Gabarito Aulas 1, 2 e 3 do Módulo 1 - Cálculo 1 - 2017.1 - Cederj

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Ca´lculo I Gabarito Aulas 01 - 02 - 03
Gabarito dos Exerc´ıcios da Aula 01
Exerc´ıcio 1
(a) Dom f(x) = (−∞,−2] ∪ (1, 3]
(b) Dom g(x) = {x ∈ R|x < 3}
(c) Dom h(t) = [2, 5)
(d) Dom k(y) = R− {0}
Exerc´ıcio 2
(a) Observe que
3x− 2
x− 1 = 3 + (−5/x − 1) = 3 − (5/x − 1). Como no
exemplo 1.2 fac¸a uma translac¸a˜o do gra´fico 1/x para o gra´fico 1/x−1, depois
ao multilicar por −5 lembre de colocar o que e´ negativo como positivo e o
que for positivo como negativo em relac¸a˜o ao eixo y; como esta´ multiplicando
por −5 o gra´fico ficara´ mais esticado em relac¸a˜o ao eixo y, depois translade
3 unidades para cima.
Exerc´ıcio 3
Observe que para t = 1 temos que v(1) = −1 e, portanto v(t)− v(1) =
t2 − 4t+ 3 = (t− 1)(t− 3).
Da´ı,
v(t)− v(1)
(t− 1) = t− 3, e fazendo t ≥ 1 temos que t− 3 ≥ −2. Isso e´
equivalente a derivar a func¸a˜o v e calcular no ponto 1.
No segundo caso repetindo o processo temos
v(t)− v(2)
(t− 2) = t− 2 e em
t = 2 temos que o resultado e´ zero, ou seja, 0 cm/s.
Exerc´ıcio 4
R$0, 98.
Exerc´ıcio 5
(a) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 = 6 ; (b) limx→1
x2 + 2x− 3
x2 − 3x+ 2 = −4 ;
(c) lim
x→2
x3 − 8
x2 − 4 = 3 ; (d) limx→√2
x2 − 2
x2 +
√
2x− 4 = 2/3 .
1
Ca´lculo I Gabarito Aulas 01 - 02 - 03
Gabarito dos Exerc´ıcios da Aula 02
Exerc´ıcio 1
(a) lim
x→4
x2 − 3x− 4
x2 − 16 = 5/8 ; (b) limx→−1
x+ 1
x2 − 1 = − 1/2 ;
(c) lim
x→9
√
x− 3
x− 9 = 1/6 ; (d) limx→1
x− 1
3
√
x− 1 = 3 ;
(e) lim
x→−4
|x| − 4
x2 − 16 = 1/8 ; (f) limx→1
x3/2 − 1
x1/2 − 1 = 3 .
Para a letra (f) fac¸a x1/2 = a. Assim, com essa substituic¸a˜o, teremos
x3/2 − 1
x1/2 − 1 =
a3 − 1
a− 1 =
(a2 + a+ 1) (a− 1)
a− 1 = a
2 + a+ 1 =
= (x1/2)2 + x1/2 + 1.
Portanto,
lim
x→1
x3/2 − 1
x1/2 − 1 = limx→1 ((x
1/2)2 + x1/2 + 1) = lim
x→1
(x+ x1/2 + 1) = 3
Exerc´ıcio 2
a = 1
Exerc´ıcio 3
a = 2 ou a = 0.
Exerc´ıcio 5
(a) lim
x→−2
g(x) na˜o existe
(b) lim
x→0
g(x) = 2
(c) lim
x→2
g(x) = −3
(d) lim
x→−3
g(x) = 2
(e) g(−2) = 0
(f) g(2) = 2
2
Ca´lculo I Gabarito Aulas 01 - 02 - 03
Gabarito dos Exerc´ıcios da Aula 03
Exerc´ıcio 1
(a) lim
x→2
[
f(x) + g(x)− h(x)] = −2 ; (b) lim
x→2
|f(x) g(x) − h(x)| = 5 ;
(c) lim
x→2
[f(x)− g(x)
h(x)
]
= −1 ; (d) lim
x→2
√
h(x)− f(x) = 2 .
Exerc´ıcio 2
a) Verdadeira. b) Falsa.
c) Falsa. d) Verdadeira.
Exerc´ıcio 3
(a) lim
x→2−
√
4− x2 = 0 (b) lim
x→8
x− 8
3
√
x− 2 = 12
(c) lim
t→−3+
3 + t√
9− t2 = 0 (d) limx→0
√
x2 + 4− 2
x2
= 1/4
(e) lim
x→2
x3/2 − 2√2
x1/2 −√2 = 6 (f) limx→1
1− x
2−√x2 + 3 = 0
No item (e) fac¸a x1/2 = a. Assim,
x3/2 − 2√2
x1/2 −√2 =
a3 − 2√2
a−√2 =
(a−√2)(a2 + a√2 + 2)
a−√2 = a
2+ a
√
2+ 2 =
= (x1/2)2+x1/2
√
2+2 = x+x1/2
√
2+2 = x+
√
2 x+2.
Portanto, lim
x→2
x3/2 − 2√2
x1/2 −√2 = limx→2 x+
√
2 x+ 2 = 6.
No item (f) multiplique numerador e denominador pelo conjugado do
denominador, obtendo
lim
x→1
1− x
2−√x2 + 3 = limx→1
(1− x) (2 +√x2 + 3)
(2−√x2 + 3) (2 +√x2 + 3) = limx→1
(1− x) (2 +√x2 + 3)
1− x2 =
=
4
2
= 2.
3
Ca´lculo I Gabarito Aulas 01 - 02 - 03
Exerc´ıcio 4
lim
x→2−
f(x) = 3, lim
x→2+
f(x) = 1 , lim
x→2
f(x) na˜o existe.
Exerc´ıcio 5
a = 4 ou a = 0.
4