Os papiros da Matemática Egípcia O Papiro de Rhind ou Ahmes

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Os Papiros da Matemática Egípcia 
 
 Quase tudo o que se sabe sobre a Matemática dos antigos egípcios, se 
baseia em dois grandes papiros: o Papiro de Rhind e o Papiro de Moscou. 
Estes são compostos por exposições de problemas e suas resoluções. Foram 
por meio desses papiros que os cientistas compreenderam o sistema de 
numeração egípcia. O tal sistema baseava-se em sete números chave: 1, 10, 
100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Esses números eram representados 
pelos seguintes símbolos: 
 
Um traço vertical representava 1 
unidade: 
 Um osso de calcanhar invertido 
representava o número 10: 
 Um laço valia 100 unidades: 
 Uma flor de lótus valia 1.000: 
 Um dedo dobrado valia 10.000: 
 Com um girino os egípcios 
representavam 100.000 unidades: 
 Uma figura ajoelhada, talvez 
representando um deus, valia 1.000.000: 
 
 
 
 
Segundo o site malhatlantica: 
 
“Uma vez que estes papiros são compostos por problemas e das 
suas resoluções, alguns dos quais elementares, supõe-se que eles 
tinham intenções puramente pedagógicas e que eram basicamente 
destinados ao ensino dos funcionários do estado, os escribas. A 
partir destes temos acesso apenas a uma matemática elementar. 
Não se sabe se os egípcios tinham, ou não, conhecimentos 
matemáticos mais avançados, no entanto os monumentos por eles 
construídos levam a pensar que na realidade os arquitetos eram 
possuidores de conhecimentos não revelados nos papiros.” 
 
 
O Papiro de Rhind 
 
 Em 1855, o advogado e antiquário escocês Alexander Henry Rhind aos 
22 anos, viajou por razões de saúde para o Egito em busca de um clima mais 
ameno, e lá começou a estudar objetos da Antiguidade. Em 1858, na cidade de 
Luxor, comprou um grande papiro que teria sido descoberto nas ruínas de um 
antigo edifício de Tebas. Rhind morreu cinco anos mais tarde (1863) e o seu 
papiro foi adquirido pelo British Museum, Museu Britânico de Londres. Por esse 
motivo o papiro leva seu nome. 
Também é conhecido por Papiro de Ahmes, o escriba egípcio que o 
copiou. 
 
Segundo o site educ.: 
 
“O escriba diz-no que o material deriva de um original do Reino 
Médio, escrito entre 2.000 e 1.800 a.C. (...), e é possível que algum 
do conhecimento tenha vindo do famoso arquiteto e físico Imhotepy 
que supervisionou a construção da pirâmide do Faraó Zozer há cerca 
de 5.000 anos.” 
 
 Segundo Carl Boyer: 
 
“Esse papiro faltava alguns fragmentos, e o egiptólogo americano 
Edwin Smith comprou no Egito o que pensou que fosse um papiro 
médico (...). A aquisição de Smith foi doada à Sociedade Histórica de 
Nova York (Museu do Brooklyn) em 1932, quando os especialistas 
descobriram ser a parte que faltava no Papiro de Ahmes.” 
 
 O papiro, datado a cerca de 1650 a.C., escrito em hierático, da direita 
para a esquerda, tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 0,32 m de 
largura, contém 84 problemas e suas resoluções. 
 
 Segundo Howard Eves: 
 
 “O Papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a Matemática 
egípcia antiga; descreve os métodos de multiplicação e divisão dos 
egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da 
regra de falsa posição, sua solução para o problema da 
determinação da área de um círculo e muitas aplicações da 
matemática a problemas práticos.” 
 
 A primeira parte do papiro parece representar um manual do cálculo 
matemático de regras e questões organizadas para servirem de guia aos 
sacerdotes egípcios, cultores da especialidade. Eis uma lista dos problemas e 
algumas resoluções: 
 
1 a 6 Divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães por 10 homens. 
7 a 20 
Multiplicação de diferentes fracções por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 + 2/3 + 1 /3 
21-23: Subtrações: 1 - (2/3 + 1/15), 1 - (2/3 + 1/30) e 2/3 - (1/4 + 1/8 + 
1/10 + 1/30 + 1/45). 
24 a 29 
Problemas de quantidades, envolvendo equações do 1º grau com uma 
incógnita, resolvidas pelo método da falsa posição. 
30 a 34 
Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados 
(envolvendo frações) e resolvidos pelo método da divisão. 
35 a 38 
Problemas de hekat (medida de capacidade), envolvendo equações do 
1º grau com uma incógnita mas ainda mais complexas que as 
anteriores, resolvidos pelo método da falsa posição. 
39 Divisão de pães. 
40 Divisão de pães envolvendo progressões aritméticas. 
41 a 43 Volumes de contentores cilíndricos de cereais. 
44 a 47 Volumes de contentores paralelepipédicos de cereais. 
47 Tabela das frações de 1 hékat, como frações do olho de Hórus. 
48 a 53 Áreas de triângulos, retângulos, trapézios e círculos. 
54 e 55 Divisão relacionada com área. 
56 a 60 Problemas relacionados com pirâmides (sekeds, alturas e bases) 
61 e 
61B 
Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de números ímpares e frações 
unitárias. 
62 Problema de proporções, sobre metais preciosos e os seu peso. 
63 d 65 Divisão proporcional de pães por um número de homens. 
64 Problema envolvendo uma progressão aritmética. 
66 Divisão de gordura. 
67 Proporção de gado devido a imposto. 
68 Divisão proporcional de cereais entre grupos de homens. 
69 a 78 Problemas de pesus de pão e cerveja. Proporção inversa. 
79 Progressão geométrica de razão 7. 
80 e 81 Tabelas das frações do olho de Hórus. 
82 a 84 
Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de vários 
animais domésticos, como gansos e outras aves. 
 
 
 Segundo Gillings: 
 
“Problemas 24 a 38 
Estes problemas envolvem equações do 1º grau com uma incógnita. Os 
problemas 24 a 29 são resolvidos pelo método da falsa posição, que consiste 
em partindo de um falso valor para a incógnita chegar ao valor correto. O 
resultado do valor incorreto é comparado com o resultado correto e através de 
proporções chega-se à resposta correta. Os problemas 30 a 34 são 
semelhantes aos anteriores, mas mais complicados e são resolvidos pelo 
método da divisão. Os problemas 35 a 38 são problemas ainda mais 
complicados que os anteriores, mas envolvendo medidas de capacidade 
(héqat), são resolvidos pelo método da falsa posição. 
 
Problemas 24 a 30 e final 
dos 21 a 31 
Problemas 34 a 38 e final do 33 
 
Problema 24 
Uma quantidade, 1/7 desta adicionada a esta, fica: 19. 
Solução: 16 + ½ + 1/8 
Problema 25 
A quantidade e a sua ½ adicionadas dão 16. Qual é a quantidade? 
Solução: 10 + 2/3 
Problema 28 
A quantidade e os seus 2/3 são adicionados, e da soma um terço da soma é 
subtraído, e ficam 10. Qual é a quantidade? 
Solução: 9 
Problema 31 
A quantidade, os seus 2/3, a sua ½ e o seu 1/7, adicionadas, dão 33. Qual é a 
quantidade? 
Solução: 14 + ¼ + 1/56 + 1/97 + 1/194 + 1/388 + 1/679 + 1/776 
Problema 32 
A quantidade, a sua 1/3, e a sua 1/4 adicionadas dão 2. Qual é a quantidade? 
Solução: 1 + 1/6 + 1/12 + 1/144 + 1/228 
Problema 33 
A quantidade, os seus 2/3, a sua ½, e a sua 1/7 adicionadas dão 37. Qual é a 
quantidade? 
Solução: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776 
Problemas 40, 64 e 79 
O problema 40 é sobre a divisão de pães e o problema 64 sobre a 
divisão de cevada, ambos envolvem progressões aritméticas. As tabelas 
apresentadas em 79 envolvem a progressão geométrica de razão 7. 
 
Problemas 39 e 40 e final dos 34, 36, 37 e 38 
Problema 40 
100 pães para 5 homens. 1/7 dos 3 homens acima, para os 2 homens abaixo. 
Qual é a diferença das porções recebidas? 
Problema 64 
Exemplo de distribuições diferentes. Se te digo, divide 10 héqats de cevada por 
10 homens, de tal maneira que a diferença entre cada homem e o seu vizinho 
seja em héqats de cereal, 1/8, qual é a parte que cabe a cada homem? 
Problema 79 
Inventário de uma casa 
Coluna 1 Coluna 2 
1 2801 Casas 7 
2 5602 Gatos 49 
3 11204 Ratos 343 
Total 19607 Trigo 2301 
 Héqat 16807Total 19607 
Problema 48 
Compara a área do círculo e do quadrado circunscrito. 
Solução: O círculo de diâmetro 9: 64 setat, o quadrado de lado 9: 81 setat 
 
Problemas 69 a 78 
Estes problemas dizem, todos, respeito a questões sobre o peso. O 
peso é a razão entre o número de pães confeccionados ou o número de jarros 
de cerveja produzidos e o número de héqats de cereal utilizado na sua 
produção. Os egípcios ao produzirem cerveja utilizavam mais cereal do que ao 
produzirem pão, assim a mesma quantidade de cereja produzia mais pães do 
que jarros de cerveja. Os valores de peso de cerveja variavam entre 1 e 4 (de 
acordo com os problemas constantes dos papiros de Rhind e de Moscou) 
enquanto que os do pão variavam entre 5 e 45. 
 
Problemas 71 a 79 e final dos 65 e 67 a70 
 
Problema 69 
3 ½ héqats de farinha são transformados em 80 pães. Descubra a quantidade 
de farinha em cada pão e o peso. 
Solução: 14 ro em cada pão e o peso é 22 + 2/3 + 1/7 + 1/21 
Nota: Há 320 ro em cada héqat. 
Problema 71 
De uma jarra de cerveja se tira ¼ do conteúdo e se troca por água. 
Determinar o novo peso da cerveja, supondo que a cerveja inicial era o produto 
de meio héqat de cereal. 
Solução: 2 + 2/3 
Problema 72 
100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 45. Quantos pães 
deste tipo haverá? 
Solução: 450. 
Problema 73 
100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 15. Quantos pães 
destes tipo é que haverá? 
Solução: 150. 
Problema 74 
1000 pães de peso 5 devem ser trocados por um número de pães de peso 20 e 
pelo mesmo número de pães de peso 30. pães de peso 15. Quantos pães de 
cada tipo é que haverá? 
Solução: 1200. 
Problema 75 
155 pães de peso 20 devem ser trocados por um número de pães de peso 30. 
Quantos pães deste tipo é que haverá? 
Solução: 232 + ½”