AULA 2

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AULA 2
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS (continuação)
OBJETIVO DESTA AULA:
	Ao final desta aula, você será capaz de:
1- 	Reconhecer aplicações de funções vetoriais de uma variável real, isto é, aplicações ao movimento e o comprimento de arco
INTRODUÇÃO
	Nesta aula, apresentaremos aplicações de funções vetoriais de uma variável real, isto é, aplicações ao movimento e o comprimento de arco, conteúdo muito utilizado por exemplo nas disciplinas de física. Nesta etapa utilizaremos o conteúdo aprendido na aula anterior.
	Na primeira parte desta aula, veremos aplicações ao movimento em e . 
	Este conteúdo é bastante abordado, por exemplo, nas disciplinas de Física. 
	Com isto o estaremos fazendo conceitos da disciplina de Física que enunciaremos a seguir e que podem ser observados no dia a dia.
APLICAÇÕES AO MOVIMENTO
	Analisaremos agora uma partícula que em seu movimento passe por um ponto P e depois por um ponto Q.
Considere uma particula que se move em ou .
Considere ainda que a posição, em cada instante t, desta particula é dada pela extremidade do vetor é dita função posição do movimento.
	Então podemos definir...
	Vamos recordar a interpretação geométrica: temos que o vetor deslocamento da particula, de até é o vetor definido pela seta com ponto inicial em e ponto final em .
	Esse vetor também é chamado de deslocamento vetorial da particula.
ATENÇÃO
	O vetor deslocamento v da posição até é igual à diferença entre o vetor posição v1 e o vetor posição v2.
	Podemos considerar que uma particula passa por um ponto P em um instante t1, e por um ponto Q em um instante t2, o deslocamento vetorial da particula de P até Q é também chamado de deslocamento vetorial no intervalo de tempo [t1, t2].
Atenção:
	Vimos nas disciplinas de cálculo anteriores que a velocidade média é dado pela razão entre o deslocamento e o tempo gasto para realizá-lo e que a velocidade média instantânea no instante t é dada como o limite da razão acima quando Δt tende a zero . Vamos agora trazer estes conceitos para função vetorial de uma variável real!
CONSIDERAÇÕES
	A razão entre o deslocamento vetorial e o tempo gasto para realizá-lo é chamada de velocidade vetorial média (ou vetor velocidade média) da partícula no intervalo de tempo em que ocorreu o deslocamento (aponta no sentido do movimento).
	O vetor velocidade instantânea (ou velocidade instantânea vetorial) da partícula no instante t como o limite da razão acima quando Δt tende a zero.
	O vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra (definição das derivadas).
	Considere o movimento de uma partícula descrito pela função posição σ(t) e que esta função seja diferenciável quantas vezes for necessário.
	Dizemos que a derivada de σ(t) (σ'(t)) é o vetor velocidade da partícula.
	Dizemos que o comprimento do vetor velocidade ||σ'(t)|| é a velocidade escalar da partícula.
	Seja t o instante no qual a partícula esteja na posição s(t) com velocidade v(t), e t + Δt outro instante do movimento no qual a partícula esteja na posição s(t + Δt) com velocidade v(t + Δt). 
	Com o mesmo raciocínio que utilizamos para definir velocidade de uma partícula, podemos definir a aceleração, ou seja, aplicando o limite quando ∆t tende a zero, chegaremos à segunda derivada do vetor posição. Portanto...
	Dizemos que a derivada segunda σ''(t) é o vetor aceleração da partícula.
ATENÇÃO
	Observação: Geometricamente o vetor aceleração da partícula aponta para parte interna da curva no ponto P, mas não necessariamente é perpendicular a derivada de P.
NOTAÇÃO
Vetor velocidade: 
Velocidade escalar: 
Vetor aceleração: 
EXEMPLO
EXEMPLO 1: Dado o vetor posição 
Vetor velocidade: 
Vetor aceleração: 
Velocidade escalar: 
EXEMPLO CLÁSSICO DOS LIVROS DE FÍSICA:
EXEMPLO: Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções , com . Pede-se:
(a) Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
(b) Os carros colidem no ponto P?
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro?
	Primeiro devemos observar que tem x(t) + t e y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2. Com o raciocínio análogo , x(t) = t então y = 7x - 10.
a) O ponto onde as estradas se cruzam é a resolução de um sistema: x2 = 7x - 10. As raízes dessa equação são 5 e 2. Concluimos, então que temos dois pontos de encontro entre y(t) = t2 e y = 7x - 10 são as coordenadas (5, 25) e (5, 4).
b) Para saber se os carros colidem, basta verificar em que tempo cada um deles passa no ponto de intercessão (item a). Para tem x(t) = t = 5 e para , x(t) = t = 5. Logo os carros colidem.
c) Para isso precisamos saber a velocidade 
Para o carro A, . Com x = t = 5. v(t) = 
Para o carro B, . Com x = t = 5. v(t) = 
COMPRIMENTO DE ARCO
	Considere a curva definida por σ(t), t ∈ [a, b] como a trajetória descrita por uma partícula que se move com velocidade escalar v(t) = ||σ'(t)||.
	Seja C uma curva definida por uma função σ(t), a ≤ t ≤ b de classe C¹ de classe.
	Assim, se a curva esta em 
DEMONSTRAÇÃO: Utilizando o método das aproximações por poligonais.
	Considere a participação regular de ordem n do intervalo [a, b], ou seja, dividimos o intervalo [a, b] em n partes iguais tais que , portanto podemos definir que 
	Para cada ponto t, definimos a função deslocamento. Se ligarmos cada um, teremos uma linha poligonal.
	Quando ∆t é pequeno o comprimento da linha poligonal é aproximadamente igual ao comprimento de da curva C.
	Na disciplina de cálculo vetorial aprendemos que o comprimento de segmento de reta de σ(t0) até σ(t1) é dado por: 
	E consequentemente podemos generalizar esta definição para o comprimento do segmento de reta de σ(ti) até σ(ti+j) dado por:
 (*)
	Aplicando o teorema do valor médio, aprendido na disciplina de cálculo, às funções x(t), y(t) e z(t) em [ti, ti+j] obtemos ti1, ti2, ti3 ϵ (ti, ti+1): (**)
	Assim, o comprimento total da linha poligonal será:
ATENÇÃO
	Mas, de (*) e (**) temos:
	Como é continua, esse limite existe.
	Logo, como queríamos demonstrar!
EXEMPLO 1: Calcule o comprimento da curva (hélice circular)
DEFINIÇÃO: Sejam e duas parametrizações de classe de uma curva C. Dizemos que e são parametrizações equivalentes se existe uma função h: [c, d] [a, b] bijetora de classe tal que .
OBSERVAÇÃO: A função h relaciona as velocidades com que se movem sobre C.
TEOREMA: O comprimento de uma curva C independe das parametrizações equivalentes escolhidas.
OBSERVAÇÃO: você deverá pesquisar a demonstração deste teorema na bibliografia indicada.
	Assim, o comprimento total da linha poligonal será:
A SÍNTESE DA AULA:
Nesta aula, você:
Reconheceu aplicações de funções vetoriais de uma variável real, isto é, aplicações ao movimento e o comprimento de arco.