Aula 6

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Experimentos Fatoriais
Robson B. de Lima
Laboratório de Biometria e Manejo Florestal 
Engenharia Florestal – CEFL 
Universidade do Estado do Amapá – UEAP 
Robson B. de Lima CEFL/UEAP Unidade 5: Inferência Estatística – Experimentos Fatoriais 1/16
Introdução Estatística do teste
Algumas considerações
Introdução Estatística do teste
• Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos de apenas um tipo ou fator, permanecendo os
demais fatores constantes. Quando estuda-se o comportamento de cultivares de eucalipto numa determinada
região, todos os demais grupos de tratamentos como época de plantio, espaçamento, adubação, tratos
culturais, época de colheita, etc., são mantidos constantes, isto é, são os mesmos para todas as cultivares de
eucalipto estudadas;
• Entretanto, existem casos em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos
conduzir a resultados de interesse. Para tanto, nos utilizamos dos experimentos fatoriais, que são aqueles nos
quais são estudados ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores;
• Cada subdivisão de um fator é denominada nível do fator e os tratamentos nos experimentos fatoriais
consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.
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Introdução Estatística do teste
Por exemplo, podemos, num experimento fatorial, combinar 3 Classes de Altura, com 5 diferentes
Espécies. Então, teremos um fatorial 3x5, com os fatores: Classes de Alturas (CA) e Espécies (E),
sendo que o fator Classes de Altura ocorre em 3 níveis (H1, H2 e H3), o fator Espécies ocorre em 5
níveis (E1, E2, E3, E4 e E5) e os 15 tratamentos são:
Aplicação
V1 H1 V1 H2 V1 H3
V2 H1 V2 H2 V2 H3
Outro exemplo: Podemos, num experimento fatorial 3x3x2, combinar 3 Variedades (V1, V2 e V3), 3
Adubações (A1, A2 e A3) e 2 Épocas de plantio (E1 e E2) e termos 18 tratamentos, que são todas as
combinações possíveis dos 3 fatores em seus diferentes níveis. Os 18 tratamentos são:
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
V1 A1E1 V2 A1E1 V3 A1E1
V1 A1E2 V2 A1E2 V3 A1E2
V1 A2E1 V2 A2E1 V3 A2E1
V1 A2E2 V2 A2E2 V3 A2E2
V1 A3E1 V2 A3E1 V3 A3E1
V1 A3E2 V2 A3E2 V3 A3E2
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental, e sim um esquema
orientado de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e podem ser instalados em
qualquer dos delineamentos experimentais
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
• Os experimentos fatoriais nos permitem tirar conclusões mais amplas. Assim, se num experimento fatorial
competirmos diversos adubos para uma cultura e diversos espaçamentos de plantio, podemos estudar o
comportamento dos adubos, dos espaçamentos e ainda, se o comportamento dos adubos, quando associados
a um determinado espaçamento de plantio, se altera se for associado a outros espaçamentos (ou, se o
comportamento dos espaçamentos de plantio, quando associados a um determinado adubo, se altera se for
associado aos outros adubos);
• Nos experimentos fatoriais, após uma análise de variância preliminar, de acordo com o delineamento
adotado, procedemos ao desdobramento dos graus de tratamentos, isolando os efeitos principais dos fatores e
os efeitos das interações entre fatores;
• Vejamos o que representa cada um desses efeitos. Vamos considerar um fatorial 2x2, com os fatores:
Adubação (A) e Calcário (C), nos níveis:
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Aplicação
Adubação:
A0 = sem adubo
A1 = com adubo
Calcário:
C0 = sem calcário
C1 = com calcário
• Sejam os dados seguintes, os resultados de produção para os 4 tratamentos:
A0C0; sem adubo, sem calcário = 14
A0C1; sem adubo, com calcário = 23
A1C0; com adubo, sem calcário = 32
A1C1; com adubo, com calcário = 53
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Aplicação
Reunindo estes dados num quadro auxiliar, temos:
C0 C1 Totais
A0 14 23 37
A1 32 53 85
Totais 46 76 122
a) Efeito simples de um fator
É uma medida da variação que ocorre com a característica em estudo (produção,
por exemplo) correspondente às variações nos níveis desse fator, em cada um
dos níveis do outro fator. Então:
Efeito simples de adubo na ausência de calcário
A d. C0 = A1C0 - A0C0 = 32 – 14 = 18
Efeito simples de adubo na presença de calcário
A d. C1 = A1C1 - A0C1 = 53 – 23 = 30
Efeito simples de calcário na ausência de adubo
C d. A0 = A0C1 - A0C0 = 23 – 14 = 9
Efeito simples de calcário na presença de adubo
C d. A1 = A1C1 – A1C0 = 53 – 32 = 21
C0 C1
A0
A1
A d. C0
A d. C1
C d. A1
C d. A0
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
b) Efeito principal de um fator
É uma medida da variação que ocorre com a característica em estudo (produção, por exemplo)
correspondente às variações nos níveis desse fator, em média de todos os níveis do outro fator. Logo, o efeito
principal de um fator é a média de todos os níveis do outro fator.
24
2
3018
2
C.AdC.Ad
A 10 




15
2
219
2
A.CdA.Cd
C 10 




Efeito principal de 
Efeito principal de
c) Efeito da interação entre dois fatores
É uma medida da variação que ocorre com a característica em estudo, correspondente às variações nos
níveis de um fator, ao passar de um nível a outro do outro fator.
O efeito da interação entre os dois fatores A e C, é:
Efeito da interação AxC
Efeito da interação CxA
6
2
1830
2
C.AdC.Ad 01 




6
2
921
2
A.CdA.Cd 01 




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Introdução Estatística do teste
Aplicação
• Vemos, então, que tanto faz calcular a interação AxC ou CxA. Examinando o quadro auxiliar, já podemos ter
uma indicação da existência ou não da interação. Devemos observar como o A se comporta na ausência de C
(A d. C0) e na presença de C (A d. C1), e como o C se comporta na ausência de A (C d. A0) e na presença de
A (C d. A1). Se o comportamento for o mesmo, tanto na ausência como na presença, não se constata
interação. Graficamente, podemos considerar:
C0 C1
A0
A1
C0 C1
A0
A1
C0 C1
A0
A1
C0 C1
A0
A1
a) b)
c) d)
• Nos casos (a) e (b) não há interação.
• No caso (c) existe uma interação devida à diferença na
grandeza de resposta.
• No caso (d) existe uma interação devida à diferença na
direção da resposta.
• Quando não há interação, ocorre um paralelismo entre
as retas.
• A interação ocorre devido a um sinergismo entre os
fatores (interaçãopositiva) ou devido a um antagonismo
entre os fatores (interação negativa).
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Estatística do testeIntrodução Estatística do teste
Aplicação
Análise e interpretação de um experimento fatorial com dois fatores
Com interação não significativa
Exemplo: Vamos considerar os dados de um experimento, em blocos casualizados, no esquema fatorial 3x3, em que
foram estudados os efeitos de 3 peneiras comerciais, associadas a 3 densidades de plantio, na produtividade do amendoim
(Arachis hipogaea L.) variedade Tatu V 53.
As peneiras comerciais (P) e as Densidades de plantio (D) estudadas foram:
P1 = peneira 18 (crivos circulares com Ø de 18/64 polegada)
P2 = peneira 20 (crivos circulares com Ø de 20/64 polegada)
P3 = peneira 22 (crivos circulares com Ø de 22/64 polegada)
D1 = 10 plantas por metro linear
D2 = 15 plantas por metro linear
D3 = 20 plantas por metro linear
O ensaio constou de 3 blocos, num total de 27 parcelas, cada uma com 4 linhas de 7 metros de comprimento,
espaçadas de 0,50 m, com uma área de 14 m2 por parcela. As duas linhas externas de cada parcela, e 1 m de cada rua,
foram consideradas como bordadura, fazendo-se as avaliações apenas nas duas linhas centrais, o que resultou numa área
útil de 6 m2 por parcela.
Uma das características estudadas foi a produção média de amendoim em vagem, por planta, cujos dados, em
gramas, são apresentados abaixo:
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
Tratament
os
Blocos
Totais
1 2 3
1 – P1D1 11,82 12,03 12,55 36,40
2 – P1D2 12,34 14,08 12,13 38,55
3 – P1D3 13,41 12,98 13,35 39,74
4 – P2D1 6,97 10,26 9,02 26,25
5 – P2D2 8,96 9,02 9,84 27,82
6 – P2D3 8,48 9,66 8,50 26,64
7 – P3D1 7,53 7,67 7,81 23,01
8 – P3D2 6,71 7,87 9,49 24,07
9– P3D3 7,82 9,44 9,37 26,63
Totais 84,04 93,01 92,06 269,11
• Inicialmente, devemos proceder a análise de
variância preliminar, que é a análise comum de um
experimento em blocos casualizados, com 9
tratamentos e 3 blocos:
2293,682.2
3*9
11,269
IJ
G
C
22

6588,126C37,9...03,1282,11CxSQ 222
I
1i
J
1j
2
ijtotal 
 
  4428,111C63,26...55,3840,36
3
1
CT
J
1
SQ 222
I
1i
2
ITratamento  

  3957,5C06,9201,9304,84
9
1
CB
I
1
SQ 222
J
1i
2
jBloco  

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Aplicação
• A análise de variância preliminar é apresentada a seguir:
Causa da variação G.L. SQ QM F
Tratamentos 8 111,4428 13,9304 22,70**
Blocos 2 5,3957 2,6979 4,40*
Resíduo 16 9,8203 0,6138 -
Total 26 126,6588 - -
Para tratamentos, verificamos que o teste é significativo (P<0,01), indicando que os tratamentos apresentam
efeitos diferentes sobre a produção média de amendoim em vagem, por planta. Devemos proceder ao
desdobramento dos 8 graus de liberdade de tratamentos, para estudar os efeitos de: Peneiras (P); Densidades
(D) e da interação PxD. Para o cálculo das somas de quadrados correspondentes aos efeitos principais dos
fatores e à interação entre eles, devemos organizar um quadro auxiliar, relacionando os níveis dos 2 fatores:
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
(3) D1 D2 D3 Totais de P
P1 36,40 38,55 39,74 114,69
P2 26,25 27,82 26,64 80,71
P3 23,01 24,07 26,63 73,71
Totais de D 85,66 90,44 93,01 269,11
• Os valores internos do quadro auxiliar são totais de 3 parcelas, que são as repetições do experimento (indicado
na primeira coluna do quadro entre parênteses). Dessa forma, os totais de Peneiras e de Densidades são totais
de 9 parcelas. Logo:
  7778,106C71,7371,8069,114
9
1 222 
  0917,3C01,9344,9066,85
9
1 222 
SQPeneiras =
SQDensidades =
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
• Para o cálculo da soma de quadrados da Interação PxD, devemos, inicialmente, calcular a soma de
quadrados do efeito conjunto de Peneiras e Densidades, denotada por SQP,D e calculada com os valores
internos do quadro auxiliar, provenientes de 3 parcelas cada. Logo:
  4428,111C63,26...55,3840,36
3
1 222 
SQP,D = 
Mas:
SQP,D = SQP + SQD + SQPxD
Então:
SQPxD = SQP,D - SQP - SQD
SQPxD = 111,4428 - 106,7778 – 3,0917 = 1,5733
Observação: Nos experimentos fatoriais com dois fatores, a soma de quadrados do efeito conjunto é sempre igual à soma de
quadrados de tratamentos.
SQP,D = SQTratamentos
Então:
SQPxD = SQTratamentos - SQP - SQD
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Introdução Estatística do teste
Aplicação
• As hipóteses de nulidade para este experimento são:
Peneiras (P) – H0: As 3 Peneiras apresentam efeitos semelhantes sobre a produção média de vagens por
planta.
Densidades (D) – H0: As 3 Densidades apresentam efeitos semelhantes sobre a produção média de vagens
por planta.
Interação PxD – H0: Os fatores Peneiras e Densidades agem de modo independente sobre a produção média
de vagens por planta.
• A análise de variância, com desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos de acordo com o esquema
fatorial 3x3, é apresentada a seguir:
Causa da variação G.L. SQ QM F
Peneiras (P) 2 106,7778 53,3889 86,98**
Densidades (D) 2 3,0917 1,5459 2,52NS
Interação PxD 4 1,5733 0,3933 0,64NS
(Tratamentos) (8) (111,4428) - -
Blocos 2 5,3957 2,6979 4,40*
Resíduo 16 9,8203 0,6138 -
Total 26 126,6588 - -
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Introdução Estatística do teste
Teste de Tukey para Peneiras (P)
g74,12
9
69,114
Pˆ1 
g97.8
9
71,80
Pˆ2 
g19,8
9
71,73
Pˆ3 
g95,0
9
6138,0
65,3
r
QM
q sRe 
Tratamento
12,74 a
8,97 b
8,19 b
Conclusão: a média de produção de amendoim
por vagem, por planta, obtida para P1 é
significativamente superior às obtidas para P2 e
P3, que, no entanto, não diferem entre si.
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