NOTA DE AULA I Cap 16 Oscilações

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NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA 
 
 
01 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202) 
Coordenador: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo 
CAPÍTULO 16 – OSCILAÇÕES 
 
 
1. Oscilações 
 
 Os movimentos que se repetem são chamados de oscilações e estamos rodeados pelos 
mesmos. É o caso das cordas de violão, tambores, sinos, diafragmas de telefones, sistemas de auto-
falantes, cristais de quartzo em relógio de pulso, etc. neste capítulo será abordado o comportamento 
desse fenômenos da natureza. 
 
2. Movimento Harmônico Simples 
 
 Uma grandeza importante no (MHS) movimento oscilatório é a freqüência, ou número de 
oscilações completadas a cada segundo. O símbolo é f e a unidade é o hertz (hz), onde: 
 
1 hertz = 1 hz = 1 oscilação por segundo = 1 S-1 
 
O período é o tempo necessário para uma oscilação completa, ou seja: 
 
1T f= 
 
Um movimento harmônico simples é um movimento que obedece à relação: 
 
( ) cos( ),mx t x tω φ= + 
 onde, 
 
 mx → amplitude: posição máxima do corpo 
ω → - freqüência angular 
 φ → constante de fase 
 t → tempo 
 
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 02 
 
 
 Nota-se que esta equação horária tem em comportamento senoidal. Assim, após percorrido 
um tempo equivalente ao período T, o corpo assume novamente a posição original. 
 
Então: 
cos cos ( )m mx t x t Tω ω= + 
 
 como o período do cosseno é 2pi , tem-se: 
 
( ) 2t T tω ω pi+ = + ⇒ 
2 / 2T fω pi pi= = 
 
 A unidade da freqüência angular é o rad/seg. 
 
A VELOCIDADE NO MHS 
 
 A velocidade de um movimento é obtida derivando-se a equação horária no tempo. Então: 
 
( )( ) ( cos ( ))
( ) ( )
m
m
dx t d
v t x t
dt dt
v t x sen t
ω φ
ω ω φ
= = + ⇒
= − +
 
 
 A grandeza 
m
xω é a amplitude da velocidade, ou velocidade máxima. 
 
 
A Aceleração no MHS 
 
 Para se obter a aceleração basta derivar a velocidade no tempo, ou seja: 
 
( )( ) ( ( ))
m
dv t d
a t x sen t
dt dt
ω ω φ= = − + ⇒ 
 
2( ) cos( )
m
a t x tω ω φ= − + 
 
 onde 2
m
xω é a aceleração máxima da partícula. O gráfico a seguir mostra o comportamento 
da posição, velocidade e aceleração para um MHS. 
03 Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES 
 
 
 
 
3. Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples. 
 
 Pode-se compreender o movimento harmônico simples a partir do sistema massa-mola, 
representado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 
 O diagrama de corpo livre do bloco de massa m indica as forças atuantes no mesmo: 
 
 
 
 
 
 
Fig.02 
 
 
 Na direção horizontal a força resultante é a força que a mola exerce no bloco. O sinal 
negativo indica uma força restauradora. Então: 
 
N
r
P
r
ˆF kxi= −
r
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 04 
 
 
2
2
2
2
.
.
0
res
res
F kx
m a kx
d x
m kx
dt
d x k
x
dt m
= −
= −
= − ⇒
+ =
 
 
 A última equação é a eq. Diferencial do sistema massa-mola. Adotando a eq. Horária do 
MHS como a solução desta e.d., tem-se: 
 
2
2
2
( ) cos ( )
cos( )
m
x t x t
d x
xm t
dt
ω φ
ω ω φ
= +
= − +
 
 
substituindo as relações anteriores na e.d. tem-se: 
 
2( ) cos( ) 0
m
k
x t
m
ω ω φ− + + = 
 
que resulta em: 
 
2 0k
m
k
m
ω
ω
− + =
=
 
 
Assim obtemos a freqüência angular para o (mhs, e por também o) sistema massa-mola, e também o 
período: 
 
2 mT
k
pi= 
 
 
 
 
 
 
05 Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES 
 
 
4. Energia no Movimento Harmônico simples 
 
 A energia mecânica associada a um movimento qualquer é resultado da adição das energias 
potencial e cinética. Para um oscilador harmônico do tipo massa-mola a energia potencial e cinética 
são dadas por: 
 
2 2 2
2 2 2 2
1 1
cos ( )
2 2
1 1( ) ( )
2 2
U kx k x m t
K t mv m x m sen t
ω φ
ω ω φ
= = +
= = +
 
 
 usando 2 /k mω = , obtém-se para a energia mecânica: 
 
2 2 2 2
2
1 1
cos ( ) ( )
2 2
1
2
E U K
E kx m t kx m sen t
E kx m
ω φ ω φ
= +
= + + + ⇒
=
 
 
 
 
 A energia total desse sistema é constante, conforme figura a seguir: 
 
 
 
Fig. 16.6 
 
 
5. Um Oscilador Harmônico Simples Angular 
 
 O oscilador harmônico simples angular é constituído de um disco suspenso por um fio com 
uma constante de torça K. 
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 06 
 
 
 Ele é posto para oscilar na forma angular. Esse dispositivo é chamado de pêndulo de torção. 
O torque restaurador é dado por 
 
 kτ θ= − 
 como 
 
 
2
2 ,
dI I
dt
θ
τ α= = 
 
 tem-se 
 
2
2
2
2 0
dI k
dt
d k
dt I
θ θ
θ θ
= − ⇒
+ =
 
 
 A última relação é a equação diferencial do pêndulo de torção. Por analogia com a e.d. do 
sistema massa mola tem-se: 
( ) cos( )
m
t tθ θ ω φ= + 
e 
2 IT
k
k
w
I
pi=
=
 
 
6. Pêndulos 
 
 Pêndulos Simples 
 
 O pêndulo simples é um dispositivo constituído de um fio inextensível e de massa 
desprezível, que sustenta um corpo de massa m que oscila em um plano com ângulos de abertura 
inferiores a 5º, conforme figura a seguir: 
 
 
 
 
 
07 Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso, o torque restaurador é dado por: 
 
 
2
2
.l P sen
dI lmg sen
dt
τ θ
θ θ
= −
= −
 
 
 Para ângulo menores que 5º tem-se que senθ θ≈ considerando o momento de inércia como 
2
.I m l= tem-se: 
 
2
2
2
2
2 0
d
ml lmg
dt
d g
dt l
θ θ
θ
= − ⇒
+ =
 
 
 
Também por analogia com o MHS vem: 
 
 
cos( )
2
m t
lT
g
θ θ ω φ
pi
= +
=
 
 
 
 
 
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 08 
 
 
O Pêndulo Físico 
 
 Considera-se como pêndulo físico um corpo suspenso 
por um ponto qualquer e que oscila em torno de uma posição 
de equilíbrio. Por analogia com o pêndulo simples tem-se: 
 
2
2
.
r
P h sen
dI Ph
dt
τ θ
θ θ
= −
= −
 
ou 
 
2
2
d mgd
dt I
θ θ θ+ = 
 
Assim 
 
2
cos( )m
IT
mgd
t
pi
θ θ ω φ
=
= +
 
 
7. Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular 
Uniforme. 
 
 Pode-se obteras relações do MHS a partir do movimento 
circular uniforme. Então, seja o movimento circular da partícula 
P’ executado em um círculo de raio xm. Em um instante t a 
partícula percorreu um ângulo tω φ+ . Então 
 
( )
cos( )
( ) cos( )
m
m
x t
t
x
x t x t
ω φ
ω φ
+ = ⇒
= +
 
 
 A relação anterior é a eq. Horária do MHS. 
 
 A figura(b) mostra o comportamento da velocidade 
tangencial da partícula. A sua componente horizontal será dada por: 
(b) 
(a) 
(c) 
09 Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES 
 
 
 
( )
( ) ( )
x
x
v
sen t
v
v v t vsen t
ω φ
ω φ
+ = ⇒
= = − +
 
 
 O sinal negativo indica que a velocidade está em sentido contrário ao da orientação positiva 
do eixo x. Em um movimento circular, a velocidade tangencial é dada por mv r xω ω= = . Então 
 
( ) ( )mv t x sen tω ω φ= − + 
 
 A partir da figura (c) obtém-se a aceleração para o MHS. 
 
2( ) cos( )ma t x tω ω φ= − + 
 
 
Movimento Harmônico Simples Amortecido 
 
 Em um movimento harmônico amortecido o movimento harmônico simples sofre uma força 
externa que tende a reduzi-lo. Como exemplo cita-se o caso de um sistema massa-mola acoplado a 
uma pá que está imersa na água. Neste caso a força que a água exerce na pá será: 
 
,dF bv= − 
 
 onde b é uma constante de amortecimento. Para este 
sistema tem-se: 
 
resF kx bv
ma kx bv
= − − ⇒
= − −
 
 
 sendo 2 2/a d x dt= vem: 
 
 
2
2 0
d x dx
m b kx
dt dt
+ + = 
 
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II 010 
 
 
 
 A solução desta eq. Diferencial é dado por: 
 
 
/ 2 '( ) cos( )bt m
m
x t x e tω φ−= + 
onde 
 
2
'
24
k b
m m
ω = −