Movimento Oscilatorio 1

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1Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
CapCapíítulo 6 tulo 6 -- Movimento OscilatMovimento Oscilatóóriorio
? Oscilações de um barco nas ondas
? Oscilações do pêndulo de um relógio
? Vibrações das partículas da corda de um violino
? Vibrações das moléculas do ar, quando o som se propaga
? Movimentos microscópicos dos átomos num sólido, em torno 
das suas posições de equilíbrio
Acontece quando um sistema em equilíbrio estável é perturbado 
(mas não “demasiado”)
?
O sistema oscila quando se move periodicamente em torno da 
sua posição de equilíbrio.
OscilaOscilaççãoão
2Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaççõesões
No “mundo real” as oscilações são 
amortecidas - o sistema que oscila 
transfere energia para o meio em 
redor. Embora seja impossível 
evitar que o sistema “perca”
energia para o exterior, pode-se 
compensar esse efeito fornecendo 
energia ao sistema. 
Na figura, as crianças conseguem 
manter o movimento com a mesma 
amplitude à custa da sua própria 
energia bioquímica.
3Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Uma oscilaUma oscilaçção especial ão especial -- Movimento HarmMovimento Harmóónico Simples (MHS)nico Simples (MHS)
O estudo de um movimento pode ser feito de duas 
diferentes perspectivas: 
?Estabelecer as “leis do movimento” partindo da 
observação e depois tentar perceber porque é que as 
características do movimento são as que são. 
?Ver primeiro quais são as forças aplicadas ao sistema e 
a partir da segunda lei de Newton estabelecer as leis 
do movimento. Depois devemos verificar se o movimento 
está de acordo com o que foi previsto. 
4Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
CaracterCaracteríísticas do movimento harmsticas do movimento harmóónico simplesnico simples
Seguindo a 1Seguindo a 1ªª opopçção ão -- vamos observar o movimento:vamos observar o movimento:
O corpo oscila em torno da 
posição de equilíbrio
O corpo vai oscilar entre 
duas posições extremas, 
igualmente espaçadas em 
relação à posição de 
equilíbrio
AmplitudeAmplitude
EquilEquilííbrio brio ⇒⇒ x = 0x = 0
O movimento é periódico
O número de oscilações por 
segundo é constante
PerPerííodoodo
FrequênciaFrequência
5Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Verifique que as posições, x(t) correspondentes 
aos instantes t =T, t =2T, t = 3T, …. são todas iguais .
Verifique que ω = 2π/T.
período (Τ)
PosiPosiçção em funão em funçção do tempo ão do tempo 
A variação da posição em função do tempo segue uma 
lei do tipo sinusoidal. Pode ser descrita por:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ φ+⋅π= 02 tTAsen)t(x
x(t) varia entre:
AA (quando o sen =1) 
--AA (quando o sen =-1)
amplitude
Se t = 0 ⇒ x(t=0) = A sen φ0, 
onde φ0 indica a posição em que 
o corpo inicia o movimento
fase inicial (φ0)
éé uma boa soluuma boa soluçção!ão!
6Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
PosiPosiçção em funão em funçção do tempo ão do tempo 
Qualquer movimento que se repita a si próprio, a intervalos regulares diz-se que 
é um movimento periódico ou harmónico. Se no movimento periódico a posição da 
partícula é descrita por uma expressão do tipo: 
diz-se que o movimento é harmharmóónico simplesnico simples (MHS)(MHS)..
Movimento harmMovimento harmóónico Simplesnico Simples
)tsin(A)t(x 0φω +=
7Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Velocidade e aceleraVelocidade e aceleraçção em funão em funçção do tempo ão do tempo 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅= 02 φπ tTAsen)t(x
PosiPosiçção:ão:
)t(x)t(a
)t
T
(Asen)t(a
dt
dv)t(a
⋅−=
+−=
=
2
0
2 2
ω
φπω
AceleraAceleraçção:ão:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅=
=
0
22 φππ t
T
cosA
T
)t(v
dt
dx)t(v
x
t
a
v t
t
Velocidade:Velocidade:
T
πω 2=
8Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Que forQue forçças provocam o movimento harmas provocam o movimento harmóónico ? nico ? 
Como se pode prever a posição, a velocidade, a aceleração conhecendo 
as características do oscilador? É necessário estudar as foras forçças as 
responsresponsááveis pelo movimentoveis pelo movimento.
A relação entre as forças aplicadas a um corpo e a aceleração do corpo 
é estabelecida pela 2ª lei de Newton. Conhecendo a aceleração é depois 
fácil estabelecer as leis da posição e da velocidade em função do 
tempo.
O “tratamento” da 2ª lei de Newton para obter a relação entre o 
oscilador e o movimento pode ser feito de duas formas diferentes : 
uma mais simples e outra um pouco mais “elegante”, mais geral que 
permite estabelecer equaequaçção diferencial do movimento ão diferencial do movimento e a partir daí
obter a descrição do movimento.
Seguindo a 2Seguindo a 2ªª opopçção ão -- vamos prever o movimento, a partir das forvamos prever o movimento, a partir das forçças aplicadas : as aplicadas : 
9Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
equilíbrio
x
Fk
Que forQue forçças provocam o movimento harmas provocam o movimento harmóónico ? nico ? 
Um corpo ligado a uma mola oscila 
quando é afastado da posição de 
equilíbrio:
-fora da posição de equilíbrio: aumenta quando x aumenta
- na posição de equilíbrio: 0=→corpomolaF
?
FFkk (que a mola exerce sobre o corpo)
?actua na direcção do eixo da mola
?tem sempre o sentido contrário ao deslocamento
?é proporcional ao deslocamento 
kF kx= −
? ?
medido em relação à
posição de equilíbrio
corpomolaF →
?
10Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
as foras forçças que actuam:as que actuam:
1)
3)
2)
Fk
Fk
m
m
m
x
x
Equilíbrio
?
x = 0
Forças aplicadas sobre o corpo:
P : Peso do corpo m
N : Reacção normal da mesa sobre 
o corpo 
Fk =-kx : Força que a mola exerce
P
N
Fk
Aplicando a 2ª lei de Newton:
yy’ ⇒ N-P = may = 0
xx’ ⇒ Fk = -k x =max ⇔ xm
kax −=
11Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções de um corpo ligado a uma mola elões de um corpo ligado a uma mola eláásticastica
? A aceleração não é constante:
- tem o sentido contrário ao deslocamento.
- é proporcional ao deslocamento
- é nula na posição de equilíbrio
- é máxima nos extremos (quando x é máximo)
x
m
kax −=
E a velocidade? E o deslocamento? Como variam?E a velocidade? E o deslocamento? Como variam?
12Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções de um corpo ligado a uma mola elões de um corpo ligado a uma mola eláásticastica
0
:então , :mas
2
2
2
2
2
2
=+⇔−=
=
x
m
k
dt
xdx
m
k
dt
xd
dt
xdax
Eq. diferencial 
do M. H. S.
É necessário encontrar a solução desta equação
ou seja, é necessário encontrar uma função x = f(t)x = f(t), tal 
que quando se substituir xx por f(tf(t)) na expressão (*) se 
obtenha uma expressão verdadeira.
(*)
Equação diferencial do movimento
x
m
kax −= :que atrás vimos
13Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções de um corpo ligado a uma mola elões de um corpo ligado a uma mola eláásticastica
Se x = a sen (bt+c) ⇒
xbcbtasenb
dt
xd
cbtba
dt
dx
22
2
2
)(
)cos(
−=+−=
+=
x
m
kxb −=− 2
,2
2
x
m
k
dt
xd −=Substituindo na eq. diferencial vem:
é verdadeira desde que
m
kb =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅= ct
m
kasentx )(
éé uma boa soluuma boa soluçção!ão!
Então podemos dizer que:
Equação diferencial do movimento14Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções de um corpo ligado a uma mola elões de um corpo ligado a uma mola eláásticastica
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅= ct
m
kasentx )(
Falta agora ver qual é o significado desta expressão:
Frequência angular - depende das 
características do oscilador
Fase inicial - depende 
das condições iniciais
Amplitude -
depende das 
condições iniciais
m
k
T
== πω 2( )0( )x t Asen tω φ= +
15Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
ConsideraConsideraçções sobre Energiaões sobre Energia
Vimos atrás que a força que actua no corpo é: FFkk== --kxkx
Vamos agora calcular o trabalho realizado por esta força, quando o corpo se 
move entre as posições xxAA e xxBB
x=0
xB
x
x
t=tA
t=tB
xA
( )
2 22
2 2
ˆ ˆ
2 2 2
1
2
BB B B
A A A A
xx x x
B A
AB k
x x x x
AB B A
x xxW F dr kxi dxi kx dx k k k
W k x x
⎡ ⎤= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
= − −
∫ ∫ ∫? ?
16Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Energia potencial elEnergia potencial eláásticastica
Pode-se definir uma função
Energia PotencialEnergia Potencial ElEláásticastica (Ep)
de uma partícula de massa mm, colocada num ponto 
p de elongação xx
Se o trabalho realizado 
pela força elástica não depende do caminho 
percorrido, mas apenas das posições inicial 
e final, então:
( )2A2BAB xxk21W −−=
O campo de forças elásticas é conservativo
2
2
1)( Ap xkAE ⋅=
17Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Energia CinEnergia Cinééticatica
x2
mas v(t) = ω A cos(ωt+φ0 ), então:
2
2
1 mvECinética =
[ ]22
2
1 xAkEcinética −⋅=
( )
( )[ ]
( )022222
0
222
0
222
2
1
2
1
1
2
1
cos
2
1
φωωω
φωω
φωω
+−=
+−=
+=
tsenAmAmE
tsenAmE
tAmE
C
C
C
mω2 = k, porque ω2=k/m 
18Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Energia potencial
Energia cinética
2
2
2
1
2
1
kxE
mvE
p
c
=
=
Energia mecânicaEnergia mecânica
tT
2
T
2
2
1 kA
En
er
gi
a
A- A
Durante o movimento a energia mecânica é conservada:
te
cinéticapotencial
Cmvkx
EE
=+
=+
22
2
1
2
1
constante
En
er
gi
a
0
Ec+Ep
19Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
ObservaObservaçções de Galileuões de Galileu
10
5
0
-10
-5
10 20 30 40
noites
Janeiro MarçoFevereiro
oe
st
e
es
te
Ân
gu
lo
Em 1610 Galileu estudou o movimento das luas de Júpiter. 
Observadas da terra, parecia que as luas efectuavam um movimento de vai-vem, 
obedecendo àquilo que hoje chamamos um movimento harmónico simples. 
Júpiter encontrava-se a meia distância dos dois pontos extremos
ângulo entre Júpiter e a sua lua 
Callisto, visto da terra
20Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
MHS e movimento circular uniformeMHS e movimento circular uniforme
Callisto descreve um movimento (quase) circular uniforme em torno de Júpiter. No 
entanto observado da terra, o movimento é semelhante ao MHS.
O MHS pode ser visto como uma projecção de um 
movimento circular uniforme sobre um diâmetro
21Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
ForForççasas: Tensão, Peso
aplicando a 2aplicando a 2ªª lei de Newton:lei de Newton:
amPTamF ????? =+⇔=∑ 
mg
mgcosθ
θ
mgsenθ
T
tangente
Na direcção do movimento:
0sen
L
g
dt
d
dt
dLgsen 2
2
2
2
=θ+θ⇔θ=θ−
senθ ≈ θ (caso θ pequeno)
02
2
=+ θθ
L
g
dt
d
EquaEquaçção diferencial do MHSão diferencial do MHS
L
dt
dLa,mamgsenθ 2
2
⋅θ=⋅α==− mas 
Pêndulo GravPêndulo Gravíítico Simplestico Simples
L
22Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
02
2
=+ θθ
L
g
dt
d
)t(sen)t( 00 φωθθ +=
A solução da equação diferencial do movimento
é do tipo:
em que 
 
L
g=ω
Ou seja, a equação que traduz a posição angular do pêndulo
em cada instante é: 
)t
L
g(sen)t( 00 φθθ +=
Pêndulo simples (Pêndulo simples (contcont.).)
g
Lπ22T =ω
π= 
e o período é dado por:
23Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Pêndulo gravPêndulo gravíítico simples: observatico simples: observaçção experimentalão experimental
Vcarro=0
Vcarro=constante
24Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Movimento HarmMovimento Harmóónico Amortecido (MHA) nico Amortecido (MHA) 
Se um pêndulo for posto a oscilar observa-se que com o tempo vai 
havendo dissipação de energia e o pêndulo acaba por parar, devido 
ao efeito de atrito do ar. 
Se o amortecimento for “pequeno”, o sistema continua 
a oscilar, mas a amplitude do movimento vai 
diminuindo.
movimento amortecidoamortecidoθ
t (s)
Observa-se, que em muitos casos, quer a amplitude quer a energia (que é proporcional à
amplitude) diminuem de uma percentagem constante para um dado intervalo de tempo. 
Diz-se, neste caso, que a amplitude e a energia do oscilador decaem exponencialmente.
25Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções amortecidas ões amortecidas 
Por vezes a força de atrito é proporcional à
velocidade: Fatrito =-bv
A solução desta equação diferencial, 
para o caso do amortecimento fraco, é: )sin()( 0 ϕωγ +⋅= − teAtx t
0x
dt
dx2
dt
xd0x
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd 2
02
2
2
2
=ω+γ+⇔=++
? ω20=k/m: frequência 
angular do MHS
? γ=b/(2m): coeficiente de 
amortecimento
2
2
2
2
dt
xdm
dt
dxbkx
dt
xdmbvkx =+−−⇔=−−
∑ = 22dtxdmF
?
dt
xdbvbF
xkF
atrito
mola ???
??
−=−=
−= forças aplicadas
Aplicando a 2ª lei de Newton:
K
26Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções amortecidas ões amortecidas 
? A0 é o máximo valor da amplitude
? ω é a frequência angular da oscilação amortecida
)sin(0 ϕωγ +⋅= − teAx t
Decaimento 
exponencial
Função
periódica t (s)
A0
-A0
x(m)
T’ T’ T’ T’ T’
22
0 γ−ω=ωFrequência do oscilador quando há atrito:
frequência
natural do 
oscilador em 
modo MHS
27Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções amortecidas: amortecimento fraco ões amortecidas: amortecimento fraco 
O efeito do amortecimento é diminuir a frequência das oscilações:
22
0 γ−ω=ω
Se γ<<1 ⇒ ω≈ω0 então temos uma situação 
de amortecimento fraco
t (s)
A0
-A0
x(m)
t
0eA
γ−+
t
0eA
γ−−
Caso γ=0 ⇒ ω=ω0 indicando que não existe amortecimento
( ) teAtA γ−= 0
28Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções amortecidas: amortecimento crões amortecidas: amortecimento críítico tico 
γ=ω0 ⇒ ω≈0 então temos uma situação de
amortecimento crítico
Contudo, se o coeficiente de amortecimento (γ) aumentar 
gradualmente, a frequência (ω) vai diminuindo, e 
anulando-se quando:
29Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções amortecidas: amortecimento forte ões amortecidas: amortecimento forte 
Se γ≥ω0 ⇒ ω torna-se imaginário, logo o sistema não oscila e volta 
à posição de equilíbrio. Temos então um caso de amortecimento 
forte. A energia perdida pela partícula que executa oscilações 
amortecidas é absorvida pelo meio ambiente.
(a) - amortecimento fraco
(b) - amortecimento critico(c) - amortecimento forte
30Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
OscilaOscilaçções amortecidas: amortecimento forte ões amortecidas: amortecimento forte 
Há casos em que interessa 
amortecer rapidamente as 
oscilações: p. ex. quando se 
pretende atenuar as vibrações 
provocadas pelo funcionamento 
de um motor, ou as vibrações 
induzidas pela irregularidade 
do piso num automóvel.
amortecimento forteamortecimento forte
É de notar, que para o mesmo oscilador, quanto maior for a 
massa menor é o efeito do atrito (γ=b/(2m)), mas ao mesmo 
tempo diminui a frequência natural do oscilador (ω20=k/m).
efeito da massaefeito da massa
31Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Energia do Oscilador amortecido Energia do Oscilador amortecido 
)sin(0 ϕωγ +⋅= − teAx t
Traduz a diminuição da amplitude com o tempo
A amplitude diminui porque o sistema “perde”
energia para o exterior (atrito).
A energia do oscilador é proporcional à amplitude, então a energia
(média, por ciclo) pode ser calculada por:
[ ]20202 2121 teAmkAE γω −==
2
0
2
00
t2
0 Am2
1EeE)t(E ω== γ− :que em 
ou: constante
( ) teAtA γ−= 0
32Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Energia do Oscilador amortecidoEnergia do Oscilador amortecido
t (s)
A0
-A0
x(m)
A1 A2 A3
t1 t2
t2=t1+T
período da oscilação amortecida
ou
factor de qualidade factor de qualidade ⇒⇒ ““medemede”” a fraca fracçção de energia perdida por cicloão de energia perdida por ciclo
γ
ω=ω=
2b
mQ 00 ( )cicloEE
2Q ∆
π=
33Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
Na resolução dos problemas de mecânica, temos muitas vezes falado da “força de atrito de 
escorregamento” em situações em que há escorregamento de um corpo sobre uma superfície. Nessas 
situações admite-se que a força de atrito (resultante das interacções entre as duas superfícies) é
proporcional à força normal à interface e independente da velocidade. No entanto quando um corpo se 
move num fluido (ar, água, óleo…) observa-se que a força de atrito depende da velocidade do corpo. Num 
caso geral a forma como a força de atrito depende da velocidade pode ser descrita por:
em que v é a velocidade do corpo e b e n dependem do meio em que o corpo se move.
• Se n = 0 a força de atrito não depende da velocidade (ex: escorregamento de um corpo sobre uma 
superfície).
• Se n = 1 “atrito de Stokes”: Geralmente é aplicável quando um corpo se move com velocidade 
moderada num fluido.
• Se n = 2 “atrito de Newton”: Geralmente é aplicável quando um corpo se move com velocidade alta 
num fluido.
A forA forçça de atrito em fluidosa de atrito em fluidos
 natrito vbF
?? =
continuação
34Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
A forA forçça de atrito em fluidosa de atrito em fluidos
No estudo que vamos fazer, admitimos que o atrito é do tipo “atrito de Stokes”
(n = 1). Na maioria dos casos que estudamos no âmbito desta disciplina (pêndulos, 
molas) admitimos que os corpos se movem em fluidos e com velocidades não 
muito elevadas.
Assim, a primeira escolha será admitir que a força de atrito pode ser descrita 
pelo modelo de atrito de Stokes:
em que se admite que b é um coeficiente de atrito que depende do fluido e o 
sinal negativo deve-se ao facto de a força de atrito ter sempre o sentido oposto 
à velocidade.
Este modelo tem vantagens: a mais importante é que os resultados 
experimentais são, na maioria dos casos estudados, bem descritos por este 
modelo e por outro lado este modelo é relativamente simples de tratar do ponto 
de vista matemático. 
 vbFatrito
?? −=
voltar
35Cap. 6: Oscilações - Física II /PLE LEGI <> Carlos Tavares – Depto. de Física, UM
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passível de procedimento judicial contra o infractor. O Professor gostaria de 
agradecer à sua colega Julia Tovar pela disponibilidade de material de base aos 
apontamentos teóricos contidos nesta página.