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FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. Prof. Lauro Boechat Batista Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Conteúdo Programático desta aula Medidas de tendência central (média, moda e mediana) Medidas de tendência central em dados isolados Propriedades da média, da moda e da mediana Distribuições simétrica e assimétrica Medidas de tendência central em dados agrupados Resumo e Exercícios Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Média, moda e mediana em dados isolados População amostra Estimativas Parâmetros MTC Média Moda Mediana Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Mediana em dados isolados Mediana é o valor central de uma distribuição de dados ordenados. Como determinar a mediana – os valores são colocados em ordem crescente ou decrescente e a mediana será exatamente o valor central para número ímpar de elementos. Para número par de elementos, a mediana será obtida pela soma dos dois elementos centrais dividida por 2. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Mediana em dados isolados Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Mediana em dados isolados Determinação da mediana para número ímpar de elementos: Exemplo 1: 2, 3, 5, 6, 8, 8, 9 - a mediana (Md ou Mi) será 6. Exemplo 2: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 9. Md = 7 Exemplo 3: 7, 3, 1, 3, 9, 8, 9, 4, 9. Se não colocássemos os valores em ordem crescente ou decrescente, iríamos errar e determinar a mediana como se fosse o valor 9. Entretanto, devemos colocar os valores em ordem crescente: 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 9, 9 e, assim, a mediana será determinada corretamente, ou seja, Md = 7. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Moda em dados isolados Moda é o valor da variável de maior ocorrência. Se não houver nenhum valor de maior ocorrência, a distribuição é denominada amodal. Um único valor de maior ocorrência, a distribuição é denominada unimodal. Dois valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada bimodal. Três valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada trimodal. Mais de três valores de maior ocorrência, a distribuição é denominada polimodal. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Moda em dados isolados Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Moda em dados isolados Distribuição amodal: 8, 5, 2, 4, 7, 3 (não existe valor que ocorre maior quantidade de vezes. Distribuição unimodal: 2, 4, 5, 3, 2, 1, 3, 2 (Mo = 2) Distribuição bimodal: 3, 5, 6, 6, 6, 3, 3, 5, 2, 1 (Mo = 3 e 6) Distribuição trimodal: 1, 4, 4, 4, 1, 1, 5, 6, 7, 7, 5, 5 (Mo = 1, 4, e 5) Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Média em dados isolados A média é denomina µ (mu) se for para a população e para a amostra é denominada (xis-barra). Existem diversos tipos de média, como a aritmética, a geométrica e a harmônica. No entanto, iremos trabalhar com a média aritmética que doravante a denominaremos de somente “média” A média da amostra é dada por: Esta média é denominada “média aritmética simples”, que é para dados apresentados sem frequências, ou seja, dados não agrupados. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Média em dados isolados Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Média em dados isolados e propriedades da média Sejam as amostras: A: x1 = 8, x2 = 10 e x3 = 12. A = (8 + 10 + 12)/3 = 30/3 = 10. B: x1 = 16, x2 = 20 e x3 = 24. A = (16 + 20 + 24)/3 = 60/3 = 20. C: x1 = 4, x2 = 5 e x3 = 6. A = (4 + 5 + 6)/3 = 15/3 = 5. D: x1 = 10, x2 = 12 e x3 = 14. A = (10 + 12 + 14)/3 = 36/3 = 12. E: x1 = 6, x2 = 8 e x3 = 10. A = (6 + 8 + 10)/3 = 24/3 = 8. A: = (-2) + (0) + (2) = 0 Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Propriedades da média, da mediana e da moda A soma dos desvios dos valores em relação à média é nula, isto é, Somando-se a todos os valores uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão somadas desta constante. Subtraindo-se de todos os valores uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão subtraídos deste constante. Multiplicando-se todos os valores por uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão multiplicados pela constante. Dividindo-se todos os valores por uma constante, a média, a mediana e a moda ficarão divididos pela constante. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Relação entre a média, a mediana e a moda Média = mediana = moda distribuição simétrica Média maior do que a moda distribuição assimétrica positiva Média menor do que a moda distribuição assimétrica negativa Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Dados isolados e agrupados Consumo de latinhas de cerveja em uma amostra de 10 pessoas: 10, 5, 0, 0, 0, 20, 10, 0, 0, 5. Representação simples: x1 = 10, x2 = 5, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 20, x7 = 10, x8 = 0, x9 = 0, x10 = 5 = (10 + 5 + ...+ 5)/10 = 50/10 = 5 cervejas/pessoa. Representação por frequências: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 0, f3 = 5, x4 = 20, f4 = 1 = = = 5 cervejas/pessoa. Neste caso, com frequências, a média é denominada “média aritmética ponderada”. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes. Tabela 1. Número de filhos/família, em uma amostra de 50 famílias de Niterói, RJ, em 2010. Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Dados agrupados em uma tabela de frequências sem intervalos de classes. Média = = = 2 filhos/família. Moda = 2 filhos/família Mediana = 2 filhos/família Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Resumo Medidas de tendência central (média, moda e mediana) Medidas de tendência central em dados isolados Distribuições simétrica e assimétricaPropriedades da média, da moda e da mediana Medidas de tendência central em dados agrupados Exercícios Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Exercício 1: são dadas as amostras abaixo: 1. Determinar a média, a moda e a mediana dos dados: 5, 3, 3, 7, 7. 2. Determinar a média, a moda e a mediana dos dados:: x1 = 10, f1 = 2, x2 = 5, f2 = 2, x3 = 20, f4 = 1 Aula 1 - S Aula 7 – Medidas de tendência central: dados isolados e agrupados sem intervalos de classes. FUNDAMENTOS DA ESTATÍSTICA Exercício 2 – Determinar a média, a moda e a mediana da amostra. Tabela 3. Número de filhos/família, em uma amostra de 500 famílias de Niterói, RJ, em 2010. Aula 1 - S * * * * * * * * * * * * * * *
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