Matrizes e Determinantes

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Matrizes e Determinantes
Elaine Gouveˆa Pimentel
DMAT/UFMG
elaine@@mat.ufmg.br
Maio de 2005
1 Matrizes
1.1 Introduc¸a˜o
Suponhamos que o responsa´vel pelo almoxarifado de uma empresa de produtos
qu´ımicos resolva organizar o seu estoque de reagentes. Para cada reagente con-
tido no almoxarifado e para cada meˆs do ano, ele deve destacar a quantidade
do produto em estoque.
Exerc´ıcio 1 Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produ-
tos, onde os nu´meros entre pareˆnteses indicam a quantidade do reagente em
estoque nos meses de janeiro, fevereiro, marc¸o e abril, respectivamente:
• a´cido clor´ıdrico (23, 10, 17, 32);
• hidro´xido de amoˆnia (42, 13, 44, 27);
• sulfato de alumı´nio (12, 15, 7, 16);
A soluc¸a˜o mais utilizada para este tipo de problema e´ a construc¸a˜o de uma
tabela, onde as linhas podem representar os reagentes e as colunas, os meses.
E´ poss´ıvel simplificar a forma de representar o movimento do estoque na
empresa colocando apenas os respectivos resultados de cada meˆs, ocultando os
nomes de reagentes e meses:

 23 10 17 3242 13 44 27
12 15 7 16


Desta forma, se quisermos saber a quantidade em estoque do produto hidro´xido
de amoˆnia no meˆs de marc¸o, basta procurar o nu´mero que esta´ na segunda
linha e terceira coluna: 44.
Esse tipo de organizac¸a˜o recebe o nome de matriz.1 Formalmente, uma
matriz e´ um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas.
No exemplo acima, a matriz possui treˆs linhas e quatro colunas. Dizemos
que esta e´ uma matriz de ordem (ou tipo) 3x4 (leˆ-se treˆs por quatro).
Em geral, uma matriz de ordem mxn possui m linhas e n colunas.
Exerc´ıcio 2 Uma indu´stria possui 3 fa´bricas: I, II e III, que produzem por meˆs
30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A, e 15, 20 e 10 unidades do
produto B.
a) Formar a matriz fa´bricas x produtos.
b) Escrever o tipo da matriz anterior.
Exerc´ıcio 3 Uma matriz possui 6 elementos. Quais sa˜o as suas poss´ıveis or-
dens?
1Podemos utilizar tambe´m pareˆnteses, ao inve´s de colchetes, na representac¸a˜o de matrizes.
1
1.2 Representac¸a˜o Alge´brica
Comec¸aremos com a notac¸a˜o: utilizaremos sempre letras maiu´sculas para in-
dicar matrizes e letras minu´sculas com ı´ndices para designar seus elementos.
Exerc´ıcio 4 Dada a matriz
 −1
2
3
12 −2
12 1 − 4
5
7
−2 1 −7 116


determinar:
a) O elemento da segunda linha e primeira coluna;
b) O elemento da terceira linha e quarta coluna;
A matriz do exerc´ıcio anterior pode ser escrita como:
A =

 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34


onde o elemento a21 = 12 e o elemento a34 = 116.
Genericamente, uma matriz A, de ordem mxn, pode ser representada por:
A =


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn


Podemos tambe´m escrever:
Definic¸a˜o 1 (Matriz) Uma matriz A e´ dada por
A = (aij)mxn com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
onde o elemento aij e´ o elemento da linha i e da coluna j.
Exerc´ıcio 5 Considere a matriz A:
A =

 5 12 −1
1
2
−5 49 − 34
3
7
65 −22 67
22
32


Responda:
a) Qual e´ a ordem de A?
b) Qual e´ o elemento a34?
c) Quais sa˜o os elementos da segunda linha?
2
Exerc´ıcio 6 a) Escreva a matriz B = (bij)2x4 tal que bij = i + j.
b) Escreva a matriz C = (cij)4x4 tal que
cij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
1.3 Matrizes Quadradas
Se o nu´mero de linhas de uma matriz e´ igual ao seu nu´mero de colunas, trata-se
de uma matriz quadrada e podemos dizer que a sua ordem e´ n, ao inve´s de nxn.
Exerc´ıcio 7 Deˆ um exemplo de uma matriz quadrada de ordem 3.
Os elementos de uma matriz quadrada de ordem n tais que i = j formam
uma diagonal denominada diagonal principal. Ou seja, se A = (aij)nxn, enta˜o a
diagonal principal e´ constitu´ıda pelos elementos aii, 1 ≤ i ≤ n.
Exerc´ıcio 8 Escreva os elementos da diagonal principal da matriz do exerc´ıcio
7
A outra diagonal, qual seja, dos elementos aij tais que i + j = n + 1, e´
chamada diagonal secunda´ria.
Figura 1: Diagonais de uma matriz quadrada
1.3.1 Matriz Diagonal
Observe a matriz A:
A =


1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 − 6
23
0
0 0 0 −1


3
Todos os elementos fora da diagonal principal sa˜o nulos. Este tipo de matriz
e´ chamado matriz diagonal. Formalmente, uma matriz diagonal e´ uma matriz
quadrada A = (aij)nxn, tal que aij ∈ R se i = j e aij = 0, se i 6= j.
Exerc´ıcio 9 Dizer se as matrizes abaixo sa˜o diagonais:
a)
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


b)
B =


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


As matrizes do exerc´ıcio anterior sa˜o especiais: a primeira e´ chamada matriz
nula, que representaremos por 0, e a segunda matriz identidade, representada
por In, onde n e´ a ordem da matriz. A matriz nula pode ter qualquer ordem,
na˜o sendo necessariamente uma matriz quadrada. Ja´ a matriz identidade In
e´ uma matriz diagonal (e portanto quadrada), tal que todos os elementos de
sua diagonal principal possuem valor 1. Voltaremos a falar sobre essas matrizes
mais tarde.
Exerc´ıcio 10 Dada a matriz
A =
[
3 + x x + y
2x + 6 y
]
a) Calcular x e y para que A seja diagonal.
b) Determinar os elementos de A.
R. x = −3 e y = 3.
Exerc´ıcio 11 Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os
elementos da diagonal secunda´ria da matriz B = (bij) de ordem 4, em que
bij = i− j.
R. Zero.
1.4 Matriz Transposta
Se A e´ uma matriz de ordem mxn, denominamos a transposta de A a` matriz de
ordem nxm, obtida a partir de A trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-se
a transposta de A por At.
4
Por exemplo, a matriz transposta de
A =
[
−1 0 2 5
3 1 −9 0
]
e´ At =


−1 3
0 1
2 −9
5 0


Exerc´ıcio 12 Determine At onde
A =
[
4 −2 7
21 5 −89
]
Exerc´ıcio 13 Escrever a matriz transposta de A = (aij)4x3 tal que aij = i− j.
Exerc´ıcio 14 Qual e´ a transposta de uma matriz diagonal? Justifique a sua
resposta.
Exerc´ıcio 15 Dada uma matriz A = (aij)mxn, determine (A
t)t.
1.5 Igualdade de Matrizes
Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq, podemos afirmar que A e B sa˜o
iguais se e somente se:
1. m = p e n = q (ou seja, se elas teˆm a mesma ordem);
2. aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exerc´ıcio 16 Determinar se as seguintes matrizes sa˜o iguais:

 3 80 5
−1 2

 e

 4− 1 5 + 32− 1 5x1
1− 2 4 : 2


Exerc´ıcio 17 Sendo A = (aij)3x2 com aij = i
2−j2 e B =

 4x + y x− yz − w 0
8 3z + w


determine x, y, z e w para que A = B.
R. x = − 3
5
, y = 12
5
, z = 3
4
, w = − 9
4
.
5
1.6 Operac¸o˜es com Matrizes: Adic¸a˜o
Voltemos ao exemplo do exerc´ıcio 1. Suponhamos que a empresa em questa˜o
possua, na verdade, dois almoxarifados, um em cada filial. A quantidade de cada
produto em estoque, em cada almoxarifado, e em cada um dos meses janeiro,
fevereiro, marc¸o e abril respectivamente e´ dada por:
ALMOXARIFADO I:
• a´cido clor´ıdrico (23, 10, 17, 32);
• hidro´xido de amoˆnia (42, 13, 44, 27);
• sulfato de alumı´nio (12, 15, 7, 16);
ALMOXARIFADO II:
• a´cido clor´ıdrico (12, 45, 3, 2);
• hidro´xido de amoˆnia (2, 3, 4, 7);
• sulfato de alumı´nio (15, 10, 17, 25);
Exerc´ıcio 18 Calcule a quantidade total de cada reagente em cada meˆs. Disponha
seus dados em uma matriz. Justifique os seus ca´lculos.
Certamente, para resolver o exerc´ıcio anterior, voceˆ somou os elementos
correspondentes de cada matriz. Na verdade, temos:
Definic¸a˜o 2 (Adic¸a˜o) A adic¸a˜o de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn
e´ a matriz C = (cij)mxn dada por cij = aij + bij, (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).
Observe que podemos somar apenas matrizes que possuem a mesma ordem(por que?).
Exerc´ıcio 19 Defina subtrac¸a˜o de matrizes.
Exerc´ıcio 20 Dada a matriz A =
[
4 3
1 6
]
, determine a matriz B tal que
A + B = A.
Exerc´ıcio 21 Dadas as matrizes A,B e C, calcule a matriz X tal que X +A =
B + C
A =
[
1 2 3
4 1 0
]
B =
[
1 0 −1
3 1 2
]
C =
[
−1 0 3
2 0 1
]
6
1.6.1 Matriz Oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn a matriz (−A) =
(a′ij)mxn cujos elementos sa˜o os sime´tricos dos elementos correspondentes de A,
ou seja, a′ij = −aij .
Desta forma, a subtrac¸a˜o A−B pode ser escrita como A + (−B).
Exerc´ıcio 22 Se A e´ uma matriz de ordem mxn, qual e´ o resultado da soma
A + (−A)?
Exerc´ıcio 23 Invente duas matrizes, A e B, de ordem 4x3, e verifique se A +
B = B + A. Voceˆ acha que o resultado que voceˆ encontrou vale para qualquer
soma de matrizes?
Exerc´ıcio 24 Invente treˆs matrizes, A, B e C, de ordem 3x4, e verifique se
(A+B)+C = A+(B +C). Voceˆ acha que o resultado que voceˆ encontrou vale
para qualquer soma de matrizes?
1.6.2 Propriedades da Adic¸a˜o de Matrizes
Para cada m e cada n, acabamos de definir uma operac¸a˜o bina´ria (ou seja, que
possui dois operandos) sobre o conjunto das matrizes de ordem mxn: a adic¸a˜o.
Chamaremos de Mmxn o conjunto das matrizes de ordem mxn. A operac¸a˜o de
adic¸a˜o possui as seguintes propriedades:
1. (comutativa) Para quaisquer A,B ∈ Mmxn, tem-se A + B = B + A;
2. (associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A + B) + C =
A + (B + C);
3. (elemento neutro) Existe um elemento 0 ∈ Mmxn tal que, para todo A ∈
Mmxn, tem-se A + 0 = A;
4. (elemento oposto) Para todo elemento A ∈ Mmxn, existe um elemento
(−A) ∈ Mmxn tal que A + (−A) = 0.
Exerc´ıcio 25 Voceˆ conhece outros conjuntos munidos de uma operac¸a˜o bina´ria
que possua estas propriedades? Quais sa˜o eles? Existem, para estes conjuntos
e operadores que voceˆ citou, outras propriedades que na˜o foram listadas acima?
1.7 Operac¸o˜es com Matrizes: Multiplicac¸a˜o de nu´mero
real por matriz
Considere a matriz A:
A =
[
4 2
0 1
]
Para se obter A + A + A, escrevemos:[
4 2
0 1
]
+
[
4 2
0 1
]
+
[
4 2
0 1
]
=
[
12 6
0 3
]
7
ou seja,
3.A =
[
3.4 3.2
3.0 3.1
]
=
[
12 6
0 3
]
Generalizando:
Definic¸a˜o 3 (Produto por escalar) O produto k.A, de um nu´mero k por
uma matriz A = (aij)mxn, e´ a matriz B = (bij)mxn, na qual bij = k.aij para
quaisquer 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exerc´ıcio 26 Dadas as matrizes A e B, resolva a equac¸a˜o 2X − (A + B) =
3B + A
A =
[
−3 5
−2 6
]
B =
[
0 4
1 5
]
R. X =
[
−3 13
0 16
]
Exerc´ıcio 27 Sabendo-se que A =
[
4 2
0 1
]
e B =
[
1 0
0 1
]
, obter as ma-
trizes M e N tais que:
{
2M + N = A−B
M + 3N = 2A + B
R. M =
[
0 2
5
0 − 3
5
]
e N =
[
3 6
5
0 6
5
]
Exerc´ıcio 28 Pesquise em um supermercado, em um sacola˜o e em uma mer-
cearia os prec¸os dos seguintes produtos: uma du´zia de ovos, um quilo de laranjas
e um quilo de batatas. Supondo que voceˆ queira formar duas cestas ba´sicas, a
primeira contendo 2 dz. de ovos, 5kg de laranjas e 3 kg de batatas, e a segunda
contendo 6 dz. de ovos, 2 kg de laranjas e 4kg de batatas, estime quanto voceˆ
vai gastar, em cada estabelecimento, para fazer cada uma das cestas ba´sicas.
Traduza os seus ca´lculos para a forma de matrizes.
1.8 Operac¸o˜es com matrizes: Multiplicac¸a˜o
Vamos supor que, no exerc´ıcio anterior, voceˆ tenha encontrado os seguintes
valores:
ovos laranja batata
supermercado 1,50 0,50 0,80
sacola˜o 1,00 0,70 0,80
mercearia 2,00 1,00 1,50
TABELA I: Estabelecimentos por produtos
A composic¸a˜o de cada uma das cestas ba´sicas e´ dada pela seguinte tabela:
8
A B
ovos 2 6
laranja 5 2
batata 3 4
TABELA II: Produtos por cestas
Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento, devemos
construir uma outra tabela, a saber, de estabelecimentos por cestas (esta tabela
contera´ 6 elementos). Para calcular o custo da cesta A no supermercado, basta
multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (prec¸os dos produtos no
supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela
II (quantidade necessa´ria de cada produto), e enta˜o somar os 3 nu´meros encon-
trados:
1, 50.2 + 0, 50.5 + 0, 80.3 = 7, 90
Da mesma forma, para calcularmos o custo da cesta B na mercearia, devemos
somar os treˆs nu´meros obtidos pela multiplicac¸a˜o dos elementos da terceira linha
da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II:
2, 00.6 + 1, 00.2 + 1, 50.4 = 20, 00
Seguindo esse racioc´ınio, obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta
em cada estabelecimento:
A B
supermercado 7,90 1, 50.6 + 0, 50.2 + 0, 80.4 = 10, 20
sacola˜o 1, 00.2 + 0, 70.5 + 0, 80.3 = 7, 90 1, 00.6 + 0, 70.2 + 0, 80.4 = 10, 60
mercearia 2, 00.2 + 1, 00.5 + 1, 50.3 = 13, 50 20,00
TABELA III: Estabelecimentos por cestas
Traduzindo para o vocabula´rio de matrizes, se P e´ a matriz de prec¸os (Tabela
I):
P =

 1, 50 0, 50 0, 801, 00 0, 70 0, 80
2, 00 1, 00 1, 50


e C e´ a matriz de cestas ba´sicas (Tabela II):
C =

 2 65 2
3 4


enta˜o a matriz PC, que representa a matriz de custos (Tabela III), e´ dada por:
PC =

 7, 90 10, 207, 90 10, 60
13, 50 20, 00

 =

 1, 50 0, 50 0, 801, 00 0, 70 0, 80
2, 00 1, 00 1, 50

 .

 2 65 2
3 4


9
ou seja, a matriz PC e´ o produto da matriz P pela matriz C.
Observe que, para calcularmos o elemento pc11, multiplicamos a primeira
linha de P pela primeira columa de C. Da mesma forma, para calcular o
elemento pc32, multiplica-se a terceira linha de P pela segunda coluna de C.
Exerc´ıcio 29 Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, escreva uma
regra para determinar o elemento ckl da matriz C = (cij)mxp, tal que C = A.B.
Exerc´ıcio 30 Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)qxp, qual a relac¸a˜o
que deve existir entre n e q de tal forma que o produto A.B esteja definido?
Justifique a sua resposta.
Exerc´ıcio 31 Dadas as matrizes A =
[
2 −1
4 10
]
e B =
[
0
−1
]
, calcule a
matriz C = A.B.
Genericamente, podemos definir multiplicac¸a˜o de marizes da seguinte forma:
Definic¸a˜o 4 (Produto) Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp,
chama-se produto das matrizes A e B a matriz C = (cij)mxp, na qual cij e´
obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos
elementos da coluna j da matriz B, adicionando-se, em seguida, os produtos
obtidos.
Formalmente, escrevemos C = A.B = (cij)mxp onde cij =
∑n
k=1 aik.bkj . A
notac¸a˜o de somato´rio sera´ vista posteriormente no curso.
Exerc´ıcio 32 Efetue as seguintes multiplicac¸o˜es:
a)

 1 2 14 5 2
7 8 1

 .

 1 02 1
4 1


b)
[
9 7
0 8
]
.
[
1 2 3
4 5 6
]
Exerc´ıcio 33 Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)qxp, quais sa˜o
as relac¸o˜es que devem existir entre m,n, p, q de modo que estejam definidos os
produtos A.B e B.A? Voceˆ acha enta˜o que sempre e´ verdade que A.B = B.A?
Exerc´ıcio 34 Sejam A =
[
2 3
−2 1
]
e B =
[
1 0
2 1
]
. Calcule A.B e B.A.
Que conclusa˜o voceˆ pode tirar?
Como voceˆ deve ter observado, mesmo quando os produtos A.B e B.A de
duas matrizes A e B esta˜o definidos, pode ocorrer que A.B 6= B.A. Ou seja, o
produto de matrizes na˜o possui a propriedade comutativa. Se A e B sa˜o tais
que A.B = B.A, enta˜o dizemos que as matrizes comutam.
10
Exerc´ıcio 35 Verificar se as matrizes A =
[
1 2
3 0
]
e B =
[
6 2
3 5
]
comu-
tam.
Ao contra´rio do produto de matrizes, a multiplicac¸a˜o de nu´meros reais possui
a propriedade comutativa. Existem outras propriedades que a multiplicac¸a˜o de
nu´meros reais possui que na˜ovalem para matrizes. Por exemplo, se a e b
pertencem ao conjunto dos nu´meros reais, enta˜o a.b = 0 se e somente se a = 0
ou b = 0. Isto na˜o ocorre com matrizes, como ilustrado no exerc´ıcio a seguir:
Exerc´ıcio 36 Dadas as matrizes A =
[
2 0
1 0
]
e B =
[
0 0
3 0
]
, calcule A.B.
Desta forma, o produto de duas matrizes pode ser nula mesmo que nenhuma
delas o seja. Outra propriedade da multiplicac¸a˜o de nu´meros reais na˜o satisfeita
pelo produto de matrizes e´ a de cancelamento: se a, b, c ∈ R, a 6= 0, enta˜o
a.b = a.c ⇒ b = c. Contudo, podemos ter A.B = A.C para matrizes A, B, C,
com A na˜o nula, tais que B 6= C.
Exerc´ıcio 37 Sejam A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
1 1
−3 3
]
e C =
[
−5 3
0 2
]
. Cal-
cule A.B e A.C.
Uma propriedade exclusiva de produto de matrizes e´ a seguinte: para todos
A ∈ Mmxn e B ∈ Mnxp, tem-se:
(A.B)t = Bt.At
Exerc´ıcio 38 Verifique que, se A.B esta´ definido, enta˜o Bt.At tambe´m esta´.
Exerc´ıcio 39 Prove que At.(B.C)t = (C.A)t.Bt
Exerc´ıcio 40 Resolva a equac¸a˜o: X.
[
1 2 3
]
=
[
2 4 6
1 2 3
]
.
Exerc´ıcio 41 Determine o valor de x, para que o produto das matrizes A e B
seja a matriz identidade:
A =

 2 0 70 1 0
1 2 1

 B =

 −x −14x 7x0 1 0
x 4x −2x


Exerc´ıcio 42 Calcule o produto A.I3, onde A =

 2 0 70 1 0
1 2 1


Exerc´ıcio 43 Calcule o produto A.I2, onde A =

 a bc d
e f


11
Como voceˆ deve ter percebido, o produto de qualquer matriz A, de ordem
mxn, pela matriz identidade In e´ a pro´pria matriz A. Esta e´ uma propriedade
da multiplicac¸a˜o, chamada existeˆncia do elemento neutro com relac¸a˜o a` mul-
tiplicac¸a˜o. Voceˆ saberia citar outros conjuntos, onde uma operac¸a˜o de multi-
plicac¸a˜o tambe´m esta´ definida, que possuem esta propriedade?
Exerc´ıcio 44 Prove que, se A e B sa˜o matrizes comuta´veis, enta˜o
(A−B)2 = A2 − 2AB + B2
Esta relac¸a˜o e´ verdadeira se A e B na˜o sa˜o comuta´veis? Justifique a sua re-
sposta.
1.8.1 Inversa˜o de matrizes
Outra propriedade da multiplicac¸a˜o de nu´meros reais e´ que, dado a ∈ R, a 6= 0,
existe um u´nico nu´mero b, tambe´m diferente de zero, tal que:
a.b = b.a = 1
Neste caso, temos a notac¸a˜o b = 1
a
= a−1.
Como vimos na sec¸a˜o anterior, a matriz identidade I parece ter um papel
semelhante ao nu´mero 1 nos nu´meros reais. Seria de se esperar, portanto, que
dada uma matriz A, exista uma matriz B tal que A.B = B.A = I, onde I e´
a matriz identidade. Entretanto, no caso de matrizes, esta propriedade na˜o e´
sempre va´lida. Em primeiro lugar, note que para existir uma matriz B tal que
A.B = B.A = I, a matriz A deve ser quadrada. (por que?). Em segundo lugar,
existem matrizes quadradas que na˜o possuem inversa.
Como exemplo, vamos tentar determinar a inversa da matriz A =
[
1 2
0 0
]
.
Devemos encontrar uma matriz B, de ordem 2, tal que A.B = I2, onde I2 e´ a
matriz identidade de ordem 2. Escrevendo B =
[
a b
c d
]
, devemos ter
[
1 2
0 0
]
.
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒
[
a + 2c b + 2d
0 0
]
=
[
1 0
0 1
]
Esta equac¸a˜o na˜o pode ser resolvida, pois implicaria 0 = 1 (pela igualdade
dos elementos da segunda linha e segunda coluna das matrizes envolvidas na
igualdade). Logo, a matriz A na˜o possui inversa. Temos enta˜o a seguinte
definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 5 Se existe uma matriz B tal que A.B = B.A = In, onde n e´ a
ordem da matriz A, dizemos que A e´ invers´ıvel e que B e´ a inversa de A.
Indicamos B = A−1. Se a matriz na˜o e´ invers´ıvel, ela e´ dita singular.
Exerc´ıcio 45 Determine (caso seja poss´ıvel) a inversa das matrizes:
12
a)
[
3 4
1 0
]
b)
[
1 0
3 0
]
c)

 1 0 01 3 1
1 2 0


Exerc´ıcio 46 Dadas A =
[
3 0
0 −2
]
, P =
[
2 −1
3 5
]
e B = 1
13
[
a 10
75 b
]
,
determine os valores de a e b, tais que B = P.A.P−1.
1.8.2 Ane´is
Como vimos, o conjunto das matrizes Mmxn possui duas operac¸o˜es associadas a
ele, a adic¸a˜o (+) e a multiplicac¸a˜o (.), que possuem as seguintes propriedades:
A1 (a adic¸a˜o e´ comutativa) Para quaisquer A,B ∈ Mmxn, tem-se A+B =
B + A.
A2 (a adic¸a˜o e´ associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A +
B) + C = A + (B + C).
A3 (existe um elemento neutro para a adic¸a˜o) Existe um elemento
0 ∈ Mmxn tal que, para todo A ∈ Mmxn, tem-se A + 0 = A.
A4 (todo elemento possui um oposto) Para todo elemento A ∈ Mmxn,
existe um elemento (−A) ∈ Mmxn tal que A + (−A) = 0.
M1 (a multiplicac¸a˜o e´ associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-
se (A.B).C = A.(B.C).
M2 (existe um elemento neutro para a multiplicac¸a˜o) Existe um ele-
mento In ∈ Mn tal que A.In = A, para todo elemento A ∈ Mmxn.
AM (a multiplicac¸a˜o e´ distributiva com relac¸a˜o a` adic¸a˜o) Para quais-
quer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se A.(B + C) = A.B + A.C e (B + C).A =
B.A + C.A).
Conjuntos na˜o vazios, juntamente com duas operac¸o˜es satisfazendo as pro-
priedades acima, sa˜o chamados ane´is. Vimos enta˜o que o conjunto Mmxn, das
matrizes de ordem mxn, juntamente com as operac¸o˜es (+) e (.) e´ um anel, assim
como o conjunto dos nu´meros inteiros. Este u´ltimo, ale´m das propriedades A1
ate´ AM, possui tambe´m a propriedade de comutatividade da multiplicac¸a˜o. Por
isso, o anel dos inteiros e´ dito comutativo. O conjunto dos nu´meros racionais
possui uma propriedade a mais: todo elemento na˜o nulo possui um inverso mul-
tiplicativo. Tais conjuntos sa˜o chamados corpos, e sera˜o descritos mais adiante
no curso.
13
2 Determinantes
A toda matriz quadrada de orden n, associaremos um nu´mero real segundo uma
determinada lei, ou seja, definiremos uma func¸a˜o
det : Mn → R
do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, Mn, no conjunto dos nu´meros
reais. Chamaremos esta func¸a˜o de determinante.
Comec¸aremos com uma matriz de ordem 1, A = [a11]. Neste caso, definimos
o determinante de A da seguinte forma:
detA = |A| = a11
ou seja, o determinante de uma matriz que conte´m apenas um elemento e´ o
pro´prio elemento.
A fim de definir o determinante de uma matriz de ordem 2, vamos considerar
o seguinte problema:
Dados A =
[
4 3
2 5
]
, X =
[
x
y
]
e B =
[
11
9
]
, determinar x e y de modo
que A.X = B. Resolvendo,[
4 3
2 5
]
.
[
x
y
]
=
[
11
9
]
⇒
[
4x + 3y
2x + 5y
]
=
[
11
9
]
Pela igualdade de matrizes, obtemos o sistema
{
4x + 3y = 11
2x + 5y = 9
Resolvendo pelo me´todo da adic¸a˜o, temos:{
4x + 3y = 11 (x 5)
2x + 5y = 9 (x (−3))
⇒
{
4x + 3y = 11
20x− 6x = 28
⇒ x(20−6) = 28 ⇒ x =
28
20− 6
ou seja,
x =
28
(4.5)− (2.3)
Resolvendo agora para y, da mesma maneira,{
4x + 3y = 11 (x (−2))
2x + 5y = 9 (x 4)
⇒
{
4x + 3y = 11
20y − 6y = 14
⇒ y(20−6) = 14 ⇒ y =
14
20− 6
ou seja,
y =
14
(4.5)− (2.3)
Notamos que a expressa˜o (4.5)−(2.3) e´ o denominador comum das expresso˜es
que nos permite calcular o valor de x e de y. Ao mesmo tempo, observamos que
esse nu´mero esta´ associado aos termos da matriz
[
4 3
2 5
]
. Mais precisamente,
e´ a diferenc¸a entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto
dos elementos da diagonal secunda´ria. Este nu´mero e´ chamado de determinante.
Em geral,
14
Definic¸a˜o 6 Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chama-se
determinante da matriz A o nu´mero real obtido pela diferenc¸a
a11.a22 − a12.a21
Indica-se detA = |A| =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11.a22 − a12.a21
Exerc´ıcio 47 Calcular os seguintes determinantes:
a)
∣∣∣∣ −5 −23 −1
∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣ 5 02 0
∣∣∣∣
Exerc´ıcio 48 Resolva as equac¸o˜es:
a)
∣∣∣∣ x x + 25 7
∣∣∣∣ = 0
b)
∣∣∣∣ x x5 x
∣∣∣∣ = 0
Exerc´ıcio 49 Dada a matriz A =[
2 4
1 3
]
, calcule:
a) detA
b) detA2
c) detA−1
2.1 Menor complementar
Considere uma matriz A, de ordem 3:
A =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33


O menor complementar Dij , relativo ao elemento aij , e´ o determinante da matriz
quadrada, de ordem 2, que se obte´m de A retirando-se a linha i e a coluna j.
Por exemplo,
D12 =
∣∣∣∣∣∣
− − −
a21 − a23
a31 − a33
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ = a21.a33 − a31.a23
15
Exerc´ıcio 50 Dada a matriz A =

 2 −1 30 1 4
5 −2 1

, calcule D11, D12, D13, D21, D32.
R. 9,−20,−5, 5, 8
2.2 Cofator
Dada a matriz A = (aij)3, o cofator de aij e´ o nu´mero Aij que se obte´m
multiplicando-se (−1)i+j pelo menor complementar de aij . Ou seja,
Aij = (−1)
i+j .Dij
Desta forma, para o exerc´ıcio 50, temos:
A11 = (−1)
1+1.D11 = (−1)
2.9 = 9
A12 = (−1)
1+2.D12 = (−1)
3.− 20 = 20
Exerc´ıcio 51 Calcule A13, A21, A32, onde A e´ a matriz do exerc´ıcio anterior.
Exerc´ıcio 52 Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3 dada por aij = i+j.
Calcule A32.
R. 2
2.3 Determinante de matrizes quadradas de qualquer or-
dem
Vamos comec¸ar com matrizes de ordem 3. Considerando a matriz
A =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33


definimos o determinante de A como:
detA = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13
isto e´, a soma dos nu´meros que se obte´m da multiplicac¸a˜o de cada termo da
primeira linha pelo seu respectivo cofator.
Por exemplo, dada a matriz A =

 1 3 2−1 2 1
3 2 2

, temos:
A11 = (−1)
1+1
∣∣∣∣ 2 12 2
∣∣∣∣ = 1.(4− 2) = 2
A12 = (−1)
1+2
∣∣∣∣ −1 13 2
∣∣∣∣ = (−1).(−2− 3) = 5
A13 = (−1)
1+3
∣∣∣∣ −1 23 2
∣∣∣∣ = 1.(−2− 6) = −8
16
Logo, detA =11 .A11 + a12.A12 + a13.A13 = 1.2 + 3.5 + 2.(−8) = 1
Exerc´ıcio 53 Calcule:
a) A =
∣∣∣∣∣∣
2 5 1
−1 1 2
3 −1 1
∣∣∣∣∣∣
b) A =
∣∣∣∣∣∣
1 4 3
0 0 0
−1 2 1
∣∣∣∣∣∣
c) A =
∣∣∣∣∣∣
0 3 2
1 0 1
1 2 0
∣∣∣∣∣∣
R. a) 39 b) 0 c) 7
Para uma matriz quadrada de ordem n:
A =


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . .
an1 an2 . . . ann


definimos o determinante de A como:
detA = a11.A11 + a12.A12 + . . . + a1n.A1n
isto e´, a soma dos nu´meros que se obte´m da multiplicac¸a˜o de cada termo da
primeira linha pelo seu respectivo cofator. Observe que agora cada cofator
envolve o determinante de matrizes de ordem n − 1. Como exemplo, vamos
calcular o determinante da seguinte matriz:
A =


1 0 0 0
2 3 −1 1
4 2 2 2
1 1 3 −1


Temos:
detA = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 + a14.A14
= 1.(−1)2.
∣∣∣∣∣∣
3 −1 1
2 2 2
1 3 −1
∣∣∣∣∣∣ + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14
= 3.(−1)2.
∣∣∣∣ 2 23 −1
∣∣∣∣ + (−1).(−1)3.
∣∣∣∣ 2 21 −1
∣∣∣∣ + 1.(−1)4.
∣∣∣∣ 2 21 3
∣∣∣∣
= 3.(−8) + 1.(−4) + 1.4 = −24
17
Exerc´ıcio 54 Calcule, para a matriz A do exemplo anterior, o nu´mero:
a11.A11 + a21.A21 + a31.A31 + a41.A41
Qual a relac¸a˜o entre o nu´mero encontrado e o determinante de A? O que este
resultado sugere?
Na verdade, a sugesta˜o do exerc´ıcio anterior e´ um fato: pode ser provado que
o determinante de uma matriz pode ser desenvolvido por qualquer linha ou
coluna. Isto e´:
Definic¸a˜o 7 O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, e´ igual
a` soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus
respectivos cofatores.
Assim, o determinante de uma matriz A pode ser calculado das seguintes formas:
• 1a Forma: Fixando a linha i
detA = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + . . . + ain.Ain
• 2a Forma: Fixando a coluna j
detA = a1j .A1j + a2j .A2j + . . . + anj .Anj
Em geral, escolhe-se a fila (linha ou coluna) que possuir o maior nu´mero de
zeros para desenvolver o determinante (por que?).
Exerc´ıcio 55 Calcule os determinantes:
a) A =


1 3 2 4
1 0 −3 2
2 0 −1 1
5 0 3 2


b) A =


1 0 1 0
1 2 −2 1
0 0 0 0
7 0 2 0


R. a) -42; b) 0
2.4 Regra de Sarrus
Podemos obter o determinante de uma matriz de ordem 3 utilizando uma regra
pra´tica muito simples, chamada Regra de Sarrus.
Considere a matriz A =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

. Em primeiro lugar, vamos
repetir as duas primeiras colunas de A a` direita da matriz:
 a11 a12 a13 | a11 a12a21 a22 a23 | a21 a22
a31 a32 a33 | a31 a32


18
Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os
elementos das duas diagonais paralelas a` principal, somando os resultados:

 a11 a12 a13 | a11 a12a21 a22 a23 | a21 a22
a31 a32 a33 | a31 a32

 a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
Multiplicamos agora os elementos da diagonal secunda´ria e as diagonais
paralelas a ela, somando os resultados:

 a11 a12 a13 | a11 a12a21 a22 a23 | a21 a22
a31 a32 a33 | a31 a32

 a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33
Por fim, subtra´ımos o primeiro nu´mero encontrado pelo u´ltimo, obtendo:
detA = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32−(a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)
Exerc´ıcio 56 Calcule:
a)
∣∣∣∣∣∣
−1 2 3
0 1 4
−2 −3 5
∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 1
−1 2 1 3
2 0 4 1
5 1 2 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
R. a) -27; b) -19
Exerc´ıcio 57 Resolver a equac¸a˜o:∣∣∣∣∣∣
x x x
x x 4
x 4 4
∣∣∣∣∣∣ = 0
R. {0,4}
2.5 Propriedades dos determinantes
Exerc´ıcio 58 Calcule o determinante das matrizes I2, I3 e I4. Qual e´ o valor
do determinante de In, para qualquer n ≥ 1? Voceˆ consegue provar este resul-
tado?
Exerc´ıcio 59 Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, qual e´
o valor do seu determinante? Prove a sua afirmac¸a˜o.
19
Exerc´ıcio 60 Calcule o determinante das matrizes
A =

 1 2 32 7 5
1 2 3

 e B =

 1 2 32 4 6
0 −1 9


O que estas matrizes teˆm de peculiar?
Exerc´ıcio 61 Prove que detA = detAt
Exerc´ıcio 62 Calcule os determinantes:∣∣∣∣∣∣
1 2 3
1 −1 2
2 3 0
∣∣∣∣∣∣ e
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
2 3 0
1 −1 2
∣∣∣∣∣∣
Qual a relac¸a˜o entre as duas matrizes? Qual a relac¸a˜o entre os seus determi-
nantes?
Exerc´ıcio 63 Calcule os determinantes:
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
0 7 5
0 0 3
∣∣∣∣∣∣ e
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 −1 8
0 4 6 −8
0 0 9 2
0 0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
Que concluso˜es voceˆ pode tirar?
Nos exerc´ıcios 58 a 63 voceˆ deduziu algumas propriedades dos determinantes
de matrizes. Veremos agora estas propriedades de maneira formal.
A mais importante delas e´ a que deu origem a` definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de
matrizes:
Propriedade 1 det (A.B) = detA.detB
Exerc´ıcio 64 Prove que det (An) = (detA)n (use induc¸a˜o em n).
No exerc´ıcio 59, voceˆ provou a seguinte propriedade:
Propriedade 2 Se uma matriz quadrada possui uma fila (linha ou coluna)
nula, seu determinante e´ zero.
O exerc´ıcio 60 e´ um exemplo da seguinte proposic¸a˜o:
Propriedade 3 Se uma matriz possui duas linhas (ou duas colunas) propor-
cionais, seu determinante sera´ igual a zero.
O exerc´ıcio 62 ilustra a proposic¸a˜o:
Propriedade 4 Se trocarmos de posic¸a˜o entre si duas linhas (ou duas colunas)
de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz e´ o determinante da
matriz original com o sinal invertido.
20
Exerc´ıcio 65 Seja A uma matriz de ordem n. Calcule o determinante da ma-
triz B, obtida a partir de A pela troca de 2 filas entre si m vezes.
No exerc´ıcio 61 voceˆ provou a seguinte proposic¸a˜o:
Propriedade 5 O determinante de uma matriz quadrada e´ igual ao determi-
nante de sua transposta.
Os exerc´ıcios 58 e 63 referem-se a` seguinte propriedade:
Propriedade 6 Se os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo
lado da diagonal principal forem todos nulos, o determinante da matriz sera´
igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exerc´ıcio 66 Prove a propriedade 6 por induc¸a˜o na ordem da matriz.
Exerc´ıcio 67 Calcule os determinantes:∣∣∣∣∣∣
1 2 3
−1 7 5
2 0 3
∣∣∣∣∣∣ e
∣∣∣∣∣∣1 2 3
−2 14 10
2 0 3
∣∣∣∣∣∣
Qual a relac¸a˜o entre essas duas matrizes? E entre os seus determinantes?
Em geral, temos:
Propriedade 7 Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou uma
coluna) por um nu´mero real k, o determinante da nova matriz e´ o determinante
da matriz original multiplicado por k.
Exerc´ıcio 68 Prove que, se A e´ uma matriz de ordem n e k ∈ R, enta˜o
det (k.A) = kn.detA.
Propriedade 8 (Teorema de Jacobi) Se somarmos a uma linha (ou col-
una) de uma matriz quadrada uma outra linha (ou coluna) multiplicada por
um nu´mero qualquer, o determinante da matriz na˜o se altera.
Por exemplo, dada a matriz A =
[
1 2
3 4
]
, o seu determinante e´ −2. Sub-
stituindo a 2a linha de A pela soma desta linha com o produto da 1a linha por
−3 obteremos:
B =
[
1 2
0 −2
]
e detB = −2 = detA
Exerc´ıcio 69 Mostre, sem desenvolver, que o determinante D =
∣∣∣∣∣∣
1 0 3
2 4 3
3 6 6
∣∣∣∣∣∣
e´ mu´ltiplo de 6.
21
Exerc´ıcio 70 Podemos utilizar a propriedade 8 para facilitar as contas no
ca´lculo do determinante. Vamos ilustrar esta afirmac¸a˜o com o seguinte ex-
emplo: Seja A =


1 1 1 1
1 1 + a 1 1
1 1 1 + b 1
1 1 1 1 + c

.
1. Escalone a matriz A, de modo a obter uma matriz B cujos elementos abaixo
da diagonal principal sa˜o nulos.
2. Justifique por que detA = detB.
3. Utilizando a propriedade 6, calcule o determinante de B.
Exerc´ıcio 71 Demonstrar, sem desenvolver, que o determinante D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c
∣∣∣∣∣∣∣∣
e´ nulo, sabendo-se que a + b + c + d = 0.
Exerc´ıcio 72 Sabendo-se que A e B sa˜o matrizes de ordem 3, detB 6= 0 e que
A.B = 4B, calcular detA.
R. 64
Exerc´ıcio 73 O determinante de uma matriz A e´ 36. Qual o valor do de-
terminante de uma matriz B, formada a partir de A atrave´s da multiplicac¸a˜o
da primeira linha de A por 2 e pela divisa˜o da primeira coluna de A por 9?
Justifique a sua resposta.
Exerc´ıcio 74 Prove que, se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o
det (A−1) =
1
detA
Observe que voceˆ acaba de provar (exerc´ıcio 74) que se uma matriz e´ invers´ıvel,
enta˜o o seu determinante e´ na˜o nulo. Na verdade, a rec´ıproca tambe´m e´ ver-
dadeira ou seja, se o determinante de uma matriz e´ diferente de zero, enta˜o a
matriz e´ invers´ıvel.
22