MD1 - AP3 2017 1 Gabarito - MD1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – GABARITO – 18/06/2017
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(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.)
Ka´tia decide passear pelo plano coordenado. Ela sai do ponto (0, 5) e anda em linha reta ate´ o ponto
(4, 10). Deste ponto, ela segue novamente em linha reta ate´ o ponto (8, 2).
Questa˜o 1 (0.6 pt) Esboce, no plano coordenado, o trajeto de Ka´tia, indicando os pontos rele-
vantes.
Soluc¸a˜o: O trajeto de Ka´tia esta´ esboc¸ado abaixo:
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
Questa˜o 2 (1.5 pt) Seja (x, f(x)) o ponto que representa a posic¸a˜o de Ka´tia no plano coordenado
para um dado valor x, tal que 0 ≤ x ≤ 8. Determine a func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o: Para 0 ≤ x ≤ 4, o valor de f(x) e´ dado pela func¸a˜o cujo gra´fico esta´ abaixo a` esquerda.
Para 4 < x ≤ 8, o valor de f(x) e´ dado pela func¸a˜o cujo gra´fico esta´ abaixo a` direita.
• Para 0 6 x 6 4, o gra´fico da func¸a˜o e´ uma reta, logo sua expressa˜o e´ dada por f(x) = ax+ b,
onde a e b sera determinado a seguir.
O ponto (0, 5) pertence ao gra´fico, logo, para x = 0, temos y = 5. Assim,
5 = a · 0 + b ∴ b = 5.
O ponto (4, 10) tambe´m pertence ao gra´fico, logo, para x = 4 temos y = 10, Assim,
10 = a · 4 + b ∴ 10 = 4a + 5 ∴ 4a = 5 ∴ a = 54 .
Com isso, para 0 6 x 6 4, temos
f(x) = 54x + 5.
• Para 4 < x 6 8, o gra´fico da func¸a˜o e´ tambe´m uma reta, e sua expressa˜o e´ dada por
f(x) = ax + b, onde a e b sera determinado a seguir.
O ponto (4, 10) pertence ao gra´fico, logo, para x = 4 temos y = 10, Assim,
10 = a · 4 + b ∴ 4a + b = 10.
O ponto (8, 2) pertence ao gra´fico, logo, para x = 8, temos y = 2. Assim,
2 = a · 8 + b ∴ 8a + b = 2.
Com as duas equac¸o˜es acima, vamos determinar a e b, resolvendo o sistema{
4a + b = 10
8a + b = 2
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por −1, obtemos o sistema{ −4a− b = −10
8a + b = 2
e, somando as equac¸o˜es
4a = −8 ∴ a = −2.
Substituindo este valor de a em 4a + b = 10, temos
4(−2) + b = 10 ∴ −8 + b = 10 ∴ b = 18.
Com isso, para 4 < x 6 8, temos
f(x) = −2x + 18.
Assim,
f(x) =
{ 5
4x + 5, se 0 6 x 6 4−2x + 18, se 4 < x 6 8
Questa˜o 3 (1.0 pt) Racionalize
√
30√
2
e diga em que ponto do plano coordenado a Ka´tia esta´
quando o valor da componente x da posic¸a˜o de Ka´tia e´ igual a
√
30√
2
.
Soluc¸a˜o: Racionalizando, temos
√
30√
2
=
√
2 · 15√
2
=
√
2 · √15√
2
=
√
15.
Como 15 < 16, temos
√
15 <
√
16 = 4. Assim,
f
(√
30√
2
)
= f
(√
15
)
===
06
√
15<4
5
4 ·
√
15 + 5 = 5
√
15 + 20
4 .
Questa˜o 4 (0.6 pt) Determine a distaˆncia entre o ponto inicial e o ponto final do trajeto de Ka´tia
Soluc¸a˜o:
d ((0, 5), (8, 2)) =
√
(8− 0)2 + (2− 5)2 =
√
82 + (−3)2 = √64 + 9 = √73.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5, 6, 7 e 8 a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −2P 2 + 10P e Q(P ) = 8P − 12, 1.5 6 P 6 5
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Questa˜o 5 (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$2,00?
Soluc¸a˜o:
D(2) = −2(2)2 + 10 · 2 = −2 · 4 + 20 = −8 + 20 = 12.
Questa˜o 6 (0.8 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 8 milho˜es de unidades?
Soluc¸a˜o: Fazendo D(P ) = 8, temos
D(P ) = 8⇔ −2P 2 + 10P = 8⇔ −2P 2 + 10P − 8 = 0⇔ −P 2 + 5P − 4 = 0⇔
⇔ P = −5±
√
52 − 4(−1)(−4)
2(−1) =
−5±√9
−2 =
−5± 3
−2 ⇔ P = 4 ou P = 1.
Como o P > 1.5, temos apenas P = 4, logo o prec¸o e´ de R$4,00.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
Soluc¸a˜o: O prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P para o qual D(P ) = Q(P ). Assim,
−2P 2 + 10P = 8P − 12⇔ −2P 2 + 2P + 12 = 0⇔ −P 2 + P + 6 = 0⇔
⇔ P = −1±
√
12 − 4(−1)(6)
2(−1) =
−1±√25
−2 =
−1± 5
−2 ⇔ P = −2 ou P = 3.
Como o prec¸o na˜o pode ser negativo (mais ainda, deve estar entre 1.5 e 5), o prec¸o de equil´ıbrio e´
R$3,00.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Determine o prec¸o para o qual a demanda e´ ma´xima e calcule esta demanda.
Soluc¸a˜o: A demanda e´ ma´xima no ve´rtice da para´bola representada pelo gra´fico da func¸a˜o D(P ) =
−2P 2 + 10P . As coordenadas (Pv, Dv) deste ve´rtice sa˜o dadas por
Pv = − b2a = −
10
2(−2) =
10
4 = 2.5
Dv = −∆2a = −
102 − 4(−2)(0)
4(−2) = −
100
−8 = 12.5
Assim, a demanda ma´xima e´ de 12.5 milho˜es de unidades, e ocorre para o prec¸o de R$2,50.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 9 e 10 a seguir.)
Considere que sejam verdadeiras as premissas abaixo:
(i) Se os prec¸os sa˜o altos, enta˜o os sala´rios sa˜o altos.
(ii) Os prec¸os sa˜o altos ou ha´ controle de prec¸os.
(iii) Se houver controle de prec¸os, enta˜o na˜o ha´ inflac¸a˜o.
(iv) Ha´ inflac¸a˜o.
Questa˜o 9 (0.1 pt) Podemos concluir, com base nas premissas acima, que os sala´rios sa˜o altos?
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Soluc¸a˜o: Sim, podemos concluir, como sera´ justificado abaixo.
Questa˜o 10 (0.9 pt) Justifique sua resposta a` questa˜o anterior com argumentac¸a˜o va´lida, isto e´,
fazendo afirmac¸o˜es que decorram logicamente das premissas ou das concluso˜es obtidas na pro´pria
argumentac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Como ha´ inflac¸a˜o, pela contrapositiva da premissa (iii) (“se ha´ inflac¸a˜o, enta˜o na˜o ha´
controle de prec¸os”), podemos concluir que na˜o ha´ controle de prec¸os.
Pela premissa (ii), e´ verdadeira pelo menos uma das afirmac¸o˜es “os prec¸os sa˜o altos”e “ha´ controle
de prec¸os”. Pore´m, acabamos de concluir que na˜o ha´ controle de prec¸os, logo os prec¸os sa˜o altos.
Como os prec¸os sa˜o altos, usando a premissa (i), podemos concluir que os sala´rios sa˜o altos.
Questa˜o 11 (2.0 pt) Uma certa prefeitura realiza suas compras exclusivamente por um portal ofi-
cial de licitac¸o˜es. Esta prefeitura deseja adquirir um determinado produto, e submete uma proposta
com um prec¸o ma´ximo de R$100,00, que esta´ disposta a pagar pelo produto, e aguardara´ por dez
dias respostas de fornecedores interessados. As repostas dos fornecedores devem informar o prec¸o
que cobrara˜o, que deve ser, no ma´ximo, igual a R$100,00.
Pore´m, pode na˜o haver respostas nestes 10 dias. Decorrido este per´ıodo, a prefeitura refara´ a pro-
posta, desta vez aumentando o prec¸o ma´ximo em 10%. Este processo se repetira´ indefinidamente:
a cada 10 dias, caso na˜o haja repostas, a proposta de compra sera´ refeita pela prefeitura, com um
valor 10% maior que o valor anterior.
Um vendedor, ao observar a primeira proposta submetida pela prefeitura, calcula que o prec¸o que
poderia cobrar por um produto e´ de R$ 131,00. Quantas novas submisso˜es da proposta o vendedor
devera´ esperar para oferecer seu produto a este valor, supondo que na˜o aparec¸am interessados antes
disso? Justifique sua resposta, calculando o prec¸o de compra a cada nova submissa˜o da
oferta pela prefeitura.
Soluc¸a˜o: Enquanto o a proposta de prec¸o do governo for menor do que R$131,00, o vendedor
na˜o vai poder oferecer seu produto. Precisamos enta˜o descobrir apo´s quantas novas submisso˜es da
proposta o prec¸o sera´ maior ou igual a R$131,00.
Vamos acompanhar o prec¸o ao longo das submisso˜es da proposta:• Submissa˜o original: R$100,00.
• Primeira nova submissa˜o da proposta: o prec¸o aumenta em 10% da anterior, se tornando
100 + 10% · 100 = 100 + 10 · 100100 = 100 + 10 = 110.
Note que o prec¸o oferecido pela prefeitura nesta submissa˜o, R$110,00, e´ menor do que o que
o vendedor esta´ disposto a cobrar.
• Segunda nova submissa˜o da proposta: o prec¸o aumenta em 10% do anterior (R$110,00)
, se tornando
110 + 10% · 110 = 110 + 10100 · 110 = 110 +
1100
100 = 110 + 11 = 121.
Este prec¸o ainda e´ menor do que o que o vendedor esta´ disposto a cobrar.
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• Terceira nova submissa˜o da proposta: o prec¸o aumenta em 10% do anterior, se tornando
121 + 10% · 121 = 121 + 10100 · 121 = 121 +
1210
100 = 121 +
121
10 = 121 + 12, 1 = 133, 1.
Como R$133,10 e´ maior que R$ 131,00, o vendedor podera´ oferecer seu produto.
Com isso, o vendedor podera´ fazer a oferta desejada na terceira nova submissa˜o (a original mais treˆs
atualizac¸o˜es de prec¸o), caso, claro, a licitac¸a˜o na˜o seja encerrada antes disso.
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