apostila de termodinamica

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Universidade do Vale do Para´ıba
Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo
APOSTILA DE TERMODINAˆMICA
Profa. Dra. Aˆngela Krabbe
Prof. Dr. Caius Selhorst
Ao Aluno
Esta apostila sera´ elaborada ao longo da disciplina de Termodinaˆmica, ministrada nos
cursos das Engenharias da Univap.
A apostila sera´ uma compilac¸a˜o das notas de aula que estara˜o fundamentadas nos
livros listados na bibliografia recomendada.
Estas notas de aula na˜o substituira˜o o uso dos livros textos, mas podera˜o auxilia´-lo no
entendimento dos conteu´dos dessa disciplina. Recomenda-se que o emprego desses livros
seja utilizado para uma melhor compreensa˜o dos conteu´dos desse curso.
Sa˜o Jose´ dos Campos - 2013
1
Suma´rio
1 Temperatura 3
1.1 Temperatura e Equil´ıbrio te´rmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Escalas de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Escala Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Escala Celsius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Escala Fahrenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Dilatac¸a˜o Te´rmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Teoria Cine´tica dos Gases 11
2.1 O Ga´s Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Massa Molar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Propriedades Moleculares dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Uma visa˜o molecular da pressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Trajeto´ria Livre Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Distribuic¸a˜o das velocidades moleculares . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Distribuic¸a˜o das Energias moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Primeira Lei da Termodinaˆmica 26
3.1 A absorc¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Primeira Lei da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Calor espec´ıfico molar de um ga´s ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1 Volume constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Pressa˜o Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Mecanismos de transfereˆncia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.1 Conduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica 41
4.0.3 Ma´quinas Te´rmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.0.4 Processos revers´ıveis e irrevers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.0.5 Ma´quinas Te´rmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.0.6 A ma´quina de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
Cap´ıtulo 1
Temperatura
A termodinaˆmica – a cieˆncia da energia no contexto mais amplo – surgiu lado a lado
com a revoluc¸a˜o industrial em decorreˆncia do estudo sistema´tico sobre a conversa˜o de
energia te´rmica em movimento e trabalho mecaˆnico. Da´ı o nome termo + dinaˆmica.
De fato, a ana´lise de motores e geradores de va´rios tipos permanece sendo o foco da
termodinaˆmica para a engenharia. Pore´m, como cieˆncia, a termodinaˆmica agora se estende
a todas as formas de conversa˜o de energia, incluindo as que envolvem os organismos vivos.
Por exemplo:
• Motores convertem energia dos combust´ıveis em energia mecaˆnica de pisto˜es, engre-
nagens e rodas de movimento;
• Ce´lulas de combust´ıvel convertem energia qu´ımica em energia ele´trica;
• Ce´lulas fotovoltaicas convertem energia eletromagne´tica da luz em energia ele´trica;
• Organismos convertem energia qu´ımica dos alimentos em uma variedade de outras
formas de energia, incluindo energia cine´tica, energia sonora e energia te´rmica;
1.1 Temperatura e Equil´ıbrio te´rmico
O conceito central da termodinaˆmica e´ a temperatura. Estamos ta˜o familiarizados com
essa palavra que temos a tendeˆncia de sermos excessivamente confiantes. Comec¸aremos
com a ide´ia do senso comum de que a temperatura seja uma medida de qua˜o ”quente”ou
”frio”esta´ um sistema. Essa ”sensac¸a˜o de temperatura”nem sempre e´ confia´vel.
Por exemplo, em um dia frio de inverno, um corrima˜o de ferro parece estar mais
frio ao toque do que uma estaca de uma cerca de madeira, apesar de ambos estarem a
mesma temperatura. Por queˆ? Esse erro na nossa percepc¸a˜o ocorre porque o ferro remove
energia dos nossos dedos mais rapidamente do que a madeira. Portanto, vamos entender
o conceito de temperatura mais profundamente.
Suponha que tive´ssemos dois corpos, com temperaturas diferentes, um em contato com
o outro e isolados de influeˆncias externas. Voceˆ poderia perceber que o corpo mais quente
iria se esfriando, enquanto o mais frio iria se aquecendo. Depois de um certo tempo, voceˆ
perceberia, usando o seu tato, que os corpos atingiram uma mesma temperatura. A partir
desse momento, as temperaturas dos corpos na˜o sofrera˜o alterac¸o˜es, isto e´, eles atingira˜o
uma situac¸a˜o final, denominada estado de equil´ıbrio te´rmico.
3
1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA Temperatura
LEI ZERO DA TERMODINAˆMICA - Se cada um dos sistemas A e B esta´
em equil´ıbrio te´rmico com um terceiro sistema C, enta˜o A e B esta˜o em equil´ıbrio
te´rmico entre si.
Em linguagem menos formal, a mensagem da lei zero e´: ”Todo corpo possui uma
propriedade chamada temperatura”.
A lei zero surgiu no se´culo XX, na de´cada de 1930, muito depois da primeira e segunda
leis da termodinaˆmica terem sido propostas. Por ela servir de base para o conceito de
temperatura, a qual e´ fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu um nu´mero
de ordem menor para designa´-la.
1.2 Escalas de Temperatura
A temperatura e´ uma das sete grandezas ba´sicas do S.I. e esta´ relacionada a` energia
te´rmica de um sistema. Para que a temperatura possa ser considerada uma grandeza
f´ısica, e´ necessa´rio que saibamos medi-la, para que se tenha um conceito quantitativo
desta grandeza. Esta medida e´ feita com termoˆmetros.
1.2.1 Escala Kelvin
A escala que universalmente adotada em f´ısica e´ a escala Kelvin, na qual o zero da
escala representa o limite mais baixo que a temperatura pode atingir, ou o zero absoluto
da temperatura.
A escala Kelvin e´ calibrada no chamado ponto tr´ıplice da a´gua, na qual o gelo, a´gua
l´ıquida e vapor d’a´gua coexistem em equil´ıbrio te´rmico e vale exatamente:
T3 = 273, 16K (1.1)
1.2.2 Escala Celsius
O grau Celsius (◦C) designa a unidade de temperatura, assim denominada em home-
nagem ao astroˆnomo sueco Anders Celsius (1701–1744), que foi o primeiro a propoˆ-la em
1742. Esta e´ utilizada em quase todos os pa´ıses do mundo para as medidas do dia a dia
e comerciais.
Originalmente, esta escala era baseada em dois pontos de calibrac¸a˜o:
• o ponto de congelamento da a´gua corresponde - 0◦C
• o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua - 100 ◦C
Enquanto que os valores de congelac¸a˜o e evaporac¸a˜o da a´gua esta˜o aproximadamente
corretos, a definic¸a˜o original na˜o e´ apropriada como um padra˜o formal: ela depende da
definic¸a˜o de pressa˜o atmosfe´rica padra˜o, que por sua vez depende da pro´pria definic¸a˜o de
temperatura. A definic¸a˜o oficial atual de grau Celsius define 0,01 ◦C como o ponto triplo
da a´gua, e 1 grau Celsius como sendo 1/273,16 da diferenc¸a de temperatura entre o ponto
triplo da a´gua e o zero absoluto. Esta definic¸a˜o garante que 1 grau Celsius apresenta a
mesma variac¸a˜o de temperatura que 1 kelvin.
4
1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA Temperatura
A temperaturana escala Celsius Tc em termos da escala Kelvin e´ dada pela equac¸a˜o:
Tc = T − 273, 15◦C (1.2)
1.2.3 Escala Fahrenheit
A escala Fahrenheit tambe´m foi originalmente baseada em dois pontos fixos:
• o ponto de congelamento da a´gua corresponde - 32◦F
• o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua - 212 ◦F
A Fig.1.1 mostra as relac¸o˜es entre as essas treˆs escalas de temperatura.
Transformando ◦F para ◦C:
Tc − 0
100− 0 =
TF − 32
212− 32
Tc
100
=
TF − 32
180
Tc =
5
9
(TF − 32) (1.3)
Transformando ◦F para K:
T − 273
373− 273 =
TF − 32
212− 32
T − 273
100
=
TF − 32
180
T − 273 = 5
9
(TF − 32)
T =
5
9
(TF − 32) + 273 (1.4)
5
1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA Temperatura
Figura 1.1: Escalas de Temperatura
Exerc´ıcios
1. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Celsius coincidem? R: -40
2. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Kelvin coincidem? R: 574,25
3. A resisteˆncia de uma certa bobina de fio de platina aumenta um fator de 1,392 entre
o ponto tr´ıplice da a´gua e o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua na pressa˜o atmosfe´rica. Qual
a temperatura medida por este termoˆmetro para o ponto de ebulic¸a˜o normal da
a´gua? R: 380,2K
4. Voceˆ deve se preocupar se o seu me´dico lhe disser que a sua temperatura e´ de 310
K? Explique sua resposta. R: 36,85 ◦C
5. A que temperatura a leitura da escala Fahrenheit e´ igual a :
(a) duas vezes a da escala Celsius? R: 320 ◦F
(b) metade da escala Celsius? R: -12 ◦F
6. Em 1964, a temperatura no vilarejo siberiano de Oymyakon atingiu -71 ◦C. Que
temperatura e´ esta na escala Fahrenheit e Kelvin? R: 202,15 K; -95,8 ◦F
7. Suponha que voceˆ encontre antigas anotac¸o˜es cient´ıficas que descrevem uma escala
de temperatura chamada Z, na qual o ponto de ebulic¸a˜o da a´gua e´ 65 ◦Z e o ponto de
congelamento e´ de -14◦Z. A que temperatura na escala Farenheit uma temperatura
T= -98,0◦Z corresponderia? R: F=-159,4 ◦F
8. Supondo que em um livro de f´ısica muito antigo voceˆ encontre a refereˆncia a uma
escala P, cujos pontos fixos eram -20 ◦P para a fusa˜o do gelo e 130 ◦P para a a´gua
em ebulic¸a˜o. Determine: (a) a relac¸a˜o entre a escala Celsius e essa escala e (b) a
temperatura em graus Celsius que corresponde a 70 ◦P. R: - - ; 60 ◦C
9. Para medir a febre de pacientes, um estudante de medicina criou sua pro´pria escala
linear de temperatura. Nessa nova escala, os valores 0 e 10 correspondem, respec-
tivamente, a 37◦C e 40◦C. Qual a temperatura em que o valor nu´mero de ambas
escalas coincidem? R: T≈ 52,9 ◦C
6
1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA Temperatura
Figura 1.2: Trilhos ferrovia´rios deformados por causa da expansa˜o te´rmica.
1.3 Dilatac¸a˜o Te´rmica
Praticamente todas as substaˆncias, sejam so´lidas, l´ıquidas ou gasosas, dilatam-se com
o aumento da temperatura e contraem-se quando sua temperatura e´ diminu´ıda e o efeito
da variac¸a˜o de temperatura, especialmente a dilatac¸a˜o, tem muitas implicac¸o˜es na vida
dia´ria. A dilatac¸a˜o te´rmica de um so´lido sugere um aumento da separac¸a˜o me´dia entre
os a´tomos do so´lido.
Voceˆ ja´ deve ter notado um espac¸amento nos blocos de concreto das ruas e avenidas,
bem como nos trilhos do trem ou em algumas pontes. Esse espac¸amento e´ necessa´rio
justamente por causa da dilatac¸a˜o que os materiais sofrem.
Tambe´m em casa, aplicamos o efeito do aumento da temperatura, por exemplo, para
abrirmos tampas de vidros de conserva, aquecendo-os de alguma forma.
O controle da temperatura feito atrave´s de termostatos com laˆminas bimeta´licas, utili-
zadas no ferro ele´trico e em termopares que sa˜o os dispositivos que constam em automo´veis
e outros tipos de termoˆmetros, ocorre com base na dilatac¸a˜o de certos materiais.
Dilatac¸a˜o Linear
Se a temperatura de uma haste meta´lica de comprimento L for elevada de uma quan-
tidade ∆T , verifica-se que o seu comprimento aumenta uma quantidade
∆L = Lα∆T, (1.5)
onde α e´ uma constante chamada de coeficiente de expansa˜o linear de um dado
material.
Exemplo 1. De quanto se dilata um trilho de ferro de 10 m de comprimento, quando
aquecido de 0◦C a 30 ◦C? Dado: αFerro = 12×10−6(◦C)−1.
∆L = Lα∆T = 12× 10−6(◦C)−1×10m× (30◦C–0◦C) = 0, 0036m = 3, 6mm. (1.6)
7
1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA Temperatura
Dilatac¸a˜o Superficial e Volume´trica
Para muitos so´lidos os coeficientes de dilatac¸a˜o sa˜o os mesmos nas diversas dimenso˜es
(dilatac¸a˜o isotro´pica). Considerando que uma placa de dimenso˜es L01 e L02 para uma
dada temperatura inicial Ti sofra dilatac¸a˜o para L1 e L2 quando variamos a temperatura
em ∆T .
Sendo α∆T = ∆L
L0
muito menor que 1 (α∆T << 1)
∆L = L− L0 (1.7)
substituindo 1.7 em 1.5, temos
L− L0 = L0α∆T
L = L0 + L0α∆T
L = L0(1 + α∆T ) (1.8)
Para os comprimentos L1 e L2 , temos:
L1 = L01(1 + α∆T ) (1.9)
L2 = L02(1 + α∆T ) (1.10)
Podemos, enta˜o, definir uma relac¸a˜o entre a variac¸a˜o de a´rea sofrida pela placa, onde:
A0 = L01L02 (1.11)
A = L1L2 (1.12)
A = L01(1 + αδT )L02(1 + α∆T )
A = L01L02(1 + 2α∆T + (α∆)
2)
A = A0(1 + 2α∆T + (α∆)
2) (1.13)
Como α∆T << 1, enta˜o α∆T >> (α∆T )2, podemos assim desconsiderar o termo
(α∆T )2
A = A0(1 + 2α∆T )
A = A0 + 2αA0∆T
A− A0 = 2αA0∆T
8
1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA Temperatura
∆A = 2αA0∆T (1.14)
O mesmo procedimento pode ser feito em relac¸a˜o a` dilatac¸a˜o volume´trica dos so´lidos,
chegando a equac¸a˜o
∆V = 3αV0∆T (1.15)
Tambe´m e´ poss´ıvel deduzir essa relac¸a˜o usando o ca´lculo diferencial. Consideremos
um cubo de um material com um lado L e volume V = L3. Na temperatura inicial, os
valores sa˜o L0 e V0. Quando a temperatura aumenta de dT , a aresta aumenta de dL, e o
volume aumenta uma quantidade dV dada por
dV =
dV
dL
dL = 3L2dL (1.16)
Substitu´ımos agora L e V pelos valores iniciais L0 e V0. Conforme a equac¸a˜o 1.5, dL
e´ dado por
dL = αL0dL (1.17)
Como V0 = L
3
0, podemos expressar dV do seguinte modo
dV = 3L20αL0dT = 3αV0dT (1.18)
O comportamento incomum da a´gua
L´ıquidos geralmente aumentam em volume com o aumento de temperatura e teˆm
coeficientes me´dios de expansa˜o de volume dez vezes maiores do que dos so´lidos. A a´gua
fria e´ uma excec¸a˜o a` regra, como voceˆ pode ver a partir da curva de densidade versus
temperatura, mostrada na Fig. 1.3. Conforme a temperatura aumenta de ◦C a 4◦C, a
a´gua se contrai e, enta˜o, sua densidade aumenta. Acima de 4◦C, a a´gua se expande com o
aumento de temperatura e, enta˜o, sua densidade diminui. Portanto, a densidade da a´gua
atinge um valor ma´ximo de 1 g/cm3 a 4◦C.
Podemos usar esse comportamento incomum de expansa˜o te´rmica da a´gua para expli-
car por que uma lagoa comec¸a a congelar na superf´ıcie em vez de no fundo. Quando a
temperatura do ar cai de, por exemplo, 7◦C para 6◦C, a´ agua da superf´ıcie tambe´m esfria
e, consequentemente, diminui em volume. A a´gua da superf´ıcie e´ mais densa que abaixo
da superf´ıcie, que na˜o esfriou e diminui em volume. Como resultado, a a´gua da superf´ıcie
afunda, e a mais quente do fundo se move para a superf´ıcie. Quando a temperatura do
ar esta´ entre 4◦C e 0◦C, no entanto, a a´gua da superf´ıcie se expande a` medida que esfria,
ficando menos densa que a abaixo da superf´ıcie. O processo de mistura para, e eventual-
mente a a´gua da superf´ıcie congela. A` medida que a a´gua congela, o gelo permanece na
superf´ıcie, porque e´ menos denso que a a´gua. O gelo continua a se acumular na superf´ıcie,
enquanto a a´gua perto do fundo permanece a 4◦C. Se na˜o fosse esse o caso, peixes e outras
formas de vida marinha na˜o sobreviveriam.
9
1.3. DILATAC¸A˜O TE´RMICA Temperatura
Figura 1.3: Variac¸a˜o na densidade da a´gua a` pressa˜o atmosfe´rica com a temperatua.
Exerc´ıcios
1. Uma re´gua me´trica de ac¸o esta´ para ter a sua marcac¸a˜o gravada e deseja-se que os
intervalos de mil´ımetros apresentem uma exatida˜ode 5× 10−5 a uma determinada
temperatura. Qual e´ a variac¸a˜o ma´xima da temperatura que pode ocorrer durante
a gravac¸a˜o? Dado: αac¸o = 11× 10−6(◦C)−1 R: 4,54 ◦C
2. Uma barra feita com uma liga de alumı´nio mede 10 cm a 20 ◦C e 10,015 cm no
ponto de ebulic¸a˜o da a´gua. (a) Qual o seu comprimento no ponto de congelamento
da a´gua? (b) Qual e´ a sua temperatura, se o seu comprimento e´ de 10,009 cm? R:
(a) 9,99625cm; (b) 68◦C
3. Um furo circular em uma placa de alumı´nio possui um diaˆmetro de 2,725 cm a 12
◦C. Qual o diaˆmetro do furo quando a temperatura da placa e´ aumentada ate´ 140
◦C? Dado: αAl = 23× 10−6(◦C)−1 R: 2,733cm
4. Um cubo de lata˜o tem aresta de 30 cm. Qual o aumento de sua a´rea superficial, se
a temperatura subir de 20 para 75 ◦C? Dado: αlata˜o = 19× 10−6(◦C)−1. R: 11, 29
cm2
5. Uma barra de ac¸o a 25 ◦C tem 3 cm de diaˆmetro. Um anel de lata˜o tem diaˆmetro in-
terior de 2,992 cm a 25 ◦C. A que temperatura comum o anel se ajustara´ exatamente
a barra? R: 361 ◦C.
6. O comprimento de um fio de alumı´nio e´ de 40 m a 20 ◦C. Sabendo-se que o fio e´
aquecido ate´ 60 ◦C e que o coeficiente de dilatac¸a˜o te´rmica linear do alumı´nio e´
24× 10−6(◦C)−1, determine: (a) a dilatac¸a˜o do fio e (b) o comprimento final do fio.
R: 0,0384 m; R: 40,0384 m
7. Uma placa retangular de alumı´nio tem a´rea de 40 cm2 a 0 ◦C. Calcule a a´rea final
da placa a (a) 50 ◦C e (b) -20 ◦C. R: 40,096 cm2; R: 39,9616 cm2
8. Uma barra de estanho tem a forma de um prisma reto de base 4 cm2 e comprimento
1 m a` temperatura de 68 ◦F. Determine o comprimento e o volume dessa barra a`
temperatua de 518 ◦F. Considere αestanho = 20.10−6◦C−1. R: 100,5 cm; 406 cm3
10
Cap´ıtulo 2
Teoria Cine´tica dos Gases
2.1 O Ga´s Ideal
A equac¸a˜o de expansa˜o de volume ∆V = 3αV0∆T e´ baseada na suposic¸a˜o de que o
material tem volume inicial Vi antes que a variac¸a˜o na temperatura ocorra. Esse e´ o caso
para l´ıquidos e so´lidos, porque teˆm volume fixo a certa temperatura.
Para gases, o caso e´ completamente diferente. As forc¸as interatoˆmicas dentro dos
gases sa˜o muito fracas, e, em muitos casos podemos imagina´-las como na˜o existentes e,
ainda assim, fazer boas aproximac¸o˜es. Portanto, na˜o ha´ separac¸a˜o de equil´ıbrio para os
a´tomos e nenhum volume “padra˜o” a certa temperatura; o volume depende do tamanho
do recipiente. Como resultado, na˜o podemos expressar variac¸o˜es no volume ∆V em um
processo em um ga´s com a equac¸a˜o 1.15.
Para um ga´s e´ u´til saber as quantidades volume V , pressa˜o p e temperatura T se
relacionam para uma amostra de ga´s de massa m. Em geral, a equac¸a˜o que relaciona
essas quantidades, chamada equac¸a˜o de estado e´ muito complicada. Se o ga´s e´ mantido
a uma pressa˜o muito baixa (ou massa espec´ıfica baixa), no entanto, a equac¸a˜o de estado
e´ bastante simples, e pode ser determinada a partir de resultados experimentais. Um ga´s
de densidade ta˜o baixa e´ geralmente chamado de ga´s ideal.
Ga´s ideal e´ um ga´s cujas propriedades representam o comportamento limite de gases
reais com massas espec´ıficas suficientemente baixas.
O ga´s ideal e´ uma abstrac¸a˜o, mas e´ uma abstrac¸a˜o u´til porque:
1. Gases reais - com massas espec´ıficas suficientemente baixas apresentam um com-
portamento pro´ximos de um ga´s ideal;
2. as propriedades termodinaˆmicas de um ga´s ideal esta˜o relacionados entre si atrave´s
de uma forma simples.
Atrave´s de experimentos desenvolvidos em laborato´rio com gases reais descobriu-se
que as suas presso˜es p , volume V , e temperatura T esta˜o esta˜o relacionadas por
pV = NkT (2.1)
Aqui N e´ o nu´mero de mole´culas contidas no volume V e k e´ uma constante chamada
constante de Boltzman. O seu valor medido e´:
11
2.1. O GA´S IDEAL Teoria Cine´tica dos Gases
k = 1, 38× 10−23J/K
A temperatura T na equac¸a˜o acima sera´ sempre expressa em Kelvins.
Frequentemente e´ u´til expressar a quantidade de ga´s em termos do nu´mero de mols n:
n =
N
NA
onde NA e´ a constante de Avogrado, isto e´, o nu´mero de mole´culas contidas em um mol
de qualquer substaˆncia. O cientista italiano Amadeo Avogrado (1776-1856) sugeriu que
todos os gases conteˆm o mesmo nu´mero de a´tomos ou mole´culas quando eles ocupam
o mesmo volume sob as mesmas condic¸o˜es de temperatura e pressa˜o. O seu valor e´
NA = 6, 02 times10
23 mole´culas/mol
O mol e´ uma das sete unidades de base do SI e e´ definido como o nu´mero de a´tomos
em uma amostra de 12 g de carbono-12.
Em termos de nu´mero de mols, pode-se escrever a equac¸a˜o 2.1 como
pV = nRT (2.2)
ondeR = k/NA e´ uma constante, chamada constante molar do ga´s. O seu valor e´R = 8, 31
J/mol K.
Considerando somente gases contidos em recipientes lacrados, o nu´mero de mols (e o
nu´mero de mole´culas) na˜o mudara´ durante um problema deste tipo. Neste caso,
pV = nRT = constante (2.3)
Se o ga´s estiver inicialmente no estado i, caracterizado pelas varia´veis de estado pi,
Vi, e Ti, e em algum momento posterior estiver em outro estado final f , as varia´veis de
estado para esses dois estados estara˜o relacionadas por :
pfVf
Tf
=
piVi
Ti
(2.4)
2.1.1 Massa Molar
A massa de uma mole´cula e´ determinada somando-se as massas dos a´tomos consti-
tuintes da mole´cula. As massas atoˆmicas sa˜o geralmente fornecidas em unidades de u.
Por exemplo, a massa de uma mole´cula de dio´xido de enxofre (SO2) e´
m(SO2) = m(S) + 2 ·m(O)
= 32, 1u+ 2 · (16, 0u)
= 64, 1u
onde: 1u = 1, 661 · 10−24 g ou 1, 661 · 10−27 kg.
Como muitas vezes descrevemos um ga´s em termos do nu´mero de mols (n), podemos
fazer o mesmo com a massa de uma mole´cula e calcular a chamada massa molar M , a
qual e´ simplesmente a massa da mole´cula multiplicada pelo nu´mero de mole´culas por mol
12
2.1. O GA´S IDEAL Teoria Cine´tica dos Gases
M = m ·NA
A massa molar, medida em gramas e´ numericamente igual a` massa molecular, medida
em u. Assim, a massa molar do SO2 e´
M = 64, 1 g/mol = 0, 0641 kg/mol.
Exerc´ıcios
1. Um cilindro isolado com um eˆmbolo montado conte´m oxigeˆnio a uma temperatura
de 20◦C e uma pressa˜o de 15 atm em um volume de 22 litros. O eˆmbolo e´ baixado,
diminuindo o volume do ga´s para 16 litros e, simultaneamente, a temperatura e´
aumentada para 25◦C. Supondo que o oxigeˆnio comporta-se como um ga´s ideal sob
estas condic¸o˜es, qual e´ a pressa˜o final do ga´s? R : pf = 21atm
2. (a) Calcule o volume ocupado por 1 mol de um ga´s ideal em condic¸o˜es normais, isto
e´, pressa˜o de 1 atm e temperatura de 0◦C. R : V = 2,246 · 10−2m3 = 22,46l
(b) Mostre que o nu´mero de mole´culas por cm3 em condic¸o˜es normais e´ 2, 68×1019.
3. O melhor va´cuo que pode ser obtido em laborato´rio corresponde a uma pressa˜o de
aproximadamente 10−18 atm, ou, ou 1, 01 × 10−13 Pa. Quantas mole´culas existem
por cm3 neste va´cuo a 22 ◦C. R : N = 22,8 mole´culas
4. Uma quantidade de ga´s ideal ocupa um volume de 2,47 m3 a 12,0 ◦C e a 108 kPa.
(a) Quantos mols do ga´s esta˜o presentes? R : n = 112,64 mols
(b) Se a pressa˜o e´ aumentada para 316 kPa e a temperatura e´ aumentada para 31,0
◦C, qual e´ o novo volume ocupado pelo ga´s? R : Vf = 0,900m3
5. Ga´s oxigeˆnio com volume de 1130 cm3 a 42,0 ◦C e a uma pressa˜o de 101 kPa expande
ate´ que o seu volume seja 1530 cm3e sua pressa˜o seja 106 kPa. Determine
(a) o nu´mero de mols de oxigeˆnio no sistema. R : n = 0,044 mols
(b) a sua temperatura final. Tf = 447,62K
6. Certa massa gasosa sob pressa˜o de 3 atm ocupa um volume de 20 l a temperatura de
27 ◦C. Determine: (a) o volume ocupado pelo ga´s a 127 ◦C, sob a mesma pressa˜o.R :
26,7litros
(b) a pressa˜o que o ga´s exerce ◦C quando ocupa o volume de 40 l. R : 1,5litros
(c) em que temperatura o volume de 20 l do ga´s exerce a pressa˜o de 5 atm. R : 500K
7. Uma seringa de injec¸a˜o com o eˆmbolo na marca de 20 cm3, a` temperatura ambiente
de 27 ◦C e a` pressa˜o de 1,0. 105 Pa, e´ vedado e colocado em um freezer a -13 ◦C.
Verifica-se que, ao atingir o equil´ıbrio te´rmico, o eˆmbolo esta´ na marca de 18 cm3.
Determine nesas condic¸o˜es a pressa˜o do ar aprisionado na seringa. R : 9,6.104Pa
8. Um freezer, regulado para manter a temperatura em seu interior a -10 ◦C, foi ligado
quando a temperatura ambiente estava 30 ◦C. Calcule a pressa˜o em seu interior apo´s
certo tempo de funcionamento. R : 0,87atm
13
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
2.2 Propriedades Moleculares dos Gases
Nesta sec¸a˜o estudaremos o modelo de ga´s ideal do ponto de vista microsco´pico. Cons-
truiremos um modelo estrutural de um ga´s mantido em um recipiente. A estrutura ma-
tema´tica e as previso˜es feitas por este modelo constituem a teoria cine´tica dos gases.
Em nosso modelo estrutural, faremos as seguintes suposic¸o˜es:
1. O nu´mero de mole´culas no ga´s e´ alto e a separac¸a˜o me´dia entre elas e´ grande quando
comparada com suas dimenso˜es.
2. As mole´culas obedecem a`s leis do movimento de Newton, mas, como um todo se
movem aleatoriamente.
3. As mole´culas interagem somente por meio de forc¸as de curto alcance durante coliso˜es
ela´sticas.
4. As mole´culas fazem coliso˜es ela´sticas com as paredes.
5. O ga´s ideal em considerac¸a˜o e´ uma substaˆncia puras, isto e´, todas as mole´culas sa˜o
ideˆnticas.
2.2.1 Uma visa˜o molecular da pressa˜o
Considere que as N mole´culas de um ga´s ideal estejam confinadas em um recipiente
cu´bico de lado L, conforme mostra a figura 2.1.
Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 4
 As moléculas desse gás estão continu-
amente colidindo com as paredes do recipi-
ente. Vamos analisar especificamente a co-
lisão de uma molécula, que se dirige para
colidir com a parede do recipiente paralela
ao plano yz e que passa pela origem.
Quando ela colide com a parede, não acon-
 - mvx
 x
 +mvx
tecerá mudança nas componentes y e z
do momento linear, mas a componente x
do momento linear mudará de sinal, aconte-
cerá uma reversão neste movimento. Esta-
mos considerando que as colisões são
perfeitamente elásticas. A variação do mo-
mento dever-se-á apenas a mudança da
componente x .
!p = pf – pi = mvx – (-mvx) = 2mvx
 Sejam A1 e A2 as paredes do cubo
perpendiculares ao eixo x . A molécula vai
colidir com a face A1 e levar um intervalo
 y
 A2
 A1
 x
 z
de tempo !t para colidir com a face oposta A2 e depois colidir novamente com A1 .
O tempo t necessário para essa molécula ir de uma face até outra é dado por
t=L/vx , e desse modo:
Xv
L
tt
2
2 ==!
A variação do momento linear de uma molécula, num intervalo !t entre duas coli-
sões com a mesma face do recipiente é dada por:
L
mv
vL
mv
t
p X
X
XX
2
/2
2
==
!
!
A equação anterior nos dá a força que uma molécula exerce na face considerada.
Para se encontrar a força total exercida por todas as moléculas, devemos considerar as
contribuições de todas as N moléculas:
( )22 22 1 XNXXX vvv
L
m
F +++= !
A pressão que essas moléculas exercerão dependerá da força média e será dada
por:
( )22 22 132 XNXX
X
vvv
L
m
L
F
p +++== !
onde estamos representando o valor médio de uma grandeza A por <A> . Como as
moléculas não são distinguíveis, os valores médios das componentes x de cada uma
das moléculas são iguais, ou seja:
Figura 2.1: Choque ela´stico de uma part´ıculas contra as paredes do recipiente cu´bico.
Vamos nos concentrar na ana´lise de uma u´nica mole´cula de massa m, cuja velocidade
~v pode ser decomposta segundo as componentes vx, vy e vz. Quando essa mole´cula atinge
a face A1 do cubo mostrado na figura 2.1, ela rebate com componente de velocidade na
direc¸a˜o x invertida, uma vez que todas as coliso˜es sa˜o admitidas como ela´sticas, isto e´,
14
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
vx → −vx.
Na˜o havera´ qualquer efeito sobre vy ou vz, de modo que a variac¸a˜o da quantidade de
movimento linear da mole´cula possui apenas uma componente na direc¸a˜o x, expressa por
(Quantidade de movimento final) − (Quantidade de movimento inicial) =
(−mvx)− (mvx) =
−2mvx
Uma vez que a quantidade de movimento linear total e´ conservada durante a colisa˜o,
a quantidade de movimento linear atribu´ıda a` sua a´rea A1 e´ +2mvx .
Suponha que essa mole´cula atinja a a´rea A2 sem colidir com qualquer outra mole´cula
ao longo de sua trajeto´ria. O tempo necessa´ria para cruzar o cubo e´
∆t =
L
vx
.
Em A2 ela novamente possui componente de velocidade na direc¸a˜o x invertida, re-
tornando para A1. Admitindo que na˜o haja colisa˜o com outra mole´cula, a trajeto´ria
completa leva um tempo igual a
∆t =
2L
vx
,
que e´ o tempo entre as coliso˜es com a superf´ıcie A1. A forc¸a impulsiva me´dia exercida
por essa mole´cula sobre A1 e´ igual a` quantidade de movimento transferida dividida pelo
intervalo de tempo entre as transfereˆncias, isto e´,
Fx =
2mvx
2L/vx
=
mv2x
L
.
Para obter a forc¸a total sobre A1, deve-se somar as quantidades
mv2x
L
para todas as
mole´culas
Fx =
m
L
(v21x + v
2
2x + v
2
3x + ...).
Em seguida, para obter a pressa˜o, divide-se essa forc¸a pela a´rea A1, ou seja, L
2. A
pressa˜o e´, portanto,
p =
Fx
a´rea
=
m(v21x+v
2
2x+v
2
3x+...)
L
L2
=
m
L3
(v21x + v
2
2x + v
2
3x + ...).
Se N e´ o nu´mero total de mole´culas do recipiente, enta˜o Nm e´ a massa total, e a
massa espec´ıfica (ρ) sera´ dada por
ρ =
Nm
L3
,
assim,
m
L3
=
ρ
N
15
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
e
p = ρ
(
v21x + v
2
2x + v
2
3x + ...
N
)
.
A quantidade entre pareˆnteses e´ o valor me´dio de v2x para as mole´culas do recipiente,
que sera´ representada por (v2x)med. Assim,
p = ρ(v2x)med.
Para qualquer mole´cula,
v2 = v2x + v
2
y + v
2
z .
Uma vez que existem muitas mole´culas e tendo em vista que elas se movem de forma
totalmente aleato´ria, os valores me´dios de v2x, v
2
y e v
2
z sa˜o ideˆnticos, e o valor de cada um
e´ exatamente um terc¸o do valor me´dio de v2. Logo,
(v2x)med =
(v2)med
3
assim,
p =
1
3
ρ(v2)med.
A raiz quadrada de (v2)med e´ chamada velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas, e
vale
vrms =
√
(v2)med
vrms =
√
3p
ρ
.
Exerc´ıcios
1. Verifica-se que cinco mole´culas escolhidas ao acaso possuem velocidades de 500, 600,
700, 800 e 900m/s.
(a) Ache sua velocidade me´dia. R : vmed = 700m/s
(b) Qual a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas? R : vrms = 714m/s
2. Calcule a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas de hidrogeˆnio na temperatura
de 0,00◦C e a uma pressa˜o de 1,00atm, admitindo que o hidrogeˆnio seja um ga´s
ideal. Nessas condic¸o˜es, o hidrogeˆnio possui massa espec´ıfica ρ de 8, 99 ·10−2 kg/m3.
R : vrms = 1836m/s
3. Um recipiente cu´bico possui 10cm de lado e conte´m oxigeˆnio a uma pressa˜o de
1,0atm e uma temperatura de 300K.
(a) Quantos mols de oxigeˆnio esta˜o presentes no interior do recipiente?
R : n = 0,041 mols
(b) Quantas mole´culas? R : N = 2,5 · 1022mole´culas
4. Uma massa gasosa ocupa um volume de 20 l, em condic¸o˜es normais de pressa˜o e
temperatura. Se a pressa˜o sobre o ga´s for dobrada e sua temperatura for elevada
ate´ atingir um valor de 1040 ◦F, qual o volume que esse ga´s ocupara´? R: V≈ 30,5l
16
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
2.2.2 Trajeto´ria LivreMe´dia
v.t
(a)
(b)
(c)
v.!t
Figura 2.2: a) Choque entre duas mole´culas ideˆnticas de diaˆmetro d. b) Descric¸a˜o alter-
nativa: choque entre uma mole´cula com diaˆmetro 2d e outra pontual. c) Cilindro gerado
pelo deslocamento da part´ıcula de diaˆmetro 2d.
Entre coliso˜es sucessivas, o movimento de uma mole´cula de um ga´s ideal e´ retil´ıneo e
uniforme. A distaˆncia me´dia que uma mole´cula percorre entre duas coliso˜es sucessivas e´
chamada trajeto´ria livre me´dia.
Se tivermos duas mole´culas de diaˆmetro d, ocorrera´ uma colisa˜o quando seus centros
se aproximarem de uma distaˆncia d (Figura 2.2a).
Uma descric¸a˜o equivalente das coliso˜es entre mole´culas consiste em considerar uma
delas pontual e a outra com diaˆmetro 2d, pois a colisa˜o ocorrera´ quando os seus centros
se aproximarem de uma distaˆncia d (Figura 2.2b), assim como na situac¸a˜o anterior.
Se estivermos observando uma mole´cula nas suas mu´ltiplas coliso˜es, podemos consi-
derar que ela tem um diaˆmetro 2d e as outras sa˜o pontuais.
Em um intervalo de tempo ∆t, a mole´cula ‘maior’ percorre um cilindro cuja a´rea de
sec¸a˜o transversal e´ pid2, o comprimento e´ Lcil = v ·∆t, onde v e´ a velocidade da mole´cula
(Figura 2.2c). O volume do cilindro sera´:
Vcil = a´rea da base × comprimento
Vcil = pid
2 × v ·∆t
Considere que o volume do recipiente no qual o ga´s esta´ confinado seja V e que o
recipiente contenha N mole´culas. Assim, o nu´mero de mole´culas pontuais no cilindro e´
Ncil = N
Vcil
V
=
Npid2v∆t
V
17
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
Uma vez que a mole´cula em movimento e as mole´culas pontuais exercem forc¸as umas
sobre as outras, esse e´ tambe´m o nu´mero de coliso˜es associadas a` mole´culas em movimento
no intervalo de tempo ∆t.
A trajeto´ria livre me´dia λ e´ a distaˆncia total percorrida pela mole´cula em movimento
no intervalo de tempo ∆t, dividida pelo nu´mero de coliso˜es ocorridas neste intervalo, ou
λ =
Lcil
Ncil
=
v∆tV
Npid2v∆t
λ =
V
Npid2
Esse resultado e´ apenas uma primeira aproximac¸a˜o, pois ele se baseia na hipo´tese de
que apenas uma mole´cula se move e que todas as outras esta˜o em repouso.
Uma conclusa˜o similar sobre a me´dia pode ser obtida para o caso em que as mole´culas
possuem velocidades diferentes. Um ca´lculo completo, considerando a distribuic¸a˜o real
das velocidades das mole´culas fornece
vrelativa =
√
2 · vme´dia.
Como resultado, temos que a trajeto´ria livre me´dia me´dia e´:
λ =
V√
2Npid2
ou, em termos da pressa˜o p e temperatura T
λ =
kT√
2ppid2
Exerc´ıcios
1. Quais sa˜o (a) a trajeto´ria livre me´dia e (b) a taxa me´dia de coliso˜es para o nitrogeˆnio
a` temperatura ambiente (T = 300K) e a` pressa˜o atmosfe´rica (p = 1, 01 · 105Pa)?
Uma mole´cula de nitrogeˆnio possui diaˆmetro efetivo d = 3, 15 · 10−10m e, para as
condic¸o˜es estabelecidas, uma velocidade me´dia vmed = 478m/s.
R: a) λ = 9,3 · 10−8m; b) taxa = 5,1 · 109 coliso˜es/segundo
2. A 2500 km acima da superf´ıcie da Terra, a massa espec´ıfica e´ de aproximadamente
1 mole´cula/cm3. Qual a trajeto´ria livre me´dia prevista? Suponha o diaˆmetro mo-
lecular igual a 2, 0 · 10−8cm. R: λ = 5,6 · 1012m
3. O livre percurso me´dio das mole´culas de nitrogeˆnio, a 0◦C e 1atm, e´ 0, 80·10−5cm. A
esta temperatura e pressa˜o ha´ 2, 7 · 1019 mole´cula/cm3. Qual o diaˆmetro molecular?
R: 3,2 · 10−10m
18
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
2.2.3 Distribuic¸a˜o das velocidades moleculares
O f´ısico escoceˆs James Clerk Maxwell (1831-1879) foi quem primeiro resolveu o pro-
blema da distribuic¸a˜o das velocidades em um ga´s contendo um grande nu´mero de mole´culas.
A distribuic¸a˜o de mole´culas de Maxwell para uma amostra de ga´s com temperatura T
contendo N mole´culas, cada uma com massa m, e´ dada por
N(v) = 4piN
(
m
2pikBT
)3/2
v2e−mv
2/2kBT . (1)
A figura 2.3 mostra duas distribuic¸o˜es de velocidades para N = 105 mole´culas de
nitrogeˆnio (N2), considerando as temperaturas de 300K (curva azul) e 900K (curva la-
ranja).
Figura 2.3: Exemplos da distribuic¸a˜o das velocidades moleculares para o N2.
N(v) e´ o produto N(v) · dv (adimensional) e fornece o nu´mero de mole´culas que
possuem velocidades na faixa de v a v+dv. Ao integrar os nu´meros de mole´culas presentes
entre v = 0 e v → ∞, devemos obter o nu´mero total de mole´culas do sistema (N). Isto
e´, deve ser verdadeira a equac¸a˜o
N =
∫ ∞
0
N(v) · dv
Consequeˆncias da Distribuic¸a˜o de Velocidades
Pode-se obter muitas informac¸o˜es u´teis a partir da equac¸a˜o de distribuic¸a˜o das velo-
cidades moleculares (Eq. 1).
1. A velocidade mais prova´vel (vp): Essa e´ a velocidade para a qual (N(v)) apre-
senta seu valor ma´ximo. Esse valor pode ser obtido impondo
N(v)
dv
= 0
19
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
e resolvendo para v. O resultado e´
vp =
√
2kBT
m
ou vp =
√
2RT
M
2. A velocidade me´dia (vme´d): Para se obter a velocidade me´dia das mole´culas,
adiciona-se todas as velocidades individuais e divide-se pelo nu´mero de mole´culas,
isto e´:
vme´d =
1
N
∫ ∞
0
v ·N(v) · dv
O resultado e´
vme´d =
√
8kBT
pim
ou vme´d =
√
8RT
piM
3. A velocidade me´dia quadra´tica (vrms): Essa quantidade ja´ foi obtida no inicio
do cap´ıtulo. Para obteˆ-la a partir da equac¸a˜o de distribuic¸a˜o de velocidades, proce-
demos conforme descrito no item anterior, exceto pelo fato de se obter o valor me´dio
de v2, ou seja:
(v2)me´d =
1
N
∫ ∞
0
v2 ·N(v) · dv
Esta integrac¸a˜o resulta em
(v2)me´d =
3kBT
m
.
A velocidade me´dia quadra´tica e´ igual a` raiz quadrada dessa quantidade, isto e´,
vrms =
√
(v2)me´d. Como resultado temos:
vme´d =
√
3kBT
m
ou vme´d =
√
3RT
M
4. A energia cine´tica me´dia de translac¸a˜o por mole´cula (Ktrans): Devido a`
hipo´tese de que o ga´s ideal e´ monoatoˆmico, a energia cine´tica de translac¸a˜o e´ a
u´nica forma de energia que a mole´cula pode possuir. Uma mole´cula pontual na˜o
pode possuir energia de rotac¸a˜o e admite-se que na˜o hajam variac¸o˜es nas energias
internas da mole´cula.
Para obtermos Ktrans, devemos, inicialmente, obter a energia cine´tica de translac¸a˜o
total do conjunto de N mole´culas e, em seguida, dividi-la por N . A energia total
K e´
K =
1
2
m(v21 + v
2
2 + ...+ v
2
N)
K =
1
2
mN
(v21 + v
2
2 + ...+ v
2
N)
N
K =
1
2
mNv2rms
Substituindo v2rms = 3kBT/m, temos
K =
3
2
NkBT
Dividindo por N, teremos Ktrans
Ktrans =
3
2
kBT
20
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
Exerc´ıcios
1. As velocidades de dez part´ıculas em m/s sa˜o:
0,0; 1,0; 2,0; 3,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0 e 6,0.
Determine:
(a) a velocidade me´dia; R: vme´d = 3,1 m/s
(b) a velocidade me´dia quadra´tica; R: vrms = 3,5 m/s
(c) a velocidade mais prova´vel. R: vp = 3,0 m/s
2. Um tanque de volume de 0, 300m3 conte´m 2 mols de ga´s He´lio a 20, 0◦C. Supondo
que o He´lio comporta-se como um ga´s ideal, encontre:
(a) a energia interna total do ga´s. R: K = 7,30 · 103J
(b) a energia me´dia por mole´cula. R: Ktrans = 6,07 · 10−21J
3. Calcule a massa de uma mole´cula de nitrogeˆnio, N2. O peso molecular e´ 28 kg/kmol.
R: 4,65x10−26 kg
4. Quantos a´tomos de he´lio, He, existem em 2,0 g de he´lio? (M= 4kg/kmol para o
He.) R: 3,01.1023 kmol
5. Uma gotinha de mercu´rio tem um raio de 0,5 mm. Quantos a´tomos de mercu´rio
existem na gotinha? (Para Hg, M = 202 Kg/ kmol e ρ = 13 600 kg/m3). R:
2,1x1019
6. Quantas mole´culas existem em 70 cm3 de benzeno? (Para o benzeno, ρ= 0,88 g.cm−3
e M = 78 kg/mol). R: 4,8 x 1023
7. Calcule a velocidade quadra´tica me´dia de uma mole´cula de nitrogeˆnio (M = 28
kg/kmol)no ar, a O◦C. R: 490 m/s
8. Calcule as seguintes razo˜es para os gases hidrogeˆnio (M=2kg/kmol) e nitrogeˆnio
(M=28 kg/kmol), a` mesma temperatura:
(a) (Ec)H/(Ec)N
(b) (vqm)H/(vqm)N
21
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
2.2.4 Distribuic¸a˜o das Energias moleculares
Uma descric¸a˜o alternativa do movimento das mole´culas pode ser obtida observando
a distribuic¸a˜o das energias ao inve´s da distribuic¸a˜o das velocidades. Isto e´, observando
a distribuic¸a˜o de N(E), de modo que N(E) · dE fornece o nu´mero de mole´culas com
energias entre E e E + dE.
Sendo o nu´mero de mole´culas com energias cine´ticas entre E e E + dE ideˆntico ao
nu´mero de mole´culas com velocidades entre v e v + dv, matematicamente temos:
N(E) · dE = N(v) · dv,
N(E) = N(v) · dv
dE
(1)
Considerando que as mole´culas possuam apenas energia cine´tica, temos:
E =
1
2
mv2
v =
(
2E
m
)1/2
(2)
dv
dE
=
1
2
E−1/2
(
2
m
)1/2
(3)
Dado: N(v) = 4piN
(
m
2pikBT
)3/2
v2e−mv
2/2kBT (4)
Substituindo as equac¸o˜es (2), (3) e (4) na equac¸a˜o (1), temos:
N(E) =
2N√
pi
1
(kBT )3/2
E1/2e−E/kBT (5)
A equac¸a˜o (5) e´ a distribuic¸a˜o das energias de Maxwell-Boltzmann. A partir desta
equac¸a˜o, pode-se calcular a frac¸a˜o de mole´culas de um ga´s que possuem energias entre E
e E + dE, que e´ expressa por
N(E)dE
N
.
Conforme considerado anteriormente, N e´ o nu´mero total de mole´culas, e pode ser deter-
minado por
N =
∫ ∞
0
N(E) · dE.
22
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
Lista de revisa˜o I
1. Em um dia quando a temperatura alcanc¸a 60 ◦F, qual e´ a temperatura em graus
Celsius e em kelvins? R:288,56 K e 15,56 ◦C
2. O ouro tem ponto de fusa˜o de 1.064 ◦C e um ponto de ebulic¸a˜o de 2.660 ◦C. (a)
Expresse estas temperaturas em graus Fahrenheit e kelvis. (b) Calcule a diferenc¸a
entre estas temperaturas nas 3 escalas termome´tricas utilizadas. R: (a) 1947,2 ◦F
e 4820 ◦F; 1337 K e 2933 K (b) ∆=1596 ◦C, 1596 K e 2872,8 ◦F
3. A variac¸a˜o dia´ria da temperatura da ponte Golden Gate em Sa˜o Francisco pode
exceder 20 ◦C. O comprimento da ponte e´ de aproximadamente 2 km e ela e´ feita
de ac¸o (α = 1, 1×10−5 ◦C−1). Qual e´ aproximadamente a variac¸a˜o do comprimento
da ponte para esta variac¸a˜o de temperatura? R: ∆L = 44 cm
4. Um mastro de alumı´nio de uma bandeira possui 33 m de altura. De quanto aumenta
o seu comprimento quando a temperatura sobe 15 ◦C? (αAl = 2, 3× 10−5 ◦C−1) R:
∆L = 1,138 cm
5. Uma esfera oca de alumı´nio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a
15 ◦C. O coeficiente de dilatac¸a˜o linear do alumı´nio e´ 2, 3× 10−5 ◦C−1. De quantos
cm3 varia o volume da cavidade interna quando a temperatura sobre para 40◦ C?
O volume da cavidade aumenta ou diminui? R: ∆Vi = 7,23cm
3
6. Uma barra retil´ınea e´ formada por uma parte de lata˜o soldada em outra de ac¸o. A
20 ◦C, o comprimento total da barra e´ 30 cm, dos quais 20 cm de lata˜o e 10 cm
de ac¸o. Os coeficientes de dilatac¸a˜o linear sa˜o 1, 9 × 10−5 ◦C−1 para o lata˜o e
1, 1 × 10−5 ◦C−1 para o ac¸o. Qual e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o linear da barra? R:
α = 1,63× 10−5/◦C
7. O comprimento de uma haste, medido com uma re´gua de ac¸o (α = 1, 1×10−5 ◦C−1)
a temperatura ambiente de 20 ◦C, e´ igual a 20,05 cm. Em seguida, a haste e a re´gua
sa˜o colocadas em um forno a 270 ◦C. Dentro deste forno, o comprimento da haste
medida com a mesma re´gua e´ de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatac¸a˜o te´rmica
do material da haste. R: α = 2,3× 10−5/◦C. A haste e´ feita de alumı´nio.
8. Um ga´s ideal ocupa um volume de 100 cm3 a 20, 0 ◦C e 100 Pa. (a) Encontre
o nu´mero de mols do ga´s no recipiente. (b) Quantas mole´culas do ga´s esta˜o no
recipiente? R: n = 4,1× 10−6 mols e N = 2,47× 1018 mole´culas
9. Massa espec´ıfica e´ massa dividida pelo volume. Se o volume V depende da tem-
peratura, a massa espece´fica ρ tambe´m depende. Mostre que a variac¸a˜o na massa
espece´fica ∆ρ com uma variac¸a˜o de temperatura ∆T e´ dada por
∆ρ = −βρ∆T,
onde β e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o volume´trica. Explique o sinal negativo.
10. Dado um tanque de he´lio com volume de 0, 100 m3 e pressa˜o 150 atm. Quantos
balo˜es este tanque pode inflar se cada bala˜o cheio for uma esfera de 0,300 m de
diaˆmetro em uma pressa˜o absoluta de 1,20 atm? R: 892 balo˜es
23
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
11. Um ga´s ideal e´ mantido em um recipiente de volume constante. Inicialmente, sua
temperatura e´ 10, 0 ◦C e sua pressa˜o 2,50 atm. Qual sera´ sua pressa˜o quando sua
temperatura for 80, 0 ◦C? R: p = 3,15× 105 Pa
12. Um cilindro conte´m oxigeˆnio e´ temperatura de 20 ◦C, pressa˜o de 15 atmosferas e
volume de 100 litros. Um eˆmbolo e´ deslocado no cilindro de modo a diminuir o
volume do ga´s para 80 litros e aumentando sua temperatura para 25 ◦C. Supondo
que o oxigeˆnio se comporte como ga´s ideal nestas condic¸o˜es, determinar sua pressa˜o
final. R: p= 19,07 atm
13. Sendo a velocidade quadratica me´dia das mole´culas de um ga´s dada por
vrms =
√
3p
ρ
,
encontre uma equac¸a˜o que relacione a vrms com a temperatura (T ) e a massa molar
(M). R: vrms =
(
3RT
M
)1/2
14. A 0 ◦C e a` pressa˜o de 1, 000 atm a densidade do ar, do oxigeˆnio e do nitrogeˆnio sa˜o,
respectivamente 1, 293 kg/m3, 1, 429 kg/m3 e 1, 251 kg/m3. Calcule a percentagem
de nitrogeˆnio no ar, a partir desses dados, supondo apenas a presenc¸a destes dois
u´ltimos gases. R: 76,4 %
15. Em um per´ıodo de 1, 00 s, 5, 00× 1023 mole´culas de nitrogeˆnio atingem uma parede
com uma a´rea de 8, 00 cm2. Se as mole´culas deslocam-se com uma velocidade
de 300 m/s e atingem a parede frontalmente em coliso˜es perfeitamente ela´sticas,
qual a pressa˜o exercida na parede? (A massa molecular de uma mole´cula de N2 e´
4, 68× 10−26 kg.) R: p=1,76× 104 Pa
16. A massa da mole´cula de H2 e´ 3, 32 × 10−24 g. Se 1023 mole´culas de hidrogeˆnio
chocam-se por segundo contra 2, 0 cm2 de uma parede inclinada de 45◦ em relac¸a˜o
a` direc¸a˜o da velocidade, que vale 105 cm/s, qual e´ a pressa˜o que elas exercem sobre
a parede? R: p=2,35× 103 Pa
17. Uma bolha de ar de 19, 4 cm3 de volume esta´ no fundo de um lago com 41,5 m de
profundidade, onde a temperatura e´ de 3, 80 ◦C. A bolha sobe ate´ a superf´ıcie, que
esta´ a` temperatura de 22, 6 ◦C. Considere que a temperatura da bolha e´ a mesma
da a´gua a` sua volta e determine o seu volume no instante imediatamente anterior a`
chegada da bolha a` superf´ıcie. R: Vf = 106,7cm
3
18. A 273◦F e 1, 00 × 10−2 atm a densidade de um ga´s e´ de 1, 24 × 10−5 g/cm3. (a)
Determinar a vrms para as mole´culas do ga´s. (b) Determinar a massa molar do ga´s.
R: (a) vrms = 494m/s; (b) 4,15 ×10−2 kg/mol
19. (a) Determinar o valor me´dio da energia cine´tica das mole´culas de um ga´s ideal a
0, 00 ◦C e a 100, 0 ◦C. (b) Qual e´ a energia cine´tica por mol de um ga´s ideal nessas
temperaturas? (a)5,65× 10−21 J e 7,72× 10−21J; (b) 3401 J e 4647 J
20. (a) Quantos a´tomos de ga´s he´lio enchem um bala˜o de 30, 0 cm de diaˆmetro a 20, 0 ◦C
e 1,00 atm? (b) qual e´ a energia cine´tica me´dia dos a´tomos de he´lio? (c) Qual e´ a
24
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES Teoria Cine´tica dos Gases
velocidade me´dia quadra´tica dos a´tomos de he´lio? R: (a) 3,53×1023 mole´culas;
(b) 6,07× 10−21 J; (c) 1,35 km/s
21. Um reservato´rio de ac¸o conte´m 315 g de amoˆnia (NH3) a uma pressa˜o absoluta de
1, 35×106 Pa e a uma temperatura de 77, 0 ◦C. (a) Qual o volume desse reservato´rio?
(b) Faz-se uma verificac¸a˜o posterior no reservato´rio quando a temperatura diminuiu
para 22 ◦C e a pressa˜o absoluta caiu para 8, 68 × 105 Pa. Quantos gramas de ga´s
escapou do reservato´rio? R: (a) 39,9 l; (b) 14,13 mols; (c) 74,71g
22. Nas CNTP (Condic¸o˜esNormais de Temperatura e Pressa˜o - 0 ◦C e 1,00 atm) a
trajeto´ria livre me´dia dos a´tomos no he´lio e´ de 285 nm. Determinar (a) o nu´mero
de mole´culas por metro cu´bico e (b) o diaˆmetro efetivo dos a´tomos de he´lio. R: (a)
2,68× 1025 mole´culas; (b) 1, 72× 10−10 m = 0,172nm
23. Um reservato´rio cil´ındrico com 56,0 cm de comprimento e 12,5 cm de diaˆmetro,
mante´m 0,350 mols de ga´s nitrogeˆnio a uma pressa˜o de 2,05 atm. Determine a
velocidade me´dia quadra´tica (vrms) das mole´culas de nitrogeˆnio. R: 660m/s
24. A 2500 km acima da superf´ıcie da Terra, a massa espec´ıfica e´ de aproximadamente
1 mole´cula/cm3. Qual a trajeto´ria livre me´dia? Suponha um diaˆmetro molecular
igual a 2, 0× 10−8 cm. R: 5,6× 1012m
25. Calcule a velocidade me´dia quadra´tica das mole´culas de amoˆnia (NH3) a 56, 0
◦C.
Um a´tomo de nitrogeˆnio possui uma massa de 2, 33 × 10−26 kg e um a´tomo de
hidrogeˆnio possui massa de 1, 67× 10−27 kg. R: 694 m/s
26. A temperatura no espac¸o interestrelar e´ de 2,7 K. Determine a velocidade me´dia
quadra´tica das mole´culas de hidrogeˆnio a essa temperatura. R: 183 m/s
27. O livre percurso me´dio das mole´culas de nitrogeˆnio, a 0 ◦C e 1 atm, e´ 0, 80 ×
10−5 cm. A essa temperatura e pressa˜o ha´ 2, 7 × 1019 mole´culas/cm3. Qual o
diaˆmetro molecular? R: 3,2× 10−10
28. Considere uma amostra de ga´s argoˆnio a 35, 0 ◦C e sob pressa˜o de 1,22 atm. Suponha
que o raio de um a´tomo (esfe´rico) de argoˆnio seja de 0, 710×10−10 m. Calcule a frac¸a˜o
do volume do recipiente que e´ realmente ocupada pelos a´tomos. R:4,34× 10−5
29. Dez part´ıculas se movem com a seguinte distribuic¸a˜o de velocidades: quatro a
200 m/s, duas a 500 m/s e quatro a 600 m/s. Calcule as velocidades me´dia e
me´dia quadra´tica. R: 458 m/s
25
Cap´ıtulo 3
Primeira Lei da Termodinaˆmica
Calor (Q) e´ a energia que flui entre um sistema e a sua vizinhanc¸a devido a uma
diferenc¸a de temperatura entre eles. Calor na˜o e´ uma propriedade dos sistemas termo-
dinaˆmicos, e por tal na˜o e´ correto afirmar que um corpo possui mais calor que outro, e
ta˜o pouco e´ correto afirmar que um corpo ”possui”calor. O conceito de calor utilizado
pela populac¸a˜o, em senso comum, de forma na˜o cient´ıfica, geralmente e´ apegado a` ideia
do calo´rico. Assim, costuma-se ouvir casos como: “que calor!”, “que frio!”e outros. Per-
cebemos que isso e´ errado uma vez que o termo ”calor”e´ a transic¸a˜o de energia de um
corpo mais quente para um corpo mais frio.
Podemos transferir energia entre um sistema e o seu ambiente na forma de Trabalho
W por meio de uma forc¸a atuando sobre um sistema. Calor e trabalho , diferentemente
da temperatura, da pressa˜o e do volume, na˜o sa˜o propriedades intr´ınsecas de um sistema.
Eles possuem significado apenas quando descrevem a transfereˆncia do ambiente para o
sistema. O calor e´ positivo quando energia se transfere do seu ambiente para uma
energia te´rmica do sistema (dizemos que o calor e´ absorvido). O calor e´ negativo quando
se transfere energia de uma energia te´rmica do sistema para o seu ambiente (dizemos que
o calor e´ liberado ou perdido). Essa transfereˆncia de energia e´ mostrada na figura 3.1
Antes de os cientistas se darem conta de que o calor e´ energia transferida, o calor
era medido em termos da sua capacidade de aumentar a temperatura da a´gua. Assim, a
caloria (cal) foi definida como a quantidadade de calor que elevaria a temperatura de 1
g de a´gua de 14,5 ◦C para 15,5 ◦C .
Em 1948, a comunidade cient´ıfica decidiu que ja´ que o calor e´ energia transferida, a
unidade SI para o calor deveria ser a que usamos para energia, ou seja, o joule (J). As
relac¸o˜es entre as va´rias unidades de calor sa˜o:
1cal = 3, 969× 10−3Btu = 4, 186J (3.1)
3.1 A absorc¸a˜o de calor
Capacidade Calor´ıfica
Quando certa quantidade de calor e´ transmitida para um corpo, na maioria dos casos sua
temperatura aumenta. A propriedade f´ısica que define a quantidade de calor Q necessa´ria
26
3.1. A ABSORC¸A˜O DE CALOR Primeira Lei da Termodinaˆmica
Figura 3.1: Se a temperatura de um sistema exceder a do seu ambiente como em (a), o
sistema perde Calor (Q) para o ambiente ate´ que se estabelec¸a um equil´ıbrio te´rmico (b).
(c) Se a temperatura do sistema estiver abaixo da temperatura do ambiente, o sistema
absorve calor ate´ se estabelecer o equil´ıbrio te´rmico.
para aquecer determinado material ∆T e´ chamada capacidade te´rmica, sendo definida
matematicamente como:
C =
Q
∆T
ou Q = C∆T (3.2)
Desse modo poderemos calcular a capacidade te´rmica de 1 litro de a´gua, de 2 litros de
a´gua, 1 litro de azeite, etc. A capacidade te´rmica caracteriza o corpo, e na˜o a substaˆncia
que o constitui. Dois corpos de massas e de substaˆncias diferentes podem possuir a mesma
capacidade te´rmica. Dois corpos de massas diferentes e de mesma substaˆncia possuem
capacidades te´rmicas diferentes.
A grandeza que caracteriza uma substaˆncia e´ o calor espec´ıfico.
Calor Espec´ıfico
E´ definido como sendo a quantidade de calor Q necessa´ria para elevar em 1oC a massa de
1g de determinado material, ou seja:
c =
Q
m∆T
27
3.1. A ABSORC¸A˜O DE CALOR Primeira Lei da Termodinaˆmica
Q = mc∆T (3.3)
A unidade no SI e´ J/(kg.K). Uma outra unidade mais usual para calor espec´ıfico e´
cal/(g.◦C).
Calores de Transformac¸a˜o
Como foi mencionado, uma substaˆncia altera a sua temperatura quando ela troca calor
com a sua vizinhanc¸a. No entanto, um corpo pode absorver certa quantidade de calor e
manter sua temperatura constante. Por exemplo, uma pedra de gelo a 0 ◦C e´ retirada do
congelador e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 ◦C. Esse material
ira´ absorver calor da sua vizinhanc¸a e transformar-se em a´gua a uma temperatura de 0◦C.
No exemplo acima na˜o houve mudanc¸a de temperatura, mas houve mudanc¸a de estado
f´ısico, do estado so´lido para o l´ıquido.
A propriedade f´ısica que define a quantidade de calor (Q) necessa´ria para uma mudanc¸a
de fase de uma massa m de determinada substaˆncia e´ chamada calor latente, e e´ definida
como
L =
Q
m
(3.4)
Q = Lm (3.5)
A unidade do calor latente e´ cal/g. Calor latente de fusa˜o Lf e´ o termo usado
quando a mudanc¸a de fase e´ do so´lido para o l´ıquido (fundir significa “combinar por
derretimento”), e o calor latente de vaporazic¸a˜o Lv e´ o termo usado quando a mudanc¸a
de fase e´ do l´ıquido para o gasoso ( o l´ıquido “vaporiza”). O calor latente de va´rias
substaˆncias varia consideravelmente.
Exerc´ıcios
1. Em um episo´dio de gripe, um homem de 80 kg tem 39◦C de febre (cerca de 2
◦C acima da temperatura normal de 37 ◦C). Considerando que o corpo humano e´
constitu´ıdo essencialmente de a´gua, qual seria o calor necessa´rio para produzir essa
variac¸a˜o de temperatura? Dado: c =1,00 cal/g ◦C R: 160 kcal.
2. Calcule a energia necessa´ria para elevar a temperatura de 0,500 kg de a´gua por 3
◦C . R: 1500 cal
3. Qual o calor espec´ıfico da a´gua no S.I.? 4190 J/kg K
4. A temperatura de uma pec¸a de metal de 0,0500 kg e´ elevada para 200,0 ◦C e enta˜o
e´ colocada em um be´quer isolado contendo 0,400 kg de a´gua inicialmente a 20 ◦C.
Se a temperatura final de equil´ıbrio do sistema combinado for 22,4 ◦C, descubra o
calor espec´ıfico do metal. Despreze as trocas de calor com o be´quer. R: 0,108 cal/
g ◦C
28
3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinaˆmica
Qagua +Qmetal = 0
5. Um estudante faz uma refeic¸a˜o que conte´m 2000 kcal de energia. Ele deseja realizar
uma quantidade equivalente de trabalho na academia levantando o objeto de 50,0
kg. Quantas vezes ele deve levantar o objeto para gastar esta quantidade de energia?
Considere que ele levanta o peso a uma distaˆncia de 2,00 m cada vez. R: 8542 vezes
W = Ph = mgh
6. Que quantidade de calor deve ser absorvida por uma massa de gelo m = 720 g a
-10◦C para leva´-la ao estado l´ıquido a 15 ◦C? R:71856 cal
7. Que massa de vapor d’a´gua a 100 ◦C deve ser misturada com 150 g de gelo no seu
ponto de fusa˜o, em um recipiente isolado termicamente, para produzir a´gua l´ıquida
a 50◦C? Dados: cagua = 1 cal/g◦C, Lf = 79, 5 cal/g, Lv = 539 cal/g R: 32,97 g
3.2 Trabalho
Nesta sec¸a˜o, olhamos com algum detalhe como a energia pode ser transferida na forma de
calor (Q) e trabalho (W) entre um sistema e o seu ambiente. As grandezas Q e W na˜o sa˜o
caracter´ısticas do estado de equil´ıbrio do sistema, mas sim dos processos termodinaˆmicos
pelos quais o sistema passa de um estado de equil´ıbrio para outro. Desse modo, se o
sistema vai de um estado de equil´ıbrio inicial i para outro estado de equilibrio final, por
dois caminhos diferentes, para cada caminho ele tera´ um valor de (Q) e (W) espec´ıfico.
Neste caso, Q e W sa˜o definidos como:
Q = calor transferido para o sistema
W = trabalho realizado pelo sistema
Por exemplo, considere um so´lido ou um fluido em um cilindro com um pista˜o mo´vel,
como mostrado na Figura 3.2. Suponha que a sec¸a˜o reta do cilindro possua a´rea A e que
a pressa˜o exercida pelo sistema sobre a face do pista˜o seja igual a P . A forc¸a total F
exercida pelo sistema sobre o pista˜o e´ dada por F = PA. Quando o pista˜o se move uma
distaˆncia infinitesimal dx, o trabalho dW realizado por essa forc¸a e´
Figura 3.2: O trabalho infinitesimal realizado pelo sistema durante a pequena expansa˜o
29
3.2. TRABALHO Primeira Lei da Termodinaˆmica
dW = Fdx = PAdx (3.6)
Pore´m,
Adx = dV (3.7)
onde dV e´ uma variac¸a˜o infinitesimal do volume do sistema. Logo, o trabalho realizado
pelo sistema durante essa variac¸a˜o infinitesimal do volume e´
dW = PdV (3.8)
Para uma variac¸a˜o finita de volume entre o estado inicial e o final, temos
W =
∫ V f
V i
PdV (3.9)
Em geral, a pressa˜o do sistema pode variar durante a variac¸a˜o do volume. Esse e´ o
caso, por exemplo, dos cilindros de um motor de automo´vel quando os pisto˜es movem-se
para frente e para tra´s. Para calcular a integral na equac¸a˜o 3.9, devemos saber como a
pressa˜o no sistema varia em func¸a˜o do volume. A figura 3.3 e´ representada graficamente
pela a´rea embaixo da curva de P em func¸a˜o de V entre os limites V1 e V2. O trabalho e´
positivo quando o sistema se expande (Fig. 3.3a). Quando um sistema e´ comprimido,
seu volume diminui e ele realiza trabalho negativo sobre as vizinhanc¸as.
Figura 3.3: O trabalho realizado e´ dado pela a´rea embaixo da curva em um diagrama PV
Trabalho realizado a temperatura constante
Suponha que um ga´s ideal em um arranjo pista˜o-cilindro se expanda de um volume inicial
Vi ate´ um volume final Vf enquanto mantemos a temperatura T do ga´s constante. Um
processo como este, em temperatura constante, e´ chamado de expansa˜o isote´rmica e o
inverso (quando o V se reduz pela compressa˜o) e´ chamado de compressa˜o isote´rmica.
Neste caso, o trabalho e´:
W = NKT ln
Vf
Vi
(3.10)
30
3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINAˆMICA Primeira Lei da Termodinaˆmica
Trabalho realizado a pressa˜o constante
W = p(Vf − Vi) = p∆V (3.11)
Trabalho realizado a volume constante
W = 0 (3.12)
3.3 Primeira Lei da Termodinaˆmica
Para o processo de compressa˜o de ga´s em um cilindro, o trabalho realizado depende
da trajeto´ria espec´ıfica percorrida entre o estado inicial e o final, conforme sugerido na
Figura 3.3. Existe sempre uma infinidade de caminhos poss´ıveis. A Figura 3.5 mostra
treˆs caminhos diferentes para ir do estado 1 para o estado 2.
Figura 3.4: O trabalho realizado pelo sistema durante uma transic¸a˜o entre dois estados
depende do caminho escolhido.
Define-se uma grandeza, chamada energia interna E, caraterizada pelos diversos tipos
de energia poss´ıveis de existir em uma substaˆncia quando ela esta´ em um determinado
estado.
No caso mais simples, de um ga´s monoatoˆmico, a energia interna depende apenas do
movimento dos a´tomos (energia cine´tica de translac¸a˜o).
A diferenc¸a de energia interna entre os estados inicial e final ∆Eint = Ef − Ei e´ uma
grandeza de grande importaˆncia na termodinaˆmica, porque independe do percurso usado
para ir de um estado para outro. Assim temos que:
31
3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINAˆMICA Primeira Lei da Termodinaˆmica
∆Eint = Q−W (3.13)
Podemos reagrupar a equac¸a˜o anterior na forma
Q = ∆Eint +W (3.14)
Esta´ e´ a Primeira Lei da Termodinaˆmica, que e´ um princ´ıpio da conservac¸a˜o da
energia para incluir a transfereˆncia de energia sob forma de calor, assim como a realizac¸a˜o
de trabalho mecaˆnico. “A diferenc¸a entre a quantidade de calor Q e o trabalho W en-
volvidos em um percurso entre os estados inicial e final, depende apenas dos estados, e
fornece o mesmo valor independente do percurso escolhido.
Casos especiais da Primeira Lei da Termodinaˆmica
1. Processos adiaba´ticos. Um processo adiaba´tico e´ um processo que ocorre ta˜o
rapidamente ou ocorre em um sistema que esta´ ta˜o bem isolado que na˜o ocorre
nenhuma transfereˆncia de energia na forma de calor entre o sistema e o seu ambiente.
Num processo adiaba´tico, Q = 0 e de acordo com a Primeira Lei da Termodinaˆmica:
∆Eint = −W (3.15)
2. Processos a volume constante. Sa˜o os chamados processos isovolume´tricos.
Usando a definic¸a˜o de trabalho executado pelo sistema entre os estado inicial e
final, encontramos que:
Wif =
∫ f
i
PdV = 0 (3.16)
pois na˜o aconteceu variac¸a˜o de volume. Atrave´s da Primeira Lei da Termodinaˆmica
encontramos que:
∆Eint = Q (3.17)
3. Processos C´ıclicos. Num processo c´ıclico o sistema passa por va´rias transformac¸o˜es,
mas ao final do processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos que
Ei = Ef e portanto na˜o existe variac¸a˜o de energia interna, logo:
Q = W (3.18)
32
3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINAˆMICA Primeira Lei da Termodinaˆmica
Exerc´ıcios
1. Calcule o trabalho realizado por um ga´s ideal que se expande isotermicamente desde
o volume inicial Vi ate´ o volume final Vf . R : Wif = NKT ln
Vf
Vi
2. Um mol de oxigeˆnio (suponha que ele seja um ga´s ideal) se expande a uma tempera-
tura constante de T de 310 K de um volume inicial Vi de 12 l para um volume final
de Vf de 19 l. Qual o trabalho realizado pelo ga´s durante a expansa˜o? R: 1180J
3. O diagrama PV da figura abaixo mostra uma se´rie de processos termodinaˆmicos.
No processo ab, 150 J de calor sa˜o fornecidos ao sistema, e no processo bd, 600 J de
calor sa˜o fornecidos ao sitema. Calcule a) a variac¸a˜o da energia interna no processo
ab, abd e acd R : Eint,ab = 150J,Eint,abd = 510J,Eint,acd = 600J
Figura 3.5: Um diagrama PV mostrando os diversos processos termodinaˆmicos
4. Um sistema termodinaˆmico e´ levado de um estado inicial A para um outro estado
B e de volta ao estado A, passando pelo estado C, como mostrado pela trajeto´ria
ABCA no diagrama p− V .
(a) Complete a tabela da Figura abaixo preenchendo-a com + ou - para o sinal de
cada grandeza termodinaˆmica associada com cada etapa do ciclo.
(b) Calcule o valor nume´rico do trabalho realizado pelo sistema para o clico ABCA
completo.
R: -20 J
5. Quando um sistema e´ levado do estado i para o estado f ao longo da trajeto´ria iaf
na Figura abaixo, Q = 50 cal e W = 20 cal. Ao longo da trajeto´ria ibf , Q = 36 cal.
(a) Qual o valor de W ao longo da trajeto´ria ibf? R: 6 cal
(b) Se W = −13 cal para a trajeto´ria de volta fi, qual sera´ Q para esta trajeto´ria?
R: -43 cal
33
3.4. CALOR ESPECI´FICO MOLAR DE UM GA´S IDEALPrimeira Lei da Termodinaˆmica
(c) Considere Eint,i = 10 cal. Qual e´ Eint,f? R: 40 cal
(d) Se Eint,b = 22cal, qual o valor de Q para a trajeto´ria ib e para a trajeto´ria bf?
R: 18 cal
3.4 Calor espec´ıfico molar de um ga´s ideal
Energia Interna
A energia interna Eint de um ga´s monoatoˆmico e´ func¸a˜o apenas da temperatura de um
ga´s; ela na˜o depende de nenhumaoutra varia´vel. Para um ga´s monoatoˆmico, a energia
interna do ga´s ideal e´ simplesmente a soma das energias cine´ticas de translac¸a˜o de seus
ato´mos. Considerando uma amostra de n mols de um ga´s ideal e´, a energia interna e´ dada
por:
Eint =
3
2
nRT (3.19)
3.4.1 Volume constante
A figura 3.6 mostra n moles de um ga´s ideal na pressa˜o p e temperatura T , confinados
em um cilindro de volume fixo V . Este estado inicial i do ga´s esta´ marcado no diagrama
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3.4. CALOR ESPECI´FICO MOLAR DE UM GA´S IDEALPrimeira Lei da Termodinaˆmica
p− V . Suponha agora que voceˆ adiciona uma pequena quantidade de energia ao ga´s sob
a forma de calor Q aumentando lentamente a temperatura do reservato´rio te´rmico. A
temperatura do ga´s se eleva de uma pequena quantidade para T + ∆T , e a sua pressa˜o
se eleva para p+ ∆p, levando o ga´s ao estado final f .
Figura 3.6: Processo a volume cosnatante em um diagrama p− V .
O calor esta´ relacionado com a variac¸a˜o de temperatura por :
Q = nCV ∆T (volume constante) (3.20)
onde CV e´ uma constante chamada calor espec´ıfico molar a volume constante.
Como o volume e´ mantido constante, o ga´s na˜o consegue se expandir e portanto na˜o
consegue realizar nenhum trabalho. Assim podemos escrever a ∆Eint como:
∆Eint = nCV ∆T (3.21)
Esta equac¸a˜o nos diz que uma variac¸a˜o na energia interna Eint de um ga´s ideal con-
finado depende apenas da variac¸a˜o de temperatura do ga´s; ela na˜o depende de qual tipo
de processo produz a variac¸a˜o na temperatura.
3.4.2 Pressa˜o Constante
Agora supomos que a temperatura do ga´s ideal e´ aumentada da mesma pequena quan-
tidade ∆T como antes, mas que a energia necessa´ria (calor Q) e´ adicionada com o ga´s
sujeito a pressa˜o constante. Esse processo e´ mostrado na figura 3.7.
O calor esta´ relacionado com a variac¸a˜o de temperatura por :
Q = nCp∆T (pressa˜o constante) (3.22)
onde Cp e´ uma constante chamada calor espec´ıfico molar a pressa˜o constante. Este
Cp e´ maior do que o calor espec´ıfico molar a volume constante CV , pois agora deve-se
fornecer energia na˜o apenas para elevar a temperatura do ga´s, mas tambe´m para que o
ga´s realize trabalho.
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3.4. CALOR ESPECI´FICO MOLAR DE UM GA´S IDEALPrimeira Lei da Termodinaˆmica
Figura 3.7: Processo a pressa˜o constante em um diagrama p−V . O trabalho p∆V e´ dado
pela a´rea sombreada.
Exerc´ıcios
1. Encontre os valores dos calores espec´ıficos molares para os casos isoba´rico e isovo-
lume´trico para um ga´s ideal a partir da Primeira Lei da Termodinaˆmica.
R : Cv = 12,5J/mol K e Cp = 20,8J/mol K
2. Dado que as curvas do diagrama (p− V ) abaixo representam variac¸o˜es isote´rmicas,
e que as variac¸o˜es de energia ∆Eab e ∆Eac sa˜o iguais, encontre uma relac¸a˜o entre
CV e Cp a partir da Primeira Lei da Termodinaˆmica. R : Cp −Cv
3. A partir da relac¸a˜o para os gases ideais pV γ = constante, encontre uma relac¸a˜o
entre V e T sejam as u´nicas varia´veis R : TVγ−1 = constante
4. Um cilindro conte´m 3 mols de ga´s he´lio a` temperatura de 300 K.
(a) Quanta energia deve ser transferida para o ga´s pelo calor para aumentar sua
temperatura para 500 K se ele for aquecido a volume constante? R: 7479 J
(b) Quanta energia deve ser transferida para o ga´s pelo calor a pressa˜o constante
para aumentar a temperatura para 500 K? R: 12465 J
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3.5. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica
5. Qual o trabalho realizado no exerc´ıcio anterior no processo isoba´rico? R: 4986 J
6. A mistura ar-combust´ıvel no cilindro de um motor a diesel a 20 ◦C e´ comprimida
a partir de uma pressa˜o inicial de 1 atm e volume de 800 cm3 para um volume de
60 cm3. Considerando que a mistura se comporta como um ga´s ideal com γ = 1, 40
e a compressa˜o e´ adiaba´tica, descubra a pressa˜o e a temperatura finais da mistura.
R: 826 K
3.5 Mecanismos de transfereˆncia de calor
A transfereˆncia de calor de um ponto a outro de um meio se da´ atrave´s de treˆs processos
diferentes: convecc¸a˜o, radiac¸a˜o e conduc¸a˜o.
Figura 3.8: Exemplos dos mecanismos de transfereˆncia de calor.
A convecc¸a˜o ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calor
e´ transferido pelo movimento do pro´prio fluido, que constitui uma corrente de convecc¸a˜o.
Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende
a subir sob o efeito gravitacional, sendo substitu´ıdo por um fluido mais frio, o que gera
naturalmente correntes de convecc¸a˜o. O borbulhar da a´gua fervente em uma panela e´ o
resultado de correntes de convecc¸a˜o.
A radiac¸a˜o transfere calor de um ponto a outro atrave´s da radiac¸a˜o eletromagne´tica. A
radiac¸a˜o te´rmica e´ emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode
aqueceˆ-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar e´ uma forma de aproveitamen
to da radiac¸a˜o solar para a produc¸a˜o de calor. Um ferro em brasa emite radiac¸a˜o te´rmica
e aquece a regia˜o que o rodeia.
A conduc¸a˜o de calor so´ pode acontecer atrave´s de um meio material, sem que haja
movimento do pro´prio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios so´lidos sob o efeito
de diferenc¸as de temperatura.
3.5.1 Conduc¸a˜o
Considere um bloco cujo material tem espessura ∆x e um corte transversal de a´rea A
com as faces opostas a temperaturas diferentes T1 e T2, onde T2 > T1.
O bloco permite que a energia seja transferida da regia˜o de alta temperatura para a
de baixa temperatura por meio da conduc¸a˜o te´rmica. A taxa de transfereˆncia de energia
37
3.5. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica
pelo calor
P = Q
∆t
Fluxo de energia
T2>T1
!x
T2
T1
A
e´ proporcional a` a´rea do corte transversal do bloco e a` diferenc¸a de temperatura e
inversamente proporcional a` espessura do bloco:
P = Q
∆t
∝ A∆T
∆x
Como cada material tem uma condutividade te´rmica espec´ıfica, introduzimos a constante
k na equac¸a˜o, assim:
P = kA∆T
∆x
(Watts).
Resisteˆncia Te´rmica a` conduc¸a˜o (R)
Se voceˆ estivesse interessado em isolar a sua casa ou em manter as latinhas de refri-
gerante geladas em um piquinique, voceˆ esta´ mais interessado em maus condutores de
calor do que em bons condutores. Por esse motivo, o conceito de resisteˆncia te´rmica R
foi introduzido na pra´tica de engenharia. O valor R de uma parede de espessura ∆x e´
definido como
R =
∆x
k
(3.23)
Quanto menor for a condutividade te´rmica do material do qual uma parede e´ feita,
maior sera´ o valor de R, assim algo que possua um alto valor R e´ um mau condutor
te´rmico, portanto um bom isolante te´rmico.
A unidade normalmente usada para R (que nos Estados Unidos pelo menos, quase
nunca e´ indicada e´: ft2 ◦F h/Btu.
Para uma barra composta contendo diversos materiais de espessuras ∆x1,∆x2, ... e
condutividade te´rmicas k1, k2, ... a taxa de trasnfereˆncia de energia pela barra no estado
esta´vel e´
P =
A∆T∑
R
(3.24)
38
3.5. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica
3.5.2 Radiac¸a˜o
Radiac¸a˜o te´rmica e´ a radiac¸a˜o eletromagne´tica emitida por um corpo em qualquer tem-
peratura. A radiac¸a˜o e´ uma forma de transmissa˜o de calor pela qual um segundo corpo
pode absorver as ondas que se propagam pelo espac¸o em forma de energia eletromagne´tica
aumentando sua temperatura.
A taxa de emissa˜o de energia de um corpo por meio da radiac¸a˜o te´rmica a partir de
sua superf´ıcie e´ proporcional a` quarta poteˆncia de sua temperatura superficial absoluta.
Este princ´ıpio e´ conhecido como a Lei de Stefan e e´ expressa por:
P = σAeT 4,
onde:
P e´ a poteˆncia irradiada pelo corpo (W);
σ e´ a constante de Stefan-Boltzmann e vale 5, 6696× 10−8 W/(m2K4);
A e´ a a´rea da superf´ıcie do corpo (m2);
e e´ a emissividade;
T a temperatura da superf´ıcie do corpo (K).
Exerc´ıcios
1.Uma janela cuja a´rea e´ de 2,0m2 e´ envidrac¸ada com vidro de espessura de 4,0 mm. A
janela esta´ na parede de uma casa e a temperatura externa e´ 10 ◦C . A temperatura
no interior da casa e´ 25◦C. Quanta energia e´ transferida atrave´s da janela pelo calor
em 1h? Dados: kvidro = 0, 8W/(m
◦C) R : 2,16× 107 J
2. O filamento de tungsteˆnio de uma laˆmpada de 100W irradia 2W de luz (os demais
98W sa˜o carregados para fora por convecc¸a˜o e conduc¸a˜o). O filamento tem a´rea
superficial de 0,250mm2 e a emissividade de 0,950. Descubra a temperatura do
filamento. R: 3491 K
3. Uma barra de ouro esa´ em contato te´rmico com uma barra de prata de mesmo
comprimento e a´rea. Uma extremidade da barra composta de ouro e´ mantida a
80◦C e a extremidade oposta esta´ a 30◦C. Quando a transfereˆncia de energia atinge
o estado estaciona´rio, qual a temperatura da junc¸a˜o?
Dados: kAu = 314W/(m
◦C) e kAg = 427W/(m◦C) R: 51,18 ◦C
4. A figura abaixo mostra a sec¸a˜o transversal de uma parede feita de pinho branco
com espessura La e de tijolos com espessura Ld, envolvendo duas camadas de um
material desconhecido com espessuras e condutividades ideˆnticas. A condutividade
te´rmica do pinho e´ ka e a do tijolo e´ kd. A a´rea da face A da parede e´ desconhecida.
A conduc¸a˜o te´rmica atrave´s da parede ja´ atingiu o regime permanente; as u´nicas
temperaturas de interface conhecidads sa˜o T1 = 25
◦C, T2 = 20◦C e T5 = −10.◦C.
Considerando Ld = 2La e kd = 5ka, qual e´ a temperatura da interface T4? R: - 8
◦C
39
3.5. MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALORPrimeira Lei da Termodinaˆmica
Figura 3.9: Exerc´ıcio 5
40
Cap´ıtulo 4
Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a
Segunda Lei da Termodinaˆmica
4.0.3 Ma´quinas Te´rmicas
Ma´quina te´rmica ou motor e´ um dispositivo que extrai energia do ambiente, na forma de
calor, e realiza trabalho u´til. Por exemplo, em um processo t´ıpico, no qual uma usina
de energia produz eletricidade, um combust´ıvel - por exemplo, carva˜o - e´ queimado e os
gases produzidos a altas temperaturas sa˜o usados para converter a´gua l´ıquida em vapor.
Esse vapor e´ direcionado para as laˆminas de uma turbina, colocando-a em rotac¸a˜o. A
energia mecaˆnica associada a essa rotac¸a˜o e´ usada para acionar um gerador ele´trico.
A ma´quina te´rmica carrega alguma substaˆncia que trabalha por um processo c´ıclico
durante o qual (1) a substaˆncia que trabalha absorve energia do calor de um reservato´rio
de energia em alta temperatura, (2) o trabalho e´ realizado pelo motor, e (3) a energia e´
expelida pelo calor para um reservato´rio em temperatura mais baixa.
Figura 4.1: Representac¸a˜o esquema´tica de uma ma´quina te´rmica
A figura 4.1 representa esquematicamente uma ma´quina te´rmica. O motor absorve
uma quantidade de energia |Qq| (usamos valores absolutos para realizar todas as trans-
41
Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica
fereˆncias de enegia por calor positivo, e a direc¸a˜o da transfereˆncia e´ indicada com um
sinal negativo).
Wmaq −→ ma´quina realiza trabalho
−Wmaq −→ ma´quina realiza trabalho
Qf −→ calor fornecido para o reservato´rio frio
Como a substaˆncia de trabalho passa por um ciclo ∆Eint = 0 . A partir da Primeira
Lei da Termodinaˆmica , ∆Eint = Q − W = Q − Wmaq, e o trabalho resultante Wmaq
realizado sobre uma ma´quina te´rmica e´ igual a` energia resultante Qtot transferida para
ele. Portanto:
Wmaq = |Qq| − |Qf | (4.1)
A eficieˆncia te´rmica de uma ma´quina e´ definida como:
e =
Wmaq
|Qq| =
|Qq| − |Qf |
|Qq = 1−
|Qf |
|Qq| (4.2)
A equac¸a˜o 4.2 mostra que uma ma´quina te´rmica tem 100% de eficieˆncia (e = 1)
somente se |Qf | = 0, isto e´ se a energia na˜o e´ expelida para o reservato´rio frio. Como as
eficieˆncias de ma´quinas reais sa˜o bem abaixo de 100%, a seguinte versa˜o alternativa da
Segunda Lei da Termodinaˆmica nos diz:
Na˜o e´ poss´ıvel nenhuma se´rie de processos cujo u´nico resultado seja a transfereˆncia
de energia de calor de um reservato´rio te´rmico e a completa conversa˜o desta energia em
trabalho.e
4.0.4 Processos revers´ıveis e irrevers´ıveis
Um processo revers´ıvel e´ aquele no qual o sistema pode retornar as suas condic¸o˜es iniciais
pelo mesmo caminho e no qual cada ponto ao longo da trajeto´ria e´ um estado de equil´ıbrio.
Um processo que na˜o satisfac¸a a essas exigeˆncias e´ irrevers´ıvel.
Sabe-se que a maioria dos processos naturais e´ irrevers´ıvel, o processo revers´ıvel e´ uma
idealizac¸a˜o.
Exemplo: Se oxigeˆnio e nitrogeˆnio forem mantidos em um recipiente, separados por
uma membrana, e esta membrana for perfurada, as mole´culas de oxigeˆnio e nitrogeˆnio se
misturam, Nunca vemos oxigeˆnio e nitrogeˆnio de uma mistura se separarem espontanea-
mente em lados opostos do recipiente.
Por outro lado, se um processo real ocorrer muito lentamente, de tal forma que o sis-
tema esteja muito pro´ximo do equil´ıbrio, esse processo pode ser modelado como revers´ıvel.
Por exemplo, imagine comprimir um ga´s muito lentamente ao deixar cair alguns gra˜os de
areia em um pista˜o sem atrito (veja Figura 4.2). A pressa˜o, o volume e a temperatura do
ga´s sa˜o bem definidos durante essa compressa˜o isote´rmica. Cada gra˜o de areia adicionado
representa um pequena mudanc¸a para um novo estado de equil´ıbrio. O processo pode ser
revertido pela lenta remoc¸a˜o dos gra˜os de areia do pista˜o.
42
Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica
Figura 4.2: Pista˜o comprimindo um ga´s muito lentamente, ao cair gra˜os de areia.
4.0.5 Ma´quinas Te´rmicas
Ma´quinas te´rmicas ou motor e´ um dispositivo que extrai energia do ambiente, na forma
de calor, e realiza trabalho u´til. Na interior de toda ma´quina te´rmica esta´ uma substaˆncia
de trabalho, que sofre as transformac¸o˜es termodinaˆmicas que possibilitam as mudanc¸as
de forma de energia.
Para que uma ma´quina funcione de maneira permanete, e´ necessa´rio que ela opere em
ciclos, ou seja, a substaˆncia de trabalho passa por diversas transformac¸o˜es termodinaˆmicas
ate´ retornar ao estado inicial, completando um ciclo.
4.0.6 A ma´quina de Carnot
Em um ciclo de uma ma´quina de Carnot a substaˆncia de trabalho passa por quatro
processos diferentes, onde dois processos sa˜o isote´rmicos (AB e CD) e ou outros dois sa˜o
adiaba´ticos (BC e DA).
Figura 4.3: Partindo de A, o ga´s realiza uma expansa˜o isote´rmica AB, recebendo calor
de Q1 ( fonte quente). A seguir, ocorre a expansa˜o adiaba´tica BC, durante a qual na˜o ha´
troca de calor. A compressa˜o isote´rmica CD se verifica a` temperatura T2 da fonte fria,
e nesta etapa o ga´s “rejeita” a quantidade Q2 que na˜o foi transformada em trabalho. A
compressa˜o adiaba´tica DA se completa sem a troca de calor.
43
Ma´quinas Te´rmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinaˆmica
O sistema absorve uma quantidade de calor Q2 isotermicamente a uma temperatura
T2 quando vai do estado A ao estado B. E de maneira equivalente, o sistema rejeita uma
quantidade de calor Q1 isotermicamente a uma temperatura T1 quando sai do estado
C ao D. As transformac¸o˜es BC e DA ocorrem adiabaticamente, ou seja, sem que ocorra
troca de calor com o ambiente.
O trabalho executado pelo sistema na transformac¸o˜es isote´rmica de A para B e´ calcu-
lado como
WAB =
∫ B
A
pdV (4.3)
Para um ga´s ideal termos: p = nRT
V
ou seja,
WAB = nRT2
∫ VB
VA
dV
V
= nRT2ln(
VB
VA
) (4.4)
De maneira similar, na transformac¸a˜o CD o trabalho sera´ dado por
WCD = nRT1ln(
VD
VC
) (4.5)
Considerando que a substaˆncia de trabalho e´ um ga´s ideal, a sua energia interna
depende explicitamente da temperatura, como a temperatura se mante´m constante ao
longo das transformac¸o˜es acime, aneta˜o:
E(T2) = EA = EB (4.6)
E(T1) = EC = ED (4.7)
Pela Primeira Lei da Termodinaˆmica
dE = dQ− dW (4.8)
encontramos que:
∆EAB = QAB −WAB