espaços metricos

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Noc¸o˜es (ba´sicas) de Topologia Geral, espac¸os me´tricos,
espac¸os normados e espac¸os com produto interno
Andre´ Arbex Hallack
Setembro/2011
Introduc¸a˜o
O presente texto surgiu para dar suporte a um Semina´rio (de mesmo nome) oferecido pelo
Departamento de Matema´tica da Universidade Federal de Juiz de Fora no Vera˜o/2000 e tendo
como principal objetivo fornecer algumas noc¸o˜es ba´sicas (elementares) de Topologia, tanto
de espac¸os topolo´gicos em geral como a topologia de espac¸os me´tricos, espac¸os normados e
espac¸os com produto interno, procurando fornecer aos participantes uma visa˜o global de todos
esses tipos de espac¸o, a ser utilizada (ao menos como refereˆncia) em estudos mais avanc¸ados
na Matema´tica.
Originalmente visando atender aos alunos do Bacharelado em Matema´tica, o Semina´rio
poˆde ser bem aproveitado tambe´m por outros que tinham objetivos relacionados com o acima
citado.
Os pre´-requisitos ba´sicos para seguir o texto sa˜o noc¸o˜es de Teoria dos Conjuntos e A´lgebra
Linear. Embora na˜o sendo absolutamente necessa´rio, tambe´m e´ bom que se tenha tido algum
contato com a topologia usual da Reta (conjuntos abertos, fechados, compactos, etc. em IR -
conteu´do geralmente visto em um primeiro curso de Ana´lise), bem como noc¸o˜es de convergeˆncia
de sequeˆncias e se´ries nume´ricas.
O primeiro cap´ıtulo trata de noc¸o˜es de Topologia Geral. Seguem-se cap´ıtulos sobre espac¸os
me´tricos, espac¸os normados e espac¸os com produto interno. Ao final do texto, foram acrescen-
tados (a t´ıtulo de informac¸a˜o adicional) treˆs apeˆndices, tratando da Topologia Produto (sobre
produtos cartesianos de espac¸os topolo´gicos), bases em espac¸os vetoriais e sobre o espac¸o IRn.
Andre´ Arbex Hallack
i
I´ndice
Introduc¸a˜o i
1 Topologia Geral 1
1.1 Espac¸os topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Base para uma topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Subespac¸os topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Interior, vizinhanc¸as, fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Espac¸os de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Sequeˆncias em espac¸os topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Func¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Espac¸os me´tricos 23
2.1 Espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 A Topologia Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Sequeˆncias em espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Func¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Compacidade em espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
2.8 Me´tricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Espac¸os normados 39
3.1 Espac¸os normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 A topologia da norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Transformac¸o˜es lineares em espac¸os normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Espac¸os com produto interno 51
4.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Norma a partir de um produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 O Teorema de Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A Introduc¸a˜o a` Topologia Produto 57
B Sobre bases em espac¸os vetoriais 63
C O espac¸o IRn 67
Refereˆncias 75
Cap´ıtulo 1
Topologia Geral
Nosso principal objetivo neste primeiro cap´ıtulo e´ trabalhar com o conceito geral de espac¸o
topolo´gico e noc¸o˜es de convergeˆncia (de sequeˆncias), continuidade de func¸o˜es, conexidade e
compacidade neste contexto.
1.1 Espac¸os topolo´gicos
Definic¸a˜o 1.1. Uma TOPOLOGIA sobre um conjunto X e´ uma colec¸a˜o τ de subconjuntos
de X ( τ ⊂ P(X) ) satisfazendo a`s seguintes propriedades:
A.1) φ e X esta˜o em τ .
A.2) A unia˜o dos elementos de qualquer subcolec¸a˜o de τ esta´ em τ .
A.3) A intersec¸a˜o dos elementos de qualquer subcolec¸a˜o finita de τ esta´ em τ .
Um conjunto X munido de uma topologia τ (fixada) e´ chamado ESPAC¸O TOPOLO´GICO.
Neste caso, dizemos que um subconjunto A ⊂ X e´ um conjunto ABERTO do espac¸o topolo´gico
X se, e somente se, A ∈ τ .
Exemplos:
A) Topologia Discreta:
Seja X um conjunto qualquer. A colec¸a˜o τ = P(X) de todos os subconjuntos de X e´
uma topologia sobre X, conhecida como TOPOLOGIA DISCRETA.
Qualquer subconjunto de X e´ aberto na Topologia Discreta.
1
2 CAPI´TULO 1
B) Topologia Cao´tica:
Seja X um conjunto qualquer. A colec¸a˜o τ = {φ , X} e´ uma topologia sobre X,
conhecida como TOPOLOGIA CAO´TICA.
Os conjuntos φ e X sa˜o os u´nicos abertos de X na Topologia Cao´tica.
C) Seja X = {a, b, c, d}
τd = P(X) e´ a Topologia Discreta sobre X.
τc = {φ , X} e´ a Topologia Cao´tica sobre X.
τ1 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} e´ uma topologia sobre X.
τ2 = {φ , {a, b} , {c, d} , X} e´ uma topologia sobre X.
τ3 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , X} na˜o e´ uma topologia sobre X.
τ4 = {φ , {a} , {b} , {a, b} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d} , X} e´ uma topologia sobre X.
D) Topologia Usual da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos nu´meros reais.
A colec¸a˜o τ dada por: τ = {A ⊂ IR; ∀ a ∈ A, ∃ � > 0 com (a− �, a+ �) ⊂ A} e´ uma
topologia sobre IR (mostre), conhecida como a Topologia Usual da Reta.
Os abertos de IR, na Topologia Usual, sa˜o os subconjuntos A ⊂ IR tais que: todos os
seus pontos sa˜o centros de intervalos abertos inteiramente contidos em A.
E) Topologia Usual do Plano Complexo (ou do IR2):
Consideremos o conjunto C = {z = x+ iy ; x, y ∈ IR} dos nu´meros complexos.
A colec¸a˜o τ dada por: τ = {A ⊂ C; ∀ a ∈ A, ∃ � > 0 com D�(a) ⊂ A} e´ uma topologia
(Usual) sobre C. D�(a) = {z ∈ C; |z − a| < �} e´ o disco aberto de centro a e raio � > 0.
Os abertos de C, na Topologia Usual, sa˜o os subconjuntos A ⊂ C tais que: cada um
de seus pontos e´ centro de um disco aberto inteiramente contido em A:
Topologia Geral 3
Comparando topologias:
Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X. Se τ ⊂ τ ′ enta˜o dizemos que a
topologia τ ′ e´ MAIS FORTE (ou MAIOR ou MAIS FINA) que τ , ou equivalentemente, que
a topologia τ e´ MAIS FRACA (ou MENOR ou MAIS GROSSA) que τ ′. (Exemplos)
Exerc´ıcios:
1) Determine todas as topologias poss´ıveis sobre o conjunto X = {a, b, c} .
2) Seja X um conjunto qualquer. Seja τf a colec¸a˜o dos subconjuntos U ⊂ X tais que
X\U e´ finito ou U = φ :
τf = { U ⊂ X ; X\U e´ finito} ∪ {φ }
(a) Mostreque τf e´ uma topologia sobre o conjunto X (e´ chamada a Topologia do Comple-
mento Finito).
(b) O que podemos dizer de τf se X e´ um conjunto finito?
3) Seja X um espac¸o topolo´gico. Seja A ⊂ X tal que para cada x ∈ A existe um
conjunto aberto Ux com x ∈ Ux ⊂ A. Mostre que A e´ aberto em X.
1.2 Base para uma topologia
Definic¸a˜o 1.2. Seja X um conjunto qualquer. Uma colec¸a˜o B de subconjuntos de X e´ uma
BASE PARA UMA TOPOLOGIA SOBRE X se, e somente se, as duas condic¸o˜es abaixo sa˜o
satisfeitas:
1) Para cada x ∈ X, existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que x ∈ B.
2) Se x pertence a` intersec¸a˜o de dois conjuntos B1, B2 ∈ B enta˜o existe um conjunto
B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2.
O termo BASE se justifica pois se B e´ base para uma topologia sobre X podemos construir
a partir de B uma topologia τB sobre X (chamada TOPOLOGIA GERADA POR B), dada
por:
τB = { U ⊂ X ; ∀ x ∈ U, ∃ B ∈ B com x ∈ B ⊂ U }
E´ imediato que B ⊂ τB (os conjuntos B ∈ B sa˜o chamados ABERTOS BA´SICOS)
4 CAPI´TULO 1
Exemplos:
A) A colec¸a˜o B = {I ⊂ IR ; I e´ intervalo aberto } e´ uma base para a Topologia Usual
da Reta, ou seja, e´ uma base para uma topologia em IR e a topologia gerada por B e´ a
Topologia Usual da Reta (verifique).
B) Seja X = {f : IR→ IR} o conjunto de todas as func¸o˜es de IR em IR (tambe´m de-
notado por IRIR). Dados um conjunto finito F = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ IR e uma colec¸a˜o
de n abertos U = {U1, U2, . . . , Un} (na Topologia Usual da Reta), considere o conjunto
BF, U = { f ∈ X ; f(xi) ∈ Ui ∀ i = 1, 2, . . . , n} .
A colec¸a˜o B = {BF, U ; F e U como acima (variando)} e´ uma base para uma topologia
sobre X (mostre).
Exerc´ıcios:
1) Se B e´ uma base para uma topologia sobre X, mostre que τB definida anteriormente
e´ de fato uma topologia sobre X.
2) Sejam X um conjunto e B uma base para uma topologia τB sobre X. Mostre que
τB e´ a colec¸a˜o de todas as unio˜es de elementos de B.
1.3 Subespac¸os topolo´gicos
Definic¸a˜o 1.3. Seja X um espac¸o topolo´gico, munido de uma topologia τ .
Se Y e´ um subconjunto de X, podemos enta˜o construir uma topologia natural sobre Y ,
a partir da topologia τ : τY = {Y ∩ A ; A ∈ τ} e´ uma topologia sobre Y (mostrar),
chamada TOPOLOGIA DE SUBESPAC¸O e o espac¸o topolo´gico (Y, τY ) e´ dito SUBESPAC¸O
(TOPOLO´GICO) do espac¸o topolo´gico (X, τ).
Os abertos do subespac¸o Y ⊂ X consistem portanto de todas as intersec¸o˜es de Y com os
abertos de X. (Exemplos)
1.4 Conjuntos fechados
Definic¸a˜o 1.4. Um subconjunto F de um espac¸o topolo´gico X e´ dito ser FECHADO se, e
somente se, o conjunto A = X\F e´ aberto.
Topologia Geral 5
Teorema 1.5. Seja X um espac¸o topolo´gico. Enta˜o as seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
F.1) φ e X sa˜o fechados.
F.2) Intersec¸o˜es arbitra´rias de conjuntos fechados sa˜o conjuntos fechados.
F.3) Unio˜es finitas de conjuntos fechados sa˜o conjuntos fechados.
Exerc´ıcios:
1) Prove o Teorema 1.5 acima.
2) Mostre que se A e´ aberto em X (i. e´, A e´ aberto do espac¸o topolo´gico X) e F e´ fechado
em X enta˜o A\F e´ aberto em X e F\A e´ fechado em X.
1.5 Interior, vizinhanc¸as, fecho
Definic¸a˜o 1.6. (Interior) Dado um subconjunto B de um espac¸o topolo´gico X, definimos o
INTERIOR de B ( intB) como a unia˜o de todos os conjuntos abertos contidos em B.
Teorema 1.7. Seja X um espac¸o topolo´gico. Sa˜o consequeˆncias imediatas da definic¸a˜o de
interior de um conjunto (mostre):
a) intB ⊂ B ∀ B ⊂ X.
b) intB e´ aberto ∀ B ⊂ X.
c) B e´ aberto
B⊂X⇐⇒ B = intB.
d) A ⊂ B ⇒ intA ⊂ intB ∀ A, B ⊂ X.
e) int (A ∩ B) = intA ∩ intB ∀ A, B ⊂ X.
Exerc´ıcio: Mostre que, ∀ A, B ⊂ X (espac¸o topolo´gico), int (A ∪ B) ⊃ intA ∪ intB.
Deˆ um exemplo em que esta inclusa˜o na˜o se reduz a` igualdade.
Definic¸a˜o 1.8. (Vizinhanc¸a) Seja X um espac¸o topolo´gico. Um subconjunto V ⊂ X e´ uma
VIZINHANC¸A de um ponto x ∈ X se, e somente se, existe um aberto A tal que x ∈ A ⊂ V .
6 CAPI´TULO 1
Teorema 1.9. Seja X um espac¸o topolo´gico. Sa˜o consequeˆncias imediatas da definic¸a˜o de
vizinhanc¸a (mostre):
a) V e´ vizinhanc¸a de x ∈ X ⇔ x ∈ intV
b) A e´ aberto
A⊂X⇐⇒ A e´ vizinhanc¸a de cada um de seus pontos.
Exerc´ıcios:
1)Mostre que a intersec¸a˜o de duas vizinhanc¸as de um ponto e´ uma vizinhanc¸a deste ponto.
2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.
Mostre que se V e´ uma vizinhanc¸a de um ponto x ∈ X na topologia mais fraca τ enta˜o
V e´ uma vizinhanc¸a de X na topologia mais forte τ ′.
Mostre atrave´s de um exemplo que a rec´ıproca da afirmac¸a˜o acima na˜o e´ verdadeira.
Definic¸a˜o 1.10. (Base de vizinhanc¸as de um ponto)
Dado x ∈ X (espac¸o topolo´gico), uma colec¸a˜o Bx de vizinhanc¸as de x e´ dita ser uma
BASE DE VIZINHANC¸AS DE x se, e somente se, para cada vizinhanc¸a V de x e´ poss´ıvel
obter uma vizinhanc¸a B ∈ Bx tal que B ⊂ V .
Os elementos B ∈ Bx sa˜o chamados VIZINHANC¸AS BA´SICAS DE x.
Exerc´ıcios:
1) Seja B uma base para uma topologia τB sobre um espac¸o X (ver Sec¸a˜o 1.2). Dado
x ∈ X, mostre que a colec¸a˜o Bx = {B ∈ B ; x ∈ B} e´ uma base de vizinhanc¸as de x.
2) Mostre que Bx = { (x− �, x+ �) ; � > 0 }, intervalos abertos centrados em um ponto
x ∈ IR , formam uma base de vizinhanc¸as de x na Topologia Usual da Reta.
3) Seja X = {f : IR→ IR} . Considerando o Exemplo B da Sec¸a˜o 1.2, mostre que
BO = { VF, � = {f ∈ X ; |f(x)| < � ∀ x ∈ F } F (finito) ⊂ IR , � > 0 } e´ uma base de vizi-
nhanc¸as da func¸a˜o nula O : IR→ IR na topologia considerada.
Definic¸a˜o 1.11. (Fecho)
Seja X um espac¸o topolo´gico. Dado um subconjunto B ⊂ X, definimos o FECHO DE B
(B¯ ou clXB ou clB) como a intersec¸a˜o de todos os conjuntos fechados que conteˆm B.
Topologia Geral 7
Teorema 1.12. Seja X um espac¸o topolo´gico. Sa˜o consequeˆncias imediatas da definic¸a˜o de
fecho de um conjunto (mostre):
a) B ⊂ clB ∀ B ⊂ X.
b) clB e´ fechado ∀ B ⊂ X.
c) B e´ fechado
B⊂X⇐⇒ B = clB.
d) A ⊂ B ⇒ clA ⊂ clB ∀ A, B ⊂ X.
e) cl (A ∪ B) = clA ∪ clB ∀ A, B ⊂ X.
Teorema 1.13. Seja X um espac¸o topolo´gico. Dados B ⊂ X e x ∈ X, temos:
x ∈ clB se, e somente se, toda vizinhanc¸a de x intersecta o conjunto B.
Prova:
Exerc´ıcios:
1) Considere o conjunto X = {a, b, c, d, e} e a seguinte topologia sobre X:
τ = {φ , X, {a} , {a, b} , {a, c, d} , {a, b, c, d} , {a, b, e} } .
(a) Obtenha todas as vizinhanc¸as do ponto c.
(b) Qual a “menor” base de vizinhanc¸as do ponto a ?
(c) Obtenha o fecho do subconjunto {b, c} ⊂ X .
(d) Obtenha o interior do subconjunto {a, b, c} ⊂ X .
(e) Se A = {a, c, e}, qual e´ a topologia relativa (de subespac¸o) de A ?
8 CAPI´TULO 1
2) Mostre por um contra-exemplo que podemos ter int ( clA) 6= cl ( intA).
3) Considere B ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Mostre que X\ clB = int (X\B) e que
X\ intB = cl (X\B).
4) Seja Y ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Mostre que { Y ∩ F ; F e´ fechado em X } e´ a
colec¸a˜o dos conjuntos fechados do subespac¸o topolo´gico Y ⊂ X.
5) Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Mostre que cl YB = Y ∩ clXB.
Obs.: cl YB e´ o fecho de B no espac¸o Y (subespac¸o topolo´gico de X)
clXB e´ o fecho de B no espac¸o X.
(Sugesta˜o: use o exerc´ıcio anterior)
6) Mostre que A ⊂ X (espac¸o topolo´gico) e´ aberto se, e somente se, A ∩ cl (X\A) = φ .
7) Mostre que se A, B ⊂ X (espac¸o topolo´gico), enta˜o cl (A ∩ B) ⊂ ( clA ∩ clB).
Deˆ um exemplo em que esta inclusa˜o na˜o se reduz a` igualdade.
8) Se um aberto A conte´m pontos do fecho de B, enta˜o A conte´m pontos de B (mostre).
9) (Pontos de acumulac¸a˜o) Seja B ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Um ponto x ∈ X e´
dito PONTO DE ACUMULAC¸A˜O DE B se, e somente se, toda vizinhanc¸a de x intersecta
B\ {x} . Denotamos por B′ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de B.
Mostre que clB = B ∪ B′ ∀ B ⊂ X. Podemos garantir que B′ e´ sempre fechado?
Caso a resposta seja SIM, prove. Se na˜o, apresenteum contra-exemplo.
10) (Fronteira) Seja B ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Definimos a FRONTEIRA DE B
(e escrevemos frB ou ∂B) como o conjunto:
frB = clB ∩ cl (X\B)
(a) Mostre que intB ∩ frB = φ
(b) Mostre que frB = φ ⇔ B e´ aberto e fechado.
(c) Mostre que A e´ aberto ⇔ frA = ( clA)\A.
(d) Mostre que se A e´ aberto enta˜o sua fronteira possui interior vazio.
(e) Deˆ exemplo de um conjunto B, que na˜o seja vazio nem o espac¸o todo, cuja fronteira
seja um conjunto aberto.
(f) Mostre que se F e´ fechado enta˜o sua fronteira tem interior vazio.
11) (Densidade) Um subconjunto B ⊂ X (espac¸o topolo´gico) e´ DENSO EM X se, e
somente se, clXB = X.
Um espac¸o topolo´gico e´ dito SEPARA´VEL se possuir um subconjunto enumera´vel denso.
Topologia Geral 9
Sejam B ⊂ Y ⊂ X (espac¸o topolo´gico). B e´ denso em Y se, e somente se, B e´ denso no
subespac¸o Y (com a topologia de subespac¸o), isto e´, se, e somente se, cl YB = Y .
Se B ⊂ Y ⊂ X (espac¸o topolo´gico), mostre que B e´ denso em Y se, e somente se,
Y ⊂ clXB.
12) Mostre que se A e´ aberto em X (espac¸o topolo´gico) e D ⊂ X e´ denso em X enta˜o
A ∩ D e´ denso em A.
13) Um subconjunto H de um espac¸o topolo´gico X e´ chamado “NOWHERE DENSE”
(ou “RARO”) quando int ( clXH) = φ .
Prove: Se H e´ um subconjunto “nowhere dense” de X, enta˜o X\( clXH) e´ denso em X.
14) Para cada n = 0, 1, 2, 3, . . . , seja An = { n, n+ 1, n+ 2, . . .}. Consideremos em
X = { 0, 1, 2, 3, . . .} a topologia τ = {φ , An ; n = 0, 1, 2, 3, . . .}.
(a) Determine os subconjuntos fechados de (X, τ).
(b) Determine o fecho dos conjuntos { 8, 12, 36} e { 2n ; n ∈ X}.
(c) Determine quais os subconjuntos de X que sa˜o densos em X.
1.6 Espac¸os de Hausdorff
Definic¸a˜o 1.14. Um espac¸o topolo´gico X e´ dito ser um ESPAC¸O DE HAUSDORFF se, e
somente se, para cada par de pontos distintos x, y ∈ X e´ poss´ıvel obter abertos disjuntos
U e V tais que x ∈ U e y ∈ V .
Um espac¸o de Hausdorff e´ tambe´m chamado SEPARADO, ou T2.
Teorema 1.15. Todo conjunto unita´rio em um espac¸o de Hausdorff e´ fechado.
Prova:
Corola´rio 1. Todo conjunto finito em um espac¸o de Hausdorff e´ fechado.
(Exemplos)
10 CAPI´TULO 1
Exerc´ıcios:
1) (Alguns axiomas de separac¸a˜o) Consideremos as classificac¸o˜es abaixo:
T0 : Um espac¸o topolo´gico X e´ dito ser T0 (ou a topologia de X e´ dita T0) se, e somente se,
dados dois pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existe um aberto contendo um destes pontos e
na˜o contendo o outro.
T1 : Um espac¸o topolo´gico X e´ dito ser T1 se, e somente se, dados dois pontos distintos
x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos U e V tais que x ∈ U, y ∈ V, x 6∈ V e y 6∈ U .
T2 : Um espac¸o topolo´gico X e´ dito ser T2 (ou Hausdorff) se, e somente se, dados dois
pontos distintos x, y ∈ X (x 6= y), existem abertos disjuntos U e V tais que x ∈ U e
y ∈ V .
Obs.: Existem outros axiomas de separac¸a˜o (T3, T31/2 , T4, . . .)
(a) E´ o´bvio que todo espac¸o T2 e´ T1 e todo espac¸o T1 e´ T0. Pore´m nem todo espac¸o T0 e´ T1
e nem todo espac¸o T1 e´ T2 (caso contra´rio na˜o faria sentido definir espac¸os de tipos diferentes!)
Deˆ um exemplo de um espac¸o que na˜o e´ T0.
Deˆ um exemplo de um espac¸o que e´ T0 mas na˜o e´ T1.
Deˆ um exemplo de um espac¸o que e´ T1 mas na˜o e´ T2 (Sugesta˜o: mostre que qualquer
conjunto infinito com a Topologia do Complemento Finito - ver exerc´ıcios da Sec¸a˜o 1.1 - e´ T1
mas na˜o e´ T2).
(b) Mostre que um espac¸o topolo´gico e´ T1 se, e somente se, todo subconjunto unita´rio e´
fechado.
2) Sejam τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre um conjunto X (τ ′ mais forte que τ).
Que tipo de resultado podemos inferir sobre essas topologias com relac¸a˜o aos axiomas de
separac¸a˜o T0, T1 e T2 ?
O que podemos concluir sobre as “chances” de uma topologia atender a`s condic¸o˜es T0, T1
ou T2, no que diz respeito a` sua “forc¸a”?
1.7 Sequeˆncias em espac¸os topolo´gicos
Definic¸a˜o 1.16. Sejam X um espac¸o topolo´gico e (xn) ⊂ X uma sequeˆncia em X.
Um ponto x ∈ X e´ LIMITE da sequeˆncia (xn) (equivalentemente dizemos que (xn)
converge para x e escrevemos xn → x) se, e somente se, para cada vizinhanc¸a V de x e´
poss´ıvel obter um ı´ndice n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V .
Topologia Geral 11
Observac¸a˜o: E´ interessante notar a importaˆncia da topologia no conceito de convergeˆncia
de sequeˆncias, ou melhor, dada uma sequeˆncia (xn) em um espac¸o topolo´gico X, a con-
vergeˆncia ou na˜o de (xn) para um ponto x ∈ X depende fortemente da topologia
considerada sobre X. Por este motivo, a`s vezes e´ conveniente explicitarmos qual topolo-
gia esta´ sendo considerada, principalmente quando o problema puder envolver mais de uma
topologia sobre um mesmo conjunto X.
Exemplo:
Exerc´ıcio:
Sejam X um espac¸o topolo´gico e (xn) uma sequeˆncia em X.
(a) Dado x ∈ X, fixe uma base Bx de vizinhanc¸as de x e mostre que xn → x se, e
somente se, para cada vizinhanc¸a ba´sica V ∈ Bx de x e´ poss´ıvel obter um ı´ndice n0 ∈ IN
tal que n > n0 ⇒ xn ∈ V . (Veja: base de vizinhanc¸as de um ponto, Sec¸a˜o 1.5)
Obs.: Moral da esto´ria: podemos verificar (e ate´ definir) convergeˆncia de sequeˆncias
utilizando vizinhanc¸as ba´sicas.
12 CAPI´TULO 1
(b) Consideremos a Topologia Usual da Reta IR. Utilizando a parte (a) anterior e o fato de
que os intervalos abertos centrados em um ponto da reta constituem uma base de vizinhanc¸as
desse ponto, conclua que (na Topologia Usual) uma sequeˆncia (xn) ⊂ IR converge para
um ponto x ∈ IR se, e somente se, dado � > 0, existe um ı´ndice n0 ∈ IN tal que
n > n0 ⇒ |xn − x| < �.
Obs.: A caracterizac¸a˜o de convergeˆncia obtida acima em (b) (e utilizada como definic¸a˜o
quando e´ fixada a Topologia Usual da Reta) e´ um caso particular da definic¸a˜o 1.16!
Teorema 1.17. Se X e´ um espac¸o de Hausdorff enta˜o toda sequeˆncia convergente em X
converge para um u´nico limite.
Teorema 1.18. Sejam X um conjunto e τ ⊂ τ ′ duas topologias sobre X (τ ′ mais forte do
que τ). Se (xn) ⊂ X e´ tal que xn τ
′→ x ∈ X enta˜o xn τ→ x.
Teorema 1.19. Sejam X um espac¸o topolo´gico e B ⊂ X um subconjunto de X. Se existe
uma sequeˆncia (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) que converge para um ponto x ∈ X, enta˜o x ∈ clB.
Observac¸a˜o: A rec´ıproca do teorema acima na˜o e´ verdadeira em geral.
E´ poss´ıvel obter um espac¸o topolo´gico X, um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X
tais que x ∈ clB mas na˜o existe nenhuma sequeˆncia (xn) ⊂ B convergindo para x.
O contra-exemplo a seguir ilustra essa situac¸a˜o.
Contra-exemplo:
Topologia Geral 13
Apesar de existirem (e muitos) espac¸os onde, devido a suas topologias, a rec´ıproca do
Teorema 1.19 e´ verdadeira (por exemplo: IR e C com suas Topologias Usuais), na˜o podemos
em geral, a` luz da observac¸a˜o e do contra-exemplo acima, caracterizar (nem definir portanto)
o fecho de um conjunto B como o conjunto dos limites de sequeˆncias em B.
Por esta inadequac¸a˜o das sequeˆncias na caracterizac¸a˜o do fecho surgem novos con-
ceitos, de FILTROS e NETS (generalizac¸a˜o de sequeˆncias) que ajudam a contornar o problema
acima.
Exerc´ıcios:
1) Prove o Teorema 1.17
2) Prove o Teorema 1.18
3) Prove o Teorema 1.19
4) Seja X um espac¸o topolo´gico onde na˜o e´ va´lida a rec´ıproca do Teorema 1.19, isto e´,
existem um subconjunto B ⊂ X e um ponto x ∈ X tais que x ∈ clB mas na˜o existe
nenhuma sequeˆncia (xn) ⊂ B convergindo para x.
Para cada D ⊂ X , definimos o conjunto D = {x ∈ X ; ∃ (xn) ⊂ D com limxn = x}
(D e´ o conjunto dos limites de sequeˆncias em D).
Usando o conjunto B acima, prove que o conjunto D nem sempre e´ fechado (seu comple-
mentar na˜o e´ aberto) e conclua (se quisermos naturalmente que os fechos sejam fechados) que
na˜o podemos definir o fecho de um conjunto F como F (isto e´, o conjunto dos limites de suas
sequeˆncias).
5) Um espac¸o topolo´gico X satisfaz ao1o AXIOMA DA ENUMERABILIDADE quando
cada ponto de X possui uma base de vizinhanc¸as enumera´vel.
(a) Sendo X um espac¸o topolo´gico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre
que cada x ∈ X possui uma base enumera´vel de vizinhanc¸as “encaixadas”:
Bx = { V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ . . . ⊃ Vn ⊃ . . .}
(b) Se X e´ um espac¸o topolo´gico que satisfaz ao 1o Axioma da Enumerabilidade, mostre
que em X vale a rec´ıproca do Teorema 1.19, ou seja, se um ponto x pertence ao fecho clB
de um conjunto B ⊂ X, enta˜o existe uma sequeˆncia (xn) em B tal que xn → x. A partir
da´ı, conclua que neste tipo de espac¸o podemos definir o fecho de um conjunto de uma nova
maneira (defina).
(c) Mostre que a reta IR e o plano complexo C (IR2) com suas Topologias Usuais sa˜o
espac¸os topolo´gicos que satisfazem ao 1o Axioma da Enumerabilidade (no estudo de Ana´lise
na Reta e Ana´lise no IRn, onde sa˜o consideradas as Topologias Usuais, podemos caracterizar
e portanto definir o fecho de um conjunto atrave´s de sequeˆncias).
14 CAPI´TULO 1
1.8 Func¸o˜es cont´ınuas
Definic¸a˜o 1.20. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos. Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita ser
CONTI´NUA se, e somente se, para cada subconjunto A aberto de Y , sua imagem inversa
f−1(A) e´ um aberto de X.
(Exemplos)
Teorema 1.21. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos e f : X → Y . Enta˜o, sa˜o equivalentes:
(1) f e´ cont´ınua.
(2) Para todo conjunto F fechado em Y , f−1(F ) e´ fechado em X.
(3) Para todo subconjunto B ⊂ X, tem-se f( clB) ⊂ cl (f(B)).
(4) Para todo subconjunto D ⊂ Y , tem-se f−1( intD) ⊂ int (f−1(D)) .
Prova: Exerc´ıcio
Observac¸a˜o: E´ importante notar que, dados dois espac¸os topolo´gicos X e Y e uma func¸a˜o
f : X → Y , a continuidade de f depende das topologias consideradas sobre X e Y .
Este fato enfatiza a natureza topolo´gica do conceito de continuidade.
Teorema 1.22. Sejam X, Y e Z espac¸os topolo´gicos. Temos:
(a) (Func¸a˜o constante) Se f : X → Y “leva” todo X em um u´nico ponto y0 ∈ Y enta˜o
f e´ cont´ınua.
(b) (Inclusa˜o) Se B ⊂ X e´ subespac¸o de X, enta˜o a func¸a˜o de inclusa˜o j : B → X, dada
por j(x) = x ∀ x ∈ B, e´ cont´ınua.
(c) (Composic¸a˜o) Se f : X → Y e g : Y → Z sa˜o cont´ınuas enta˜o a aplicac¸a˜o composta
g ◦ f : X → Z e´ cont´ınua.
(d) (Restringindo o domı´nio) Se f : X → Y e´ cont´ınua e B ⊂ X e´ um subespac¸o de X,
enta˜o a restric¸a˜o f |B : B → Y e´ cont´ınua.
(e) (Restringindo ou estendendo o contra-domı´nio) Seja f : X → Y cont´ınua. Se Z ⊂ Y
e´ um subespac¸o de Y tal que f(X) ⊂ Z enta˜o a func¸a˜o g : X → Z dada por g(x) = f(x)
para todo x ∈ X e´ cont´ınua. Se Z e´ um espac¸o tal que Y ⊂ Z e´ subespac¸o de Z enta˜o a
func¸a˜o h : X → Z dada por h(x) = f(x) para todo x ∈ X e´ cont´ınua.
Prova: Exerc´ıcio.
Topologia Geral 15
Definic¸a˜o 1.23. (Continuidade em um ponto) Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos. A aplicac¸a˜o
f : X → Y e´ dita CONTI´NUA NO PONTO x0 ∈ X se, e somente se, para cada vizinhanc¸a
V de f(x0) em Y e´ poss´ıvel obter uma vizinhanc¸a U de x0 em X tal que f(U) ⊂ V .
Teorema 1.24. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos. A aplicac¸a˜o f : X → Y e´ cont´ınua se, e
somente se, f e´ cont´ınua em todo ponto de X.
Prova: Exerc´ıcio
Exerc´ıcios:
1) Seja X = A ∪ B um espac¸o topolo´gico, com A e B fechados em X.
Sejam f : A→ Y e g : B → Y cont´ınuas, de modo que f(x) = g(x) ∀ x ∈ A ∩ B.
Mostre que e´ poss´ıvel combinar f e g para construir uma func¸a˜o cont´ınua h : X → Y
pondo h(x) = f(x) se x ∈ A e h(x) = g(x) se x ∈ B.
2) Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos, Y de Hausdorff e f, g : X → Y cont´ınuas em
a ∈ X. Mostre que se f(a) 6= g(a) enta˜o existe uma vizinhanc¸a V de a em X tal que
x, y ∈ V ⇒ f(x) 6= g(y).
3) Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos e f : X → Y .
(a) Dado x0 ∈ X, fixe uma base Bx0 de vizinhanc¸as de x0 e uma base Bf(x0) de
vizinhanc¸as de f(x0). Mostre que f e´ cont´ınua em x0 se, e somente se, para cada vizinhanc¸a
ba´sica V ∈ Bf(x0) de f(x0) e´ poss´ıvel obter uma vizinhanc¸a ba´sica U ∈ Bx0 de x0 tal que
f(U) ⊂ V .
Obs.: Moral da esto´ria: podemos verificar (e ate´ definir) continuidade de uma func¸a˜o
num ponto utilizando vizinhanc¸as ba´sicas.
(b) Sabendo que os intervalos abertos centrados em um ponto x ∈ IR constituem uma base
de vizinhanc¸as desse ponto na Topologia Usual da Reta, mostre que uma func¸a˜o f : IR→ IR
e´ cont´ınua em x0 ∈ IR (considerando a Topologia Usual) se, e somente se, dado � > 0 e´
poss´ıvel obter um δ > 0 tal que |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < �.
Obs.: A caracterizac¸a˜o obtida acima em (b) (e utilizada como definic¸a˜o quando e´ fixada
a Topologia Usual da Reta) e´ um caso particular da definic¸a˜o 1.23!
4) Dados um conjunto X, um espac¸o topolo´gico Y e uma func¸a˜o f : X → Y , determinar
a topologia mais fraca sobre X tal que f seja cont´ınua.
16 CAPI´TULO 1
Teorema 1.25. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos. Se a func¸a˜o f : X → Y e´ cont´ınua em
x0 ∈ X enta˜o, para toda sequeˆncia (xn) ⊂ X tal que xn → x0 , temos que f(xn) → f(x0)
em Y .
Prova:
Observac¸a˜o: A rec´ıproca do teorema acima na˜o e´ verdadeira em geral.
Assim, da mesma forma que no caso do fecho, as sequeˆncias mostram-se inadequadas
para a caracterizac¸a˜o da continuidade, no caso geral (vale ressaltar que existem casos - por
exemplo IR e C com suas Topologias Usuais - nos quais vale a rec´ıproca do teorema acima e
portanto tal caracterizac¸a˜o e´ poss´ıvel).
Exerc´ıcio: Mostre que se X e´ um espac¸o topolo´gico que satisfaz ao 1o Axioma da Enu-
merabilidade (ou seja, cada ponto de X possui uma base de vizinhanc¸as enumera´vel), enta˜o
vale a rec´ıproca do teorema acima e neste caso podemos caracterizar a continuidade atrave´s
de sequeˆncias.
1.9 Homeomorfismos
Definic¸a˜o 1.26. Consideremos uma bijec¸a˜o f : X → Y entre dois espac¸os topolo´gicos X
e Y . Dizemos que f e´ um HOMEOMORFISMO se, e somente se, f e sua func¸a˜o inversa
f−1 : Y → X sa˜o cont´ınuas. Dois espac¸os topolo´gicos sa˜o ditos HOMEOMORFOS se existir
um homeomorfismo entre ambos.
Definic¸a˜o 1.27. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos. Uma aplicac¸a˜o f : X → Y e´ dita
ABERTA se, e somente se, para todo A ⊂ X aberto em X tem-se f(A) ⊂ Y aberto em Y .
f : X → Y e´ dita FECHADA se, e somente se, para todo F ⊂ X fechado em X tem-se
f(F ) ⊂ Y fechado em Y .
Topologia Geral 17
Observac¸a˜o:
Se X e Y sa˜o espac¸os topolo´gicos homeomorfos, por um homeomorfismo f : X → Y , enta˜o
e´ imediato que se A ⊂ X e´ aberto enta˜o f(A) ⊂ Y e´ aberto (f e´ uma aplicac¸a˜o aberta),
se F ⊂ X e´ fechado enta˜o f(F ) ⊂ Y e´ fechado (f e´ uma aplicac¸a˜o fechada). E´ imediato
tambe´m que f−1 e´ uma aplicac¸a˜o aberta e fechada.
Assim, se dois espac¸os topolo´gicos X e Y sa˜o homeomorfos, podemos dizer que ambos sa˜o
INDISTINGUI´VEIS DO PONTO DE VISTA TOPOLO´GICO.
1.10 Conexidade
Definic¸a˜o 1.28. (Cisa˜o) Uma CISA˜O de um espac¸o topolo´gico X e´ uma decomposic¸a˜o
X = A ∪ B onde A ∩ B = φ e os conjuntos A e B sa˜o ambos abertos em X.
Observac¸a˜o: Todo espac¸o topolo´gico X admite a cisa˜o trivial X = X ∪ φ .
Definic¸a˜o 1.29. (Conexos) Um espac¸o topolo´gico X e´ dito CONEXO se, e somente se, ele
na˜o admite outra cisa˜o ale´m da cisa˜o trivial.
Observac¸a˜o: E´ imediato que um espac¸o topolo´gico e´ conexo se, e somente se, os u´nicos
subconjuntos de X que sa˜o simultaneamente abertos e fechados em X sa˜o o conjunto vazio φ
e o pro´prio espac¸o X.
O pro´ximo teorema e´ u´til na caracterizac¸a˜o de cisa˜o de um subespac¸o topolo´gico:
Teorema 1.30. Seja Y ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Y = A ∪ B, com A ∩ B = φ , e´ uma
cisa˜o do subespac¸o Y ⊂ X se, e somente se, clA ∩ B = φ = A ∩ clB, onde os fechos sa˜o
considerados no espac¸o X.
Prova: Exerc´ıcio.
Lema 1.31. Seja X = A ∪ B uma cisa˜o do espac¸o topolo´gico X. Seja Y ⊂ X. Se Y e´
conexo (e na˜o-vazio) enta˜o ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B.
Prova:18 CAPI´TULO 1
Teorema 1.32. A unia˜o de uma colec¸a˜o de conjuntos conexos com pelo menos um ponto em
comum e´ conexa.
Prova:
Teorema 1.33. Se A ⊂ X e´ conexo e A ⊂ B ⊂ clA enta˜o B e´ conexo.
Prova:
Corola´rio 1. Se A e´ conexo e B e´ formado a partir de A adicionando-se alguns ou todos os
pontos de seu fecho enta˜o B e´ conexo.
Exerc´ıcios:
1) Seja { An} uma sequeˆncia de subconjuntos conexos de um espac¸o topolo´gico X, tais
que An ∩ An+1 6= φ para todo n. Mostre que a unia˜o
⋃
An e´ conexa.
2) Seja { Aα} uma colec¸a˜o de subconjuntos conexos de um espac¸o topolo´gico X. Seja
A ⊂ X conexo. Mostre que se A ∩ Aα 6= φ para todo α, enta˜o a unia˜o A ∪ (
⋃
An) e´
conexa.
3) (Teorema da Alfaˆndega) Seja A ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Mostre que se C ⊂ X e´
conexo, C ∩ A 6= φ e C ∩ (X\A) 6= φ enta˜o C ∩ frA 6= φ .
Topologia Geral 19
Teorema 1.34. A imagem de um espac¸o conexo por uma aplicac¸a˜o cont´ınua e´ conexa.
Prova:
Nota: O teorema acima garante que se um espac¸o topolo´gico conexo X e´ homeomorfo a
um espac¸o Y , enta˜o Y e´ conexo, ou melhor, a conexidade e´ uma invariante topolo´gica. Por
este motivo, diz-se tambe´m que a conexidade e´ uma PROPRIEDADE TOPOLO´GICA.
Exerc´ıcios:
1) Uma aplicac¸a˜o f : X → Y e´ dita LOCALMENTE CONSTANTE se, e somente se,
para todo x ∈ X existe uma vizinhanc¸a V de x onde f e´ constante.
Mostre que se f : X → Y e´ localmente constante e X e´ conexo enta˜o f e´ constante.
2) (Teorema do Valor Intermedia´rio):
(a) Prove que todo subconjunto conexo de IR (na Topologia Usual) e´ um intervalo.
(b) Sejam X conexo e f : X → IR (Topologia Usual) cont´ınua. Mostre que f tem a
PROPRIEDADE DO VALOR INTERMEDIA´RIO, isto e´, se existem x1, x2 ∈ X tais que
f(x1) = a < b = f(x2) enta˜o, dado c entre a e b (a < c < b) existe x ∈ X tal que f(x) = c.
3) Seja A ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Dado a ∈ A, definimos a COMPONENTE CONEXA
Ca DE a como a reunia˜o de todos os subconjuntos conexos de A que conteˆm a.
(a) Mostre que Ca e´ o maior subconjunto conexo de A contendo o ponto a.
(b) Seja h : X → Y um homeomorfismo. Mostre que se Cx e´ a componente conexa do
ponto x em X enta˜o Dy = h(Cx) e´ a componente conexa de y = h(x) em Y .
Obs.: A letra (b) anterior mostra que um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma
bijec¸a˜o entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y .
20 CAPI´TULO 1
1.11 Compacidade
Definic¸a˜o 1.35. (Cobertura) Uma colec¸a˜o A de subconjuntos de um espac¸o topolo´gico X e´
dita uma COBERTURA de X se, e somente se, a unia˜o dos elementos de A e´ igual a X. E´
chamada uma COBERTURA ABERTA se os elementos de A sa˜o abertos em X.
Definic¸a˜o 1.36. (Compactos) Um espac¸o topolo´gico X e´ dito COMPACTO se, e somente
se, toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita, isto e´, conte´m uma subcolec¸a˜o
finita que tambe´m cobre X.
Teorema 1.37. Seja Y ⊂ X (espac¸o topolo´gico). Y e´ compacto se, e somente se, toda
cobertura aberta de Y por abertos em X admite uma subcobertura finita.
Prova: Exerc´ıcio.
Teorema 1.38. Todo subconjunto fechado de um espac¸o compacto e´ compacto.
Prova:
Teorema 1.39. Todo subconjunto compacto de um espac¸o de Hausdorff e´ fechado.
Prova:
Topologia Geral 21
Teorema 1.40. A imagem de um espac¸o compacto por uma aplicac¸a˜o cont´ınua e´ tambe´m um
compacto.
Prova:
Nota: O teorema acima garante que a compacidade e´ uma invariante topolo´gica.
Exerc´ıcios:
1) Mostre que todo espac¸o discreto (Topologia Discreta) e compacto e´ finito.
2) Sejam τ e τ ′ duas topologias sobre um conjunto X.
Qual a relac¸a˜o entre a compacidade de X sob uma dessas topologias e a outra, se τ ⊂ τ ′ ?
Mostre que se X e´ compacto e Hausdorff em ambas as topologias enta˜o τ = τ ′ ou elas
na˜o sa˜o compara´veis.
3) Mostre que se f : X → Y e´ cont´ınua, X e´ compacto e Y e´ Hausdorff, enta˜o f e´ uma
aplicac¸a˜o fechada (i. e´, f leva conjuntos fechados de X em conjuntos fechados de Y ).
4) Sejam A e B subconjuntos compactos e disjuntos de um espac¸o de Hausdorff X.
Mostre que existem abertos disjuntos U e V contendo A e B respectivamente.
22 CAPI´TULO 1
Cap´ıtulo 2
Espac¸os me´tricos
Neste segundo cap´ıtulo introduzimos o conceito de espac¸o me´trico e surgira˜o natural-
mente as topologias induzidas por me´tricas. Estudamos enta˜o noc¸o˜es de convergeˆncia (de
sequeˆncias), continuidade (de func¸o˜es) e compacidade em espac¸os me´tricos, ale´m de con-
tinuidade uniforme e me´tricas equivalentes.
2.1 Espac¸os me´tricos
Definic¸a˜o 2.1. Uma ME´TRICA sobre um conjunto X e´ uma func¸a˜o d : X ×X → IR que
associa a cada par ordenado de elementos x, y ∈ X um nu´mero real d(x, y) chamado a
distaˆncia de x a y, de modo que se tenha, para todos x, y, z ∈ X:
d.1) d(x, x) = 0
d.2) Se x 6= y enta˜o d(x, y) > 0
d.3) d(x, y) = d(y, x) (Simetria)
d.4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Desigualdade Triangular)
Um conjunto X munido de uma me´trica d (fixada) e´ chamado ESPAC¸O ME´TRICO.
Exemplos:
A) Me´trica Discreta:
Seja X um conjunto qualquer. d : X ×X → IR dada por
{
d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
e´ uma me´trica em X, conhecida como ME´TRICA DISCRETA.
23
24 CAPI´TULO 2
B) Me´trica Usual da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos nu´meros reais.
d : IR× IR→ IR dada por d(x, y) = |x− y| e´ uma me´trica em IR.
C) Algumas me´tricas no Plano Complexo (ou no IR2):
Consideremos o conjunto C = { z = x+ iy ; x, y ∈ IR} dos nu´meros complexos e defi-
namos de, ds, dm : C× C→ IR pondo, para todos a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C :
de(a, b) = |a− b| = |(a1 − b1) + i(a2 − b2)| =
√
(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2
ds(a, b) = |a1 − b1|+ |a2 − b2|
dm(a, b) = max {|a1 − b1| , |a2 − b2|}
Todas as treˆs func¸o˜es acima sa˜o me´tricas sobre C.
de e´ conhecida como Me´trica Euclidiana.
ds e´ conhecida como Me´trica da Soma.
dm e´ conhecida como Me´trica do Ma´ximo.
D) Subespac¸o me´trico - me´trica induzida:
Seja (X, d) um espac¸o me´trico. Se Y e´ um subconjunto de X podemos induzir uma
me´trica natural em Y , a partir da me´trica d:
dY = d |Y×Y : Y × Y → IR e´ uma me´trica em Y (induzida em Y por d)
O espac¸o me´trico (Y, dY ) e´ dito SUBESPAC¸O (ME´TRICO) do espac¸o me´trico (X, d).
Assim, todo subconjunto de um espac¸o me´trico pode ser considerado, de modo natural,
como um espac¸o me´trico.
E) Me´trica do sup:
Seja X um conjunto arbitra´rio. Uma func¸a˜o real f : X → IR diz-se LIMITADA quando
existe uma constante k = kf > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ X.
Seja B(X; IR) o conjunto das func¸o˜es limitadas f : X → IR.
Definimos uma me´trica d em B(X; IR) pondo, para todas f, g ∈ B(X; IR):
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x)− g(x)|
Exerc´ıcio: Verifique que d acima esta´ bem definida e que e´ uma me´trica em B(X; IR).
Espac¸os me´tricos 25
Exerc´ıcios:
1) Mostre que as func¸o˜es dadas nos exemplos sa˜o realmente me´tricas.
2) Seja d : X ×X → IR uma me´trica em X. Mostre que α(x, y) =√d(x, y),
β(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
e γ(x, y) = min {1, d(x, y)} tambe´m sa˜o me´tricas em X.
2.2 Bolas, esferas e conjuntos limitados
Definic¸a˜o 2.2. Sejam a um ponto num espac¸o me´trico X e r > 0 um nu´mero real. Definimos:
(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x ∈ X ; d(x, a) < r}
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B [a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) ≤ r}
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = {x ∈ X ; d(x, a) = r}
Observac¸a˜o: Seja Y ⊂ X um subespac¸o me´trico do espac¸o me´trico (X, d). Denotando
por BY (a; r) a bola aberta de centro a ∈ Y e raio r na me´trica dY induzida em Y por d,
temos: BY (a; r) = B(a; r) ∩ Y , onde B(a; r) e´ a bola aberta de centro a e raio r em (X, d).
Tambe´m temos que BY [a; r] = B[a; r] ∩ Y e SY [a; r] = S[a; r] ∩ Y .
(Exemplos)
Definic¸a˜o 2.3. Um subconjunto B ⊂ X de um espac¸o me´tricoX e´ dito LIMITADO quando
existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c quaisquer que sejam x, y ∈ B.
Se B 6= φ e B ⊂ (X, d) e´ um conjunto limitado, podemos definir o DIAˆMETRO de B
como
diam (B) = sup { d(x, y) ; x, y ∈ B}
Observac¸a˜o: Os conceitos acima definidos dependem da me´trica d tomada em X.
(Exemplos)
26 CAPI´TULO 2
2.3 A Topologia Me´trica
Seja X = (X, d) um espac¸o me´trico. Existe uma topologia natural sobre X, constru-
ı´da a partir da me´trica d da seguinte forma:
τ = { A ⊂ X ; ∀ a ∈ A, ∃ � > 0 com B(a; �) ⊂ A}
De fato, τ e´ uma topologia sobre X (exerc´ıcio), dita a TOPOLOGIA INDUZIDA PELA
ME´TRICA d.
Assim, todo espac¸o me´trico X = (X, d) pode ser considerado como um espac¸o topolo´gico
X = (X, τ) , onde a topologia τ e´ a topologia induzida pela me´trica d, da forma acima descrita.
Proposic¸a˜o 2.4. Sejam (X, d) um espac¸o me´trico e τ a topologia induzida pela me´trica d
sobre X. Temos:
(i) Para todo a ∈ X, a colec¸a˜o Ba = {B(a; �), � > 0, � ∈ IR} das bolas abertas de centro
a e´ uma base de vizinhanc¸as de a na topologia τ .
(ii) Para todo a ∈ X e todo r > 0, r ∈ IR, B(a; r) ∈ τ, isto e´, B(a; r) e´ aberto.
(iii) (X, τ) e´ espac¸o de Hausdorff.
(iv) ∀ a ∈ X , B˜a = { B(a; 1/n), n ∈ IN } e´ uma base enumera´vel de vizinhanc¸as de a.
Prova: Exerc´ıcio.
Definic¸a˜o 2.5. Seja (X, τ) um espac¸o topolo´gico. A topologia τ e´ dita METRIZA´VEL se,
e somente se, existe uma me´trica d em X tal que τ e´ a topologia induzida pela me´trica d
sobre X.
Exemplos:
A) Me´trica e Topologia Discretas:
Seja X um conjunto munido da Me´trica Discreta d : X ×X → IR, dada por{
d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
A topologia induzida por d sobre X e´ exatamente a Topologia Discreta τ = P(X).
B) Me´trica e Topologia Usuais da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos nu´meros reais, com a Me´trica Usual d : IR × IR → IR
dada por d(x, y) = |x− y| , quaisquer que sejam x, y ∈ IR.
A topologia induzida por d sobre IR e´ exatamente a Topologia Usual da Reta.
Espac¸os me´tricos 27
C) Topologia Usual do Plano Complexo:
Consideremos o conjunto C dos nu´meros complexos.
A Topologia Usual do Plano Complexo e´ metriza´vel, pois e´ a topologia induzida pela
Me´trica Euclidiana de : C× C→ IR dada por de(a, b) = |a− b| ∀ a, b ∈ C.
Nota: Veremos mais tarde que as me´tricas ds (da Soma) e dm (do Ma´ximo) tambe´m
induzem sobre C a Topologia Usual.
D) Topologias na˜o-metriza´veis:
Pela Proposic¸a˜o 2.4, topologias que na˜o sejam Hausdorff constituem exemplos de topologias
na˜o-metriza´veis. Assim, temos por exemplo:
(i) Se X e´ um conjunto com mais de um elemento e τ = {φ ,X} a Topologia Cao´tica
sobre X, temos que τ na˜o e´ metriza´vel.
(ii) Se X = {a, b, c, d} e τ = {φ , {a} , {b} , {a, b} , X} enta˜o τ na˜o e´ metriza´vel.
Nota: Conve´m observar que existem topologias (importantes) que sa˜o Hausdorff e na˜o-
metriza´veis. Por exemplo, as topologias Fraca (w) e Fraca-Estrela (w∗) estudadas na Ana´lise
Funcional sa˜o em geral topologias Hausdorff e na˜o-metriza´veis.
Exerc´ıcios:
1) Seja A um subconjunto de um espac¸o me´trico (X, d).
Sabemos que a restric¸a˜o de d a A× A e´ uma me´trica em A (subespac¸o me´trico de X), a
qual denotaremos por dA.
A me´trica dA induz uma topologia sobre A, a qual denotaremos por τdA .
Por “outro” lado, d induz uma topologia sobre X, que chamaremos τ e A pode ser visto
como subespac¸o topolo´gico de X, com uma topologia τA dada pelas intersec¸o˜es de A com os
abertos de τ .
Mostre que τdA = τA, ou seja, a topologia de A como subespac¸o me´trico de X e´ a mesma
topologia de A como subespac¸o topolo´gico de X:
2) Um subconjunto D ⊂ X (espac¸o topolo´gico) e´ dito DISCRETO quando todos os seus
pontos sa˜o isolados, isto e´, nenhum ponto de D esta´ em D′, ou melhor ainda, para todo a ∈ D,
existe uma vizinhanc¸a V de a tal que V ∩ D = {a}.
Mostre que todo espac¸o me´trico finito e´ discreto.
28 CAPI´TULO 2
3) Seja D um subconjunto discreto de um espac¸o me´trico (X, d). Obtenha para cada
x ∈ D uma bola aberta Bx = B(x; rx) em X tal que x, y ∈ D, x 6= y ⇒ Bx ∩ By = φ .
4) Sejam (X, d) um espac¸o me´trico e A ⊂ X. Mostre que se A e´ limitado enta˜o seu fecho
clA tambe´m e´ limitado.
5) Deˆ exemplo de um conjunto limitado A em um espac¸o me´trico (X, d) tal que na˜o
existam x0, y0 ∈ A com d(x0, y0) = diamA.
6) Seja (X, d) um espac¸o me´trico. Mostre que as bolas fechadas e as esferas sa˜o conjuntos
fechados em X.
7) Seja A ⊂ X (espac¸o me´trico). Para todo � > 0, seja B(A; �) =
⋃
a∈A
B(a; �).
Mostre que clA =
⋂
�>0
B(A; �).
2.4 Sequeˆncias em espac¸os me´tricos
Definic¸a˜o 2.6. Sejam (X, d) um espac¸o me´trico e (xn) ⊂ X uma sequeˆncia em X.
Um ponto x ∈ X e´ LIMITE da sequeˆncia (xn) se, e somente se, xn → x na topologia
induzida por d sobre X.
Teorema 2.7. Sejam (X, d) um espac¸o me´trico e (xn) ⊂ X uma sequeˆncia em X.
Um ponto x ∈ X e´ limite de (xn) (ou seja, xn → x) se, e somente se, para cada � > 0
dado, e´ poss´ıvel obter n0 ∈ IN tal que n > n0 ⇒ d(xn, x) < �.
Prova:
Obs.: Note que a convergeˆncia de uma sequeˆncia em um espac¸o me´trico depende da
topologia induzida pela me´trica.
Espac¸os me´tricos 29
Teorema 2.8. Sejam (X, d) um espac¸o me´trico e (xn) ⊂ X uma sequeˆncia em X. Temos:
(a) (xn) na˜o pode convergir para dois limites diferentes (unicidade do limite).
(b) Toda sequeˆncia convergente e´ limitada (o conjunto de seus termos e´ limitado).
(c) Se limxn = a enta˜o toda subsequeˆncia de (xn) converge para a.
Teorema 2.9. Sejam X um espac¸o me´trico e B ⊂ X . Temos que x ∈ clB (x ∈ X) se, e
somente se, existe uma sequeˆncia (xn) em B (xn ∈ B ∀ n) tal que xn → x.
Obs.: O Teorema 2.9 mostra que, em espac¸os me´tricos, as sequeˆncias sa˜o adequadas
para caracterizar o fecho de um conjunto (o que na˜o ocorre em espac¸os topolo´gicos em geral).
Exerc´ıcios:
1) Seja (X, d) um espac¸o me´trico. Mostre que se existirem sequeˆncias (xk) e (yk) em
X com limxk = a, lim yk = b e d(yk, a) < r < d(xk, b) para todo k ∈ IN enta˜o d(a, b) = r.
2) Seja X um espac¸o me´trico. Se (xk) e´ uma sequeˆncia em X tal que xk → b ∈ B(a; r)
(a, b ∈ X, r > 0), enta˜o mostre que existe k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; r).
3) (Um espac¸o de func¸o˜es)
Sejam X um conjunto qualquer e (M,dM) um espac¸o me´trico.
Uma func¸a˜o f : X →M e´ dita LIMITADA quando sua imagem f(X) e´ um subconjunto
limitado de M .
Consideremos o conjunto B(X;M) das func¸o˜es f : X →M limitadas.
Dadas f, g ∈ B(X;M), consideremos d(f, g) = supx∈X dM(f(x), g(x)).
Mostre que d esta´ bem definida e e´ uma me´trica em B(X;M) (chamada de Me´trica do
sup ou Me´trica da Convergeˆncia Uniforme).
4) (Sequeˆncias de func¸o˜es - Convergeˆncias Pontual e Uniforme)
Consideremos sequeˆncias de aplicac¸o˜es fn : X →M onde n ∈ IN, X e´ um conjunto qualquer
e (M,dM) e´ um espac¸o me´trico. Consideremos dois tipos de convergeˆncia:
(i) Diz-se que (fn) converge PONTUALMENTE (ou simplesmente) para uma aplicac¸a˜o
f : X →M quando, para cada x ∈ X, fn(x)→ f(x) em M , isto e´, dados x ∈ X e � > 0, e´
poss´ıvel obter um ı´ndice n0 ∈ IN (dependendo de x e �) tal que n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < �.
(ii) Diz-se que (fn) converge UNIFORMEMENTE para uma aplicac¸a˜o f : X → M
quando, dado � > 0, e´ poss´ıvel obter um ı´ndice n0 ∈ IN (dependendo apenas de �) tal que
n > n0 ⇒ dM(fn(x), f(x)) < �, para todo x ∈ X.
30 CAPI´TULO 2
(a) Mostre que a sequeˆncia de func¸o˜es fn : IR → IR dadas por fn(x) = x
n
para todo
n ∈ IN converge pontualmente, mas na˜o uniformemente para a func¸a˜o constante igual a zero.
(b) Mostre que a convergeˆncia no espac¸o me´trico B(X;M) com a topologia induzida pela
Me´trica do sup (veja no exerc´ıcio anterior) e´ uma convergeˆncia uniforme.
Definic¸a˜o 2.10. Uma sequeˆncia (xn) num espac¸o me´trico (X, d)chama-se uma Sequeˆncia
DE CAUCHY quando, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um ı´ndice n0 ∈ IN tal que
m,n > n0 ⇒ d(xm, xn) < �.
Proposic¸a˜o 2.11. Em um espac¸o me´trico, toda sequeˆncia convergente e´ de Cauchy.
Prova: Exerc´ıcio.
Definic¸a˜o 2.12. Diz-se que um espac¸o me´trico X e´ COMPLETO quando toda sequeˆncia de
Cauchy em X e´ convergente.
Exemplos:
Exerc´ıcios:
1) Mostre que num espac¸o me´trico X, toda sequeˆncia de Cauchy e´ limitada.
2) Mostre que uma sequeˆncia de Cauchy que possui uma subsequeˆncia convergente e´ con-
vergente (para o mesmo limite da subsequeˆncia).
3) Mostre que um espac¸o me´trico (X, d) e´ completo se, e somente se, para toda sequeˆncia
“decrescente” F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . de subconjuntos fechados na˜o-vazios Fn ⊂ X com
limn→∞ diam (Fn) = 0 existe um ponto a ∈ X tal que
∞⋂
n=1
Fn = { a}.
(Teorema de Baire) Mostre que se (X, d) e´ um espac¸o completo e F =
∞⋃
n=1
Fn onde cada
Fn e´ fechado e tem interior vazio enta˜o intF = φ .
(Corola´rio) Mostre que se (X, d) e´ um espac¸o completo e X =
∞⋃
n=1
Fn onde cada Fn e´
fechado enta˜o existe pelo menos um Fn0 tal que intFn0 6= φ .
Obs.: O Teorema de Baire da´ origem a uma se´rie de importantes resultados, alguns dos quais
veremos no pro´ximo cap´ıtulo.
Espac¸os me´tricos 31
2.5 Func¸o˜es cont´ınuas
Ao analisarmos a continuidade de func¸o˜es que envolvem espac¸os me´tricos consideraremos
(como no caso das sequeˆncias) as topologias induzidas pelas me´tricas dos mesmos.
Temos enta˜o:
Proposic¸a˜o 2.13. Sejam X e Y espac¸os me´tricos (com me´tricas dX e dY respectivamente).
A aplicac¸a˜o f : X → Y e´ cont´ınua no ponto x0 ∈ X se, e somente se, para cada � > 0
dado, e´ poss´ıvel obter um δ > 0 tal que dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < �.
Proposic¸a˜o 2.14. Sejam X e Y espac¸os me´tricos (com me´tricas dX e dY respectivamente).
A aplicac¸a˜o f : W ⊂ X → Y , cujo domı´nio e´ o subespac¸o me´trico W ⊂ X, e´ cont´ınua no
ponto x0 ∈ W se, e somente se, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um δ > 0 tal que
x ∈ W, dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), f(x0)) < �.
Nota: Conve´m observar que a continuidade de func¸o˜es que envolvem espac¸os me´tricos
depende das topologias induzidas pelas me´tricas.
No primeiro cap´ıtulo vimos que, em espac¸os topolo´gicos em geral, sequeˆncias sa˜o inade-
quadas para caracterizar a continuidade de uma func¸a˜o. O teorema a seguir nos garante a
possibilidade de tal caracterizac¸a˜o (de continuidade via sequeˆncias) se o domı´nio da func¸a˜o for
um espac¸o me´trico:
Teorema 2.15. Sejam X um espac¸o me´trico e Y um espac¸o topolo´gico. Uma func¸a˜o
f : X → Y e´ cont´ınua em x0 ∈ X se, e somente se, para toda sequeˆncia (xn) ⊂ X
com xn → x0 temos que f(xn)→ f(x0) em Y .
Prova:
Definic¸a˜o 2.16. Sejam (X, dX) e (Y, dY ) espac¸os me´tricos e f : X → Y .
Dizemos que f e´ uma aplicac¸a˜o LIPSCHITZIANA quando existe uma constante c > 0
(chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ) tal que dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) quaisquer
que sejam x, y ∈ X.
32 CAPI´TULO 2
Alguns casos particulares recebem denominac¸a˜o pro´pria:
f e´ uma CONTRAC¸A˜O FRACA quando dY (f(x), f(y)) ≤ dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.
f e´ uma IMERSA˜O ISOME´TRICA (neste caso dizemos que f preserva distaˆncias) quando
dY (f(x), f(y)) = dX(x, y) ∀ x, y ∈ X.
f e´ dita uma ISOMETRIA quando for uma imersa˜o isome´trica sobrejetora.
f e´ uma CONTRAC¸A˜O quando existe uma constante c, com 0 ≤ c < 1, tal que para todos
x, y ∈ X temos dY (f(x), f(y)) ≤ c · dX(x, y) .
Observac¸a˜o: As definic¸o˜es acima dependem das me´tricas consideradas.
Exerc´ıcios:
1) Sejam X, Y espac¸os me´tricos. Mostre que se f : W ⊂ X → Y e´ cont´ınua em a ∈ W
e f(a) 6∈ BY [b; r] (b ∈ Y ) enta˜o e´ poss´ıvel obter um δ > 0 tal que x ∈ W, dX(x, a) < δ ⇒
f(x) 6∈ BY [b; r].
2) Sejam f, g : M → N cont´ınuas, M, N espac¸os me´tricos.
Dado a ∈M , suponha que toda bola de centro a contenha um ponto x tal que f(x) = g(x).
Conclua que f(a) = g(a).
Use este fato para mostrar que se f, g : M → N sa˜o cont´ınuas e f = g em um
subconjunto D ⊂M , D denso em M , enta˜o f = g em todo espac¸o M .
3) (Limites)
Sejam X, Y espac¸os me´tricos, A ⊂ X, a ∈ A′ (a e´ ponto de acumulac¸a˜o de A) e
f : A→ Y .
Dizemos que b ∈ Y e´ o limite de f(x) quando x tende para a e escrevemos b = lim
x→a
f(x)
quando, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter δ > 0 tal que x ∈ A\ { a} , dX(x, a) < δ ⇒
dY (f(x), b) < � .
(a) Mostre que se a ∈ A ∩ A′ enta˜o f : A → Y e´ cont´ınua em a se, e somente se,
f(a) = lim
x→a
f(x) .
(b) Mostre que b = lim
x→a
f(x) se, e somente se, para toda sequeˆncia (xn) em A\ {a}
com xn → a (em X) tem-se f(xn)→ b (em Y ).
4) Sejam X e Y espac¸os me´tricos. Se uma sequeˆncia de aplicac¸o˜es fn : X → Y , cont´ınuas
no ponto a ∈ X, converge uniformemente (ver exerc´ıcio da sec¸a˜o anterior) para uma aplicac¸a˜o
f : X → Y , mostre que f e´ cont´ınua no ponto a.
Usando a parte acima, conclua que a sequeˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] → IR dadas por
fn(x) = x
n na˜o converge uniformemente para nenhuma f : [0, 1]→ IR.
Espac¸os me´tricos 33
5) Deˆ exemplo de uma aplicac¸a˜o f : X → Y entre espac¸os me´tricos tais que:
(a) f e´ lipschitziana mas na˜o e´ uma contrac¸a˜o fraca.
(b) f e´ contrac¸a˜o fraca mas na˜o e´ imersa˜o isome´trica nem contrac¸a˜o.
(c) f e´ imersa˜o isome´trica mas na˜o e´ isometria.
(d) f e´ isometria.
Deˆ (contra-)exemplos e mostre que as definic¸o˜es em 2.16 dependem das me´tricas consideradas.
2.6 Continuidade uniforme
Definic¸a˜o 2.17. Sejam X e Y espac¸os me´tricos. Uma aplicac¸a˜o f : X → Y e´ dita ser
UNIFORMEMENTE CONTI´NUA quando, para cada � > 0 dado, existir δ > 0 tal que para
todos x, y ∈ X, dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(x), f(y)) < �.
(Exemplos)
Proposic¸a˜o 2.18. Sejam X e Y espac¸os me´tricos. Uma aplicac¸a˜o f : X → Y e´ uni-
formemente cont´ınua se, e somente se, para todo par de sequeˆncias (xn), (yn) em X tal que
dX(xn, yn) → 0 (na Topologia Usual da Reta) tem-se que dY (f(xn), f(yn)) → 0 (tambe´m na
Topologia Usual da Reta).
Prova:
34 CAPI´TULO 2
Exemplo:
Observac¸a˜o: O exemplo acima mostra que a continuidade uniforme na˜o e´ uma noc¸a˜o
topolo´gica, pois depende das me´tricas envolvidas, e na˜o apenas das topologias induzidas.
Exerc´ıcios:
1) Mostre que toda aplicac¸a˜o lipschitziana f : X → Y (X, Y espac¸os me´tricos) e´ uni-
formemente cont´ınua.
2) Sejam X e Y espac¸os me´tricos e f : X → Y .
Mostre que se f e´ uniformemente cont´ınua enta˜o f transforma sequeˆncias de Cauchy
(xn) ⊂ X em sequeˆncias de Cauchy (f(xn)) ⊂ Y .
3) Seja f : A ⊂ X → Y (X, Y espac¸os me´tricos). Mostre que se Y e´ completo e f
uniformemente cont´ınua enta˜o, para todo a ∈ A′, existe lim
x→a
f(x).
4) Consideremos um espac¸o me´trico X, munido de uma me´trica d.
Dados a ∈ X e B ⊂ X, B na˜o-vazio, definimos a DISTAˆNCIA DO PONTO a AO
CONJUNTO B como
d(a,B) = inf
x∈B
d(a, x)
Espac¸os me´tricos 35
Dados A,B ⊂ X, A e B na˜o-vazios, definimos a DISTAˆNCIA ENTRE OS SUBCONJUN-
TOS A E B como
d(A,B) = inf { d(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}
(a) Mostre que d(A,B) = d( clA, clB).
(b) Dado T ⊂ X, T 6= φ , mostre que a func¸a˜o f : X → IR dada por f(x) = d(x, T ) e´
uniformemente cont´ınua.
(c) Deˆ exemplos de um espac¸o me´trico (X, d) e conjuntos na˜o-vazios A e B em X tais
que A ∩ B = φ e d(A,B) = 0.
(d) Sejam A,B ⊂ X, A e B limitados e na˜o-vazios.
Mostre que
diam (A ∪ B) ≤ diam (A) + diam (B) + d(A,B)
2.7 Compacidade em espac¸os me´tricos
Teorema 2.19. Seja X um espac¸o me´trico. Sa˜o equivalentes:
1) X e´ compacto.
2) Todo subconjunto infinito de X possui um ponto de acumulac¸a˜o.
3) Toda sequeˆncia em X possui uma subsequeˆncia convergente (para um ponto de X).
4) X e´ completo e totalmente limitado. (Um espac¸o me´trico X e´ TOTALMENTE LIMI-
TADOquando para cada � > 0 pode-se obter uma decomposic¸a˜o X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xn
de X como reunia˜o de um nu´mero finito de subconjuntos , cada um dos quais com diaˆmetro
menor do que � ).
Observac¸a˜o: As afirmativas acima sa˜o equivalentes em K ⊂ X subconjunto (subespac¸o)
de um espac¸o me´trico X.
Teorema 2.20. Se K ⊂ X (espac¸o me´trico) e´ compacto, enta˜o K e´ limitado e fechado.
Prova:
36 CAPI´TULO 2
Observac¸a˜o: A rec´ıproca do resultado anterior na˜o e´ verdadeira em geral, conforme ilustra
o contra-exemplo abaixo:
Contra-exemplo:
Teorema 2.21. Sejam X e Y espac¸os me´tricos. Se a aplicac¸a˜o f : X → Y e´ cont´ınua e o
espac¸o X e´ compacto, enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua.
Exerc´ıcios:
1) Mostre que, dada uma sequeˆncia “decrescente” K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . . de
compactos na˜o-vazios em um espac¸o me´trico X, sua intersec¸a˜o
∞⋂
n=1
Kn e´ compacta e na˜o-
vazia.
Mostre atrave´s de um exemplo que o resultado acima na˜o e´ va´lido se tomarmos conjuntos
fechados ao inve´s de compactos.
2) Prove o Teorema 2.21.
2.8 Me´tricas equivalentes
Definic¸a˜o 2.22. Duas me´tricas d1 e d2 em um espac¸o X sa˜o ditas EQUIVALENTES
quando induzem a mesma topologia sobre X.
Teorema 2.23. Duas me´tricas d1 e d2 em um espac¸o X sa˜o equivalentes se, e somente
se, para toda bola aberta numa me´trica (d1 ou d2) e´ poss´ıvel obter uma bola aberta na outra
me´trica, de mesmo centro e contida na primeira bola.
Prova:
Espac¸os me´tricos 37
Exemplo:
Definic¸a˜o 2.24. Diremos que duas me´tricas d1 e d2 em X sa˜o LIPSCHITZ-EQUIVALENTES
quando existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β · d1(x, y) ∀ x, y ∈ X
Obs.1: Se duas me´tricas sa˜o lipschitz-equivalentes enta˜o elas sa˜o equivalentes.
Exemplo:
Obs.2: A rec´ıproca da Obs.1 acima na˜o e´ va´lida:
Contra-exemplo:
Exerc´ıcio: Sejam (M1, d1), (M2, d2), . . . , (Mn, dn) espac¸os me´tricos.
Consideremos o seu produto cartesiano
M = M1 ×M2 × . . .×Mn = {x = (x1, . . . , xn) ; xi ∈Mi, i = 1, . . . , n} .
Sejam de, ds, dm me´tricas em M dadas por:
38 CAPI´TULO 2
de(x, y) =
√
d1(x1, y1)2 + d2(x2, y2)2 + . . .+ dn(xn, yn)2
ds(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) + . . .+ dn(xn, yn)
dm(x, y) = max { d1(x1, y1), d2(x2, y2), . . . , dn(xn, yn)}
(a) Mostre que estas treˆs me´tricas sa˜o lipschitz-equivalentes.
(b) Mostre que uma sequeˆncia (xk) = (x1k, x2k, . . . , xnk) converge em M , considerando
qualquer uma das 3 me´tricas acima , para um ponto a = (a1, . . . , an) ∈ M se, e somente se,
xik → ai ∀ i = 1, 2, . . . , n.
(c) Para cada i = 1, . . . , n considere a aplicac¸a˜o projec¸a˜o pii : M → Mi dada por
pii(x) = xi. Mostre que cada projec¸a˜o e´ cont´ınua.
(d) Seja f : X →M (X esp. me´trico). Mostre que f e´ cont´ınua em a ∈ X se, e somente
se, cada uma de suas func¸o˜es coordenadas fi = pii ◦ f : X →Mi e´ cont´ınua em a.
Cap´ıtulo 3
Espac¸os normados
Iniciamos este cap´ıtulo com o conceito de Espac¸o Normado. Em seguida apresentamos a
me´trica e a topologia naturais induzidas pela norma, bem como espac¸os de Banach e se´ries.
Ao final, apresentamos um breve estudo de transformac¸o˜es lineares em espac¸os normados.
3.1 Espac¸os normados
Definic¸a˜o 3.1. Seja X um espac¸o vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Uma NORMA
em X e´ uma func¸a˜o ‖ ‖ : X → IR que associa a cada vetor x ∈ X um nu´mero real ‖x‖
chamado a norma de x, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condic¸o˜es para quaisquer
x, y ∈ X, λ ∈ IK:
n.1) Se x 6= 0 enta˜o ‖x‖ > 0
n.2) ‖λ.x‖ = |λ| . ‖x‖
n.3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Desigualdade Triangular)
Um espac¸o vetorial X munido de uma norma ‖ ‖ (fixada) e´ dito um ESPAC¸O NORMADO.
Exemplos:
A) Norma Usual da Reta:
A func¸a˜o mo´dulo | | : IR→ IR dada por |x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0 e´ uma norma em IR.
B) Algumas normas no Plano Complexo (ou no IR2):
Consideremos o conjunto C dos nu´meros complexos (ou enta˜o IR2) como um espac¸o
39
40 CAPI´TULO 3
vetorial de dimensa˜o 2 sobre o corpo dos reais.
| | : C→ IR (func¸a˜o mo´dulo) dada por |a| =
√
a21 + a
2
2 para todo a = a1 + ia2 ∈ C e´
uma norma em C, conhecida tambe´m como NORMA EUCLIDIANA.
‖ ‖s : C→ IR dada por ‖a‖s = |a1| + |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C e´ uma norma
em C, conhecida tambe´m como NORMA DA SOMA.
‖ ‖m : C→ IR dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1+ ia2 ∈ C e´ uma
norma em C, conhecida tambe´m como NORMA DO MA´XIMO.
C) Norma do sup:
Consideremos o espac¸o (sobre IR) B(X; IR) das func¸o˜es limitadas f : X → IR.
Definimos uma norma ‖ ‖∞ em B(X; IR) pondo, para toda f ∈ B(X; IR):
‖f‖∞ = sup
x∈X
|f(x)|
Exerc´ıcio: Mostre que ‖ ‖∞ acima esta´ bem definida e que e´ uma norma em B(X; IR).
D) Alguns espac¸os de sequeˆncias:
Seja `∞ o espac¸o das sequeˆncias limitadas em um corpo IK (IR ou C), isto e´:
`∞ = {(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ; (xn) limitada }
‖ ‖∞ : `∞ → IR dada por ‖(xn)‖∞ = sup
i∈IN
|xi| e´ uma norma em `∞.
Seja `1 o espac¸o das sequeˆncias absolutamente soma´veis em um corpo IK (IR ou C):
`1 =
{
(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑
i=1
|xi| < +∞
}
‖ ‖1 : `1 → IR dada por ‖(xn)‖1 =
∞∑
i=1
|xi| e´ uma norma em `1.
Seja `2 o espac¸o das sequeˆncias quadrado soma´veis, em um corpo IK (IR ou C):
`2 =
{
(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑
i=1
|xi|2 < +∞
}
‖ ‖2 : `2 → IR dada por ‖(xn)‖2 =
( ∞∑
i=1
|xi|2
)1/2
e´ uma norma em `2
Espac¸os normados 41
3.2 A topologia da norma
Construindo me´tricas a partir de normas:
Seja X = (X, ‖ ‖) um espac¸o vetorial normado. Podemos, a partir da norma ‖ ‖,
construir uma me´trica d : X ×X → IR pondo, de modo natural:
d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X
d e´ uma me´trica em X (mostre), dita a ME´TRICA INDUZIDA PELA NORMA ‖ ‖.
Portanto, todo espac¸o normado X = (X, ‖ ‖) pode ser considerado naturalmente como
um espac¸o me´trico (X, d) onde a me´trica d e´ a me´trica induzida pela norma ‖ ‖, da forma
acima descrita.
Definic¸a˜o 3.2. Seja (X, d) um espac¸o me´trico. Quando existir uma norma ‖ ‖ em X tal
que d e´ a me´trica induzida pela norma ‖ ‖, dizemos enta˜o que A ME´TRICA d PROVE´M DA
NORMA ‖ ‖.
Exemplos:
A) Me´trica e Norma Usuais da Reta:
Consideremos o conjunto IR dos nu´meros reais, munido da Norma Usual | | : IR → IR
dada por
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
A me´trica induzida por | | e´ exatamente a Me´trica Usual da Reta.
B) No Plano Complexo C (ou no IR2):
Consideremos o espac¸o C dos nu´meros complexos (ou enta˜o IR2), que e´ um espac¸o vetorial
de dimensa˜o 2 sobre o corpo dos reais.
A Me´trica Euclidiana (de(a, b) = |a− b| ∀ a, b ∈ C) prove´m da Norma Euclidiana | |
(func¸a˜o mo´dulo).
A Me´trica da Soma (ds(a, b) = |a1 − b1|+ |a2 − b2| ∀a, b ∈ C) prove´m da Norma da
Soma ‖ ‖s, dada por ‖a‖s = |a1|+ |a2| para todo a = a1 + ia2 ∈ C .
A Me´trica do Ma´ximo (dm(a, b) = max { |a1 − b1| , |a2 − b2| } ∀a, b ∈ C) prove´m da
Norma do Ma´ximo ‖ ‖m, dada por ‖a‖m = max { |a1| , |a2| } para todo a = a1 + ia2 ∈ C .
42 CAPI´TULO 3
C) Me´trica e Norma do sup:
Consideremos o espac¸o (sobre IR) B(X; IR) das func¸o˜es limitadas f : X → IR.
A Me´trica do sup ( d(f, g) = sup
x∈X
|f(x)− g(x)| ∀ f, g ∈ B(X; IR) ) prove´m da Norma
do sup ‖ ‖∞ , dada por ‖f‖∞ = sup
x∈X
|f(x)| para toda f ∈ B(X; IR).
D) Uma me´trica que na˜o prove´m de norma alguma:
Seja X um espac¸o vetorial com mais de um elemento, sobre IR ou C.
A Me´trica Discreta d : X ×X → IR, dada por{
d(x, x) = 0
d(x, y) = 1 se x 6= y
na˜o e´ proveniente de nenhuma norma em X (Exerc´ıcio).
Bolas, esferas e conjuntos limitados:
Seja X = (X, ‖ ‖) um espac¸o vetorial normado.
Dados a ∈ X e r > 0, r ∈ IR, definimos B(a; r) (bola aberta de centro a e raio r),
B[a; r] (bola fechada de centro a e raio r) e S[a; r](esfera de centro a e raio r) atrave´s da
me´trica d induzida pela norma ‖ ‖.
Tambe´m usamos a me´trica d para caracterizar os conjuntos limitados em X.
Exerc´ıcio: Mostre que um subconjunto Y ⊂ X (espac¸o normado) e´ limitado se, e somente
se, existe k > 0 tal que ‖y‖ ≤ k para todo y ∈ Y .
A topologia da norma:
Todo espac¸o vetorial normado X = (X, ‖ ‖) pode ser munido naturalmente da me´trica
d induzida pela norma ‖ ‖ e consequ¨entemente da topologia induzida por esta me´trica d.
Dizemos, de um modo mais breve, que essa topologia e´ induzida pela norma ‖ ‖, ou que e´ a
TOPOLOGIA DA NORMA ‖ ‖.
A partir da´ı todos os conceitos topolo´gicos estudados em espac¸os topolo´gicos e me´tricos
sa˜o verificados nos espac¸os normados, considerando-se a topologia e a me´trica induzidas pela
norma.
Tambe´m as noc¸o˜es de continuidade uniforme, aplicac¸a˜o lipschitziana, contrac¸a˜o, etc. sa˜o
verificadas considerando-se a me´trica induzida pela norma.
Espac¸os normados 43
Definic¸a˜o 3.3. Seja X um espac¸o vetorial. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em X sa˜o ditas
EQUIVALENTES se, e somente se, elas induzem a mesma topologia sobre X.
Proposic¸a˜o 3.4. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 em um espac¸o vetorial X sa˜o equivalentes se,
e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α. ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ β. ‖x‖1 ∀ x ∈ X
Prova: Exerc´ıcio (Sugesta˜o: fac¸a uso do Teorema 3.9, o qual veremos mais a` frente)
Exerc´ıcios:
1) Seja X um espac¸o normado. Mostre que se E ⊂ X e´ um subespac¸o vetorial de X e
E 6= X enta˜o intE = φ .
2) Seja X = (X, ‖ ‖) um espac¸o normado.
(i) Mostre que ‖x− y‖ ≥ | ‖x‖ − ‖y‖ | para todos x, y ∈ X.
(ii) Usando o item anterior, mostre que se (xn) e´ uma sequeˆncia emX tal que limxn = a ∈ X
enta˜o lim ‖xn‖ = ‖a‖.
3) Seja X um espac¸o vetorial normado sobre um corpo IK (IR ou C).
(i) Mostre que as translac¸o˜es Ta : X → X, dadas por Ta(x) = x + a (onde a ∈ X) sa˜o
homeomorfismos.
(ii) Mostre que as homotetias Hλ : X → X, dadas por Hλ(x) = λ.x (com 0 6= λ ∈ IK) sa˜o
homeomorfismos.
(iii) Mostre que duas bolas abertas quaisquer em X sa˜o homeomorfas.
4) Seja X um espac¸o vetorial normado. Um subconjunto C ⊂ X e´ dito CONVEXO se,
e somente se, para todo par x, y ∈ C tem-se t.x + (1 − t).y ∈ C ∀ t ∈ [0, 1], ou seja, o
segmento [x, y] = { t.x+ (1− t).y ; t ∈ [0, 1] } esta´ contido em C.
(i) Mostre que toda bola em X e´ convexa.
(ii) Mostre que a intersec¸a˜o arbitra´ria de conjuntos convexos e´ convexa.
(iii) Mostre que o fecho de um conjunto convexo e´ convexo.
5) Seja B ⊂ X (espac¸o normado). A ENVOLTO´RIA CONVEXA de B e´ a intersec¸a˜o
co (B) de todos os subconjuntos convexos de X que conteˆm B.
Prove que co (B) e´ o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares α1.x1+ . . .+αn.xn tais que
x1, . . . , xn ∈ B, α1 ≥ 0, . . . , αn ≥ 0 (α1, . . . , αn ∈ IR) e α1 + . . .+ αn = 1.
6) Seja B ⊂ X (espac¸o normado). A ENVOLTO´RIA CONVEXA FECHADA de B e´ a
intersec¸a˜o co (B) de todos os subconjuntos convexos fechados de X que conteˆm B.
Mostre que co (B) = cl ( co (B)).
44 CAPI´TULO 3
3.3 Espac¸os de Banach
Definic¸a˜o 3.5. Um ESPAC¸O DE BANACH e´ um espac¸o vetorial normado completo (toda
sequeˆncia de Cauchy e´ convergente) quando tomamos a me´trica induzida pela norma.
Exemplos:
A) O espac¸o (IR, | |) e´ um espac¸o de Banach.
B) O espac¸o dos nu´meros complexos C, munido de qualquer uma das normas | | (Eucli-
diana), ‖ ‖s (da Soma) ou ‖ ‖m (do Ma´ximo) e´ um espac¸o de Banach.
C) O espac¸o B(X; IR) das func¸o˜es limitadas f : X → IR, munido da norma do sup, e´ um
espac¸o de Banach.
D) Os espac¸os (`∞, ‖ ‖∞), (`1, ‖ ‖1) e (`2, ‖ ‖2) sa˜o todos espac¸os de Banach.
E) Um espac¸o vetorial normado que na˜o e´ Banach:
Exerc´ıcio: Mostre que os espac¸os dos exemplos de A) a D) sa˜o espac¸os de Banach.
3.4 Se´ries
Definic¸a˜o 3.6. Uma se´rie
∞∑
i=1
xi em um espac¸o normado X = (X, ‖ ‖) e´ dita CON-
VERGENTE para um ponto x ∈ X se, e somente se, a sequeˆncia de suas reduzidas
(sn) =
(
n∑
i=1
xi
)
convergir para x.
Definic¸a˜o 3.7. Uma se´rie
∞∑
i=1
xi em um espac¸o normado X = (X, ‖ ‖) e´ dita NOR-
MALMENTE CONVERGENTE se, e somente se, a se´rie de nu´meros reais
∞∑
i=1
‖xi‖ for
convergente, isto e´,
∞∑
i=1
‖xi‖ < +∞ .
Espac¸os normados 45
Exerc´ıcios:
1) Mostre que um espac¸o normado X e´ um espac¸o de Banach se, e somente se, toda se´rie
normalmente convergente for convergente.
2) (Teste M de Weierstrass) Seja
∑
fn uma se´rie de func¸o˜es no espac¸o B(X; IR) das
func¸o˜es limitadas f : X → IR. Mostre que se existir uma se´rie convergente ∑ cn de nu´meros
reais cn ≥ 0 e uma constante M tal que |fn(x)| ≤ M.cn para todos n ∈ IN e x ∈ X
enta˜o a se´rie
∑
fn e´ uniformemente convergente.
(Sugesta˜o: use o exerc´ıcio anterior e a norma do sup em B(X; IR))
3.5 Transformac¸o˜es lineares em espac¸os normados
Alguns exemplos interessantes:
A) Um operador linear que e´ injetivo mas na˜o e´ sobrejetivo:
B) Um operador linear que e´ sobrejetivo mas na˜o e´ injetivo:
C) Um funcional linear descont´ınuo:
46 CAPI´TULO 3
Definic¸a˜o 3.8. (Transformac¸o˜es lineares “limitadas”) Sejam X e Y espac¸os normados. Uma
transformac¸a˜o linear T : X → Y e´ dita LIMITADA se, e somente se, existir uma constante
c > 0 tal que ‖T (x)‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X.
Equivalentemente T : X → Y e´ limitada se, e somente se, existir uma constante c > 0
tal que ‖T (x)‖Y ≤ c para todo x ∈ X com ‖x‖X ≤ 1 (isto e´, para todo x ∈ B[0; 1] - bola
fechada unita´ria de X), ou seja, T e´ limitada na bola unita´ria fechada - de centro 0 - de X
(Exerc´ıcio).
Denotaremos por L(X;Y ) o conjunto de todas as transformac¸o˜es lineares limitadas de X
em Y e sempre consideraremos X 6= {0} . E´ imediato que L(X;Y ) e´ um subespac¸o vetorial
do espac¸o vetorial de todas as transformac¸o˜es lineares de X em Y , com as operac¸o˜es usuais de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o escalar (mostre).
Teorema 3.9. Sejam X e Y espac¸os vetoriais normados e T : X → Y uma transformac¸a˜o
linear de X em Y . Enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
1) T e´ cont´ınua.
2) T e´ cont´ınua em um ponto x0 ∈ X.
3) T e´ cont´ınua no ponto 0 (vetor nulo).
4) Existe c > 0 tal que ‖Tx‖Y ≤ c. ‖x‖X para todo x ∈ X (T e´ limitada).
Prova:
Espac¸os normados 47
A norma de uma transformac¸a˜o linear:
Ja´ temos que L(X;Y ) e´ um espac¸o vetorial (subespac¸o do espac¸o de todas as trans-
formac¸o˜es lineares de X em Y ).
Agora, dada T ∈ L(X;Y ) (T e´ limitada, ou seja, T e´ cont´ınua), defina
‖T‖ = sup { ‖Tx‖Y ; ‖x‖X ≤ 1}
A func¸a˜o ‖ ‖ : L(X;Y )→ IR acima definida e´ uma norma em L(X;Y ) (Exerc´ıcio).
Observe que esta norma em L(X;Y ) depende das normas tomadas em X e Y .
Proposic¸a˜o 3.10. Sejam X e Y espac¸os normados e T ∈ L(X;Y ) . Enta˜o:
‖T‖ = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ ≤ 1} = sup { ‖Tx‖ ; ‖x‖ = 1} =
= sup
{ ‖Tx‖
‖x‖ ; x 6= 0
}
= inf { c > 0 ; ‖Tx‖ ≤ c. ‖x‖ ∀x ∈ X }
Prova: Exerc´ıcio
Proposic¸a˜o 3.11. (Propriedades Imediatas)
(i) ‖Tx‖ ≤ ‖T‖ . ‖x‖ ∀ x ∈ X ( T ∈ L(X;Y ) , com X e Y normados)
(ii) ‖TU‖ ≤ ‖T‖ . ‖U‖ ( T ∈ L(X;Y ), U ∈ L(W ;X), com W , X e Y normados)
Prova: Exerc´ıcio
48 CAPI´TULO 3
Teorema 3.12. Sejam X e Y espac¸os normados. Enta˜o L(X;Y ) e´ espac¸o de Banach se (e
somente se) Y e´ um espac¸o de Banach.
Prova: Exerc´ıcio
Exerc´ıcio: Mostre que se X e´ um espac¸o de Banach e A ∈ L(X) (isto e´, A : X → X e´
linear e cont´ınua) enta˜o a se´rie
eA =
∞∑
n=0
An
n!
= I + A+
A2
2!
+
A3
3!
+ . . .
converge para um operador linear cont´ınuo eA : X → X (Sugesta˜o: Mostre que a se´rie acima
e´ normalmente convergente).
Observac¸a˜o: No caso particular X = IRn, este exerc´ıcio diz que podemos definir (e bem)
a exponencial de uma n × n matriz real atrave´s da se´rie acima (e o resultado e´ ainda uma
n× n matriz real) !!!
Algunsresultados importantes (a t´ıtulo de informac¸a˜o):
Teorema 3.13. (Princ´ıpio da Limitac¸a˜o Uniforme) Sejam X um espac¸o de Banach e Y um
espac¸o normado. Seja A uma famı´lia de transformac¸o˜es lineares cont´ınuas de X em Y , ou
seja, A ⊂ L(X;Y ) .
Se A e´ pontualmente limitada (para cada x ∈ X temos sup { ‖Tx‖ ; T ∈ A} < +∞)
enta˜o A e´ uniformemente limitada (existe M > 0 tal que ‖T‖ ≤M para toda T ∈ A).
Podemos demonstrar o Princ´ıpio da Limitac¸a˜o Uniforme “olhando” para os conjuntos
Bn = { x ∈ X ; ‖Tx‖ ≤ n ∀ T ∈ A } e utilizando o Corola´rio do Teorema de Baire (veja nos
exerc´ıcios do cap´ıtulo sobre espac¸os me´tricos) - Tente!
Teorema 3.14. (Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta) Sejam X e Y espac¸os de Banach. Se
T ∈ L(X;Y ) e´ sobrejetiva, enta˜o T e´ aberta, ou seja, T (A) e´ aberto em Y para todo A
aberto em X.
Podemos demonstrar o Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta utilizando o Teorema de Baire (veja
nos exerc´ıcios do cap´ıtulo sobre espac¸os me´tricos).
Corola´rio 1. Se X e Y sa˜o espac¸os de Banach e T ∈ L(X;Y ) e´ bijetiva, enta˜o T−1 e´
cont´ınua, isto e´, T−1 ∈ L(Y ;X).
Prova: Exerc´ıcio
Espac¸os normados 49
Exemplo (um pouco sobre funcionais lineares):
50 CAPI´TULO 3
Cap´ıtulo 4
Espac¸os com produto interno
Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno, alguns exemplos e to´picos
ba´sicos relacionados, como a norma proveniente de um produto interno e ortogonalidade.
Apresentamos os espac¸os de Hilbert e finalizamos citando o Teorema de Representac¸a˜o de
Riesz.
4.1 Produto interno
Definic¸a˜o 4.1. Seja X um espac¸o vetorial sobre um corpo IK (IR ou C). Um PRODUTO
INTERNO sobre X e´ uma func¸a˜o < , >: X ×X → IK que associa a cada par ordenado de
vetores x, y ∈ X um escalar < x, y > chamado o produto interno de x por y, de modo
que sejam satisfeitas as seguintes condic¸o˜es para quaisquer x, y, z ∈ X, λ ∈ IK:
p.i.1) < λ · x+ y, z > = λ · < x, z > + < y, z >
p.i.2) < x, x > ≥ 0
p.i.3) < x, x > = 0 ⇒ x = 0
p.i.4) < x, y > = < y, x >
Obs.: < x, λy + z > = λ · < x, y > + < x, z >
51
52 CAPI´TULO 4
Exemplos:
A) Consideremos o conjunto C dos nu´meros complexos (ou enta˜o IR2) como um espac¸o
vetorial de dimensa˜o 2 sobre o corpo dos reais.
< , >: C× C→ IR dada por
< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C
e´ um produto interno em C (equivale ao Produto Escalar no IR2).
B) Seja V o espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas definidas no intervalo [0, 1] e tomando valores
complexos:
V = { f : [0, 1]→ C ; f e´ cont´ınua}
< , >: V × V → C dada por
< f, g > =
∫ 1
0
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V
e´ um produto interno em V .
C) Seja `2 o espac¸o das sequeˆncias quadrado soma´veis, em um corpo IK (IR ou C):
`2 =
{
(xn) = (x1, x2, . . .) ; xi ∈ IK ;
∞∑
i=1
|xi|2 < +∞
}
< , >: `2 × `2 → IK dada por
< (xn), (yn) > =
∞∑
i=1
xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ `2
e´ um produto interno em `2
D) Seja Cper [−pi, pi] o espac¸o vetorial das func¸o˜es de IR em IR, cont´ınuas e perio´dicas de
per´ıodo 2pi.
< , >: Cper [−pi, pi]× Cper [−pi, pi]→ IR dada por
< f, g > =
∫ pi
−pi
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ Cper [−pi, pi]
e´ um produto interno em Cper [−pi, pi].
Espac¸os com produto interno 53
4.2 Norma a partir de um produto interno
Construc¸a˜o:
Seja X um espac¸o vetorial munido de um produto interno < , >. A partir de < , >
construiremos uma func¸a˜o ‖ ‖ : X → IR, pondo
‖x‖ = (< x, x >)1/2 ∀ x ∈ X
A seguir, um importante resultado referente a` func¸a˜o constru´ıda acima:
Teorema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz (CBS)
|< x, y >| ≤ ‖x‖ . ‖y‖ ∀ x, y ∈ X
Prova: Exerc´ıcio
A func¸a˜o ‖ ‖ : X → IR acima constru´ıda a partir do produto interno < , > e´ uma norma
em X (mostre). Neste caso, dizemos que a A NORMA ‖ ‖ PROVE´M DO PRODUTO
INTERNO < , >.
Exemplos:
A) A Norma Euclidiana | | : C→ IR (func¸a˜o mo´dulo) dada por
|a| =
√
a21 + a
2
2 ∀ a = a1 + ia2 ∈ C
prove´m do produto interno < , > dado por
< a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 ∀ a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 ∈ C
B) A norma ‖ ‖2 : `2 → IR dada por
‖(xn)‖2 =
( ∞∑
i=1
|xi|2
)1/2
∀ (xn) ∈ `2
prove´m do produto interno < , > dado por
< (xn), (yn) > =
∞∑
i=1
xi.yi ∀ (xn), (yn) ∈ `2
54 CAPI´TULO 4
C) Uma condic¸a˜o necessa´ria (e suficiente):
Proposic¸a˜o 4.3. Seja X um espac¸o vetorial. Se uma norma ‖ ‖ : X → IR prove´m
de um produto interno < , > em X, enta˜o vale a IDENTIDADE DO PARALELO-
GRAMO:
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2. (‖x‖2 + ‖y‖2) ∀ x, y ∈ X
Prova: Exerc´ıcio
As normas do Ma´ximo ‖ ‖m : C→ IR e da Soma ‖ ‖s : C→ IR na˜o proveˆm de produto
interno algum em C.
A norma ‖ ‖∞ : `∞ → IR na˜o prove´m de produto interno algum em `∞.
A norma ‖ ‖1 : `1 → IR na˜o prove´m de produto interno algum em `1.
Exerc´ıcio: Prove as afirmac¸o˜es acima, mostrando que nenhuma dessas normas satisfaz
a` Identidade do Paralelogramo.
4.3 Espac¸os de Hilbert
Definic¸a˜o 4.4. Um ESPAC¸O DE HILBERT X e´ um espac¸o vetorial com um produto interno
< , > tal que X e´ completo quando munido com a me´trica d(x, y) = ‖x− y‖ , onde ‖ ‖ e´ a
norma que prove´m do produto interno < , >.
Exemplos:
A) O espac¸o C, munido do produto interno < a1 + ia2, b1 + ib2 > = a1.b1 + a2.b2 , e´ um
espac¸o de Hilbert.
B) O espac¸o `2 , munido do produto interno < (xn), (yn) > =
∞∑
i=1
xi.yi , e´ um espac¸o de
Hilbert.
Espac¸os com produto interno 55
4.4 Ortogonalidade
Definic¸a˜o 4.5. Seja X um espac¸o com produto interno < , >. Dois vetores x, y ∈ X sa˜o
ditos ORTOGONAIS quando < x, y > = 0 e escrevemos x ⊥ y.
Dizemos que um subconjunto S ⊂ X e´ um CONJUNTO ORTOGONAL quando os vetores
de S sa˜o dois a dois ortogonais.
Teorema 4.6. (“Teorema de Pita´goras”) Sejam X um espac¸o com produto interno < , > e
seja ‖ ‖ a norma proveniente do produto interno < , >.
Se S ⊂ X e´ um conjunto ortogonal enta˜o, dados x1, . . . , xn dois a dois distintos em S,
temos:
‖x1 + x2 + . . .+ xn‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2‖2 + . . .+ ‖xn‖2
Prova: Exerc´ıcio
Proposic¸a˜o 4.7. Se X e´ um espac¸o vetorial com produto interno, enta˜o todo conjunto orto-
gonal de vetores na˜o nulos em X e´ linearmente independente (LI)
Prova: Exerc´ıcio
4.5 O Teorema de Representac¸a˜o de Riesz
Teorema 4.8. (Teorema de Representac¸a˜o de Riesz) Seja X um espac¸o de Hilbert sobre um
corpo IK (IR ou C). Se L : X → IK e´ um funcional linear cont´ınuo (limitado) enta˜o existe
um u´nico vetor x0 ∈ X tal que L(x) = < x, x0 > para todo x ∈ X. Mais ainda, temos
‖L‖ = ‖x0‖.
Prova: Exerc´ıcio
56 CAPI´TULO
Apeˆndice A
Introduc¸a˜o a` Topologia Produto
Este apeˆndice tem por objetivo introduzir, de modo natural, uma topologia sobre o produto
cartesiano de espac¸os topolo´gicos, conhecida como a Topologia Produto.
Considerac¸o˜es iniciais:
Sejam X um conjunto, Y um espac¸o topolo´gico e f : X → Y uma func¸a˜o de X em Y .
Se considerarmos uma topologia sobre X, e´ claro que quanto maior (ou mais forte) for esta
topologia, “maiores sera˜o as chances” da func¸a˜o f ser cont´ınua. Equivalentemente, quanto
menor (ou mais fraca) for uma topologia sobre X, menores sera˜o as chances da func¸a˜o f ser
cont´ınua. Surge enta˜o uma interessante questa˜o:
Qual a menor topologia sobre X para a qual a func¸a˜o f e´ cont´ınua ?
Tentando responder a` questa˜o acima, chegamos naturalmente a` colec¸a˜o
τ =
{
f−1(A) ; A aberto em Y
}
Exerc´ıcio: Mostre que a colec¸a˜o τ acima e´ uma topologia sobre X tal que a func¸a˜o f e´
cont´ınua e τ e´ menor (mais fraca) que qualquer topologia para a qual f seja cont´ınua
(τ e´ portanto a topologia procurada na questa˜o acima).
Consideremos agora uma famı´lia {τλ}λ∈L de topologias sobre um conjunto X. Uma
questa˜o interessante associada a esta situac¸a˜o e´ a seguinte:
Qual a menor