Operações de Desconto: Simples e Composto

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Matemática 
Financeira
Ornella Pacifico
Aula 5
Agenda
➢Desconto Simples:
➢Desconto Racional ou “por dentro”;
➢Desconto Comercial ou “por fora”.
➢Desconto Composto:
➢Desconto Racional ou “por dentro”;
➢Desconto Comercial ou “por fora”.
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Operações de Desconto
Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é 
comum o devedor oferecer ao credor um título 
de crédito que comprove esta operação. 
(BRUNI & FAMÁ, 2003)
3
F
o
n
te
: 
A
p
o
s
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 D
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ito
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 R
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a
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 O
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a
4
Pagar hoje
Desconto
É o abatimento que se faz sobre um valor ou 
um título de crédito quando é resgatado antes 
do vencimento.
Dívida a ser paga 
daqui um mês
$ 100 $ 90
5
Desconto = valor nominal – valor atual
6
D = N - A
h
tt
p
:/
/w
w
w
.b
c
b
.g
o
v.
b
r
7
Desconto Simples
É baseado nos conceitos e no ferramental 
matemático desenvolvido no estudo do regime 
de capitalização simples. 
• Desconto racional (ou “por dentro”);
• Desconto bancário (ou comercial ou “por fora”).
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Desconto Racional 
ou “por dentro”
N= A×(1+i×n)
Dr = N - A
Desconto Comercial 
ou “por fora”
Df = N×iD×n
D = N - A
ou
A = N×(1-iD×n)
9
Desconto Simples
Desconto Simples Comercial
ou “por fora”
10
D = N - A
D = N×iD×n
ou
Neste método de desconto, a taxa incide sobre o 
valor nominal (N) do título assim, o valor do desconto 
é maior neste tipo de operação.
A = N ×(1- iD×n)
N = valor nominal da duplicata, valor de 
resgate, valor de face do título, valor futuro;
D = desconto comercial ou “por fora”;
A = valor líquido, valor descontado, valor atual, 
valor presente → é o valor que foi negociado 
antes do vencimento após ter recebido o 
desconto;
iD = taxa de desconto comercial;
n = período.
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Desconto Simples Comercial
ou “por fora”
Exemplo 1:
Uma pessoa deseja antecipar o pagamento de uma 
duplicata com valor nominal de R$ 100,00 um mês 
antes do vencimento à taxa de 10 % ao mês. 
Sabendo que o banco utiliza o desconto comercial 
ou “por fora” simples, calcule o valor do desconto 
e o valor líquido do título.
12
N = $ 100
0
1
Valor atual (A) =?
Taxa de desconto = 10 % a.m.
13
Desconto Simples Racional
ou “por dentro”
N = valor nominal da duplicata, valor de 
resgate, valor de face do título, valor futuro;
Dr = desconto racional ou por dentro;
A = valor atual, valor líquido, valor descontado, 
valor presente → é o valor que foi negociado 
antes do vencimento após ter recebido o 
desconto;
i = taxa de desconto racional;
n = período.
14
Resolução Exemplo 1:
10
110,0100



D
D
niND D
90
10100



A
A
DNA
15
Dr = N – A
N = A ×(1+i×n)
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Desconto Simples Racional
ou “por dentro”
No método conhecido como desconto racional (ou 
“por dentro”), os conceitos e as relações básicas de 
juros simples são utilizados para calcular o desconto 
a partir do capital inicial. ao contrário do desconto 
comercial, o desconto incide sobre o valor inicial e 
não sobre o montante. 
Exemplo 2
(mesmos valores do exemplo 1)
Uma pessoa deseja antecipar o pagamento de 
uma duplicata com valor nominal de R$ 100,00 
um mês antes do vencimento à taxa de 10 % 
ao mês. Sabendo que o banco utiliza o 
desconto racional simples, calcule o valor do 
desconto e o valor líquido do título.
17
N = $ 100
0
1
Valor atual (A) =?
Taxa de desconto = 10 % a.m.
18
Resolução Exemplo 2:
90,90
10,1
100
)10,1(100
)10,01(100
)110,01(100
)1(






A
A
A
A
A
niAN
10,9
90,90100



Dr
Dr
ANDr
19
Resolução Exemplo 2
Outra maneira
90,90
10,1
100
10010,1
10010,0
10,0100
D -NA
A0,10 A de 0%1






A
A
AA
AA
D
10,9
90,90100



Dr
Dr
ANDr
20
Comparação entre os métodos
(exemplo 1 e exemplo 2)
21
Sistema de desconto Valor Líquido Valor do Desconto
Desconto Racional R$ 90,90 R$ 9,10
Desconto Comercial R$ 90,00 R$ 10,00
Desconto Composto
• Segue os critérios da capitalização composta. 
É utilizado principalmente em operações de 
longo prazo
• Desconto racional (ou “por dentro”); 
• Desconto comercial ou “por fora”.
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Desconto Racional 
ou “por dentro”
•
Desconto Comercial 
ou “por fora”
•
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Desconto Composto
Desconto Composto Racional 
ou “por dentro”
 1
n
FV PV i  
D = FV - PV
24
FV = valor futuro → valor nominal da duplicata, 
valor de resgate, valor de face do título;
D = desconto racional ou por dentro;
PV = valor presente → valor líquido, valor 
descontado, valor atual → é o valor que foi 
negociado antes do vencimento após ter 
recebido o desconto;
i = taxa de desconto racional;
n = período.
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Desconto Composto Racional 
ou “por dentro”
Exemplo 3:
Uma empresa possui uma duplicata em seu 
departamento de contas a receber com 
vencimento programado para 120 dias e valor 
nominal igual a R$ 36.000,00. Se a empresa 
descontasse essa duplicata racionalmente a 
uma taxa de juros compostos igual a 5% ao 
mês, qual seria o valor líquido recebido?
26
Resolução Exemplo 3:
29,617.29
215506,1
000.36
215506,1000.36
)05,1(000.36
)05,01(000.36
)1(
4
4






PV
PV
PV
PV
PV
iPVFV n
27
Na HP-12C: (somente o desconto racional 
composto pode ser feito na HP)
f Reg
36.000 CHS FV
4 n
5 i
PV
29.617,28 (resposta visor)
28
Resolução Exemplo 3:
Referências
• Livro Matemática Financeira – Módulo 2.2 -
Administração – Uniseb Interativo
• ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e 
suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 
2002.
• BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática 
Financeira: com HP-12C e Excel. 2. ed. São 
Paulo: Atlas, 2003.
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Matemática 
Financeira
Ornella Pacifico
Atividade 5
Uma empresa concede um desconto (comercial ou
por fora simples) de 2 % ao mês para os clientes 
que antecipam o pagamento de suas duplicatas. 
Um cliente deseja antecipar o pagamento de uma 
título com valor nominal de R$ 33.500,00 com 
vencimento previsto para 75 dias. 
Determine o valor do desconto a ser concedido 
e o valor líquido a ser pago.
31
32
675.1
5,202,0500.33



D
D
niND D
825.31
675.1500.33



A
A
DNA