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TESTE DE CONHECIMENTO 4

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CÁLCULO IV
AULA 4: TESTE DE CONHECIMENTO
1ª Questão
Se resistores elétricos de R1, R2 e R3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3. Encontre o valor de ∂R∂R2 quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms.
Gabarito: 
∂R∂R2 = (RR2)2 para os valores R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 
1/R = 1/15 
2ª Questão
Sejam P(x, y), Q(x, y), ∂P∂y e ∂Q∂x funções uniformes e contínuas em um domínio conexo limitado por uma curva fechada C. Então, pelo Teorema de Green: 
∮Pdx + Qdy = ∫R∫(∂Q∂x - ∂P∂y)dxdy (onde ∮ indica que C é fechada e percorrida no sentido positivo) 
Calcule a integral de linha ∮C (x - 2y)dx + (2x - 3y)dy sobre a circunferência unitária x = cost, y = sent; 0 ≤ t ≤ π utilizando o Teorema de Green. 
Gabarito:
Sejam P(x, y) = x - 2y e Q(x, y) = 2x - 3y. Portanto ∂P∂y = -2 e ∂Q∂x = 2 
Utilizando o teorema de Green: 
 ∮Pdx + Qdy 
= ∫R∫(∂Q∂x - ∂P∂y)dxdy 
= ∫R∫4dxdy 
= 4∫0π∫01rdrdθ 
= 4∫0π[r22]01dθ 
= 4∫0πdθ2 
= 2∫0πdθ 
= 2π
		1
		Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: 
I = ∫03∫ - 12∫01(xyz²)dxdydz
	
	
	
	
	7/4
	
	
	-7/4
	
	
	-27/4
	
	
	4/27
	
	 
	27/4
	
	
		2
		Considere uma função  de três variáveis z = f(x, y, z).
Seja z = sen (xy) + xseny.
Encontre ∂z∂u quando u = 0;  v = 1; x = u2 + v2 e y = u.v.                
	
	
	
	
	0 
	
	 
	 2   
	
	
	-2  
	
	
	-1
	
	
	1   
	
	
		3
		Suponha - se que a temperatura (em graus Celsius) num ponto (x, y) sobre uma placa metálica plana é T(x, y) = 10 - 8x2 - 2y2, em que x e y estão em metros. Localizar a temperatura média da porção retangular da chapa para a qual 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤2.
	
	
	
	28°C
	
	 
	14/3°C
	
	
	44°C
	
	
	28/3°C
	
	
	14°C
	
	
		4
		Encontre a ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	
	
	
	xy2 cos xy + sen xy
	
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	 
	xy cos xy + sen xy
	
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	
	y2 cos xy + x sen xy
	
	
		5
		Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0, 0), (1, 0) e (0,1):
	
	
	
	
	1/4 ua
	
	
	1 ua
	
	
	1/3 ua
	
	
	1/5 ua
	
	 
	½ ua
	
	
		6
		Conforme o teorema de Fabini, se uma função f for contínua no retângulo R = {(x, y)/ a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, então:
Neste sentido, calcule o valor da integral iterada.
	
	
	
	
	
	18/5
	
	 
	27/2
	
	
	41
	
	
	22
	
	
	33/19
	
	
		7
		Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a integral é definida na interseção do cone z = (x2 + y2)1/2 com o plano z = 2.
	
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	4 pi
	
	 
	8 pi
	
	
	5 pi
	
	
	pi
	
	
		8
		Usando o Teorema de Green para avaliar a integral de linha ao longo da curva orientada positivamente. C é constituída pelo segmento de linha a partir de (-3, 0) a (3, 0) e a metade superior do círculo. Marque a resposta correta.
	
	
	
	
	18
	
	
	8
	
	 
	0
	
	
	5,33333
	
	
	16

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