AD1 Matematica Financeira cederj

Prévia do material em texto

Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2017 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
ATIVIDADE A DISTÂNCIA 1 – AD1 - GABARITO 
 
Parâmetros para correção (pontuação) pelos tutores presenciais: 
 20%: interpretação e descrição das variáveis corretamente (desenho do fluxo de caixa vale 10%); 
 40%: armação do cálculo; 
 40%: desenvolvimento e resposta final corretos. 
 
1ª QUESTÃO (1,0 ponto) 
 "Valor da remuneração sobre a aplicação inicial de uma operação financeira, acordado entre o credor 
e o tomador", se refere a: a) capital b) montante c) juros d) tempo e) taxa de juros 
Resolução: 
Conforme Material didático (p.16): "Juro (J) é o valor da remuneração do capital (C) acordado entre o 
credor e o tomador em uma determinada operação financeira." 
 
2ª QUESTÃO (2,0 pontos) 
Se R$ 2.000,00 foram aplicados por um quadrimestre à taxa de juros de 96% a.a., determine os juros e 
montante recebidos, caso a taxa de juros esteja em regime de juros: a) simples; b) compostos. 
Resolução: 
a) juros simples: 
 
C = $ 2.000,00 
i = 96% a.a. * = 0,96 
n= 4 meses = 4/12 anos * 
J=? (juros) 
M=? (montante) 
 
J = 2.000 x 0,96 x 4 / 12 
J = R$ 640,00 
 
Para o cálculo do M, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
 
M = 2.000 + 640 = R$ 2.640,00 
* Quando as unidades de tempo de juros (i) e tempo (n) são diferentes, é sempre recomendável 
transformar a unidade do tempo para a mesma unidade da taxa. 
 
Ou ainda a outra fórmula de juros simples: 
 
M = 2.000 x (1+ 0,96 x 4/12) 
M = 2.000 x 1,32 
M = R$ 2.640,00 e o Juros calculados pela diferença: J = M – C = 2640 – 2000 = R$ 640,00 
 
 
 M = ? 
 
 
 
 J = ? 
 n = 4 meses 
 0 i = 96% a.a. 
 
 
 C = R$ 2.000 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2017 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
b) juros compostos: 
 
Resolução: 
C = R$ 2.000,00 (PV) 
i = 96% a.a. 
n= 4 meses = 4/12 anos (sempre transformar o n) 
M=? (montante) – FV 
J=? (juros) 
 
a) Cálculo do montante com a fórmula básica: 
 
M = 2.000 x (1 + 0,96)4/12 
M = 2.000 x 1,2515 = R$ 2.502,93 
 
b) Cálculo dos juros: 
 
J = M – C = 2.502,93 – 2.000,00  J= R$ 502,93 
 
Pela calculadora financeira HP-12C: 
Digitar 
2.000 CHS PV CHS porque o fluxo é negativo 
4 ENTER 12 ÷ n 
96 i 
FV = 2.502,93 ENTER 2.000,00 – = 502,93 
 
 
 
 
 
 
Estudante, mesmo que esteja sem calculadora financeira, é importante que você simule a digitação das 
teclas com o simuladores na internet. 
* Ao comparar este resultado com a letra a), percebe-se que os juros simples foram maiores que os 
compostos, apesar do composto ser juros sobre juros. O que explica essa situação é que em período 
fracionário (n=4/12 ano), os juros simples são sempre maiores. Por isso juros simples são utilizados em 
operações financeiras de curtíssimo prazo por render mais (como cheque especial/cartão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os cálculos financeiros, você poderá utilizar a 
calculadora financeira HP-12C ou similares. Para se 
deixar a calculadora pronta para os cálculos financeiros, 
você deverá digitar a sequência de teclas: STO EEX e 
aparecerá o C no visor. As teclas/funções mais utilizadas 
na calculadora são: 
PV = Present Value/Valor presente (Capital) 
FV = Future Value/Valor Futuro (Montante) 
n = número de períodos 
i = interest rate / taxa de juros 
PMT = Periodic PayMenT /Pagamento Periódico 
(prestação) 
 M = ? (FV) 
 
 
 
 J = ? 
 n = 4 meses 
 0 i = 96% a.a. 
 
 
 C = R$ 2.000 (PV) 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2017 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
3ª QUESTÃO (1,0 ponto) 
Um aposentado comprou um Certificado de Depósito Bancário (CDB) que será resgatado por R$ 
100.000,00 daqui a 180 dias. Determine o valor investido, para que a taxa de juros seja de 17% a.a. 
Resolução: 
C = ? (PV) 
M = R$ 100.000 (FV) 
n = 180 dias = 0,5 ano 
i = 17% a.a 
 
100.000 = C x (1 + 0,17)0,5 
C = 100.000 / (1 + 0,17)0,5 = R$ 92.450,03 
Pela calculadora financeira HP-12C: 
100.000 FV / 0,5 n / 17 i / FV = R$ 92.450,03 
 
4ª QUESTÃO (1,0 ponto) 
Até o mês de maio de 2012, o rendimento da poupança era dado pela taxa nominal de 6% a.a, 
capitalizados mensalmente, mais a TR. Determine a taxas efetiva equivalente anual, sem considerar a TR. 
Resolução: 
6% ao ano capitalizados mensalmente (unidades diferentes = taxa nominal) 
1- Cálculo da taxa proporcional correspondente: it = 6 / 12 = 0,50% a. m. (taxa efetiva mensal); 
2- Para o cálculo da taxa efetiva anual equivalente, utiliza-se a seguinte fórmula da equivalência de taxas 
em juros compostos: 
(1 + ia)
1 = (1 + is)
2 = (1 + iq)
3 = (1 + it)
4 = (1 + ib)
6 = (1 + im)
12 = (1 + id)
360 
* Dica: 1 ano - 12 meses  (1 + ia)
1 = (1 + im)
12 
 
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12  (1 + ia)
1 = (1 + 0,005)12  (1 + ia)
1 = 1,0617  ia
 = 1,0617 – 1  ia = 0,0617 = 
6,17% a.a. (taxa efetiva anual); 
 
Observação: Conforme a página 82 do Material Didático: “O mercado financeiro costuma divulgar suas 
taxas de juros em bases anuais nominais; nesses casos, a taxa efetiva de juros é a taxa proporcional 
calculada pela proporcionalidade ia/k, sendo k o número de capitalizações de juros que irão ocorrer no 
ano.” 
Desta forma: taxa efetiva proporcional = ia / k = 6% / 12 = 0,50% a.m. (em que ia = 6% e k=12, número 
de capitalizações). 
 
5ª QUESTÃO (2,0 pontos) 
Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor nominal de R$ 5.000,00, 
com vencimento em um semestre. Determine o valor recebido pela loja e o desconto, ao saber que o 
banco cobra uma taxa de desconto de 2% a.m.: (Obs.:considerar as situações independentes.) 
 
a) "por fora" simples; b) "por dentro" simples; c)" por fora" composto; d) "por dentro" composto. 
 
 
 
 M = R$ 100.000,00 (FV) 
 
 
 
 i = 17% a.a. 
 n = 180 d = 0,5 ano 
 0 
 
 C = ? (PV) 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2017 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
Resolução: 
FV = R$ 5.000,00 (valor nominal do título) 
n= 1 semestre = 6 meses 
i = 2% a.m. 
PV = ? (valor recebido, valor descontado) 
D = ? (desconto) = FV – PV 
 
a) Desconto comercial ou “por fora” simples 
 
PV = 5.000 x (1 - 0,02 x 6) = 5.000 x 0,88 = R$ 4.400,00 
DC = FV – PV = 5.000 – 4.400 = R$ 600,00 
(ou ainda pela fórmula Dc = FV x ic x n e depois calcular o PV). 
 
b) Desconto racional ou “por dentro” simples: essa é a operação inversa dos juros 
 
PV = 5.000 = 5.000 = R$ 4.464,29 
 (1 + 0,02 x 6) 1,12 
DR = FV – PV = 5.000,00 – 4.464,29= R$ 535,71 
 
Observação importante: 
Ao comparar o valor dos descontos(D) comercial e racional, pode-se concluir que sempre o DC > DR, (e 
quando se trabalha com as mesmas taxas de desconto, já que a base de cálculo (para incidência da taxa i) 
do desconto comercial é o valor nominal do título (FV), enquanto a base do racional é o valor descontado 
do título (PV), e sempre FV > PV. Desta forma o valor descontado (PV) é sempre menor quando se 
utiliza o desconto comercial ao invés do racional. Vide fórmulas abaixo: 
 
DC = FV x iC x n DR = PV x iR x n 
 
Resolução: 
FV = R$ 5.000,00 (valor nominal do título – nota promissória) 
n= 1 semestre = 6 meses 
i = 2% a.m. 
PV = ? (valor recebido, valor descontado) 
D = ? (desconto) = FV – PV 
 
c) Desconto comercial ou “por fora” composto: 
nd)-(1*VFPV  
PV = 5.000 x (1 - 0,02)6 = 5.000 x 0,8858 = R$ 4.429,21 
DC = FV – PV = 5.000,00 – 4.429,21= R$ 570,79 
 
 
 
 
 FV = R$ 5.000,00
 
 
 
 i = 2% a.m. 
 
 0 D = ? n = 1 sem = 6 meses 
 
 PV = ? 
Fluxo para todos os casos 
 (comercial/racional – simples/composto) 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2017 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
d) Desconto racional ou “por dentro” composto: essa é a operação inversa dos juros 
 
PV = 5.000 = 5.000 = R$ 4.439,86 
 (1 + 0,02)6 1,1262 
DR = FV – PV = 5.000,00 – 4.439,86= R$ 560,14 
 
Pela calculadora financeira HP-12C (só racional): 
Digitar 
5.000 FV 
2 i 
6 n 
PV = - 4.439,86 (vai aparecer negativo pela convenção dos sinais) 
- 4.439,86 CHS 5.000 – 560,14 
 
6ª QUESTÃO (1,5 pontos) 
Uma empresa comercial tem três dívidas a vencer: R$ 1 mil em 6 meses, R$ 2 mil em 12 meses e R$ 5 
mil em 24 meses. Caso ela queira substituir as dívidas por um pagamento único daqui a 9 meses e a 
instituição financeira utilize uma taxa de juros compostos de 12% a.a. capitalizados mensalmente, pela 
equivalência de capitais, qual seria o valor desse pagamento? (Obs.: prestar atenção no tipo de taxa) 
Resolução: 
As dívidas de R$ 1 mil (em t=6 meses), R$ 2 mil 
(em t= 12 m) e R$ 5 mil (em t=24 meses) são 
equivalentes à dívida única X em t=9 meses. Pela 
equivalência de capitais, e mantendo a data focal no 
tempo 9. Neste caso, o valor t6 será capitalizado por 
3 meses (6º para 9º mês) e os valores em t12 e t24 serão 
descapitalizados por 3 meses e 15 meses, 
respectivamente: 
 
X = 1.000 x (1,01)3 + 2.000 + 5.000 = 
 (1,01)3 (1,01)15 
X = 1.030,30 + 1.941,18 + 4.306,75 = R$ 7.278,23 
Há outras formas de resolução por conta da data focal. 
 
7ª QUESTÃO (1,5 pontos) 
Um empréstimo de R$ 1.500,00 foi realizado por uma pessoa física e deverá ser liquidado através do 
pagamento de três prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira a vencer no final do 
primeiro mês. Ao considerar uma taxa de juros compostos de 1% a.m., qual o valor de cada prestação? 
Resolução: 
Pela equivalência de capitais, se pode dizer que o valor 
do televisor de R$ 1.500 é equivalente às três prestações 
iguais, que ocorrem no final dos 1º, 2º e 3º mês. Desta 
forma, ao colocar a data focal no tempo zero, se deve 
descapitalizar as prestações por um, dois e três meses: 
 
 1.500 (PV) 
 
 
 0 1 2 3 meses 
 
 i = 1% a.m. 
 (PMT) X =? X =? X = prestações iguais 
i = 12% a.a. capitalizados mensalmente = 12/12 = 
1% a.m. (transformar taxa nominal em efetiva) 
 
 
 0 6 9 12 24 meses 
 
 
 R$ 1 mil X 2 mil 5 mil 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2017 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
1.500 = X + X . + X . 
 (1,01)1 (1,01)2 (1,01)3 
1.500 = 1.X + 1.X + 1.X . 
 1,01 1,0201 1,0303 
1.500 = 0,9901X + 0,9803X + 0,9706X 
1.500 = 2,9410 x X  X = R$ 510,03 
Ou ainda se pode colocar a data focal no tempo 3 e capitalizar os R$ 1.500 por 3 meses, a primeira 
prestação por 2 meses e a segunda por 1 mês e a última não necessita. 
 
1.500 x (1,01)3 = X x (1,01)2 + X x (1,01)1 + X 
1.545,45 = 1,0201X + 1,01X + X 
3,0301X = 1.687,30  X = R$ 510,03 
 
Ou ainda pela fórmula da Anuidade – Aula 4 – anuidade postecipada: 
 
PMT = 1.500 x (1,01)3 x 0,01 = R$ 510,03 
 (1,01)3 - 1 
Pela HP-12C, esta operação pode ser considerada uma anuidade: 
1.500 PV 1 i 3 n PMT = R$ 510,03