Estudo das derivadas

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 1 
ESTUDO DAS DERIVADAS 
 
 
 
 Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x, definida e limitada, 
num intervalo ] [ba , . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora seja 0x um ponto desse intervalo e x )( 0xx ≠ um segundo ponto do mesmo in-
tervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos formar a diferença )()( 0xfxfy −=∆ que chamaremos acréscimo ou 
incremento da função, e compará-la com a diferença 0xxx −=∆ que chamaremos a-
créscimo ou incremento da variável independente x, a partir de 0x . 
A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada 
por 
0
0 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
 . 
 
 
 
 
 
x 
y 
a b 
y = f (x) 
x b x x0 a 
y 
y = f (x) 
f (x) 
f (x0 ) 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 2 
Se existe o limite desta razão incremental para x∆ tendendo a zero, temos que: 
x
y
x ∆
∆
→∆ 0
lim será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto 0x e será 
representada por 
x
y
dx
dy
x ∆
∆
=
→∆ 0
lim . 
 
Observe que: 
Se 0→∆x e 0xxx −=∆ , então 00 →− xx , o que nos leva a concluir que 0xx → 
 
Assim, podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser represen-
tada por: 
 
0
0
0
)()(limlim
0 xx
xfxf
x
y
xxx
−
−
=
∆
∆
→→∆
 
 
 
e finalmente que a derivada será: 
 
 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
dx
dy
xx
−
−
=
→
 ou 
0
0
0
)()(lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx
−
−
=′
→
 
 
Se existe )( 0xf ′ , então dizemos que f é derivável no ponto 0x . 
 
 
O símbolo 
xd
yd
 se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716); a 
última notação )( 0xf ′ foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange, 1736 – 
1813). 
Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente 
y′ para indicar a derivada de y. 
 Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função, é )()( xfxfDyD ′== 
que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857). 
 Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos 
ao símbolo D um índice indicativo dessa variável. 
)(xfDfDx = , )(xDuuDx = ou )(tDvvDt = 
 
 
Observação importante 
Lembre-se sempre desta distinção: 
• A derivada de uma função f(x) num ponto x0 do seu domínio é um número real 
)( 0xf ′ 
• A função derivada de uma função f(x) é uma função dada por yxf ′=′ )( 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 3 
EXEMPLOS 
1. Ache a derivada de 14 += xy 
Resolução 
Vamos calcular )( 0xf , para isso, basta substituir assim 14)( 00 += xxf 
agora, calculamos a diferença )14(14)()( 00 +−+=− xxxfxf 
000 441414)()( xxxxxfxf −=−−+=− 
calculamos a razão incremental 
0
0
0
0 44)()(
xx
xx
xx
xfxf
−
−
=
−
−
 
e finalmente o limite dessa razão 
0
044lim
0 xx
xx
xx
−
−
→
 
44lim)(4lim44lim
000 0
0
0
0
==
−
−
=
−
−
→→→ xxxxxx xx
xx
xx
xx
 
logo, a derivada de 14 += xy é 4=
dx
dy
 ou 4)( =′ xf 
 
 
2. Calcule a derivada de 13)( 2 ++= xxxf 
Resolução 
13)()( 0200 ++= xxxf 
13)(13)13)[(13)()( 02022020 −−−++=++−++=− xxxxxxxxxfxf 
0
2
0
2
0
2
0
2
0 33)(3)(3)()( xxxxxxxxxfxf −+−=−−+=− 
0
0
2
0
2
0
0 33)()()(
xx
xxxx
xx
xfxf
−
−+−
=
−
−
 
0
000
0
0
2
0
2
0
)(3))((lim33)(lim)(
00 xx
xxxxxx
xx
xxxx
xf
xxxx
−
−+−+
=
−
−+−
=′
→→
 
323)3(lim)3)((lim)( 0000
0
00
0
00
+=++=++=
−
++−
=′
→→
xxxxx
xx
xxxx
xf
xxxx
 
ou simplesmente 32)( +=′ xxf , pois o que queremos é a função derivada 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Ache a derivada de: 
a) 75)( −= xxf e) 2
1)(
x
xf = 
b) 1)( 2 +−= xxxf f) 
x
xy 12 += 
c) 326)( xxf −= g) 25)( 4 −= xxf 
d) 13123 +−= xxy h) xxf 2)( = 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 4 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
 
 O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso, contudo po-
demos nos valer de algumas regras e fórmulas que podem facilitar o nosso trabalho. 
 
Regra 1: A derivada de uma função constante é zero. 
Se kxf =)( , então 0=
xd
yd
 ou 0)( =′ xf 
Exemplos: 
a) 0)(12)( =′⇒= xfxf 
b) 0)(
5
3)( =′⇒= xfxf 
c) 0)(17)( 3 =′⇒= xfxf 
 
 
Regra 2: A derivada da n-ésima potência de uma variável x é igual ao produto de n por 
x elevado a (n − 1)-ésima potência. 
Se nxxf =)( , então: 
1−
⋅=
nxn
xd
yd
 ou 1)( −⋅=′ nxnxf . 
Exemplos: 
a) xxfxxxfxxf 2)(22)()( 1122 =′⇒==′⇒= − 
b) 4
3
4
1
4
1)()( −⋅=′⇒= xxfxxf 
c) 554
44)()(
x
xxfxxf −=−=′⇒= −− 
 
 
Regra 3: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da 
constante pela derivada da função. 
Se uky = , onde )(xfu = é uma função diferenciável de x, então: 
xd
udk
xd
yd
⋅= ou uky ′⋅=′ 
 
Exemplos: 
a) 10)(10)( =′⇒= xfxxf 
b) xxfxxxfxxf 6)(632)(3)( 1122 =′⇒=⋅=′⇒= − 
c) 3
1
3
4
3
8)(2)( xxfxxf −=′⇒−= 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 5 
Regra 4: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma 
das suas derivadas. 
Se vuy += , onde )(xfu = e )(xgv = são funções diferenciáveis de x, então: 
xd
vd
xd
ud
xd
yd
+= . 
 
Exemplos: 
a) xyxxyxy 202)3()(3 22 =′⇒+=′+′=′⇒+= 
b) 046)2()4()3()(243)( 22 ++=′+′+′=′⇒++= xxxxfxxxf 
46)(243)( 2 +=′⇒++= xxfxxxf 
 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Dar a derivada das seguintes funções: 
a) 8)( =xf e) 2
1
)( xxf = 
b) 5 1)( −=xf f) 6 5)( xxf = 
c) 6)( xxf = g) 4)( xxf = 
d) 5)( −= xxf 
 
Questão 02 
Determine )(xf ′ em cada caso: 
a) 4
1)(
x
xf = b) 27)( xxf = c) xxf 4)( −= 
d) 7
7
1)( xxf = e) 5
5
3)( −−= xxf f) 36)( −= xxf 
 
Questão 03 
Ache a derivada das seguintes funções: 
a) 10
5
3
xy = d) 105 xy = 
b) 4
2
1
−
−= xy e) 3 2
2
3
xy = 
c) xy 2= 
 
Questão 04 
Qual é a derivada da função 3
2)(
x
xf = , no ponto x = −2? 
 
Questão 05 
Se 32)( xxf = , calcule )2(f ′ . 
 
Questão 06 
Dada a função 3 2)( xxf = , calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 6 
Questão 07 
Sejam as funções 210)( xxf = e xxg 4)( = , calcule )()( xgxf ′+′ 
 
 
Questão 08 
Dadas as funções a seguir, calcule )(xf ′ 
a) 127)( 23 −+−= xxxxf c) 234 2510)( xxxxf −−= 
b) 473)( 2 +−= xxxf d) xxxxf 746)( 23 −−= 
 
 
Questão 09 
Ache a derivada de cada função: 
a) 
4
1
2
1
3
2
2
1)( 234 +−+−= xxxxf c) 587
5
1
8
3
7
2)( xxxxf ++= 
b) xxxxxxf ++++= 2345
2
1
3
1
4
1
5
1)( d) 
419
157
7
3
5
3
4
)(
3754
+++=
xxx
xf 
 
 
Questão 10 
Calcule a derivada de: 
a) 23 3
1
2 +−= xxy d) 27 2
1
2 ++=
−
xxy 
b) 55 3
1
+=
−
xy e) 4
1
3 59
−
+= xxy 
c) xxy 65 5
3
+= f) 100500 153 xxy += 
 
 
Regra 5: A derivada de um produto de duas funções é igual a derivada da primeira ve-
zes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. 
Sendo u e v funções, temos: 
vuvuxfvuxf ′+′=′⇒⋅= )()( 
 
Exemplos: 
a) )3)(4( 3 ++= xxy ⇒ )3)(4()3()4( 33 ′++++⋅′+=′ xxxxy 
1)4()3(3 32 ⋅+++⋅=′ xxxy⇒ 493 323 +++=′ xxxy ⇒ 494 23 ++=′ xxy 
 
b) )6)(3()( 2 ++= xxxf ⇒ )6)(3()( 22
1
++= xxxf 
u
xd
vd
v
xd
ud
uv
xd
yd
⋅+⋅=)( ⇒ 2
1
2
1 −
= x
xd
ud
 e x
xd
vd 2= 
xxxx
xd
yd 2)3()6(
2
1 22
1
⋅+++=
−
 ⇒ xxxx
xd
yd 2)3(3
2
1 2
1
2
1
2
3
⋅+++=
−
 
xxxx
xd
yd 623
2
1 2
3
2
1
2
3
+++=
−
 ⇒ xxx
xd
yd 63
2
5 2
1
2
3
++=
−
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 7 
c) )8)(73()( 2 ++= −xxxf 
3)73( =+x
xd
d
 ⇒ 32 2)8( −− −=+ xx
xd
d
 
)2()73()8(3 32 −− −⋅+++⋅= xxx
xd
yd
 ⇒ 322 146243 −−− −−+= xxx
xd
yd
 
24143 32 +−−= −− xx
xd
yd
 
 
 
Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador 
vezes a função do denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, 
sobre o quadrado do denominador. 
Sendo 
v
u
xf =)( com 0≠v , então: 2)( v
vuvu
xf ′⋅−⋅′=′ . 
 
Exemplos: 
a) 
12 −
=
x
xy , fazemos 1=′⇒= uxu , xvxv 212 =′⇒−= 
e 12)1( 24222 +−=−= xxxv 
derivando, temos 2v
vuvuy
′⋅−⋅′
=′ ⇒ 
12
2)1(1
24
2
+−
⋅−−⋅
=′
xx
xxxy 
12
1
12
21
24
2
24
22
+−
−−
=
+−
−−
=′
xx
x
xx
xxy ⇒ 
12
1
34
2
+−
+
−=′
xx
xy 
 
 
b) 2
1
x
xy += , fazemos 11 =′⇒+= uxu , xvxv 22 =′⇒= 
e 4222 )( xxv == 
derivando, temos 2v
vuvuy
′⋅−⋅′
=′ ⇒ 4
2 2)1(1
x
xxxy ⋅+−⋅=′ 
4
22 )22(
x
xxxy +−=′ ⇒ 4
22 22
x
xxxy −−=′ ⇒ 4
2 2
x
xxy −−=′ 
4
)2(
x
xxy +−=′ ⇒ 3
2
x
xy +−=′ 
 
 
Regra 7: Função seno 
Se xsenxf =)( , então xxf cos)( =′ 
 
 
Regra 8: Função cosseno 
Se xxf cos)( = , então xsenxf −=′ )( 
 
Regra 9: Função exponencial 
Se xaxf =)( , então aaxf x ln)( ⋅=′ 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 8 
Regra 10: 
Este é um caso particular em que a base é o número e. 
Se xexf =)( , então xexf =′ )( 
Nota: o número e, definido com freqüência pelo limite 





+=
∞→ n
e
n
11lim , vale, aproxi-
madamente 71,2=e 
 
 
Regra 11: Função logaritmo 
Se xxf alog)( = , então 
ax
xf
ln
1)(
⋅
=′ 
 
Regra 12: Função logaritmo neperiano 
Se xxf ln)( = , então 
x
xf 1)( =′ 
 
Regra 13: Derivada da função composta 
É muito comum trabalharmos com uma função composta, isto é, funções do tipo 
)()( 2xsenxf = , que é uma composição de xsenxg =)( com 2)( xxh = . Nesse caso, 
para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: 
)()]([)()]([)( xhxhgxfxhgxf ′⋅′=′⇒= 
 
 
Regra 14: Derivada da função inversa 
 Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com 0)( ≠xf , 
então )(
1))(()( 1
xfxff ′=′
−
 ou 
y
x
x
y
′
=′
1
. 
Exemplos: 
a) )()( 2xsenxf = ⇒ )()()( ′⋅′=′⇒= usenuufusenuf 
xuxu 22 =′⇒= ⇒ uufusenuf cos)()( =′⇒= ⇒ )(cos2)( 2xxxf ⋅=′ 
 
 
b) xexf 2)( = ⇒ )()()( ′⋅′=′⇒= uu euxfexf 
22 =′⇒= uxu 
uu eufeuf =′⇒= )()( 
xexf 22)( ⋅=′ 
 
c) 2
3
2 )123( ++= xxy , fazemos 26123 2 +=′⇒++= xuxxu 
2
1
2
3
2
3)()( uufuuf =′⇒= ⇒ )(ufuy ′⋅′=′ 
2
1
2 )123(
2
3)26( ++⋅+=′ xxxy ⇒ 2
1
2 )123)(39( +++=′ xxxy 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 9 
d) 
2
2 1
1






+
=
x
y 
222 )1(
2
1
1
+
−=′⇒
+
=
x
x
u
x
u 
uufuuf 2)()( 2 =′⇒= 
)(ufuy ′⋅′=′ 
1
12)1(
2
222 +
⋅⋅
+
−=′
xx
xy 
32 )1(
4
+
−
=′
x
xy 
 
 
e) )(ln)( xsenxf = 
xuxsenu cos=′⇒= 
u
ufuuf 1)(ln)( =′⇒= 
)()( ufuuf ′⋅′=′ 
xsen
x
senx
xxf cos1cos)( =⋅=′ 
xctgxf =′ )( 
 
 
f) xxxf 2210)( −= 
2222 −=′⇒−= xuxxu 
10ln10)(10)( ⋅=′⇒= uu ufuf 
)()( ufuuf ′⋅′=′ 
10ln10)22()( 22 ⋅⋅−=′ − xxxxf 
10ln)22(10)( 22 ⋅−⋅=′ − xxf xx 
 
 
 
g) xsenarcy = 
Sua inversa é ysenx = 
y
x
x
y
′
=′
1
 
yx y cos=′ 
y
yx
cos
1
=′ , mas 1cos22 =+ yysen , daí ysenyyseny 222 1cos1cos −=⇒−= 
Como ysenx = , temos 21cos xy −= 
Logo: 
21
1)(
x
xsenarc
−
=′ 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 10 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Ache a derivada das funções: 
a) xsenxf 4)( = 
b) xsenxf
3
2)( = 
c) xxf cos5)( −= 
d) xxf cos3)( = 
e) xxf cos
3
1)( −= 
 
Questão 02 
Dadas xsenxf =)( e xxg cos)( = , calcule )0()0( gf ′+′ . 
 
Questão 03 
Determine a derivada das funções: 
a) xxxf cos32)( −= b) xxxsenxf ++= cos)( 
c) 2cos2)( xxxsenxf +−= d) xxxsenxf 3cos2)( −−= 
 
Questão 04 
Se xxsenxf cos23)( += , calcular )(pi′f 
 
Questão 05 
Calcular a derivada de: 
a) )37)(52( xxy −+= 
b) xxy cos3 ⋅= 
c) )2)(13( +−⋅= xxxy 
d) xsenxy ⋅= 3 
e) xxseny cos⋅= 
 
Questão 06 
Calcular a derivada de: 
a) 
3
12
−
+
=
x
xy b) 
12
2
−
=
x
xy 
c) 
x
xy
4
52 +
= d) 
4
1
2
−
=
x
y 
 
Questão 07 
Aplicando a derivada do quociente, demonstre que: 
a) se xtgxf =)( , então xxf 2sec)( =′ 
b) se xgxf cot)( = , então xxf 2csc)( −=′ 
c) se xxf sec)( = , então xxtgxf sec)( ⋅=′ 
d) se xxf csc)( = , então xxctgxf csc)( ⋅−=′ 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 11 
Questão 08 
Calcule a derivada de: 
a) 32 )1()( −= xxf b) 23 )2()( xxxf −= c) 4)12()( += xxf 
 
Questão 09 
Calcule a derivada de: 
a) 2)( −= xxf b) 3 14)( += xxf c) 1)( 2 −= xxf 
 
Questão 10 
Determine a derivada de: 
a) xxf 3)( = d) 1210)( −= xxf 
b) 
x
xf 





=
2
1)( e) xexf =)( 
c) 133)( += xxf f) xexf ⋅= 10)( 
d) xxf 25)( ⋅= g) xexf cos)( = 
 
Questão 11 
Calcule a derivada de: 
a) xxf ln)( = d) 2)(log)( xxf = 
b) 2)(ln)( xxf = e) 
x
x
xf
ln
)(
2
= 
c) xxf ln
2
1)( = f) 4)(ln)( xxxf ⋅= 
d) xxf 2log3)( = 
 
Questão 12 
Calcule a derivada de: 
a) xsenxf 3)( = b) xxf 6cos)( = c) )13()( += xsenxf 
 
Questão 13 
Calcule a derivada de: 
a) )(ln)( xsenxf = 
b) )65(ln)( 2 +−= xxxf 
c) )3(log)( 2 xxxf −= 
 
Questão 14 
Calcule )(xf ′ , sendo 52 )23(log)( += xxf . 
 
Questão 15 
Calcule a derivada de: 
a) xxsenxf 2cos3)( −= b) xxsenxf 4cos2)( += 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 12 
REGRA DE L’HOSPITAL 
 
 Ao estudarmos o cálculo de limites, vimos que ao tentarmos calcular um limite 
do tipo )(
)(lim
xg
xf
ax →
, às vezes ocorre que 0)(lim =
→
xf
ax
 e 0)(lim =
→
xg
ax
 e assim, o 
)(
)(lim
xg
xf
ax →
 toma a forma 
0
0
, que chamamos de indeterminação. Neste caso, frequente-
mente era necessário executarmos alguns artifícios para calcular o limite. 
 
 
Teorema (Regra de L’Hospital) 
Se 0)(lim =
→
xf
ax
 e 0)(lim =
→
xg
ax
 e se existe )(
)(lim
xg
xf
ax ′
′
→
, então existe )(
)(lim
xg
xf
ax →
 e en-
tão temos: )(
)(lim)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax ′
′
=
→→
 
 
Exemplo: 
Resolva 
2
4lim
2
2
−
−
→ x
x
x
 
Resolução 
Calculando o limite temos 
0
0
0
44
22
42
2
4lim
22
2
=
−
=
−
−
=
−
−
→ x
x
x
 (indeterminado) 
Seja 4)( 2 −= xxf e 2)( −= xxg 
Derivando cada uma dessas funções, temos: 
xxf 2)( =′ e 1)( =′ xg 
Logo, pela regra de L´Hospital, temos: 
 4222lim
1
2lim
2
4lim
22
2
2
=⋅===−
−
→→→
x
x
x
x
xxx
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Calcule os limites: (usando a regra de L´Hospital) 
a) 
3
9lim
2
3
−
−
→ x
x
x
 
b) 
8
2lim 32
−
−
→ x
x
x
 
c) 20
1lim
x
e x
x
−
→
 
d) 20
cos1lim
x
x
x
−
→
 
e) 
223
314lim
2
−−
−+
→ x
x
x
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 13 
APLICAÇÕES DA DERIVADA NA 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Interpretação geométrica: A derivada de uma função f(x) num ponto a é o valor da 
inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto [a, f(a)]. 
 
 
θ=′ tgaf )( , ou ainda, a derivada no 
ponto a é o coeficiente angular da 
reta r, tangente à função f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1. Dada a função xxxf 2)( 2 −= , determinar a equação da reta tangente ao gráfico da 
curva de f no ponto de abscissa 3. 
 
Resolução 
para escrever a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente an-
gular da reta. 
 
Assim, se a abscissa é 3, temos 369323)3(2)( 22 =−=⋅−=⇒−= fxxxf , ou 
seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) 
 
Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de 
abscissa 3, assim: 
426232)3(22)(2)( 2 =−=−⋅=′⇒−=′⇒−= fxxfxxxf , isto é, m = 4 
 
Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular m = 4 
 
Usando a equação da reta, temos: 
1243)3(43)( 00 −=−⇒−⋅=−⇒−=− xyxyxxmyy , onde finalmente 
temos que 94 −= xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
f (a) 
x a 
θ 
f (x) 
reta tangente 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 14 
2. Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função 432)( 2 +−= xxxf e que seja 
paralela à reta 32 −= xy . 
Resolução 
Se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais 
Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: 
2=rm e 34)( −=′ xxf . 
No ponto 0x , temos )( 0xfms ′= , logo: 34)( 00 −=′= xxfms 
mas 
4
554342 000 =⇒=⇒−=⇒= xxxmm sr 
Note que agora já temos a abscissa, resta encontrar a ordenada, que faremos assim 
4
4
15
16
2524
4
53
4
52
4
5432)(
2
2 +−⋅=+⋅−





⋅=





⇒+−= fxxxf 
8
27
8
3230254
4
15
8
25
4
5
=
+−
=+−=




f , logo o ponto é 





8
27
,
4
5
 
E a equação da reta será: 
2
52
8
27
4
52
8
27)( 00 −=−=





−⋅=−⇒−=− xyxyxxmyy 
078162016278 =+−⇒−=− yxxy (forma geral da reta) 
 
 
3. Dada a função xxxf 2)( 2 −= , determinar a equação da reta normal, no ponto de 
abscissa 3. 
Resolução 
A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função. 
Se duas retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é igual a 
menos o inverso do coeficiente angular da outra 
Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: 
Se a abscissa é 3, temos 369323)3(2)( 22 =−=⋅−=⇒−= fxxxf , ou seja, 
a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) 
 
Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de 
abscissa 3, assim: 
426232)3(22)(2)( 2 =−=−⋅=′⇒−=′⇒−= fxxfxxxf , isto é, m = 4 
mas, como 
r
s
m
m
1
−= , então 
4
1
−=sm 
Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular 
4
1
−=sm 
 
Usando a equação da reta, temos: 
)3(124)3(
4
13)( 00 −−=−⇒−⋅−=−⇒−=− xyxyxxmyy 
01543124 =−+⇒+−=− yxxy 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 15 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 14)( 2 +−= xxxf no 
ponto P(1, −2). 
 
Questão 02 
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função xxxf 5)( 2 += no ponto de 
abscissa −1. 
 
Questão 03 
Seja a curva de equação xxy 123 −= . Determine a equação da reta tangente à curva no 
ponto de abscissa x = 4. 
 
Questão 04 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 4)( 2 −= xxf e que seja pa-
ralela à reta de equação 12 −= xy . 
 
Questão 05 
Dê a equação da reta normal à curva dada por 25)( 2 −+= xxxf , no ponto x = 2. 
 
 
 
DERIVADAS SUCESSIVAS 
Questão 01 
Dada a função 256)( 23 −+−= xxxxf , calcular )(xf ′ , )(xf ′′ , )(xf ′′′ e )(xf ′′′′ 
 
Questão 02 
Dada a função 4341)( xxxf −−= , resolver a equação 0)( =′′′ xf 
 
Questão 03 
Determine a derivada segunda da função 1254)( 23 −+−= xxxxf no ponto x = 0. 
Questão 04 
Calcule a derivada terceira de 
x
xf 1)( = 
Questão 05 
Seja a função 2524)( 23 +−+= xxxxf , calcule )0()0()0( fff ′′′+′′+′ . 
 
Questão 06 
Se xxf cos)( = , calcule 




 pi
′′
6
f 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 16 
SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA 
Se f é uma função derivável num intervalo aberto A e: 
1. f é crescente em A, então 0)( >′ xf 
2. f é decrescente em A, então 0)( <′ xf 
3. f é constante em A, então 0)( =′ xf 
 
 
PONTOS CRÍTICOS 
Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua 
derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máximo ou mínimos relativos quando 
0)( =′ xf . Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde 0)( =′ xf . 
 
 
EXEMPLOS: 
1. Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função xxxf 3)( 2 −= 
Resolução 
2
3320320)(32)( =⇒=⇒=−⇒=′⇒−=′ xxxxfxxf 
Observe que, como a função é de 2º grau, então a sua curva é uma parábola, que 
admite concavidade voltada para cima, pois o termo a é positivo. 
Já temos o Vx , agora, é só encontrar o Vy , que determinamos substituindo Vx na 
função, assim 
4
9
4
189
2
9
4
9
2
33
2
3
2
33)(
2
2
−=
−
=−=⋅−





=





⇒−= fxxxf 
Logo, o vértice que é o ponto de mínimo dessa função é 





−
4
9
,
2
3
 
 
 
 
2. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de 
uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro 
como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área 
seja máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução 
 xyxy 216162 −=⇒=+ 
 yxA ⋅= ⇒ )216()( xxxA −⋅= ⇒ 2216)( xxxA −= ⇒ xxA 416)( −=′ 
 0416 =− x ⇒ 164 =x ⇒ x = 4 e 8164216 −=⋅−=y ⇒ 8=y 
 
 
 
 
x x 
y 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 17 
3. A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um 
semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões 
x e y que permitam uma maior entrada de luz. (Use 14,3=pi ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Haverá uma maior entrada de luz, se a área da janela for máxima, logo: 
círculoretânguloJanela AAA 2
1
+= ⇒ 2
2
12 xyxA pi⋅+⋅= 
O perímetro da janela é xyxp pi⋅++= 2
2
122 ⇒ xyxp pi++= 22 e como o períme-
tro é 714, temos: 71422 =pi++ xyx ⇒ xxy pi−−= 27142 
e voltando a área, temos: 
 
2
2
12 xyxA pi⋅+⋅= ⇒ 2
2
12 xxyA pi⋅+⋅= , e calculando em função de x, vem 
2
2
1)2714()( xxxxxA pi⋅+⋅pi−−= ⇒ 222
2
12714)( xxxxxA pi⋅+pi−−= 
 
22
2
12714)( xxxxA pi⋅−−= , e derivando, temos: xxxA pi−−=′ 4714)( 
04714 =pi−− xx ⇒ xx pi+= 4714 ⇒ 7144 =pi+ xx ⇒ 714)4( =pi+x 
14,7
714
14,34
714
4
714
=
+
=
pi+
=x ⇒ cmx 100= 
 
E para achar o valor de y, basta substituir em xxy pi−−= 27142 
31420071410014,310027142 −−=⋅−⋅−=y⇒ y = 100 cm 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 18 
4. A empresa “X” produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela 
função 20102
3
1)( 23 ++−= xxxxC . 
Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que 
deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal. 
 
Resolução 
Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal 
O lucro mensal é dado por: 
Lucro (L) = Receita (R) − Custo (C) 
assim 
20102
3
13120102
3
131 2323 −−+−=





++−−=−= xxxxxxxxCRL 
20212
3
1 23
−++−= xxxL ou ainda 20212
3
1)( 23 −++−= xxxxL 
 
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos: 
214)( 2 ++−=′ xxxL 
 
e calculando a derivada segunda, vem 
42)( +−=′′ xxL 
 
Para achar os pontos críticos, é só igualar )(xL′ a zero, ou 0)( =′ xL 
02142 =++− xx e resolvendo pela fórmula de Bháskara, 
temos as raízes 3−=x e 7=x que são os pontos críticos 
 
Agora, vamos determinar os extremos relativos de L 
 
Para 3−=x , temos 010464)3(2)3( >=+=+−−=−′′L , logo é um ponto de míni-
mo relativo de L. 
 
Para 7=x , temos 010414472)7( <−=+−=+⋅−=′′L , logo é um ponto de má-
ximo relativo de L. 
 
Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é 
7=x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 19 
5. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: 
a) a variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia 
de 2,5 a 3,0m; 
b) a taxa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4m. 
 
Resolução 
Sejam A a área do quadrado e x seu lado. Sabemos, então que 2xA = 
a) A variação média de A em relação a x, quando x varia de 2,5m a 3,0m é dada 
por 5,5
5,0
75,2
5,0
25,69
5,23
)5,2()3(
==
−
=
−
−
=
∆
∆ AA
x
A
 
b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por xx
dx
d
dx
dA 2)( 2 == 
Portanto, quando 4=x , , temos 842)4( =⋅=A
dx
d
 
Assim, quando 4=x , a taxa de variação da área do quadrado será de 28m pa-
ra cada metro que varia no comprimento do lado. 
 
6. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam 
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em 
dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente por: 
3
64)(
3t
ttf −= . 
a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias? 
b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
 
Resolução 
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função )(tf em re-
lação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por 264)( ttf −=′ . 
Assim: 
a) no tempo t = 4, temos 481664)4( =−=′f , ou seja, após 4 dias a moléstia esta-
rá se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. 
b) no tempo t = 8, temos 06464)8( =−=′f , ou seja, após 8 dias a epidemia esta-
rá totalmente controlada. 
c) como o tempo foi contado em dias, a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia cor-
responde à variação de t de 4 para 5. O número de pessoas atingidas durante o 
5º dia será dado, então por )4()5( ff − , ou seja: 






−−−=





−⋅−





−⋅=−
3
64256
3
125320
3
4464
3
5564)4()5(
33
ff 
4366,4333,2167,4164
3
64256
3
125320)4()5( ≅=+−=+−−=− ff 
Obs.: No item (a) vimos que o tempo t = 4 (início do 5º dia), a epidemia se alastra a 
uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5º dia, 43 
pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da 
moléstia se modificou no decorrer do dia. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 20 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância )(td 
ao solo durante os primeiros 10 segundos de vôo é dada por 226)( tttd ++= , na qual 
)(td é medido em metros e t em segundos. 
a) Determine a velocidade média do balão durante o 1º segundo de vôo. 
b) Determine a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo 
c) Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a 20 metros? 
 
Questão 02 
A área A de uma pele, afetada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias 
após o início de um tratamento, é dada pela função 
1
56)( 2 ++= t
t
tA , com t expresso em 
dias e a área em cm2. O tratamento iniciou-se à 0 hora do dia 15 de fevereiro. 
a) Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia? 
b) Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia, com a rapidez na sua 
redução durante o 2º dia. O que se pode concluir? E o que aconteceu durante o 3º dia 
c) Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção? 
 
Questão 03 
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registran-
do a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mos-
tram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada por aproxi-
madamente hkmttttv /20305,10)( 23 ++−= , onde t é o número de horas após o meio 
dia. Qual o instante entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o ins-
tante em que ele é mais lento? 
 
Questão 04 
Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de maior volume 
possível, cortando um quadrado em cada canto. As dimensões da folha são 60 cm e 40 
cm. Calcular o volume máximo da caixa. 
 
Questão 05 
Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4, 00. Ao vendê-lo a x reais o 
fabricante espera vender (30 − 2x) unidades. A que preço deve ser vendido o produto 
para que haja lucro máximo? 
 
Questão 06 
Uma partícula move-se ao longo da curva 375)( 23 −+−= ttttv . Calcule a aceleração 
no instante em que a velocidade é nula. 
 
Questão 07 
Uma sonda é lançada para cima, verticalmente, sendo a distância acima do solo no ins-
tante t dada por )000.1()( ttts −= . 
a) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. 
b) Qual é a altura máxima que a sonda atinge? 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 21 
Questão 08 
Se um ponto se move ao longo do gráfico de 12 += xy de tal modo que sua abscissa x 
varia com uma velocidade constante de 3 cm/s, qual é a velocidade da ordenada y quan-
do x = 4cm? 
 
Questão 09 
Um homem de 1,80m de altura afasta-se de um farol com uma lâmpada situada a 4,50m 
do solo, com uma velocidade de 1,5 m/s. Quando ele estiver a 6m do farol, com que ve-
locidade sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra? 
 
Questão 10 
Uma partícula move-se ao longo da curva xy = . Quando a partícula passa pelo ponto 
(4,2), sua abscissa cresce à razão de 3 cm/s. Com que velocidade está variando a distân-
cia da partícula à origem nesse instante? 
 
Questão 11 
O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e cresce à razão de 0,25 cm / ano e sua 
altura cresce à razão de 1 m / ano (m = metros). Determine a taxa de variação do volume 
do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura for 50 m. 
 
Questão 12 
O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria para fabricar x unidades de um 
certo produto é dado pela equação xy
2
1
= . Determine a taxa instantânea à qual o es-
forço do trabalhador seria crescente se, no mesmo momento, existe uma demanda de 
40.000 unidades do produto, mas esta é crescente a uma razão de 10.000 unidades por 
ano. 
 
Questão 13 
Um fazendeiro possui 2.400 m de aramefarpado e quer cercar um campo retangular que 
está à margem de um canal reto. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Quais são as 
dimensões do campo que tem a maior área? 
 
Questão 14 
Um vasilhame cilíndrico é fabricado para conter 1 litro de óleo. Encontre as dimensões 
que irão minimizar o custo do material para produzir este vasilhame. 
 
Questão 15 
Achar o retângulo de maior área de corte, correspondentes à altura e base de um cômo-
do, inscrito dentro de um triângulo isósceles de base AB = 10 m e altura h = 6 m, cor-
respondentes à base e altura de um chalé, respectivamente. 
 
Questão 16 
Quais são as dimensões de um cercado, de área máxima que se pode construir com 
1.000 m de tela? 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 22 
Questão 17 
Uma avaria numa central atômica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos ativa-
ram imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe-se que a temperatura T da 
água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir 
daí durante 12 horas, de acordo com a função 
2
12825)(
2
+
++
=
x
xx
xT , em que x é o tem-
po (em horas) decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. 
a) Calcule a taxa de variação de T quando x = 1 h. Interprete o resultado no contexto do 
problema. 
b) A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 43º C. Quando é que a si-
rene tocou? 
 
Questão 18 
A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do mo-
mento em que é ligado, de acordo com a função 
2
44190)(
+
+
=
t
t
tF , com t em minutos. 
a) A que temperatura está o forno quando é ligado? 
b) Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender a estabilizar essa temperatura? 
c) Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? 
d) E aos 10 minutos? 
 
Questão 19 
A evolução da temperatura do ar na relva, entre as 0 e 24 horas do dia 1º de fevereiro foi 
dada pela função 
45
2253017)(
2
−
+−
+=
t
tt
tf , com f em graus e t em horas. 
a) Qual foi a temperatura máxima nesse dia? 
b) E a temperatura mínima? 
c) Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã? 
 
Questão 20 
A equação 
10
25030)( 2 ++= t
t
tT relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma 
reação química com tempo t da experiência (em minutos). Sabendo que a experiência 
durou 60 minutos: 
a) calcule e explique o quociente 
2
)0()2( TT −
 
b) o que significa 
2
)0()2(lim
2
−
−
→ t
TT
t
 
c) determine, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se Re-
gistrou a temperatura máxima 
 
Questão 21 
Uma mancha circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centí-
metros, do raio dessa mancha, t segundos após ter sido detectada, é dado por: 
)0(
2
41)( ≥
+
+
= t
t
t
tr 
Calcule )0(r e diga qual é o significado físico desse valor. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
 
 23 
Questão 22 
Um chá, acabado de fazer, foi colocado num refrigerador a 100º C. Passados 5 minutos, 
o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei tbaetT −=)( , em 
que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos. 
a) Determine os valores de a e b. 
b) Qual é a velocidade do arrefecimento do chá quando é colocado no refrigerador? E 
um minuto depois? 
c) Quem prefere tomar o chá frio, a 8º C, quanto tempo terá de esperar? 
 
Questão 23 
Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A 
concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após 
ter sido administrado, é dada por tettC 3,02)( −= . Recorrendo à derivada da função C, 
determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi 
máxima. 
 
Questão 24 
Injetou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0, 
em segundos), a concentração C da substância injetada é dada por )(8)( 2 tt eetC −− −= . 
a) calcule o instante para o qual o valor da concentração é igual a 
8
7
 
b) Mostre que 
t
t
e
e
tC 2
)2(8)( −=′ 
 
Questão 25 
Um fabricante de pequenos motores, estima que o custo da produção de x motores por 
dia é dado por 
x
xxC 5060100)( ++= (reais). 
a) Preencha as tabelas abaixo: 
 
No de motores Custo Custo médio Custo marginal 
 
X 
 
)(xC 
 
x
xC )(
 
 
 
)(xC ′ 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
 
b) Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6º 
motor.