Metodo Runge-Kutta

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161 
7.4- Métodos de Runge-Kutta 
 
Neste estudo, continuamos desenvolver métodos que aproximem a solução do P.V.I. da 
forma 
 
î
í
ì
=
=
00 )(
),('
yxy
yxfy
. 
A idéia básica destes métodos é aproveitar as qualidades dos métodos da série de Taylor e 
ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de ( )y,xf que, 
conforme vimos, torna os métodos de série de Taylor computacionalmente ineficientes. 
Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se caracterizam pelas seguintes 
propriedades: 
i.) são de passo um (para calcular iy usamos apenas 1-iy ); 
ii.) não exigem o cálculo de qualquer derivada de ( )y,xf ; no entanto, pagam, por isso, o 
preço de calcular ( )y,xf em vários pontos; 
iii.) após expandir ( )y,xf por Taylor para função de duas variáveis em torno de ( )nn yx , 
e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de 
Taylor de mesma ordem. 
Já vimos que o método de Euler é um método de série de Taylor de 1ª ordem: 
'
1 nnn hyyy +=+ , n=0,1,2,... . 
Então ( )nnnn y,xhfyy +=+1 , n=0,1,2,... e assim o método de Euler satisfaz as propriedades 
acima que o caracteriza como um método de Runge-Kutta de ordem p=11. 
Esse método consiste em se fazer mudanças no método de Euler para se conseguir um 
método baseado na série de Taylor de 2ª ordem, de tal forma que elimine o cálculo de derivadas 
de 2ª ordem. 
Definição 7.4.1: Sejam r um inteiro positivo e números reais ai, bi, bij, para i = 1(1)r
2 e j = 1(1)r. 
 
Denomina-se um método de Runge-Kutta com r estágios, ao método definido por: 
 );,(1 hyxhyy nnnn j+=+ (1) 
onde 
 å
=
=
r
j
jjnn Kbhyx
1
);,(j (2) 
com 
 å
=
++=
r
j
jijnini KbhyhaxfK
1
),( , i = 1(1)r (3) 
e 
 å
=
=
r
j
iji ba
1
 i = 1(1)r (4) 
 Observe que (1) e (2) definem uma classe de métodos de passo um com tamanho h, isto é, 
hxx nn +=+1 e as constantes reais ai, bi, bij identificam o particular método deste tipo. Por serem 
métodos de passo um, o tamanho h (que poderia ser denotado por nh ) pode ser alterado a cada 
passo, o que é uma característica desses métodos. 
 
1 Mais para frente discutiremos com mais detalhes esta afirmação sobre a ordem do método. 
2 A notação i=1(1)r significa que o i varia de 1 até r de um em um. 
 162 
 Observe também que nos Métodos de Runge-Kutta o número r de estágios, identifica o 
número de avaliações da função f que são necessárias a cada passo. 
 De acordo com Butcher (Butcher, 1987) podemos representar os coeficientes de um 
método de Runge-Kutta numa forma mais compacta do seguinte modo: 
 
1a 11b 12b ... rb1 
2a 21b 22b ... rb2 
... ... ... ... ... 
ra 1rb 2rb ... rrb 
 
1b 2b ... rb 
 
a B 
 bt 
 
 Podemos classificar os métodos de Runge-Kutta como: 
Explícitos se 0=ijb para i £ j; 
Implícitos se 0¹ijb para algum i ³ j. 
 
Definição 7.4.2: O método de Runge-Kutta definido por (1) e (2) é consistente com o P.V.I. se 
).,()0;,( nnnn yxfyx =j 
 
Observação: Observe que o método de Runge-Kutta é consistente com o P.V.I. se, e somente se 
1
1
=å
=
r
j
jb . 
Definição 7.4.3: Dizemos que o método de Runge-Kutta );,(1 hyxhyy nnnn j+=+ tem ordem de 
consistência p se p for o maior inteiro tal que: 
)());(,()()( 11
+
+ =--
p
nnnn hOhxyxhxyxy j (5) 
onde )( nxy é a solução exata do P.V.I em x = xn. 
 
 Ilustraremos uma forma de construção deste tipo de método, considerando um método de 
Runge-Kutta explícito com r = p =3, logo com oito parâmetros a serem determinados, ou seja, b1, 
b2, b3, a1, a2, a3, b31, b32 e a partir deste, geraremos alguns métodos de ordens inferiores. Como 
))(,( xyxf é uma função de duas variáveis, denotando nnn fxyxf =))(,( , temos a expressão em 
série de Taylor de ))(,( xyxf no ponto nxx = : 
)(
!3!2
)()( 42
32
1 hOfD
h
Df
h
hfxyxy nnnnn ++++=+ , (8) 
onde )(' nn xyf = , )(" nn xyDf = , )('''
2
nn xyfD = , etc... 
Analogamente, expandindo cada ki definido por (2) para i = 1, 2, 3; obtém-se: 
ffxyxfk nnn === )(,(1 
)())(,](
22
[
))(,]([))(,(
32
2
21
212
2
22
21212122
hOxyxff
b
ffbaf
a
h
xyxffbfahfhkbxyhaxfk
nnyyxyxx
nnyxnnn
+++
+++=++=
 
 163 
)())(,]()(
2
1
][
2
[
))(,]([))(,(
322
323132313
2
32
3213323213133
hOxyxffbbffbbaf
a
h
xyxffbffbfahfhkbhkbxyhaxfk
nnyyxyxx
nnyyxnnn
+++++
++++=+++=
 (9) 
Como 32331 bab -= temos 
xyxyxxyyyyx ffbahffhaf
ha
Ffbahfhbffhbffhafhafk 323
22
3
2
3
322
2
3232333 )(!2
)(
-++++-++= 
).(
!2
!2!2
)(
322
32
2
22
32
2
2
323
222
32
2
2
323
22
3
22
2
3
323
2
hOffb
h
ffbh
ffbahffb
h
ffbahffahff
ha
ffbah
yyyy
yyyyyyyyyyxy
++-
++--++
 
)(]2[
!2
)(
][ 32
2
3
322
2
33 hOfffff
ha
Ffbahfffhafk yyxyxxyyx +++++++= . 
)(
!2
)( 3
2
3
322
2
33 hOG
ha
FfbahFhafk y ++++= . 
 Portanto 
)](
!2
)(
[)](
!2
)(
[),,( 3
2
3
322
2
33
3
2
2
221 hOG
ha
FfbahFhafbhOG
ha
Fhafbfbhyx y +++++++++=f
 )(]2[
!2
][)( 33
2
32323
2
22
2
3322321 hOGbaFfabaGab
h
Fbabahfbbb y ++++++++= 
Portanto 
( ) )(]2)(
!2
][)(,, 323233
2
3
2
22
2
3322321 hOFfabaGbaab
h
Fbabahfbbbhyx y ++++++++=f (10) 
 Por outro lado, a tf do algoritmo de Taylor desenvolvida, chega à: 
)(].[
!32
),,( 3
2
hOFfG
h
F
h
fhyx yt ++++=f (11) 
 Estes métodos são gerados a partir da comparação entre a expansão da série para 
);,( hyx nntf gerada pelo método (10) e ));(,( hxyxtf da solução analítica. 
 
Exemplo 7.4.1: 
Determinar um método de 2 estágios e de ordem máxima. 
Comparando (10) com (11) no desenvolvimento em Taylor, chegamos ao sistema: 
ïî
ï
í
ì
=
=+
2
1
1
22
21
ab
bb
. 
 (*) 
Como temos duas equações e três incógnitas, temos infinitos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 
e dois estágios. 
 
Vejamos algumas soluções: 
q Se r = 1, o método resultante é o método de Euler: 
 nnn hfyy =-+1 (12) 
que tem ordem 1. 
Observação: Com ordem 1 e 1 estágio só existe o método de Euler. 
q Se r = 2 ( 03 =\ c ) 
 164 
)()2(
2
)()(),,( 32222
2
2221 hOfffffab
h
fffahbfbbhyx
G
yyxyxx
F
yxt +++++++=\
444 8444 7648476
f (13) 
Observação: Não conseguimos um método de Runge-Kutta de 2 estágios com ordem 3 a menos 
que se imponha condições sobre a ),( yxf , pois para se ter ordem 3, teríamos mais a seguinte 
condição (além de (*)): 
FfG
a
FfG
a
FfGG
ba
yyy 6
1
)
6
1
4
( 
6
1
6
1
4
 
6
1
6
1
2
2
2
22
2
2 =-Û=-Û+= 
e isso só seria satisfeito se impuséssemos condições sobre f(x, y). 
 
Observação: denotaremos um Método de Runge-Kutta de r estágios e ordem p por RK(r,p). 
 
Exemplo 7.4.2: 
Um método de Runge-Kutta de 2 estágios de ordem 2: 
1. Seja 01 =b 2
1
1 22 ==\ aeb . 
Temos então 22211 ][),,( khbbbhhyxhyy nnnn =+==-+ j . 
Portanto 
)),(
2
,
2
(),
2
( 121 nnnnnnnn yxf
h
y
h
xfkhay
h
xhfyy ++=++=-+ , 
que é o método de Euler modificado. 
2. Seja 
2
1
1 =b . Portanto 2
1
2 =b e 12 =a 
))],(,(),([
21 nnnnnnnn
yxhfyhxfyxf
h
yy +++=-+ , 
que é método de Euler melhorado. 
 
Exemplo 7.4.3: 
Resolva o Problema de valor inicial 
î
í
ì
=
-=
0)0(
' 2
y
yxy
 
pelo método de Euler Modificado usando h = 0,1. Calcular 21 yey . 
Solução: 
O método de Euler Modificadoé dado por: 
 )),(
2
,
2
(1 nnnnnn yxf
h
y
h
xhfyy ++=-+ 
 )),(
2
,
2
( 000001 yxf
h
y
h
xhfyy +++= , 000),( 00 =-=yxf 
 005,0]005,0[1,0)0;05,0(.1,0)0.
2
1,0
0,
2
1,0
(1,00 21 =-==++= ffy 
 )),(
2
,
2
( 111112 yxf
h
y
h
xhfyy +++= 
 099975,0)005,0(1,0),( 211 =-=yxf 
 0199900025,0)0099975,0
2
1,0
005,0;
2
1,0
1,0(1,0005,02 =+++=\ fy 
 
 165 
 Comparando (10) com (11) e considerando a nulidade das expressões que acompanham as 
potências de h até ordem 3, obtemos as condições de ordem, dadas a seguir: 
6
1
3
1
2
1
1
332213
2
32
2
2
3322321
==+
=+=++
bbbbaba
bababbb
 (14) 
 Considerando em (10) 2a e 3a como parâmetros livres, determinamos de maneira única 
os demais parâmetros, obtendo a família de métodos de Runge-Kutta de 3 estágios com ordem 3. 
 Temos portanto 4 equações a 6 incógnitas; atribuindo valores a 2 variáveis determinamos 
as outras 4. Novamente temos infinitos métodos de Runge-Kutta de 3 estágios de ordem 3. 
 Também nesse caso, não conseguimos um método de 3 estágios e de ordem 4 a menos que 
se imponha condições sobre f(x,y). 
 
Exemplo 7.4.4: Seja 
4
1
1 =b ; 02 =b 
 
4
3
4
1
13 =-=\b ; 3
2
2
1
4
3
33 =Þ= aa 
0
4
3
.)
3
2
(
3
1
0. 222 =-=a ; 2a"\ serve. 
Impondo que 
3
1
2 =a temos 
3
2
6
1
4
1
3232 =Þ= bb . 
Temos: 
][),,( 3322111 kbkbkbhhyxhyy nnnn ++==-+ j 
 = ]))[(,(),([ 2321
0
323331 kbkbahyhaxfbyxfbh nnnn +-+++
=
43421 
nn yy -+1 = )]),(
3
1
,
3
(
3
2
,
3
2
(3),([
4 nnnnnnnn
yxfy
h
xfyhxfyxf
h
+++++ 
que é o método de Heun. 
 
Exemplo 7.4.5: 
Considere 
6
1
1 =b e 3
2
2 =b (e portanto 6
1
3
2
6
1
13 =--=b ). 
Temos 
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
Þ
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
3
1
6
1
3
2
2
1
6
1
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
32
2
33
2
22
3322
aa
aa
abab
abab
 
Têm-se que 2332 4334 aaaa -=Þ=+ . 
Assim: 
 0724202162494 2
2
2
2
22
2
2 =+-Þ=+-+ aaaaa . 
 
ïî
ï
í
ì
=
=
=Þ
±
=Þ
-±
=
2
1
40
28
40
1624
20.2
56057624
222 aaa . 
Se 143
2
1
232 =-=Þ= aaa e 21
2
1
6
6
1
32 ==b . 
 166 
 ( )3322111 ),,( kbkbkbhhyxhyy nnnn ++==-+ j 
 [ ])])[,(),(),( 23213233312221 kbkbahyhaxfbkhayhaxfbyxfb nnnnnn +-++++++= 
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
++
+-+++++
=-+
)),(
2
,
2
(2
),(,()),(
2
,
2
(4),(
61
nnnn
nnnnnnnnnn
nn
yxf
h
y
h
xhf
yxhfyhxfyxf
h
y
h
xfyxf
h
yy 
que é o método de Kutta de ordem 3. 
 
Exemplo 7.4.6: 
Considere 32 bb = e 32 aa = . 
Temos 
31 21 bb -= 
3
2
6
1
4
1
6
1
3
1
2
4
1
2
1
2
33
2
33
2
33
3333
=Þ=Þ
ï
î
ï
í
ì
=Þ=
=Þ=
aa
abab
abab
 
3
2
2 =a , 23 8
3
bb == , 
4
1
4
3
11 =-=b e 3
2
3
8
.
2
3
.
6
1
32 ==b 
Assim, o método constituído pelos parâmetros determinados acima é: 
))].,(,(
),()(,()),(,([
2232
3233322211
nnnn
nnnnnnnnnn
yxfhayhaxfb
yxfbahyhaxfbyxfhayhaxfbfbhyy
++
+-++++++=-+
))].,(
3
2
,
3
2
(
3
2
,
3
2
(
8
3
)),(
3
2
,
3
2
(
8
3
4
1
[1 nnnnnnnnnnnn yxf
h
y
h
xf
h
y
h
xfyxf
h
y
h
xffhyy ++++++++=-+
que é o método de Nyströn de ordem 3. 
 
Alguns exemplos de Método de Runge-Kutta de 4 estágios e ordem 4 (RK(4,4)), podem 
ser vistos a seguir: 
))],(
3
,
3
2
(3)),(
3
,
3
(3),([
81 nnnnnnnnnnnn
yxf
h
y
h
xfyxf
h
y
h
xfyxf
h
yy -+++++=-+ 
ou 
)],(,(
)),(
2
,
2
(
2
,
2
(2)),(
2
,
2
(2),([
61
nnnn
nnnnnnnnnnnnnn
yxhfyhxf
yxf
h
y
h
xf
h
y
h
xfyxf
h
y
h
xfyxf
h
yy
+++
++++++++=-+
 
Observações: 
1.Existe uma relação entre o número de estágios e a ordem do método que é a seguinte: 
 
Estágios Ordem 
1, 2, 3, 4 Igual ao número de estágios 
5 4 
6 5 
7 6 
8 6 
9 7 
10, 11, 12, ... 2-£ estágios 
 
 167 
2. Os métodos de ordem 4 são os mais usados. 
 
 A medida que p cresce, o número de condições de ordem aumenta numa razão maior, e 
conseqüentemente o número de equações do sistema a ser resolvido também cresce, tornando a 
obtenção de solução para o sistema mais complexa. Torna-se então interessante utilizar equações 
auxiliares, que substituam com vantagens, algumas das equações auxiliares, denominadas 
condições simplificadoras, que permitem simplificar a obtenção de métodos RK(s,p). 
Enumeraremos estas condições por A(p), B(p), C(p), D(h ) e E(h ,p) e representam o seguinte: 
 
q A(p) se o método tiver ordem de consistência p (11) 
q B(p) se )1(;
1
1
1 pk
k
ab
r
i
k
ii ££=å
=
- (12) 
q C(p) se )1(;
1,
1 pk
k
a
ab
k
i
r
ji
k
jij ££=å
=
- (13) 
q D(h ) se )1;1(;)1(;
1
1
1 h££££-=å
=
- lrjab
l
bab ljjij
r
i
l
ii (14) 
q E( ), ph se )1;1(;
)(
11
1,
1 h££££
+
=-
=
-å krlklkabab
k
jij
r
ii
l
ii (15) 
 
Definição 7.4.4: Denomina-se erro de truncamento local de (1) em x = xn+1 ao valor 
));(,()()( 11 hxyxhxyxyT nnnnn j--= ++ . (16) 
 
Se o método tem ordem de consistência p e f(x, y) é suficientemente diferenciável, 
considerando em (16) a expansão em série de Taylor de )( 1+nxy e ));(,( hxyx nnj , numa 
vizinhança de ))(,( nn xyx , obtemos: 
)());(,( 211
++
+ +=
pp
nnn hOhhxyxT y . (17) 
 
Observações: 
 
1. Pode-se provar que: se y(xn) = yn então 111 )( +++ -= nnn yxyT 
De fato: Temos 
0),,(1 =--+ hyxhyy nnnn j 
111 ),,(),,()()( +++ =+---- nnnnnnnnn Thyxhhyxhyxyyxy jj 
111)( +++ =-\ nnn Tyxy . 
2. O erro de truncamento local na forma assintótica é dado por: 
)())(,( 211
++
+ +=
qq
nnn hOhxyxT j 
onde q é ordem do método. A função ),( yxj é chamada função erro principal e 1))(,( +qnn hxyxj 
é chamado erro de truncamento local principal; que é muito importante pois aumenta a precisão 
em cada passo. 
 
 Calculemos a função erro principal para os métodos de Runge-Kutta nos seguintes casos: 
 
 
 
7.4.1- Método de Euler: r = p =1 
 168 
 
))(,()()()),(,()()( 111 nnnnnnnnn xyxhfxyxyhxyxhxyxyT --=--= +++ j 
 
Desenvolvendo )( 1+nxy em série de Taylor em torno do ponto xn, obtemos: 
)())(,('
!2
)(')()("
!2
)(')( 3
2
3
2
1 hOxyxf
h
xhyxyhOy
h
xhyxyT nnnnnnn +=--+++=+ 
)(][
!2
3
2
1 hOfff
h
T
nxxyxn
++= =+ 
Como fffF yx += , temos que 
)(
2
32
1 hOh
F
Tn +=+ e assim 2
),(
F
yx =f e 2]
2
[ h
F
ETLP = 
 
7.4.2- Método de Euler Melhorado ou Modificado ou Aperfeiçoado: r = p =2 
 
Temos 
 )()),(,()()( 111 +++ =--= nnnnnn xyhxyxhxyxyT f 
 )](
!2
)[()()( 3222
2
22211 hOGab
h
Fahbfbbhxyxy nn ++++--= + 
Como r = 2 e p = 2, temos: 
ïî
ï
í
ì
=
=+
2
1
1
22
21
ab
bb
 
Portanto )](
!22
[)()( 3222
2
11 hOGab
h
F
h
fhxyxyT nnn +++--= ++ . 
Desenvolvendo )( 1+nxy em série de Taylor em torno do ponto nx , obtemos: 
)(
!2
2
))(,([)()()('''
!3
)("
!2
)(')(
32
22
2
4
32
1
hOGab
h
F
h
xyxfhxyhOxy
h
xy
h
xhyxyT
n
n
xx
xxnnnnnnnn
++
+--++++=
=
=+
 
)(
2
][
!3
42
22
33
1 hOGab
h
FfG
h
T
nn xxxxyn
+-+= ==+ 
)(])
4
1
6
1
(
6
1
[)(])
2
1
6
1
(
6
1
[ 432
42
221 hOhGaFfhOGabFfT nn xxyxxyn +-+=+-+= ==+ 
GaFfyx y )4
1
6
1
(
6
1
),( 2-+=fe ETLP = 
3
2 ])4
1
6
1
(
6
1
[ hGaFf y -+ . 
 
Exemplos 7.4.7: 
a) Provar que a e.d.o. axy 2' -= é resolvida exatamente (segundo o ETLP) por um método de 
Runge-Kutta de ordem 2. 
Tem-se que: ETLP = [ 32 ])4
1
6
1
{
6
1
[ hGaFf y -+ . Entretanto 02 =Þ-= yfaxf e 
00.0)2(202 22 =+-+=++= faxfffffG yyxyxx 
.0=\ETLP 
Ou seja, 
))(,()()( 1 nnnn xyxhfxyxy --+ . 
 169 
b) Calcule o ETLP quando o problema de valor inicial 
î
í
ì
=
-=
0)0(
' 2
y
yxy
 é resolvido por: 
b1) Método de Euler; 
b2) Método de Euler Modificado. 
 
Solução: 
b1) 2
2
2
2
))(2(1
}
2
{ h
yxy
h
fff
ETLP yx
--+
=
+
= . 
b2) 32 })4
1
6
1
(
6
1
{ hGaFfETLP y -+= 
Como 
2
1
2 =a , então 
3}
24
1
6
1
{ hGFfETLP y += 
Se )2(2))(2(0).(202 4222222 yxyxyxyxfffffG yyxyxx +--=--+-+=++= 
34223 )}2(
12
1
)221(
6
2
{ hyxyxyxy
y
ETLP +--+--=\ 
 
c) Resolva o P.V.I. 
î
í
ì
=
=
1000)0(
04,0'
y
yy
 pelos Métodos de 
c1) Euler 
c2) Euler-Modificado. 
C3) Runge Kutta. 
(Obs. Solução Exata: xexy 04,01000)( = ) 
 
Solução: 
 
c1) Método de Euler 
nnnnnnnn yhyhyyyxhfyy )04,01()04,0.(),( 11 +=+=Þ+= ++ . 
Portanto 
1000).04,01(1 hy += 
1000.)04,01(1000).04,01)(04,01( 22 hhhy +=++= 
. 
. 
. 
...,,3,2,1,1000.)04,01( =+= khy kk 
 
Para 1=h , temos 
10401000).04,01()1( 1 =+=» yy . 
 
Para 5,0=h , tem-se: 
2)1( yy » e 
4,10401000.)5,0.04,01( 22 =+=y . 
Para 25,0=h , temos: 
4)1( yy = 
e 
 170 
604,10401000.)25,0.04,01( 44 =+=y . 
Para 1,0=h , temos: 
10)1( yy » e 
7277.10401000.)1,0.04,01( 1010 =+=y . 
 
c2) Método de Euler-Modificado( Runge-Kutta de 2aordem): 
))],(,(),([
21 nnnnnnnn
yxhfyhxfyxf
h
yy ++++=+ . 
)].04,0.(04,004,0[
2 nnnn
yhyy
h
y +++= 
nnnnn y
h
hyhyy
h
y )04,0.
2
04,01(].04,0.04,004,0[
2
2
2
2 ++=+++= 
 Análogo ao que vimos para o Método de Euler, 
 1000.)04,0
2
04,01( 2
2
k
k
h
hy ++= 
Para 1=h , temos 
 .8,10401000).04.0.
2
1
04,01()1( 21 =++=» yy 
Para 5,0=h , tem-se: 
 .808,10401000.)04,0.
2
)5,0(
5,0.04,01()1( 22
2
2 =++=» yy 
Para 25,0=h , tem-se: 
 .8101,10401000.))04,0.
2
)25,0(
25,0.04,01()1( 42
2
4 =++=» yy 
Para 1,0=h , tem-se: 
 .8107,10401000.)04,0.
2
)1,0(
1,0.04,01()1( 102
2
10 =++=» yy 
Observação: Dada a resposta exata 8108,1040)1( =y com quatro casas decimais, vemos que, à 
medida que h diminui, cada método obtém uma melhor aproximação e que entre os dois, como era 
de se esperar, o Método de Euler Aperfeiçoado fornece melhores resultados; veja que 1,0=h , 
8107,1040)1( »y , por Euler Aperfeiçoado! 
Observamos que sendo ,00 =x então khhkxxk =+= .0 . 
Por outro lado, a série de Taylor de xe 04,0 , em torno de 0=x é: 
 
...
!3
)04,0(
2
04,004,01
332
204,0 ++++=
xx
xe x 
...
!3
)04,0(
2
04,004,01
332
204,0 ++++=
hh
he h 
Vê-se que tanto kh)04,01( + do método de Euler como k
h
h )
2
04,004,01(
2
2++ do método 
de Euler Aperfeiçoado são aproximações para k
hk xee 04,004,0 = . 
 
 171 
Observação: Como estamos interessados em y(1), ou seja, x =1, então 
h
k
1
= . Assim, é também 
natural, que no método de Euler3, à medida que h diminui, chegamos mais próximos da solução 
pois 
 h
h
he /1
0
04,0 )04,01(lim +=
®
 . 
 
c3) Método de Runge-Kutta de 3a Ordem: h = 1: 
3211 9
4
3
1
9
2
KKKyy nn +++=+ 
nnn yhyxhfK .04,0.),(1 == 401000.04,01 ==Þ K 
 )
2
(04.0.)
2
,
2
( 112
K
yh
K
y
h
xhfK nnn +=++= 8,40)201000.(04,02 =+=Þ K 
 ]
4
3
[04,0.)
4
3
,
4
3
( 223 KyhKyhxhfK nnn +=++= 224,41)8.40.4
3
1000(04,03 =+=Þ K 
 32101 9
4
3
1
9
2
)1( KKKyyy +++=»Þ 8107,1040224.41
9
4
8,40.
3
1
40.
9
2
1000 =+++= . 
 
Exemplo 7.4.8: 
 Dado o P.V.I. 
ïî
ï
í
ì
=
++
+
=
3)0(
)1(
1
2
' 3
y
x
x
y
y obtenha ).2()1( yey 
Solução: A solução exata desta equação é: ])1(5)1[(
2
1
)( 24 +++= xxxy , portanto y(1) = 18 e 
y(2) = 63. 
 Aplicando o método de Runge –Kutta de 4a. ordem, descrito abaixo 
)22(
6
1
43211 KKKKyy nn ++++=+ 
onde 
 ),(1 nn yxhfK = , 
)
2
,
2
( 12
K
y
h
xhfK nn ++= , 
)
2
,
2
( 23
K
y
h
xhfK nn ++= , 
),( 34 kyhxhfK nn ++= , 
obtemos os seguintes resultados: 
 Para h = 0,125: 
k xk yk 
1 0,125 3,964938 
2 0,25 5,126896 
3 0,375 6,513706 
4 0,5 8,1516128 
5 0,625 10,08786 
6 0,75 12,34551 
7 0,875 14,96864 
 
3 Este resultado também vale para o Método de Euler Aperfeiçoado. 
 172 
8 1 17,99972 
9 1,125 21,48418 
10 1,25 25,47034 
11 1,375 30,00947 
12 1,5 35,15578 
13 1,625 40,96639 
14 1,75 47,50137 
15 1,875 54,8237 
16 2,0 62,99929 
 
 
 
 Para h =0,2: 
k xk yk 
1 0,2 4,636539 
2 0,4 6,820251 
3 0,6 9,67593 
4 0,8 13,34757 
5 1,0 17,99838 
6 1,2 23,81075 
7 1,4 30,98627 
8 1,6 39,74576 
9 1,8 50,32921 
10 2,0 62,99581 
 
 
 
7.4.3- Exercícios 
 
7.4.3.1) Fazer os exercícios relativos aos tópicos vistos nos livros: Barroso, L. C. e Ruggiero, 
M.A.G.