GABARITO ATIVIDADE ELETRÔNICA 1 - CÁLCULO 1 - 2017.1 - CEDERJ

Prévia do material em texto

1
Gabarito da Atividade Eletroˆnica 01
Ola´, pessoal!
Esperamos que voceˆ tenha conseguido fazer a atividade e que voceˆ tenha experimentado alguns dos
diferentes aspectos da Matema´tica que mencionamos.
Uma coisa que sempre chama a nossa atenc¸a˜o e´ a maneira como cada um escreve os conteu´dos de
Matema´tica: nossos “Matemanuscritos”.
Anexaremos a este documento uma parte do manuscrito do gabarito da atividade, preparac¸a˜o para
este documento processado digitalmente. A versa˜o final e´ o´tima, mas o manuscrito nos aproxima
mais e revela que Matema´tica e´, a final de contas, apenas mais uma atividade humana.
Atividade: Uma caixa deve ter o formato de um prisma reto de base quadrada e deve ser constru´ıda
de forma que seu volume seja de 32000 cm3.
Construa uma func¸a˜o que expresse a a´rea da superf´ıcie da caixa (base, tampa e lados laterais) em
func¸a˜o do lado de sua base.
Soluc¸a˜o:
Uma das dificuldades iniciais neste tipo de pro-
blema e´ nomear as gradezas envolvidas. Isso pa-
rece simples, mas causa dificuldades. A caixa tem
base quadrada. Assim, usaremos a letra x para
representar o lado da base e a letra y para repre-
sentar a sua altura.
Resumindo: caixa com base quadrada x × x de
altura y.
x
x
y
A caixa tem volume e a a´rea de sua superf´ıcie e´ a soma das a´reas de suas faces. Isso nos da´ duas
relac¸o˜es:
Volume (a´rea da base pela altura): V = x2y
Superf´ıcie (base + tampa + 4 laterais): S = 2x2 + 4xy
Um bom truque na resoluc¸a˜o de problemas consiste em “conversar consigo mesmo”- destaque as
informac¸o˜es que voceˆ conhece e estabelec¸a com clareza o seu objetivo:
Sabemos: V = 32 000cm2;
Queremos: Encontrar uma relac¸a˜o entre S e x, uma relac¸a˜o que expresse S em func¸a˜o de x.
Agora e´ pensar, pensar, ate´ que...
2
Ideia: Eliminar y da equac¸a˜o S = 2x2 + 4xy substituindo-o por uma func¸a˜o de x. Para isso,
usamos a informac¸a˜o dada no problema: V = x2y = 32 000cm2.
Assim, y =
32 000
x2
, e substituindo em S = 2x2 + 4xy obtemos:
S = 2x2 + 4x
(
32 000
x2
)
= 2x2 +
128 000x
x2
= 2x2 +
128 000
x
=
2x3 + 128 000
x
O problema ja´ foi resolvido. No entanto, para que os nossos esforc¸os sejam reconhecidos, precisamos
escrever a resposta do problema de maneira clara para que a avaliac¸a˜o seja completa. A equac¸a˜o
obtida, que e´ a parte fundamental da resposta,
S(x) =
2x3 + 128 000
x
realmente define S como uma func¸a˜o de x. No entanto, se nada for dito a respeito do dom´ınio, esse
deve ser considerado o maior subconjunto da reta no qual a lei esteja bem definida, que e´ R−{0}.
Mas, o exerc´ıcio pede para expressarmos a superf´ıcie da caixa em termos do comprimento do lado
da sua base. Assim, os valores de S e de x, neste contexto, devem ser sempre positivos. Analisando
a equac¸a˜o obtida, claramente percebemos que, se x > 0, teremos S > 0. Assim, a resposta do
problema deve ser:
S : (0, +∞) −→ (0, +∞)
x 7−→ S(x) = 2x
3 + 128 000
x
A pro´xima etapa sera´ descobrir o valor de x para o qual S e´ o menor poss´ıvel. Assim, estaremos
otimizando a situac¸a˜o. Isto e´, selecionando entre todas as caixas com um dado volume, aquela que
podemos construir usando a menor a´rea em sua superf´ıcie. Mas isso fica para logo mais!