Relatório Ondas Estacionárias UFS Lab FISICA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA (CCET) 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
RELATÓRIO DO LABORATÓRIO DE FÍSICA 1 
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS 
 
Alunos: RODOLFO FERREIRA MOURA 
RODRIGO VICTOR LIMA SANTOS 
WARLY FARIAS DE SOUZA 
 
Professor: Patresio Alexandre M. do Nascimento 
 
 
 
 
 
São Cristovão - SE 
2017 
EXPERIMENTO SOBRE ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS 
1. Introdução 
Uma onda pode ser longitudinal quando a oscilação ocorre na direção da 
propagação, ou transversal quando a oscilação ocorre na direção perpendicular 
à direção de propagação da onda. Já as ondas estacionárias lembra-se de 
reflexão, interferência e ressonância; são ondas resultantes da superposição 
de duas ondas de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento 
de onda, mesma direção e sentidos opostos.[1] 
A partir de uma corda de comprimento L fixa nas suas extremidades e 
sujeita a determinada tensão, se certo ponto for forçado a vibrar, ligado a um 
gerador de frequência, toda a extensão da mesma irá vibrar. Em certas 
freqüências a amplitude de vibração torna-se máxima e forma onda 
estacionárias na corda, então podemos dizer que o vibrador e a corda estão 
em ressonância. O valor dessas freqüências coincide com as freqüências 
naturais da corda, para um atrito pequeno. Podemos notar que nos pontos 
onde a corda está fixa há formação de nós ditos naturais e como 
conseqüências, apenas alguns comprimentos de onda para as ondas 
estacionárias são possíveis. 
 
Imagem 1: Ondas estacionárias em uma corda fixa nas 
extremidades, podendo observar a formação dos nós. 
O maior comprimento de onda possível na corda é 𝜆1 = 2. 𝐿. Os demais 
comprimentos de onda podem ser calculados pela seguinte fórmula: 𝜆𝑛 =
2𝐿
𝑛
. 
Onde n é um número inteiro que representa o número de ventres da onda 
estacionária. Sabendo-se que 𝑓𝑛. 𝜆𝑛 = 𝑣, onde v é a velocidade da onda na 
corda e depende apenas da tensão T e da densidade linear 𝜇 da corda, pela 
equação teremos: 
𝑓𝑛 =
𝑛
2𝐿
√
𝑇
𝜇
 
Equação 1: Fórmula da frequência de cada corda. 
Para n= 1, teremos a frequência fundamental 𝑓1e para valores de n > 1, 
tem os harmônicos, primeiro, segundo, etc. 
𝑓1 =
1
2𝐿
√
𝑇
𝜇
 
Equação 2: Fórmula da frequência fundamental. 
 E para a frequência harmônica é quando temos mais um ventre e 
percebe-se que as freqüências naturais destes harmônicos são múltiplas de 
sua frequência fundamental de vibração. 
𝑓𝑛 = 𝑛. 𝑓1 
Equação 3: Fórmula da frequência harmônica. 
2. Objetivos 
• Verificar a lei que descreve a ressonância de uma corda tensa sujeita 
a uma força periódica externa; 
• Determinar a frequência natural fundamental; 
• Determinar a frequência natural harmônica; 
• Verificar a dependência destas freqüências com a tração. 
 
3. Materiais e Métodos 
Para realização do experimento foram utilizados os seguintes itens: 
• Haste de ferro; 
• Pinça de mesa; 
• Barbante; 
• Massas diversas; 
• Gerador de ondas; 
• Auto-falante; 
• Multímetro. 
Para conduzir o experimento seguimos os seguintes procedimentos: 
1ª Parte: 
1. Acrescentamos 50g ou 100g ao porta-peso e medimos o comprimento e 
diâmetro da corda e anotamos na tabela; 
2. Partindo da menor frequência, aumentamos lentamente e observamos o que 
acontecia com a corda e identificamos o momento da ressonância; 
3. Medimos durante a ressonância, três vezes a frequência do harmônico 𝑓𝑛; 
4. Aumentamos lentamente a frequência e encontramos mais ventres; 
5. Medimos durante a ressonância, três vezes a frequência do harmônico 𝑓𝑛; 
6. Repetimos o procedimento para até quatro número de ventres. 
 2ª Parte: 
1. Mantivemos o comprimento da corda constante, e usamos quatro diferentes 
valores para a massa no porta-peso e determinamos as freqüências 
fundamentais ou de outros harmônicos, e anotamos os dados na tabela. 
4. Resultados e Discussões 
Com uma determinada massa no porta pesos medimos o comprimento e 
o diâmetro da corda e temos esses valores na tabela abaixo: 
 
Tabela 1: Na tabela acima temos os valores da massa, comprimento 
e diâmetro da corda. 
 
Já no experimento 2 mantivemos o mesmo comprimento e diâmetro e 
utilizamos um n = 2 e a incerteza da massa, observamos os valores na tabela 
abaixo: 
 
Tabela 2: Na tabela acima temos os valores para o experimento 2. 
Para o experimento 1 utiliza-se quatro número de ventres e medimos 
três vezes a frequência (Hz) de cada número de ventre. E os seus respectivos 
valores se encontram na tabela 3. Já para o experimento 2 obtemos as trações 
(N) a partir das massas (Kg) que foram presas no fio de náilon e medimos três 
vezes a frequência (Hz) e seus valores se encontram na tabela 4. O calculo 
para tração é utilizando a seguinte fórmula: 
𝑇 = 𝑚 ⋅ 𝑔 
Equação 4: Fórmula da Tração 
𝑇1 = 0,1105 ∗ 9,8 = 1,089 𝑁 
Cálculo da tração referente à medida 1. 
 
Tabela 3: Na tabela acima temos os valores das medidas das 
freqüências (Hz) e suas médias. 
 
Tabela 4: Na tabela acima temos os valores das massas, trações, as 
freqüências (Hz) e suas médias. 
Subsequente realizamos os cálculos para a média, pois ao se realizar 
um experimento o correto é fazer várias medidas de um mesmo objeto em 
questão para garantir um intervalo mais preciso das medidas, esse valor está 
expresso na tabela 3 para o 1º experimento e na tabela 4 para o 2º 
experimento, e utilizamos a seguinte fórmula: 
 
Equação 5: Fórmula da média aritmética. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 − (𝑯𝒛) = 
31,285 + 31,182 + 31,404
3
= 31,291 
Cálculo da média referente à medida 1. 
E para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor 
médio, utiliza-se o desvio padrão que matematicamente se calcula pela fórmula 
a seguir: 
 
Equação 6: Fórmula do desvio padrão. 
𝐷𝑒𝑠𝑣. 𝑃𝑎𝑑 − 𝝈 (𝑯𝒛) = √
(31,285 − 31,291)2 + (31,182 − 31,291)2 + (31,404 − 31,291)2
3 − 1
= 0,11105 
Cálculo do desvio padrão referente à medida 1. 
E, também realizamos os cálculos para as incertezas do tipo A, B, C. A 
incerteza do tipo A utiliza métodos estatístico que se associa ao valor médio, e 
é estimado pelo desvio padrão da média e se torna mais exato quanto maior for 
o número de medidas envolvidas, a mesma é calculada pela equação 7. Já a 
incerteza do tipo B é a incerteza instrumental que é determinada pela resolução 
do equipamento utilizado para as medições e no nosso experimento será 
0,001Hz. E após a determinação das incertezas A e B é necessário determinar 
o valor da incerteza total associada à grandeza medida e este valor é a 
incerteza C (Incerteza combinada) calculada pela equação 8. Além disso, 
temos a incerteza da tração calculada pela equação 9 e todos os resultados 
estão expostos na tabela 5 para o 1º experimento e na tabela 6 para o 2º 
experimento. 
 
Equação 7: Fórmula da incerteza tipo A. 
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 − 𝝈𝒂(𝑯𝒛) = 
0,111105
√3
= 0,064117 
Cálculo da incerteza tipo A referente à medida 1. 
𝜎𝐵 = 0,001 (Hz) 
Valor da incerteza de B – incerteza instrumental. 
 
Equação 8: Fórmula da incerteza tipo C. 
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 − 𝝈𝒄(𝑯𝒛) = √0,0641172 + 0,001𝟐 = 0,064125 
Cálculo da incerteza tipo C referente à medida 1. 
𝜎𝑇 = 𝜎𝑚 ⋅ 𝑔 
Equação 9: Fórmula da incerteza da tração. 
𝜎𝑇1 = 0,001 ∗ 9,8 = 0,0098 𝑁 
Cálculo da incerteza da tração referente à medida 1. 
 
Tabela 5: Na tabela acima temos os valores das incertezas tipo A,B,C e 
seu resultado a partir da média. 
 
Tabela 6: Na tabela acima temos os valores das incertezas damassa, da 
tração e as do tipo A,B,C e seu resultado a partir da média. 
 A partir de todos os dados expostos pode-se realizar a discussão das 
questões propostas. 
 Para calcular a densidade linear da corda a partir dos dados do 
experimento 1 utilizamos a seguinte fórmula: 
𝜇 = 𝜌 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟2 
Equação 10: Fórmula da densidade linear da corda. 
Onde: 
 𝑟 = 
𝑑
2
 
 𝜌 = 1140 𝑘𝑔/𝑚3 
𝜇 = 1140 ∗ 𝜋 ∗ (1,25𝑥10−4)2 𝜇 = 0,0000559 kg/m³ 
Cálculo da densidade linear da corda do experimento 1. 
 A partir da densidade linear encontrada anteriormente e a tração T da 
corda é possível encontrar a velocidade da onda na corda, a partir da seguinte 
fórmula: 
𝑣 = √
𝑇
𝜇
 → 𝑣 = √
𝑚∗𝑔
𝜇
 
Equação 11: Fórmula da velocidade da onda na corda. 
𝑣 = √
0,1105 ∗ 9,8
0,0000559
= 139,18 𝑚/𝑠 
Cálculo da velocidade da onda na corda do experimento 1. 
 Com os dados obtidos na primeira parte, foi possível construir um gráfico 
da frequência aplicada versus o número de ventres obtidos no fio. 
 
 
Gráfico 1: Gráfico da frequência versus número de ventres. 
Considerando a média das frequências e o número de ventres, 
obtivemos o gráfico acima e percebe-se que a forma do gráfico só poderia ser 
linear, uma vez que os valores de frequência são diretamente proporcionais ao 
número de ventres no fio, conforme uma equação linear do 1º grau. E como 
esta, o valor constante (f1) que multiplica a variável (n) tem o papel de 
coeficiente angular, então o coeficiente angular desse gráfico representa a 
frequência fundamental do fio de nylon, e nesse gráfico o valor do mesmo é 
igual a: 
𝑓1 = 30,47 ± 0,1 𝐻𝑧 
 Ajustando o gráfico se obtém a velocidade da onda em função do gráfico 
que é calculada a partir da seguinte fórmula: 
𝑎 = 
𝑣
2𝐿
 ⇒ 𝑣 = 𝑎 ∗ 2𝐿 
Equação 12: Fórmula da velocidade da onda. 
 𝑣 = 30,4719 ∗ 2 ∗ 2,045 
 𝑣 = 124,63 𝑚/𝑠 
Cálculo da velocidade da onda do experimento 1. 
 A partir de tal resultado conseguimos calcular a propagação de incerteza 
da velocidade linear da onda em função do ajuste do primeiro gráfico utilizando 
a seguinte fórmula: 
𝜎𝑣 = √(
𝜕𝑣
𝜕𝑓𝑛
∗ 𝜎𝑓𝑛) + (
𝜕𝑣
𝜕𝜆𝑛
)
2
 
𝜎𝑣
2 = (2𝐿 ⋅ 𝜎𝑎)
2 + (2𝑎 ⋅ 𝜎𝐿)
2 
Equação 13: Fórmula da propagação da incerteza da velocidade da onda 
do experimento 1. 
𝜎𝑣
2 = (2 ∗ 2,045 ∗ 0,2795)2 + (2 ∗ 30,4719 ∗ 0,005)2 = 1,1830 𝑚/𝑠 
Cálculo da propagação da velocidade linear em função do ajuste do 
gráfico 1 (m/s). 
 Portanto, o resultado da velocidade linear 𝑣𝑓 = 124,6 ± 1,2 𝑚/𝑠. 
 E, também consegue-se calcular a densidade linear da corda em função 
do gráfico acima a partir da seguinte fórmula: 
𝑎 =
1
2𝐿
√
𝑇
𝜇
 ⇒ 𝜇 =
𝑇
(𝑎 ∗ 2𝐿)2
 
Equação 14: Fórmula da densidade linear da corda. 
 𝜇 =
1,0829
(124,63)2
 
𝜇 = 0,0000697 ≅ 0,00007𝑘𝑔/𝑚³ 
Cálculo da densidade linear da corda do experimento 1. 
 Também conseguimos realizar o cálculo da propagação da incerteza da 
densidade linear da corda em função do primeiro gráfico utilizando a seguinte 
fórmula: 
𝜎𝜇𝑓
2 = (
1
(𝑎2𝐿)2
∗ 𝜎𝑇)
2
+ (
𝑇
2𝐿2
∗ (
−2
𝑎3
) 𝜎𝑎)
2
+ (
𝑇
2𝑎2
∗ (
−2
𝐿3
) ⋅ 𝜎𝐿)
2
 
Equação 15: Fórmula da propagação da incerteza da densidade linear da 
corda do experimento 1. 
𝜎𝜇𝑓
2 = (
1
(30,4719 ∗ 2 ∗ 2,045)2
∗ 0,0098)
2
+ (
1,089
2 ∗ 2,0452
∗ (
−2
30,47193
) ∗ 0,2795 )
2
+ (
1,089
2 ∗ 30,47192
∗ (
−2
2,0453
) ∗ 0,005)
2
= 1,466 ∗ 10−6 𝑘𝑔/𝑚3 
Cálculo da propagação da densidade linear da corda em função do ajuste 
do gráfico 1 (kg/m³) 
Portanto, a densidade linear da corda 𝜇𝑓 = 0,00007 ± 1,5 ∗ 10
−6 𝑘𝑔/𝑚³. 
A partir dos dados da velocidade da onda e densidade linear da corda 
pode-se calcular o erro relativo comparando com os valores teóricos obtidos 
anteriormente. A partir da seguinte fórmula: 
𝑒 = (
|𝑥 − 𝑥𝑣|
𝑥𝑣
) ∗ 100% 
Equação 16: Fórmula de erro relativo (%). 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝜺(%) = |
0,0000559 − 0,0000697
0,0000697
| ∗ 100% ≅ 20% 
Cálculo do erro relativo da velocidade do experimento 1. 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝜺(%) = |
139,18 − 124,63
124,63
| ∗ 100% ≅ 12% 
Cálculo do erro relativo da densidade linear do experimento 1. 
Sabendo que erros de até 10% são considerados dentro do esperado, 
concluímos que no experimento 1 erro relativo da velocidade não está dentro 
do limite, e que o da densidade linear se encontra um pouco acima do limite de 
erro, e com base nos erros que obtivemos chega-se a conclusão que o 
experimento não foi perfeitamente bem sucedido, isso pode ter sido 
ocasionado pela dificuldade nas medições, já que o suporte da roldana e o alto 
falante não estavam bem fixos na bancada. Com certeza se não fosse esses 
empecilhos o experimento teria erros abaixo dos 10%. 
 Com os dados obtidos no experimento 2 foi possível construir um gráfico 
da frequência ao quadrado 𝑓𝑛
2 versus a tração na corda T. 
 
Gráfico 2: Gráfico da frequência do quadrado versus a tração na corda. 
 De acordo com esse gráfico é possível notar que está dentro do 
esperado, pois quando a tração (T) é aumentada, espera-se que a frequência² 
(𝑓𝑛
2) também aumente para que o harmônico definido se mantenha constante. 
Essa relação nos dá uma regressão linear nos dizendo que 𝑓𝑛
2 é diretamente 
proporcional a T. Na tabela a seguir temos os valores das freqüências ao 
quadrado e suas respectivas incertezas utilizadas no gráfico acima. 
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎2(𝐻𝑧) = 72,8712 = 5310,231 
𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑛2 − 𝜎𝑐𝑓2(𝐻𝑧) = 2 ∗ 72,871 ∗ 0,031456919 = 45,8 
 
Tabela 7: Frequências ao quadrado e suas incertezas. 
A partir do gráfico conseguimos obter a densidade linear da corda, a 
partir da seguinte fórmula: 
𝜇𝑓2 = (
𝑛
2𝐿
)
2
∗ 
1
𝑎
 
Equação 17: Fórmula da densidade linear da corda em função do gráfico 
2. 
𝜇𝑓² = (
2
2 ∗ 2,045
)
2
∗ 
1
3614,2876
= 0,0000661 𝑘𝑔/𝑚³ 
Cálculo da densidade linear da corda do experimento 2. 
A partir dos dados da densidade linear da corda pode-se calcular o erro 
relativo comparando com os valores teóricos obtidos anteriormente. A partir da 
equação 16. 
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝜺(%) = |
0,0000559 − 0,0000661
0,0000661
| ∗ 100% ≅ 13% 
Cálculo do erro relativo da densidade linear do experimento 2. 
Sabendo que erros de até 10% são considerados dentro do esperado, 
concluímos que no experimento 2 é possível perceber que o erro da densidade 
linear da corda está acima do valor esperado, o que indica erro durante a 
realização do experimento, isso pode ter sido ocasionado pelos mesmos 
motivos citado anteriormente nos erros do experimento 1. 
5. Conclusão 
Concluímos que com a realização deste experimento foi possível ter um 
melhor aprendizado no que se refere ao estudo de ondas estacionárias em 
cordas, permitindo a constatação empírica do que é visto na teoria. 
Portanto, permitiu a comparação entre valores medidos através do 
experimento e valores calculados com as devidas equações, e o percentual do 
erro mostra que os valores obtidos no experimento foram um pouco dispersos, 
pois não está dentro do valor esperado que seria até 10% induzindo a erros 
durante a sua realização. Mas, foi possível constatar as dependências citadas 
ao longo das discussões, e que realmente era esperado como os gráficos nos 
mostra. 
6. Referências Bibliográficas 
[1] Disponível em: < http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfW-
gAC/relatorio-fisica-ondas-estacionarias> Acessadoem: 28/01/2018. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jaerl. Fundamentos de 
física, volume I: mecânica. Tradução e revisão técnica Ronaldo Sergio de 
Biasi. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008 
Disponível em: 
<http://www.euroaktion.com.br/Tabela%20de%20Densidade%20dos%20Ma
teriais.pdf> Acessado em: Fevereiro 2017.