ESTUDO PROGRAMADO 1 - Aulas 1 e 2 - CÁLCULO 1 - 2017.1 - CEDERJ

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EP1 Ca´lculo I
EP1 - Ca´lculo I
Ola´ pessoal !!! Sejam muito bem vindos ao Ca´lculo I !!!
E´ com grande satisfac¸a˜o que preparamos esta primeira lista de exerc´ıcios da disciplina
Ca´lculo I ! Esperamos que essa caminhada que realizaremos juntos seja alegre e produtiva.
Faremos o poss´ıvel para lhes oferecer excelentes oportunidades de aprender coisas novas.
A experieˆncia mostra que alunos com um bom rendimento no Ca´lculo I teˆm o´timo desem-
penho nas disciplinas seguintes. E´ exatamente isso o que desejamos: ajuda´-los a construir
uma sequeˆncia de sucessos!!
Sucesso! E ao trabalho!
Nessa primeira semana voceˆs devera˜o estudar as aulas 1 (“Um curso para quem quer viver
no limite!”) e 2 (“Limites de func¸o˜es - algumas propriedades”). Na aula 1, a ideia principal
e´ utilizar fatorac¸o˜es para levantar as indeterminac¸o˜es; na aula 2, e´ calcular graficamente
limites finitos de func¸o˜es. Assim, nessa semana, voceˆs teˆm como metas principais a serem
alcanc¸adas:
• utilizar simplificac¸o˜es alge´bricas para calcular alguns limites de func¸o˜es racionais;
• obter uma boa percepca˜o geome´trica da noc¸a˜o de limite de uma func¸a˜o em um dado
ponto, ou seja, determinar o limite de uma func¸a˜o em um dado ponto a partir do gra´fico da
mesma;
• aprender algumas propriedades iniciais de limites de func¸o˜es para efetuar o ca´lculo dos
mesmos.
Iniciaremos esse nosso primeiro EP com alguns exerc´ıcios fundamentais de revisa˜o.
1. Esboce o gra´fico e determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f definida por:
(a) f(x) = −2 (b) f(x) = −x (c) f(x) = 3 + x
(d) f(x) = 1− x2 (e) f(x) = x2 + 2 (f) f(x) = √x + 1
(g) f(x) = |5− x| (h) f(x) = |x− 1|
x− 1 (i) f(x) = |x
2 − 4|
2. Determine o domı´nio da func¸a˜o f definida por:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (b) f(x) = √x2 + 3x− 4
(c) f(x) =
2x
x3 + x2 − 6x (d) f(x) =
√
x− 1
4− x
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(e) f(x) = 3
√
x2 + 1
x3 − x2 − 2x (f) f(x) =
4
√
25− x2
(g) f(x) =
x + 4√
x3 − x2 − 6x (h) f(x) = 1−
√
x2 + 1
3. Esboce o gra´fico da func¸a˜o f definida por:
(a) f(x) =
{
x2 − 1, se x ≤ 0
x, se x > 0
(b) f(x) =

−4, se x < −2
x− 1, se −2 ≤ x ≤ 0
x2 − 4, se x > 0
(c) f(x) =

|x + 1|
x + 1
, se x < −1
x2 − 4, se −1 ≤ x ≤ 2
|x| − 2, se x > 2
(d) f(x) =

|1 + x2| , se x ≤ 0
2, se 0 < x < 4
|x2 + x + 1|
−x2 − x− 1 , se x ≥ 4
4. Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→1
4x− 1
x2
− 3
x
(b) lim
x→4
4x− 16
x2 − 16 (c) limx→−5
|x| − 5
x2 − 25
(d) lim
x→−3
2x2 − 18
−3x2 − 12x− 9 (e) limx→1
x3 + 4x2 − 5x
x2 + x− 2 (f) limx→1
3(1− x2)− 2(1− x3)
(1− x2)(1− x3)
(g) lim
x→5
x− 5√
x−√5 (h) limx→−2
3−√7− x
x2 − 4x− 12 (i) limx→1
√
2x2 + 6x− 8
x3 + x2 − 2x
(j) lim
x→−1
3
√
x2 − 3x− 4
x3 − x2 − 2x (k) limx→0
√√
x2 + 4 − 2
x2
(l) lim
x→3
4
√
x− 3√
x−√3
(m) lim
x→−1
x3 + 1
x4 − x3 − 2x2 (n) limx→4
|6 + x− x2| − 6
16− x2 (o) limx→−1
4x2 − 8x− 12
x3 + 3x2 + 2x
(p) lim
x→1
x4 + 3x3 − 4x2
x4 − 1 (q) limx→−1
x2 − 4x− 5
x4 − x3 − 2x2 (r) limx→0
√
x2 + 9− 3
x2
5. Sejam f, g e h, func¸o˜es definidas nas vizinhanc¸as de −1 tais que lim
x→−1
f(x) = −2,
lim
x→−1
g(x) = 1 e lim
x→−1
h(x) = 4. Utilizando as propriedades de limites de func¸o˜es, determine:
(a) lim
x→−1
[f(x) g(x) + h(x)] (b) lim
x→−1
[g(x)− 3h(x)]
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(c) lim
x→−1
[
h(x)− f(x)
2 g(x)
]
(d) lim
x→−1
√
g(x)− f(x)h(x)
6. Sejam f, g e h, func¸o˜es definidas nas vizinhanc¸as de 4 tais que lim
x→4
f(x) = −2,
lim
x→4
g(x) = −1 e lim
x→4
h(x) = 3. Utilizando as propriedades de limites de func¸o˜es, deter-
mine:
(a) lim
x→4
[2f(x)− 4h(x)g(x)] (b) lim
x→4
[
f(x)h(x)− g(x)2 + 1]
(c) lim
x→4
[
h(x) + 2g(x)− f(x)
g(x)− 4f(x)
]
(d) lim
x→4
√
f(x)2 − 2g(x)h(x)
7. Considere a func¸a˜o f : R− {4} → R definida por:
f(x) =

x + 4
5−√x2 + 9 , se x 6= −4
−2, se x = −4
Calcule lim
x→2
f(x) e lim
x→−4
f(x).
8. Considere a func¸a˜o f : [0,+∞)→ R definida por:
f(x) =

√
x−√7
x− 7 , se x < 7
−1, se x = 7
x2 − 1
1 + x
, se x > 7
Calcule lim
x→4
f(x) e lim
x→9
f(x).
9. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo.
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Determine:
(a) lim
x→0
f(x); (b) lim
x→2
f(x); (c) lim
x→3
f(x); $
(d) lim
x→5
f(x); (e) lim
x→8
f(x); (f) lim
x→10
f(x);
10. Considere a func¸a˜o f(x) =
{ −4x + 1, se x ≤ 1
−x2 + 6x− 8, se x > 1 .
Esboce o gra´fico de f para determinar:
(a) lim
x→0
f(x) (b) lim
x→1
f(x) (c) lim
x→2
f(x) (d) lim
x→3
f(x)
11. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo.
Determine lim
x→−2
f(x) e lim
x→2
f(x).
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12. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo.
Determine:
(a) lim
x→−2
f(x); (b) lim
x→2
f(x); (c) lim
x→1
f(x).
13. Seja f : R→ R a func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo.
Determine:
(a) lim
x→−2
f(x) (b) lim
x→1
f(x) (c) lim
x→2
f(x) (d) lim
x→3
f(x)
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14. Considere a func¸a˜o f(x) =
{
x2 − 6x + 8, se x > 1
2x + 1, se x ≤ 1 .
(a) Esboce o gra´fico de f ;
(b) Determine lim
x→1
f(x), lim
x→3
f(x), lim
x→4
f(x) e lim
x→−2
f(x).
Desejamos que estes exerc´ıcios sirvam de est´ımulo para uma ativa sec¸a˜o de trabalho!
Procurem a tutoria mesmo que tudo esteja correndo bem com os seus estudos individuais.
Lembrem-se: a troca de informac¸o˜es com os tutores e com os colegas e´ fundamental para o
seu progresso pessoal. E na˜o esquec¸am: no´s queremos o seu sucesso!
Ma´rio Olivero e Cristiane de Mello
Coordenadores de Ca´lculo I
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