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CÁLCULO IV AULA 4: TESTE DE CONHECIMENTO 1ª Questão Se resistores elétricos de R1, R2 e R3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3. Encontre o valor de ∂R∂R2 quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms. Gabarito: ∂R∂R2 = (RR2)2 para os valores R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 1/R = 1/15 2ª Questão Sejam P(x, y), Q(x, y), ∂P∂y e ∂Q∂x funções uniformes e contínuas em um domínio conexo limitado por uma curva fechada C. Então, pelo Teorema de Green: ∮Pdx + Qdy = ∫R∫(∂Q∂x - ∂P∂y)dxdy (onde ∮ indica que C é fechada e percorrida no sentido positivo) Calcule a integral de linha ∮C (x - 2y)dx + (2x - 3y)dy sobre a circunferência unitária x = cost, y = sent; 0 ≤ t ≤ π utilizando o Teorema de Green. Gabarito: Sejam P(x, y) = x - 2y e Q(x, y) = 2x - 3y. Portanto ∂P∂y = -2 e ∂Q∂x = 2 Utilizando o teorema de Green: ∮Pdx + Qdy = ∫R∫(∂Q∂x - ∂P∂y)dxdy = ∫R∫4dxdy = 4∫0π∫01rdrdθ = 4∫0π[r22]01dθ = 4∫0πdθ2 = 2∫0πdθ = 2π 1 Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: I = ∫03∫ - 12∫01(xyz²)dxdydz 7/4 -7/4 -27/4 4/27 27/4 2 Considere uma função de três variáveis z = f(x, y, z). Seja z = sen (xy) + xseny. Encontre ∂z∂u quando u = 0; v = 1; x = u2 + v2 e y = u.v. 0 2 -2 -1 1 3 Suponha - se que a temperatura (em graus Celsius) num ponto (x, y) sobre uma placa metálica plana é T(x, y) = 10 - 8x2 - 2y2, em que x e y estão em metros. Localizar a temperatura média da porção retangular da chapa para a qual 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤2. 28°C 14/3°C 44°C 28/3°C 14°C 4 Encontre a ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy xy2 cos xy + sen xy x2 y cos xy + x sen xy xy cos xy + sen xy x y2 cos xy + x sen xy y2 cos xy + x sen xy 5 Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0, 0), (1, 0) e (0,1): 1/4 ua 1 ua 1/3 ua 1/5 ua ½ ua 6 Conforme o teorema de Fabini, se uma função f for contínua no retângulo R = {(x, y)/ a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, então: Neste sentido, calcule o valor da integral iterada. 18/5 27/2 41 22 33/19 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a integral é definida na interseção do cone z = (x2 + y2)1/2 com o plano z = 2. Nenhuma das respostas anteriores 4 pi 8 pi 5 pi pi 8 Usando o Teorema de Green para avaliar a integral de linha ao longo da curva orientada positivamente. C é constituída pelo segmento de linha a partir de (-3, 0) a (3, 0) e a metade superior do círculo. Marque a resposta correta. 18 8 0 5,33333 16
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