)
carater´ıstica. Uma vez que u e´ constante ao longo das carater´ısticas, a condic¸a˜o
inicial e o diagrama de carater´ısticas mostram que u(x, t) = 0 para x < 0, u(x, t) = 1
para 0 < t < x < 1, e u(x, t) = 0 para 0 < x < t < x− 1 <∞, ver Fig. 2.21. Uma
Figura 2.21: Valor da soluc¸a˜o u e´ constante ao longo das carater´ısticas em regio˜es
de simples carater´ısticas
soluc¸a˜o suave por partes do problema (2.43) sera´ constru´ıda usando uma combinac¸a˜o
das ondas de choque e rarefac¸a˜o em regio˜es restantes do plano das varia´veis (x, t).
Passo I. Rarefac¸a˜o.
Vamos comec¸ar pela construc¸a˜o de uma onda de rarefac¸a˜o para preencher a regia˜o
que na˜o conta nenhuma carater´ıstica. Como foi mostrado na Fig. 2.20, a soluc¸a˜o
na forma de uma onda de rarefac¸a˜o da equac¸a˜o ut + uux = 0 com uma famı´lia das
carater´ısticas origina´das no ponto (0, 0) e´
u(x, t) =
x
t
.
Plotagem da famı´lia de carater´ısticas para esta rarefac¸a˜o no triaˆngulo resulta no
diagrama de caratereisticas representado na Fig. 2.22 e num diagrama atualizado
representado na Fig. 2.23.
Figura 2.22: Carater´ısticas da rarefac¸a˜o u(x, t) = x/t
que preencham regia˜o com acunhamento comec¸ando do ponto (0, 0)
Passo II. Choque.
O diagrama da Fig. 2.22 mostra o crusamentode carater´ısticas com o tempo de
queda tb = 0. O pro´ximo passo sera´ construir um caminho de choque, comec¸ando
no ponto (x, t) = (1, 0), que separa as carater´ısticas x = x0 + t das linhas verticais
x = x0. Com a func¸a˜o de fluxo F (u) = u
2/2 para a equac¸a˜o de Burgers ut+uux = 0,
a condic¸a˜o de Rankine-Hugoniot (2.38) para o caminho de choque transforma-se em
dxs
dt
=
F (x+s , t)− F (x−s , t)
u(x+s , t)− u(x−s , t)
=
1
2
· (u
+)2 − (u−)2
u+ − u− =
u+ + u−
2
.
As carater´ısticas de lado esquerdo do caminho de choque extendam-se para tra´s ate´
pontos (x0, 0) do eixo Ox onde 0 < x0 < 1. O valor da func¸a˜o u(x, t) ao longo dessas
linhas sera´ u(x, t) = u(x0, 0 = 1, ass´ım, o valor de u(x, t) quando (x, t) aproxima-se
o caminho de choque do lado esquerdo e´ u− = 1. Similarmente, as carater´ısticas de
46
Figura 2.23: (x, t)-diagrama da soluc¸a˜o incluindo a onda de rarefac¸a˜o
lado direito do caminho de choque sa˜o as linhas verticais, que estendam-se para tra´s
ate´ pontos (x0, 0) no eixo Ox onde x0 > 1. O valor da func¸a˜o u(x, t) ao longo essas
linhas sera u(x, t) = u(x0, 0 = 0, ass´ım, o valor de u(x, t) quando (x, t) aproxima-se o
caminho de choque do lado direito e´ u+ = 0. A condic¸a˜o de salto para este caminho
dechoque torna-se em
dxs
dt
=
1 + 0
2
=
1
2
,
de onde obtemos xs = t/2 + C, 0 ≤ t ≤ 2. O constante C e´ encontrado usando
a condic¸a˜o que o choque comec¸a no ponto (xs, t) = (1, 0). Neste caso C = 1, e o
caminho de choque e´
xs =
t
2
+ 1 , 0 ≤ t ≤ 2 .
Como mostra-se na Fig. 2.24, esta parte do caminho de choque termina-se no
ponto t = 2, onde as carater´ısticas verticais comec¸am intercec¸ar as carater´ısticas
construidas para a onda de rarefac¸a˜o.
Figura 2.24: Caminho de choque xx(t) = t/2 + 1 para 0 ≤ t ≤ 2 separa a regia˜o
onde u(x, t) = 1 da regia˜o onde u(x, t) = 0. O caminho de choque precisara´ ser
prorrogado depois do ponto (2, 2) na regia˜o das carater´ısticas da onda de rarefac¸a˜o
Passo III. Extensa˜o de Choque.
O caminho de choque construido no Passo II separa as carater´ısticas x = x0 + t das
linhas verticais x = x0. Como um passo final na construc¸a˜o da soluc¸a˜o u(x, t), o
choque sera´ extendido do ponto (x, t) = (2, 2) na regia˜o t > 2 onde as linhas verticais
x = x0 cruzam a famı´lia de carater´ısticas da onda de rarefac¸a˜o, ver Fig. 2.24.
Como no Passo II, a condic¸a˜o de salto para o caminho de choque e´
dxs
dt
=
1
2
· (u
+)2 − (u−)2
u+ − u− =
u+ + u−
2
.
As carater´ısticas do lado direito do caminho de choque sa˜o as linhas verticais, que se
extendam para tra´s ate´ pontos (x0, 0) do eixo Ox, onde x0 > 1. O valor da func¸a˜o
u(x, t) ao longo dessas linhas sera´ u(x, t) = u(x0, 0) = 0, ass´ım, o valor de u(x, t)
quando (x, t) aproxima-se o caminho de choque do lado direito e´ u+ = 0. Do lado
esquerdo do caminho de choque, ja´ determinado que o valor de u e´ u(x, t) = x/t,
ass´ım, quando (x, t) aproxima-se o caminho de choque do lado esquerdo, temos
u− = x/t. A condic¸a˜o e salto para pontos no caminho de choque e´
dxs
dt
=
0 + xs/t
2
=
xs
2t
.
47
A EDO da primeira ordem para xs e´ separa´vel; re-escrevendo a equac¸a˜o como
1
xs
dxs
dt
=
1
2t
e integrando, obtemos lnxs = ln
√
t + C, ou xs = C1
√
t. Visto que esta parte do
caminho de choque comec¸a no ponto (x, t) = (2, 2), determinamos que C1 =
√
2,
enta˜o o caminho de choque aqui e´
xs(t) =
√
2t , t ≥ 2 .
Como mostra-se na Fig. 2.25, esta curva separa na regia˜o as carater´ısticas de ra-
refac¸a˜o das carater´ısticas verticais para tempos t ≥ 2. O diagrama de carater´ısticas
Figura 2.25: Extensa˜o do caminho de choque pela xx(t) =
√
2t para t ≥ 2 para
separar as carater´ısticas da onda de rarefac¸a˜o das carater´ısticas verticais
na Fig. 2.25 completa a construc¸a˜o de uma soluc¸a˜o suave por partes do problema
de Cauchy (2.43); a soluc¸a˜o final e´ interpretada na Fig. 2.26. Para 0 ≤ t ≤ 2 a
Figura 2.26: Interpretac¸a˜o da soluc¸a˜o obtida no plano das varia´veis (x, t)
soluc¸a˜o e´ dada pela seguinte fo´rmula
(2.44) u(x, 0) =

0, se x < 0
x/t, se 0 < x < t
1, se t < x < t/2 + 1
0, se t/2 + 1 < x
E para t ≥ 2
(2.45) u(x, 0) =

0, se x ≤ 0
x/t, se 0 < x <
√
2t
0, se
√
2t < x
Exerc´ıcios
2.4.7 Condic¸a˜o de Entropia
As ondas de rarifac¸a˜o e de choque sa˜o soluc¸o˜es especiais de leis de conservac¸a˜o. Du-
rante do processo de construc¸a˜o dessas soluc¸o˜es no´s percebemos que a generalizac¸a˜o
48
da definic¸a˜o de soluc¸a˜o da lei de conservac¸a˜o ut + Fx = 0 forma uma lei de con-
servac¸a˜o na forma integral, onde a func¸a˜o u e´ na˜o cont´ınua. Nesta sec¸a˜o no´s vamos
ver que esta generalizac¸a˜o da soluc¸a˜o faz possivel que um problema de Cauchy pode
ter va´rias soluc¸o˜es. A condic¸a˜o de entropia enta˜o sera´ introduzida como um exemplo
de uma condic¸a˜o utilizada para selecionar uma soluc¸a˜o entre todas as outras.
Na˜o-Unicidade de Soluc¸o˜es Suaves por Partes
A onda de rarefac¸a˜o da Sec¸a˜o 2.4.5
(2.46) u(x, t) =

0, se x ≤ 0
x/t, se 0 < x < t
1, se x ≤ t
foi constru´ıda como uma soluc¸a˜o suave por partes do seguinte problema de Cauchy
(2.47)
ut + uux = 0 , x ∈ R , t > 0 ,
u(x, 0) =
{
0, se x ≤ 0
1, se x ≥ 1
Por outro lado, e´ possivel achar outras soluc¸o˜es do problema usando ondas de choque.
De fato, se A, 0 < A < 1, um nu´mero qualquer, enta˜o a func¸a˜o
(2.48) u(x, t) =

0, se x ≤ At/2
A, se At/2 < x < (A+ 1)t/2
1, se x ≤ (A+ 1)t/2
representada na Fig. 2.24 e´ uma soluc¸a˜o de tipo onda de choque com dois caminhos
de choque (ver Exerc´ıcio a seguir). Portanto, existe um nu´mero infinito de soluc¸o˜es
do problema (2.47) - uma onda de rarefac¸a˜o e um nu´mero infinito de ondas de
choque.
Figura 2.27: Soluc¸a˜o de tipo onda de choque do problema (2.47) com os dois cami-
nhos de choque
Exerc¸´ıcio. Consideremos a func¸a˜o u(x, t) dada pela fo´rmula (2.46).
a. Verificar que u(x, t) satisfaz ut + uux = 0 em cada de treˆs regio˜es x < At/2,
At/2 < x < (A+ 1)t/2, e x > (A+ 1)t/2.
b. Verificar que as curvas de discontinuidade xs = At/2 e xs = (A + 1)t/2 satis-
fazem a condic¸a˜o de salto Rankine-Hugoniot.
49
Condic¸a˜o de Entropia
Quando um problema de valor inicial tem mais que uma soluc¸a˜o, informac¸a˜o adi-
cional tem que ser usada para selecionar uma soluc¸a˜o particular. Em dinaˆmica de
flu´ıdos, por exemplo, a condic¸a˜o de entropia utizia-se para selecionar uma soluc¸a˜o
com maior sentido f´ısico.
Definic¸a˜o 2.11. Uma func¸a˜o u(x, t) satisfaz a condic¸a˜o de entropia, se e´ possivel
achar uma constante positiva E, tal que
(2.49)
u(x+ h, t)− u(x, t)
h
≤ E
t
para quaisquer t > 0, h > 0, and x.
Graficamente, essa condic¸a˜o e´ uma limitac¸a˜o no declive do perfil da soluc¸a˜o
u(x, t) em cada tempo t - o declive entre quaisquer dois pontos do perfil (declive de
secante) em cada tempo t e´ menor que E/t. Notamos que esta condic¸a˜o restringe
Figura 2.28: Interpretac¸a˜o da condic¸a˜o de entropia no plano das varia´veis (x, u)
como grande o positivo declive de secante pode ser, e na˜o prohibe de ter uma curva
com declives negatives. Ale´m disso, E/t→ 0 quando t→∞.
No problema de Cauchy (2.47) temos um nu´mero infinito das soluc¸o˜es tipo
onda de choque dadas pela fo´rmula (2.48). Fig. 2.26 mostra o perfil dessas soluc¸o˜es
e indica que maiores positives declives da secante sa˜o poss´ıveis escolhendo x and
x+ h em lados opostos do choque. O declive de secante
u(x+ h, t)− u(x, t)
h
=
1− A
h
cresce arbitrariamente grande quando x e x+h aproximam a locac¸a˜o de salto, assim
na˜o e´ possivel achar uma constante E tal que este secante decliva menor que E/t
para quaisquer x e h > 0. As soluc¸o˜es do tipo onda de choque (2.48) na˜o satisfazem
a condic¸a˜o de entropia