Comunicações Analógicas e Digitais_Rogério Muniz Carvalho

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Rogerio Muniz Carvalho
A reproduc;ao total ou parcial desse texto,
sem expressa autorizac;ao do autor,
e crime previsto na Lei de Direitos Autorais
Informac;oes e vendas:
rmuniz@terra.com.br
Vitoria - ES
2008
Engenheiro Eletr6nico, graduado em 1967 pelo Instituto Tecnol6-
gico de Aeronautica (ITA) - Sao Jose dos Campos (SP)
com P6s-Gradua9ao Lato Sensu em Analise de Sistemas pela
Universidade Federal do Espfrito Santo (UFES) -
Vit6ria (ES), em 1990.
Professor Adjunto da Universidade Federal do Espfrito Santo
(UFES)
Nascido em Vit6ria (ES) em 1944, casou-se em 1968 com Maria Tereza e tem duas fi-
Ihas: Larissa e Leticia.
Iniciou sua vida profissional na Empresa Brasileira de Telecomunica90es (EMBRATEL)
em 02/01/1968. Atuou, como Engenheiro de Telecomunica90es, na Divisao de Radio e Fontes de
Energia do Departamento de Desenvolvimento (Rio de Janeiro), na Divisao de Engenharia do De-
partamento de Opera9ao (Rio de Janeiro) e na Assessoria de Engenharia da Regiao de Opera9ao
Sui (Sao Paulo). Chefiou a Se9ao Tecnica do Distrito de Opera9ao de Blumenau (Santa Catarina).
Transferiu-se para a Telecomunica90es do Espfrito Santo S.A.(TELEST), em 1973. Ela-
borou 0 Plano Diretor de Telecomunica90es do Estado do Espfrito Santo (1973), organizou e chefiou
o Departamento de Engenharia (1974 a 1975), chefiou 0 Departamento de Engenharia de Transmis-
sao (1976 a 1987) e a Assistencia da Diretoria de Opera90es (1987 a 1990). Atuou como Engenheiro
na Divisao de Projetos de Equipamentos e no Departamento de Planejamento Tecnico (1990 a 1998).
Coordenou 0 Grupo de Trabalho SDH (GT-SDH) encarregado da implanta9ao do Sistema de
Transmissao SDH (Hierarquia Digital Sfncrona) Estadual e Metropolitano da TELEST, desde a elabo-
ra9ao do Edital de Licita980 ate a conclusao dos Testes de Aceita9ao do Sistema implantado (1996 a
1997). Aposentou-se na TELEST em novembro de 1998.
Foi Relator das Praticas TELEBRAS sobre Refletores Passivos compreendendo Es-
pecifica90es Construtivas, Procedimentos de Testes de Aceita9ao em Fabrica, Procedimentos de
Testes de Aceita9ao em Campo e Procedimentos de Projeto de Enlaces Radio usando Refletores
Passivos.
Foi Vice-Coordenador da Comissao Brasileira de Telefonia e Telegrafia XV (CBTT XV -
Sistemas de Transmissao), do Ministerio das Comunica90es, nos perfodos de agosto de 1980 a
outubro de 1983 e novembro de 1985 a dezembro de 1987.
Foi membro da Delega9ao Brasileira as reunioes do Grupo de Estudos XV do CCITT
(Comite Consultif Internacional de Telephonie et Telegraphie) em Genebra - Sui9a Uulho de 1981) e
em Buenos Aires - Argentina (outubro de 1981).
Fez cursos de especializa980 na NEC (Nippon Electric Company) e na NTTPC (Nippon
Telephone and Telegraph Public Corporation) em T6quio - Japao (1968), na ALCATEL TELECOM
em Vimercate -Italia (1996) e na BOSCH TELECOM em Backnang - Alemanha (1997).
E Professor do Departamento de Engenharia Eletrica da Universidade Federal do Espf-
rito Santo (UFES) em Vit6ria (ES) desde 1976, tendo ministrado cursos de Principios de Comunica-
90es I e II, Eletromagnetismo I, Teoria de Propaga9ao, Teoria de Antenas e Microondas.
Foi professor do curso de Engenharia de Telecomunica90es da Faculdade Novo Milenio
em Vila Velha (ES) de 2004 a 2007, onde lecionou as disciplinas Antenas e Propaga9ao e Co-
munica90es Digitais.
o autor agradece a sua esposa, Maria Tereza, pelo apoio, dedicac;;ao e incentivo que 0 levaram a
escrever este livro e por sua compreensao e paci€mcia nas muitas noites e fins de seman a dispendi-
dos nessa tarefa.
PREFAclO
"Quem nao pensa pela propria cabe~a, nao pensa"
Oscar Wilde
escritor e dramaturgo irlandes
(1854 -1900)
Notas de aulas das disciplinas Principios de Comunicayoes I e II ministradas no Depar-
tamento de Engenharia Eletrica da Universidade Federal do Espfrito Santo desde 1976, revisadas e
adaptadas, resultaram no livro "Principios de Comunica90es", publicado como produ980 indepen-
dente (editada pelo autor), com primeira ediyao em 1999, seguida de outras duas ediyoes (2000 e
2003). Numa ampla reformulayao daquele texto visando tornar a exposiyao mais clara, abrangente e
consistente, topicos nao essenciais foram suprimidos e outros, mais importantes, foram inclufdos ou
detalhados. Face as significativas alterayoes em relayao ao texto original, 0 resultado e agora
apresentado com novo tftulo.
Esse livro tem por objetivo apresentar conceitos basicos de Sistemas de Comunicayoes
Eletricas, necessarios a formayao de engenheiros e tecnicos na area de Telecomunicayoes mas
pode servir tambem como referencia para 0 profissional ja graduado. Apresenta 0 essencial ao en-
tendimento de Sistemas de Comunicayoes Eletricas com embasamento teorico adequado a um curso
de graduayao em Engenharia Eletrica, sem excessiva complexidade - desnecessaria a atividade
profissional.
Um engenheiro nao deve ser um mero executor de "receitas de bolo". E necessario que
tenha um solido embasamento conceitual, assim como raciocinio logico e matematico. Deve, princi-
palmente, acostumar-se a pensar e tirar suas proprias conclusoes a partir de sua base conceitual.
Porem 0 engenheiro tambem nao deve ter a cabeya nas nuvens, desligando-se da realidade das
aplicayoes de engenharia pois 0 mundo nao e um conjunto de equayoes diferenciais. A Matematica e
para 0 engenheiro uma ferramenta e todo modele matematico deve ser visto como 0 que realmente e
- um modele que tenta retratar a realidade, evidentemente com limitayoes. A tecnologia evolui conti-
nuamente e 0 engenheiro deve adaptar-se a essa evoluyao e nao se limitar a repetir eternamente 0
passado. Esse 0 texto busca fazer uma conexao com 0 mundo real com exemplos, circuitos e aplica-
yoes praticas, procurando fixar os conceitos apresentados.
Muitos dos detalhamentos matematicos sac apresentados em Ap{mdices, para nao
quebrar a sequencia do texto. Alguns dos apendices foram acrescentados para esclarecer duvidas
levantadas durante a apresentayao de cursos. Outros para, ao esclarecer minhas proprias duvidas,
compartilhar com alunos e leitores minhas pequenas "descobertas" - relayoes normalmente apre-
sentadas sem demonstrayao em outros textos ou simplesmente nao apresentadas. Os Apendices
servem ainda para desenvolver algumas estruturas de raciocinio matematico. Como costumo dizer a
meus alunos, e necessario "exercitar os neuronios" e nao aceitar pura e simplesmente as coisas sem
um real entendimento. E esse e, afinal, 0 objetivo desse livre: levar 0 leitor a pensar com sua propria
cabeya e criar uma base conceitual solida para desenvolver seus estudos em Sistemas de Teleco-
municayoes.
Os Capftulos 1 a 8 tratam das ferramentas matematicas basicas, sistemas de modulayao
analogica, rufdo termico e seu efeito sobre os sistemas analogicos, cobrindo 0 programa do curso de
Principios de Comunicayoes I. Os Capftulos 9 a 17 tratam dos sistemas de comunicayao digital,
concentrando a enfase no sistema PCM e discutindo cada uma das eta pas da transmissao digital de
sinais, cobrindo 0 programa do curso de Principios de Comunicayoes II.
Alguns exercicios para fixayao dos conteudos sac apresentados ao final de cada capf-
tulo. Ao final do texto sac apresentadas as respostas desses exercicios assim como alguns exerci-
cios resolvidos e referencias bibliograficas, que visam auxiliar no aprofundamento dos conceitos
apresentados.
Nao se pretende que essa seja uma obra completa e acabada - uma tarefa impossfvel -
mas sim uma visao introdutoria a essa vasta e fascinante area de conhecimento - Sistemas
de
Comunicayoes Eletricas.
Quaisquer correyoes, crfticas e sugestoes serao sempre benvindas atraves do e-mail:
rmuniz@terra.com.br.
Rogerio Muniz Carvalho
Engenheiro de Eletronica
Professor Adjunto do DEL·UFES
1-
1.1.
1.2.
1.3.
2-
2.1.
1.4.
1.5.
1.6.
INTRODUCAo
SISTEMA DE COMUNICA<;OES ELETRICAS
SISTEMA TELEFONICO
SINAIS ELETRICOS
1.3.1. SINAIS ANALOGICOS E SINAIS DIGITAIS
1.3.2. SINAIS DETERMINisTICOS E SINAIS ALEATORIOS
1.3.3. SINAIS PERIODICOS E NAo-PERIODICOS
1.3.4. SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTENCIA
1.3.5. REPRESENTA<;Ao DE SINAIS POR FUN<;OES
DOMiNIO DO TEMPO E DOMiNIO DE FREQUENCIA
REPRESENTA<;Ao FASORIAL
ORGANISMOS NORMATIVOS
1.6.1. UIT - UNIAo INTERNACIONAL DE TELECOMUNICA<;OES
1.6.2. TELEBRAs - TELECOMUNICA<;OES BRASILEIRAS SA
1.6.3. ANATEL - AGENCIA NACIONAL DE TELECOMUNICA<;OES
ALGUNS EVENTOS NA HISTORIA DAS COMUNICA<;OES
EXERCiclOS
ANALISE ESPECTRAL
SERlE TRIGONOMETRICA DE FOURIER
2.1.1. FUN<;Ao PERIODICA DA VARIAVEL TEMPO
CONDI<;OES DE SIMETRIA
2.2.1. FUN<;Ao PAR
2.2.2. FUN<;Ao IMPAR
2.2.3. COEFICIENTES DA SERlE DE FOURIER DE FUN<;OES PARES E iMPARES
2.2.4. FUN<;Ao SEMI-SIMETRICA
2.2.5. CONDI<;OES DE SIMETRIA SIMULTANEAS
2.2.6. EXEMPLOS DE APLlCA<;Ao
SERlE EXPONENCIAL DE FOURIER
DISTRIBUI<;Ao DA POTENCIA NO ESPECTRO
TRANSFORMADA DE FOURIER
PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER
2.6.1. L1NEARIDADE
2.6.2. ESCALA DE TEMPO
2.6.3. DUALIDADE
2.6.4. AREA DEBAIXO DE x(t)
2.6.5. AREA DEBAIXO DE X(f)
2.6.6. DESLOCAMENTO NO TEMPO
2.6.7. DERIVA<;Ao NO DOMiNIO DO TEMPO
2.6.8. INTEGRA<;Ao NO DOMINIO DO TEMPO
2.6.9. DESLOCAMENTO EM FREQUENCIA
FUN<;Ao IMPULSO (DELTA DE DIRAC)
2.7.1. PROPRIEDADES DA FUN<;Ao IMPULSO
2.7.2. TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUN<;Ao IMPULSO
APLlCA<;OES DA FUN<;Ao IMPULSO
2.8.1. FUN<;Ao CC
2.8.2. FUN<;Ao EXPONENCIAL COMPLEXA
2.8.3. SINAL SENOIDAL
15
15
16
17
18
18
18
18
22
25
25
27
27
27
27
27
30
31
31
32
33
33
34
34
35
36
37
41
44
45
48
48
49
49
50
50
50
51
52
52
55
55
56
56
56
56
56
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
3-
3.1.
3.2.
3.3.
4-
4.1
2.8.4. FUNQAo SINAL
2.8.5. DEGRAU UNITARIO
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIODICOS
CONVOLUQAo
2.10.1. TEOREMA DA CONVOLUQAo NO TEMPO
2.10.2. TEOREMA DA CONVOLUQAo EM FREQUENCIA
2.10.3. CONVOLUQAo COM A FUNQAo IMPULSO
TEOREMA DA AMOSTRAGEM
DENSIDADE ESPECTRAL DE ENERGIA E DE POTENCIA
2.12.1. DENSIDADE ESPECTRAL DE ENERGIA
2.12.2. DENSIDADE ESPECTRAL DE POTENCIA
CORRELAQAo CRUZADA E AUTOCORRELAQAo
SINAIS E ESPECTROS
EXERCiclOS
TRANSMISsAo EM SISTEMAS LlNEARES
SISTEMAS L1NEARES
RESPOSTA NO TEMPO
FUNQAo DE TRANSFERENCIA
3.3.1. DETERMINAQAO DA FUNQAo DE TRANSFERENCIA
3.3.2. GANHO E ATENUAQAo
3.3.3. ATRASO DE FASE
3.3.4. ATRASO DE GRUPO
3.3.5. SIGNIFICADO DE GANHO/ATENUAQAo DE UM SLIT
REALIZABILIDADE FISICA
3.4.1. CRITERIO DE CAUSALIDADE
3.4.2. CRITERIO DE PALEY-WIENER
DISTORQAo LINEAR
CONDIQOES PARA TRANSMlssAo SEM DISTORQAo
3.6.1. DISTORQAo DE AMPLITUDE
3.6.2. DISTORQAo DE FASE (OU DE ATRASO)
3.6.3. EFEITO DE DISTORQAo
SISTEMAS L1NEARES EM SERlE
FILTROS
3.8.1. FILTRO PASSA-BAIXA
3.8.2. FILTRO PASSA-ALTA
3.8.3. FILTRO PASSA-FAIXA
3.8.4. FILTRO REJEITA-FAIXA
FILTRO PASSA-BAIXA IDEAL
3.9.1. RESPOSTA DO FPB IDEAL A UMA EXCITAQAo IMPULSO
3.9.2. RESPOSTA DO FPB IDEAL A UMA EXCITAQAo DEGRAU
3.9.3. RES POSTA DO FPB IDEAL A UMA EXCITAQAo PULSO RETANGULAR
CIRCUITO RESSONANTE
3.10.1. FILTRO PASSA-BAIXA
3.10.2. FILTRO PASSA-FAIXA
EXERCiclOS
SISTEMAS DE MODULACAo
MUL TIPLEXAQAo
4.1.1. MULTIPLEX POR DIVISAo DE FREQUENCIA (FDM)
4.1.2. MULTIPLEX POR OIVISAO DE TEMPO (TOM)
57
57
58
59
59
60
60
60
61
61
63
63
64
67
69
69
69
69
70
72
73
73
74
75
75
75
76
76
77
77
78
78
79
79
79
80
80
80
80
81
82
83
83
85
88
91
91
91
92
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
4.2.
5-
5.1.
6-
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
MODULACAo
MODULACAo DE AMPLITUDE
TEOREMA DA MODULACAo REVISITADO
5.1.1. MODULADOR EM ANEL
MODULACAo AM-DSB/TC
5.2.1. [NDICE DE MODULACAO DE AMPLITUDE
5.2.2. ESPECTRO AM-DSB/TC
5.2.3. DIAGRAMA FASORIAL
5.2.4. MODULADOR AM-DSB/TC
5.2.5. DEMODULADOR AM-DSBITC
MODULACAo AM-DSB/SC
5.3.1. ESPECTRO AM-DSB/SC
5.3.2. MODULADOR AM-DSB/SC
5.3.3. DEMODULADOR AM-DSB/SC
5.3.4. SINCRONISMO DO OSCILADOR LOCAL DE RECEPCAo
5.3.5. METODOS DE SINCRONIZACAO
MODULACAo AM-SSB/SC
5.4.1. ESPECTRO AM-SSB/SC
5.4.2. MODULADOR AM-SSB/SC
5.4.3. DEMODULACAo AM-SSB/SC
5.4.4. SINCRONISMO EM AM-SSB/SC
5.4.5. SINCRONIZACAo EM AM-SSB/SC
MODULACAo AM-SSB/TC
POTENCIA DE SINAL MODULADO EM AMPLITUDE
5.6.1. AM-DSBITC
5.6.2. AM-DSB/SC
5.6.3. AM-SSB/SC
5.6.4. AM-SSBITC
COMPARACAo ENTRE SISTEMAS AM
APLlCA<;OES DE MODULACAo DE AMPLITUDE
5.8.1. CONVERSOR
5.8.2. RADIODIFusAo AM
5.8.3. ANALISADOR DE ESPECTRO
5.8.4. MULTIPLEX FDM
5.8.5. TELEVISAo
EXERCfclOS
MODULACAo ANGULAR
[NDICE DE MODULACAo ANGULAR
FREQUENCIA INSTANTANEA
MODULACAo DE FASE
MODULACAo DE FREQUENCIA
CONVERSAo PM-FM E FM-PM
COMPARACAo ENTRE FM E PM
POTENCIA DO SINAL MODULADO
ESPECTRO DO SINAL MODULADO EM ANGULO
6.8.1. SISTEMA DE FAIXA ESTREITA
6.8.2. SISTEMA DE FAIXA LARGA
6.8.3. DETERMINACAo DAS FUNCOES DE BESSEL DE 1a ESPECIE
ESPECTRO SIGNIFICATIVO
9.3
95
95
96
99
99
100
101
101
102
103
103
104
104
104
105
106
107
108
109
110
110
111
112
112
112
113
113
113
114
114
116
117
118
120
124
127
127
127
128
128
128
129
130
130
130
131
133
134
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
6.10. NAO-L1NEARIDADE DO PROCESSO DE MODULA<;Ao ANGULAR 135
6.11. METODO DO ZERO DE BESSEL 136
6.12. MODULADOR 138
6.12.1.MODULADOR FM 138
6.12.2.MODULADOR PM 139
6.13. DEMODULADOR 141
6.13.1.DEMODULADOR FM 141
6.13.2.DEMODULADOR PM 142
6.14. APLlCA<;OES 143
EXERCiclOS 145
7- RUIOO TERMICO 149
7.1. ORIGEM DO RUiDO TERMICO 149
7.2. DENSIDADE ESPECTRAL DE RufDO TERMICO 149
7.3. FIGURA DE RuiDO 150
7.4. LARGURA DE FAIXA EQUIVALENTE DE RuiDO 151
7.5. SISTEMAS L1NEARES EM SERlE 151
7.6. TEMPERATURA EQUIVALENTE DE RufDO 152
7.7. DESCRI<;Ao ESTATisTICA DO RuiDO TERMICO 152
7.8. EFEITO INTERFERENTE DO RuiDO TERMICO 155
EXERCiclOS 156
8- RUIOO EM SISTEMAS ANALOGICOS 157
8.1 RUfDO TERMICO NUM SISTEMA DE COMUNICA<;OES 157
8.2. EFEITO DO RuiDO TERMICO SOBRE 0 SINAL RECEBIDO 157
8.3. DENSIDADE ESPECTRAL DE RuiDO DEMODULADO 159
8.4. SINAL DE TESTE DE REFERENCIA 161
8.5. RELA<;AO SINALlRUiDO E RuiDO EM dBmO 163
8.6. PREENFASE E DEENFASE 164
8.7. VALOR DE SISTEMA 168
8.8. RuiDO VARIAvEL, FIXO E TOTAL 168
8.9. L1MIAR DE RECEP<;Ao 170
8.10. COMPARA<;AO ENTRE SISTEMAS DE MQDULA<;Ao ANALOGICA 171
EXERCiclOS 173
9- INTROOuc;Ao A TEORIA OA INFORMAc;Ao 175
9.1. FONTE DE INFORMA<;Ao 175
9.2. QUANTI DADE DE INFORMA<;Ao E ENTROPIA 176
9.3. CODIFICA<;Ao DE FONTE 178
9.4. TRANSMISsAo DE TEXTO 179
9.4.1.TELEGRAFO 179
9.4.2.TELEX 180
9.4.3.INTERNET 183
9.4.4.EVOLU<;Ao DA COMUNICA<;Ao DE TEXTO 184
9.5. SINAL ELETRICO DIGITAL 184
9.6. TEOREMA DE NYQUIST 186
9.7. CANAL DE NYQUIST 189
9.8. CONVERSAo BINARIO-MULTINivEL 190
9.9. LIMITE DE SHANNON 191
EXERCiclOS 193
10- MODULACAo DE PULSOS 195
10.1. A ORIGEM 195
10.2. MULTIPLEX POR DIVISAo DE TEMPO 195
10.3. MODULAC;Ao ANALOGICA DE PULSOS 196
10.3.1. MODULAC;Ao DE AMPLITUDE DE PULSO (PAM) 196
10.3.2. MODULAC;Ao DE LARGURA DE PULSO (PWM) 197
10.3.3. MODULAC;Ao DE poslC;Ao DE PULSO (PPM) 197
10.4. SISTEMAS DE MODULAC;Ao DIGITAL DE PULSOS 198
10.4.1. MODULAC;Ao POR CODIGO DE PULSOS (PCM) 198
10.4.2. MODULAC;Ao DELTA (DM) 200
10.4.3. PCM DIFERENCIAL ADAPTATIVO (ADPCM) 204
10.5. QUALIDADE DE SINAL DIGITAL 205
10.6. APLlCAC;OES DE SISTEMAS DIGITAIS 206
11 - AMOSTRAGEM DE SINAIS 209
11.1. TEOREMA DA AMOSTRAGEM REVISITADO 209
11.2. AMOSTRAGEM NATURAL 209
11.3. AMOSTRAGEMINSTANTANEA 210
11.3.1. AMOSTRADOR COM RETENC;Ao
210
11.4. FILTRO RECUPERADOR 211
11.5. DISTORC;Ao DE SOBREPOSIC;Ao 212
EXERClclOS 215
12 - QUANTIZA<;AO 217
12.1. QUANTIZAC;Ao DE SINAIS DE VOZ 217
12.2. DISTORC;Ao COM QUANTIZAC;Ao UNIFORME 219
12.3. QUANTIZAC;Ao NAo UNIFORME 221
12.3.1. COMPANSAo INSTANTANEA (ANALOGICA) 221
12.3.2. COMPANSAo DIGITAL (CONVERSAo DE CODIGO) 223
12.3.3. CODEC NAO-L1NEAR 223
12.3.4. VERSOES SEGMENTADAS 223
12.4. DISTORC;Ao COM QUANTIZAC;Ao NAo UNIFORME 226
12.4.1. RELAC;Ao SINAUDISTORC;Ao DE QUANTIZAC;Ao PARA A LEI A CONTINUA 228
12.4.2. RELAC;Ao SINALlDISTORC;Ao DE QUANTIZAC;Ao PARA A LEIIl CONTINUA 229
12.4.3. RELAC;Ao SINAUDISTORC;Ao DE QUANTIZAC;Ao PARA LEI A SEGMENTADA 229
12.4.4. MEDIDA DA DISTORC;Ao DE QUANTIZAC;Ao 230
12.5. RUIDO DE CANAL VAGO 231
EXERClclOS 232
13 - CODIFICA<;AO PCM 233
13.1. RECOMENDAC;Ao G.711 DO ITU-T 233
13.1.1. TAXA DE AMOSTRAGEM 233
13.1.2. LEIS DE CODIFICAC;Ao 233
13.1.3. TRANSMlssAo DE SINAIS DE CARACTER 235
13.1.4. RELAC;Ao ENTRE AS LEIS DE CODIFICAC;Ao E 0 NIVEL DE AUDIO 235
13.2. CODIFICAC;Ao SEGUNDO A LEI A 236
13.3. NIVEIS RELATIVOS DE TRANSMlssAo E DE RECEPC;Ao 237
13.4. EXEMPLO DE CODIFICAC;AoIDECODIFICAC;Ao 238
13.5. IMPLEMENTAC;Ao DE CODIFICADOR E DECODIFICADOR 239
13.5.1. CODIFICADOR 239
13.5.2. DECODIFICADOR 242
EXERClclOS 245
14 - MULTIPLEX PCM PRIMARIO 247
14.1. A ORIGEM 247
14.1.1. SINALIZACAo 247
14.2. RECOMENDACOES DO ITU-T 250
14.3. QUADRO PCM PRIMARIO DA RECOMENDACAo G.732 251
14.4. INTERVALO DE TEMPO 0 251
14.4.1. ALiNHAMENTO DE QUADRO 252
14.4.2. MONITORACAo DE ERRO CRC-4 253
14.4.3. ALARMES 255
14.5. INTERVALOS DE TEMPO 1 A 15 E 17 A 31 256
14.6. INTERVALO DE TEMPO 16 256
EXERCICIOS 258
15- MULTIPLEXACAO DIGITAL 259
15.1. INTRODUCAO 259
15.2. MEMORIA ELASTICA 260
15.3. JUSTIFICACAo 262
15.4. MUL TIPLEXACAo PDH EUROPEIA 264
15.4.1. QUADROS PDH 265
15.4.2. MULTIPLEXADORES PDH 267
15.5. HIERARQUIA DIGITAL SiNCRONA (SDH) 268
15.5.1. CONTAINER VIRTUAL VC-12 270
15.5.2. UNIDADE TRIBUTARIA TU-12 272
15.5.3. CONTAINER VIRTUAL VC-3 274
15.5.4. UNIDADE TRIBUTARIA TU-3 275
15.5.5. CONTAINER VIRTUAL VC-4 275
15.5.6. MULTIPLEXACAo 275
15.5.7. JUSTIFICACAo DE VC-4 277
15.5.8. CABECALHO DE SECAo (SOH - SECTION OVERHEAD) 278
15.5.9. MUL TIPLEXADORES SDH 280
EXERCICIOS 282
16 - TRANSMISSAO DIGITAL EM BANDA BASE 283
16.1. SINAL ELETRICO DIGITAL REVISITADO 283
16.1.1. SINAL DIGITAL BINARIO 283
16.1.2. SINAL DIGITAL MULTINIVEL 284
16.2. ESPECTRO DE SINAL DIGITAL 284
16.2.1. SINAL BINARIO 285
16.3. TRANSMISsAo EM BANDA BASE 288
16.3.1.0 CANAL DE NYQUIST REAL 288
16.3.2. SECAo DE REGENERACAo 289
16.4. o PROCESSO DE REGENERACAo 290
16.4.1. EQUALIZACAo E AMPLIFICACAo 291
16.4.2. DETECAO DE SiMBOLOS 291
16.4.3. RECUPERACAo DE RELOGIO 292
16.5. CODIFICACAo DE L1NHA 295
16.5.1. CODIFICACAo HDB-3 296
16.5.2. CODIFICACAo CMI 297
16.5.3. INTERFACES ELETRICAS RECOMENDADAS PELO ITU-T 298
16.6. EMBARALHAMENTO 298
16.7. RuiDO TERMICO E ERRO 300
16.7.1. L1MIAR DE DECISAo OTIMO 300
16.7.2. ERRO NO PROCESSO DE DECISAo NRZ UNIPOLAR 300
16.7.3. ERRO NO PROCESSO DE DECISAo AMI 301
16.7.4 ERRO NO PROCESSO DE DECISAo MULTINivEL 303
16.8. IMPORTANCIA DA RELA<;Ao SINALIRUIDO 305
16.9. TEB EM SISTEMAS DIGIT AIS REAIS 306
EXERCiclOS 308
17 - SISTEMAS DIGITAIS DE RF 309
17.1. INTRODU<;Ao 309
17.2. SE<;Ao DE REGENERA<;Ao DE RF 310
17.3. MODULA<;Ao DE AMPLITUDE - ASK 311
17.3.1. BASK - ASK BINARIO 311
17.3.2. ESPECTRO DO SINAL ASK 311
17.3.2. DEMODULA<;Ao ASK 312
17.4. MODULA<;Ao DE FREQUENCIA - FSK 313
17.4.1. ESPECTRO DO SINAL BFSK 313
17.4.2. DEMODULADOR BFSK 315
17.5. MODULA<;AO DE FASE - PSK 315
17.5.1. DEMODULADOR PSK 316
17.5.2. MODULA<;AO DE FASE DIFERENCIAL - DPSK 316
17.6. DIAGRAMA DE CONSTELA<;Ao 318
17.7. MODULA<;Ao DE FASE EM QUADRATURA (QPSK) 318
17.7.1. DEMODULADOR QPSK 320
17.8. MODULA<;Ao OQPSK 321
17.9. MODULA<;Ao DE AMPLITUDE EM QUADRATURA - QAM 322
17.9.2. DEMODULADOR QAM 323
17.10. VANTAGEM DA MODULA<;Ao QAM 324
17.11. TEB DE SISTEMAS DE MODULA<;Ao DIGITAL 324
17.11.1. SINAL PRK 325
17.11.2. SINAL M-PSK 325
17.11.3. SINAL M-QAM 326
17.11.4. ANALISE COMPARATIVA DE SISTEMAS DIGITAIS DE RF 327
17.12. ENLACES RADIO DIGITAIS 327
EXERCiclOS 330
APENDICE 331
A. RELA<;OES E DEMONSTRA<;OES 331
A.1. FUN<;Ao Q(x) 331
A.2. SOMA DOS QUAD RADOS DE NUMEROS INTEIROS 331
A.3. DEMONSTRA<;Ao DA RELA<;Ao fb3 - fa3 ~ 3bfm 2 332
B. UNIDADES LOGARiTMICAS 333
B.1. dB (decibel) 333
B.2. dBm (dB em rela9ao a 1 mW) 333
B.3. dBr (dB em rela9ao ao ponto de referencia) 334
B.4. dBmO ( dBm no ponto de nfvel relativo zero) 335
C. SINAL DE VOl 336
C.1. FORMAS DE ONDA 336
C.2. DENSIDADE ESPECTRAL 336
C.3. DISTRIBUI<;Ao ESTATisTICA DO SINAL DE VOl 337
C.4. ESPECTRO SIGNIFICATIVO 338
C.5. EFEITO INTERFERENTE DO RuiDO SOBRE 0 SINAL DE VOl 338
D. LARGURA DE FAIXA EQUIVALENTE DE RuiDO 339
D.1. DEFINIQAO
D.2. SISTEMA DE BANDA BASE
D.3. SISTEMA DE RF
E. RES POSTA DO CANAL DE NYQUIST
F. SEQAo DE REGENERAQAo
F.1. RESPOSTAAO SINAL DIGITAL
F.2. POTENCIA DO SINAL TRANSMITIDO
F.3. POTENCIA DO SINAL RECEBIDO
G. AMI COM FATOR DE OCUPAQAo DE 100% OU DE 50%?
H. RECUPERAQAo DE PORTADORA
H.1. LOOP DE COSTAS ANALOGICO
H.2. LOOP DE COSTAS DIGITAL
H.3. LOOP DE COSTAS PARA PORTADORA MODULADA BPSK
HA. LOOP DE COSTAS PARA PORTADORA MODULADA4-PSK
H.5. LOOP DE COSTAS PARA PORTADORA MODULADA 16-QAM
I. ESPECTRO DE SINAL DIGITAL NOS FORMATOS HDB-3 E CMI
J. DENSIDADE ESPECTRAL DE POTENCIA DE UM SINAL DIGITAL
J.1. FUNQAo DE AUTOCORRELAQAo
J.2. FORMULA DE POISSON
J.3. DENSIDADE ESPECTRAL DE SINAL DIGITAL
K. ESTATISTICA
K.1. VARIA VEL ALEATORIA DISCRETA
K.1.1. PROBABILIDADE
K.1.2. PROBABILIDADE CONJUNTA
K.1.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL
K.1A. EVENTOS ESTATISTICAMENTE INDEPENDENTES
K.2. VARIAvEL ALEATORIA CONTINUA
K.2.1. DISTRIBUIQAo CUMULATIVA
K.2.2. FUNQAo DENSIDADE DE PROBABILIDADE
K.3. MEDIAS ESTATISTICAS
K.3.1. VALOR MEDIO
K.3.2. VALOR QUADRATICO MEDIO
KA DISTRIBUIQOES ESTATISTICAS
K.5. PROCESSOS ESTocAsTICOS
K.5.1. PROCESSOS ESTocAsTICOS ESTACIONARIOS
K.5.2. MEDIA TEMPORAL
L. RECOMENDAQAo G.711
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
339
339
340
342
345
345
345
345
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350
350
350
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352
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361
361
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362
362
362
362
362
363
363
364
373
397
1 - Introdu~ao
1.1. SISTEMA DE COMUNICAC;OES ELETRICAS
Comunica(;ao e 0 processo pelo qual a informa(;ao gerada em uma fonte e transferida
a outro ponto - 0 des tin 0 da informa9ao. Desde os prim6rdios da Humanidade 0 ser humane buscou
se comunicar com seus semelhantes. As informa90es geradas na mente de um ser humane (fonte)
sac manifestadas fisicamente atraves de uma mensagem, que pode assumir varias formas, tais
como sons (voz ou musica), imagens, textos e muitas outras.
Quando fonte e destino estao pr6ximos um do outro, a comunica9ao e direta e imediata
tal como na conversa9ao entre duas pes soas num mesmo ambiente. Quando a distancia entre elas
aumenta, no entanto, 0 processo de comunica9ao direta se torna mais dificil, se nao impossivel. Ha
entao a necessidade de um sistema de te/ecomunica(;ao - um conjunto de meios e dispositivos que
permita que fonte e destino se comuniquem a distancia.
Na Hist6ria da Humanidade varios sistemas de telecomunica9ao foram utilizados: a
mensagem gritada e repetida em morros intermediarios por repetidores humanos, os sinais visuais
com bandeirolas, tochas ou espelhos, assim como os sinais de fuma9a e de tambores tornados fa-
mosos nos filmes de indios, e outras tantas formas.
Em 18350 americano Samuel Finley Breese Morse (1791-1872), professor de Artes da
Universidade de Nova York, visualizou uma forma de transmitir textos utilizando a eletricidade - 0
te/egrafo e/etrico. Morse patenteou seu invento em 1838, porem somente em 1844 conseguiu
con-
c1uir sua primeira linha telegrafica, entre as cidades de Washington e Baltimore, com financiamento
do Governo Americano. A patente do invento foi oferecida ao Governo americano por US$ 100.000,
mas este a recusou por considerar 0 invento nao-rentavel. Morse conseguiu reunir capital com ami-
gos e criou uma empresa, a Western Telegraph Co, para explorar comercialmente seu invento. Inici-
ava-se assim a era das Comunica(;oes E/etricas.
Com a inven9ao do te/efone - que tornou possivel a conversa9ao entre pessoas - por
Alexander Graham Bell (1847-1922), um escoces radicado nos Estados Unidos da America, as co-
munica90es eletricas se ampliaram e ganharam cada vez mais importancia. Apresentado em 1876 na
Feira do Centenario da Independencia dos Estados Unidos da America, 0 invento de Bell chamou
aten9ao devida a presen9a na Feira do Imperador do Brasil, D.Pedro II - que conhecia 0 trabalho de
Bell na educa9ao de surdos-mudos. Visitando 0 estande onde estava sendo apresentado 0 invento
do seu amigo Bell, D. Pedro II 0 testou pessoalmente, exclamando: "Meu Deus! /sso fa/a!", ao ouvir
Bell declamando um texto de Shakespere ao telefone. A imprensa americana, que cobria a visita do
imperador brasileiro, se encarregou de divulgar a inven9ao, que, um ana mais tarde, foi instalada no
Rio de Janeiro. Bell explorou comercialmente 0 usa do telefone atraves da Bell Telephone Co. nos
EUA e da Bell Canada, no pais vizinho.
Sistemas de comunica90es eletricas permitem a transmissao de informa9ao entre pontos
muito distantes entre si como, por exemplo, uma sonda espacial viajando alem dos Iimites do nosso
sistema planetario e uma esta9ao terrestre de controle.
Sistema de Comunica(;oes E/etricas e um conjunto de meios e dispositivos que per-
mite a transmissao de informa9ao entre dois pontos distantes entre si atraves de sinais eletricos. Em
geral a mensagem a ser transmitida e produzida em forma nao e/etrica, como por exemplo: voz
(pressao acustica), imagem visual (intensidade luminosa), texto (caracteres de um conjunto discreto)
e outras. 0 primeiro passo, num sistema de comunica90es eletricas, e converter a forma original da
mensagem num sinal eietrico (tensao/corrente eletrica), em geral acompanhando a forma de varia-
9ao da mensagem com 0 tempo (sinal anal6gico). Isso e feito num transdutor de entrada. 0 sinal
eletrico assim gerado e adaptado pelo transmissor ao meio fisico - 0 meio de transmissao (par
exemplo, par de fios metalicos, cabo coaxial, guia de ondas, fibra 6ptica ou simplesmente 0 espa90) -
que interliga os terminais de transmissao e de recep(;ao do sistema de te/ecomunica(;ao (= comu-
nica9ao a distancia), retirado do meio de transmissao e reconvertido ao formato eletrico original pelo
receptor e reconvertido ao formato da mensagem original por um transdutor de saida, para entrega
ao destino.
A Fig.1.1 (a) ilustra 0 diagrama de blocos de um sistema de comunica90es eletricas. A
Fig. 1.1 (b) ilustra um exemplo de sistema de comunica90es eletricas, utilizado para comunica9ao de
voz - 0 sistema de te/efonia.
Alguns efeitos indesejaveis afetam 0 sinal num sistema de comunica9ao:
• Atenua(;ao - e a redu9ao da amplitude do sinal por perdas ao longo do sistema de comunica9ao.
Pode, dentro de certos limites, ser compensada pelo usa de ampliadores.
• Distor(;ao - e a a/teray80 da forma de onda do sinal devida a imperfei9ao dos meios e dispositi-
vos utilizados. Deve ser minimizada no projeto dos dispositivos. Em alguns casos pode ser corri-
gida, ao menos em parte, por meio de dispositivos denominados equalizadores.
• Ruido - e a designa9ao generica de sinais aleatorios e imprevisiveis de fontes naturais internas e
externas ao sistema, que interferem com 0 sinal desejado. a ruido nao pode ser totalmente elimi-
nado. Por meio de um cuidadoso projeto de sistema deve-se limitar 0 seu efeito sobre 0 sistema
de comunica9ao a niveis aceitaveis.
• Interferencia - e a contaminar;:ao do sinal desejado por outros sinais do mesmo sistema ou de
outros sistemas proximos. Deve ser minimizado por um projeto de sistema adequado.
meio de trans-Fonte dutor Destinotransmissiio saida
mensagem sinal de sinal sinal sinal de mensagem
de entrada entrada transmitido recebido saida de saida
membrana
metalica~
pressiio \\\) Iii':
aCiistic;.)j) !iiii
I
~----------------~
capsula
transmissora
(
membrana
.', •• d. "N" )'''''''
It-t------toi~====-) t ~IH=:=J-]'~:...,.:=:.
.• receptora-------
Iinha de
transmissiio
Fig.1.1. Sistema de Comunicac;oes Eletricas
No exemplo do sistema de comunicar;:ao telef6nica representado na Fig.1.1 b, a mensa-
gem se apresenta sob a forma de ondas de pressao acustica (som) e e transformada em corrente
eletrica variavel com 0 tempo, acompanhando a forma de onda de pressao, por uma capsula trans-
missora (transdutor acustico-eletrico). Um exemplo de capsula transmissora e 0 microfone de carvao
- uma camara metalica que contem graos de carvao, fechada por uma membrana metalica (isolada
eletricamente da camara por um disco isolante). A vibrar;:ao da membrana pela ar;:ao da pressao
acustica comprime mais ou menos os graos de carvao no interior da camara, aumentando ou dimi-
nuindo a area de contato entre eles e com isso diminuindo ou aumentando a resistencia eletrica da
capsula (entre a membrana e a camara). Com uma tensao eletrica aplicada sobre a capsula, a varia-
r;:ao de corrente acompanha a forma de onda de pressao. A corrente eletrica variavel e transmitida
por uma linha de transmissao (por exemplo, um par de fios metalicos) ate a outra extremidade do
sistema onde a corrente eletrica variavel, aplicada a um eletroima, produz atra9ao e repulsao de uma
membrana metalica na capsula receptora (transdutor eletro-acustico) e com isso faz 0 ar proximo a
essa membrana vibrar, gerando ondas de pressao acustica (som). Nos primordios da telefonia, cada
telefone tinha sua propria bateria para alimentar a capsula transmissora - 0 sistema de bateria local,
como na Fig. 1.1b. A Iigar;:ao entre dois telefones era feita por um operador humano (normal mente
uma mulher) - a telefonista - em uma mesa telef6nica. A telefonia evoluiu para ligar;:6es automaticas
entre telefones efetuadas em centrais telefonicas, com todos os telefones ligados a central telef6ni-
ca alimentados pela bateria dessa central - 0 sistema de bateria central.
1.2. SISTEMA TELEFONICO
Uma conversa9ao telef6nica, pela propria natureza de troca de informar;:ao, requer
transmissao em ambas as direr;:6es - transmissao bidirecional. Uma linha de transmissao metalica
pode transmitir sinais simultaneamente nos dois sentidos. a telefone e, em geral, ligado da casa do
usuario ate a central telef6nica atraves um par de condutores metalicos - a linha de assinante. Para
utilizar ampliadores ou outros dispositivos de processamento de sinal, no entanto, e necessario que
os dois sentidos de transmissao utilizem "caminhos" separados, pois esses dispositivos sac unidi-
recionais (tem uma entrada e uma saida). E necessario entao um dispositivo que converta a trans-
missao bidirecional na Iinha de assinante em transmissao unidirecional separada nos sentidos de
transmissao e de recepr;:ao. Esse dispositivo e um transformador hibrido - ou simplesmente uma hi-
brida (denominar;:ao mais utilizada). A Fig.1.2 representa, de forma simplificada, a Iigar;:ao um telefo-
ne de usuario a central telef6nica no sistema de bateria central - que dispensa 0 uso de baterias in-
dividuais em cada telefone. A transmissao e bidirecional na linha de assinante e a hibrida usada na
central telef6nica separa os sentidos de transmissao e de receP9ao de modo a permitir 0 processa-
mento de sinal em dispositivos unidirecionais.
matriz de
capsula comuta!rao
r - - recl! iiora- - - ..,r - - - - - - - "I ~- - - ~~- ~ ~ - - - - - - - - - - - -,
: ~ d" :: 'It) I I I I I I I ;I[;l.-.- transmissaoL-.-J ISCO I II I II _ _ .~
: - 191:- I'!' ~'1 g,.ncho
1 I I I I ~ Transmissao
I ---+ I I I I 'd' " I
I I Transmissao I I I Un! IreClOna
I I I b'd' , I 11 I I I d dI I I I IreClOna 1 I I I I re e e
rede :de c' psula Ca'rhp~ I I I I b,lanceamento
balanceamento ransmlssora I I I I I I I I I - - :@]- N
I I I I 1 I I I I ~ -.....J recep!rao
I I I Iinha de I I ponte II I I ------~
I telefone I 1 assinante I I de ' I I I hibrida IL J~ JL ~~_~L J
alimenta!rao
corrente
i(t)
repouso discagem
fora comple-
do tamento
gancho
Fig.1.2. Transmissao telefonica
Cada linha de assinante a alimentada pela bateria da central telefonica atravas da res-
pectiva ponte de alimentat;ao. Com 0 telefone no gancho nao ha corrente na Iinha - 0 capacitor em
sarie com a campainha bloqueia a passagem de corrente continua. Caso se complete uma ligac;ao
para esse telefone, a corrente a/ternada de toque faz soar a campainha. Quanto se tira 0 telefone do
gancho, a ligac;ao da linha a transferida da campainha para 0 telefone propriamente dito, com capsula
transmissora, capsula receptora e disco (ou teclado). A capsula transmissora a entao alimentada pela
bateria da central - a pressao acustica variavel da voz faz variar a resistemcia elatrica da capsula
transmissora e produz variac;ao analoga de corrente, que se divide entre a linha e a rede de
balanceamento. Na hfbrida do telefone, correntes em direc;oes opostas nos enrolamentos primarios
cancelam 0 sinal acoplado a capsula receptora no secundario (nao total mente - uma pequena frac;ao
a mantida para que 0 usuario perceba sua propria voz). A corrente de voz proveniente do interlocutor
na extremidade oposta percorre os enrolamentos primarios do transformador no mesmo sentido,
acoplando sinal a capsula receptora no secundario. A discagem interrompe a corrente na linha con-
forme 0 dfgito discado (oPC;ao "pulso" - uma interruPC;ao para dfgito 1, duas para dfgito 2, ...• dez in-
terrupc;oes para dfgito 0) para informar a central telefonica 0 numero de telefone para 0 qual se quer
completar uma Iigac;ao. Alternativamente a informaC;ao de cada dfgito a representada por combina-
c;oes de sinais senoidais (oPC;ao"tom" - um par de frequencias para cada dfgito). A central telefonica
analisa 0 numero discado (ou teclado) pelo usuario e completa a ligaC;ao para 0 usuario de destino
atravas de uma matriz de comutat;ao. Na ponte de alimentaC;ao, as componentes de corrente alter-
nada do sinal de voz sac separadas da componente de corrente continua de alimentac;ao por induto-
res (curto circuito para CC, alta impedancia para frequencias de voz) e capacitores (aberto para CC,
baixa impedancia para frequencias de voz). Numa ligaC;ao para usuario de outra central telefOnica, 0
circuito que interliga as centrais de origem e de destino - conectado ao usuario chamador na origem
e ao usuario chamado no destino - utiliza hfbridas nas duas extremidades (a Fig. 1.2a mostra apenas
uma das extremidades), 0 princfpio de funcionamento a 0 mesmo que na hfbrida do telefone: a
corrente proveniente da linha acopla sinal ao circuito de transmissao enquanto que a corrente prove-
niente do circuito de recepc;ao acopla sinal apenas a linha e nao ao circuito de transmissao (observe-
se os sentidos opostos de corrente nos enrolamentos primarios de acoplamento ao circuito de
transmissao). desde que a rede de balancemento simule aproximadamente a impedancia de entrada
da linha.
1.3. SINAIS ELETRICOS
Denomina-se sinal e/etrico x(t) uma tensao ou corrente "x" que a func;ao da variavel in-
dependente tempo "t". A cada instante de tempo t corresponde um unico valor da func;ao x. Para os
objetivos desse texto, sinais sac sempre fum;oes reais da variavel real tempo.
Num sistema elatrico real, se 0 valor absoluto de tensao Ix(t)1 entre dois terminais cresce
com 0 tempo. ao exceder um determinado valor, rompe-se a rigidez dielatrica do ar produzindo-se um
area voltaieo que interrompe 0 ereseimento da tensao. Do mesmo modo, se 0 valor absoluto de
corrente Ix(t)l cresce com 0 tempo e excede um determinado valor, 0 meio ffsico que conduz essa
17
corrente se rompe, interrompendo a corrente. Portanto, sinais eletricos fisicamente realizaveis tem
valor absoluto limitado, ou seja: Ix(t)1 ~ M (real e finito).
Sinais eletricos podem ser c1assificados como:
• anal6gicos ou digitais
• determinfsticos ou aleat6rios
• peri6dicos ou nao-peri6dicos
• de energia ou de potencia.
1.3.1. SINAIS ANALCGICOS E SINAIS DIGITAIS
Sinal analogico a um sinal que varia continuamente com 0 tempo, podendo assumir
qualquer valor dentro de um intervalo continuo como, por exemplo, a corrente elatrica na capsula
transmissora de um telefone, acompanhando a variac;;ao continua com 0 tempo da pressao acustica
de voz humana (do usuario que fala ao telefone), como na Fig.1.2b.
Sinal digital a um sinal que s6 assume valores dentro de um conjunto discreto como,
por exemplo, 0 sinal elatrico na interface de safda de dados de um microcomputador.
1.3.2. SINAIS DETERMINisTICOS E SINAIS ALEATORIOS
Um sinal a denominado deterministico quando seu valor e perfeitamente determinado
para qualquer instante de tempo, ou seja, seu valor a qualquer instante de tempo futuro a conhecido
a priori. Quando ha incerteza sobre seu valor antes que ele efetivamente ocorra, 0 sinal a de-
nominado a/eatorio. De um sinal aleat6rio sac conhecidos os valores ocorridos no passado poram
quanta ao valor que venha a ocorrer num determinado instante de tempo no futuro s6 se pode preyer
a probabilidade de ocorrencia.
Em sistemas de comunicac;;ao elatrica, sinais de voz (anaI6gicos) ou de dados (digitais)
sac exemplos de sinais aleat6rios. Onda senoidal de tensao (anaI6gica) e onda quadrada de tensao
(digital) - normalmente utilizadas com sinais de teste - sac exemplos de sinais determinfsticos.
1.3.3. SINAIS PERICDICOS E NAO PERICDICOS
Denomina-se peri6dico um sinal que repete regular e eternamente (desde t = -00 ata t
= +00) um dado padrao - 0 cicIo do sinal. A dura~ao To de cada cicio e denominada periodo de re-
petic;;aodo sinal. 0 numero de ciclos por segundo, fo = 1/To, a a frequencia de repetic;;ao ou frequencia
fundamental do sinal peri6dico. A unidade cicIo/segundo recebe 0 nome de hertz (sfmbolo Hz), em
homenagem ao ffsico alemao Heinrich Rudolf Hertz que, em 1887, demonstrou experimentalmente a
irradiac;;ao de ondas eletromagnaticas.
A func;;aox(t) que representa 0 sinal peri6dico com perfodo To satisfaz, para qualquer t e
qualquer numero inteiro n, a condic;;ao:
x(t±nTo)=x(t) (1.1)
A tensao da rede elatrica - variando senoidalmente com 0 tempo entre valores de pico
de +180 V e -180 V, em ciclos com durac;;ao To = 1/60 segundos (freqUencia de repetic;;ao fo = 60 Hz)
- a um exemplo de sinal peri6dico. Evidentemente trata-se de um modele matematico, pois tanto a
tensao de pica como a frequencia da rede elatrica podem sofrer variac;;6es, dentro de certos limites,
alam da durac;;ao nao ser ilimitada - afinal, os apagoes sac uma realidadeL
Qualquer sinal que nao repete eternamente 0 mesmo padrao (cicio) e um sinal nao-pe-
Sinais deterministicos pod em ser peri6dicos ou nao-peri6dicos. Sinais a/eatorios sao,
evidentemente, nao-peri6dicos por definic;;ao (pois, se fossem repetitivos, poder-se-ia preyer 0 seu
valor em um instante futuro qualquer!).
1.3.4. SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTENCIA
A relac;;ao entre tensao v(t) e corrente i(t), numa resistencia R, a dada pel a Lei de Ohm:
v(t) = Ri(t). A tensao v(t) a a relac;;aoentre a energia (dE) dispendida para deslocar uma carga eletri-
ca entre terminais da resistencia e 0 valor (dq) da carga, vet) = dE , e a corrente i(t) a a relac;;ao
dq
i(t) = ~~ . A derivada, em relac;;ao a variavel tempo, da energia dissipada na resistencia R a uma
fun<;:aodo tempo - a potencia instantanea:
dE . v2(t) .2
pet) = - = V(t)l(t) = - = Rl (t)
dt R
Potencia e energia sac portanto grandezas relacionadas entre si - potencia a a derivada
da energia e energia
a a integral da potencia sobre um dado intervalo de tempo.
Potencia instantanea e proporcional ao quadrado do sinal, seja ele tensao ou corrente.
Para R = 1Q, a expressao (1.2) assume a forma pet) = v2(t) = i\t).l.Q. Denomina-se potencia
l.Q
normalizada do sinal x(t} a potencia dissipada por esse sinal sobre a resistencia R = 10:
Pn(t)= x2(t) (1.3)
A potencia instantanea p(t} (em watts) dissipada sobre uma resistencia R (em ohms), e
p(t) = p,,(t).R, se x(t} e uma corrente (em amperes) e pet) = Pn(t) , se x(t} e uma tensao (em volts).
R
Como quadrado da func;:ao real x(t}, Pn(t} e uma func;:aopositiva nos intervalos de tempo
em que x(t} *- 0 e nula para x(t} = 0: Pn(t) ~ O.
Ao se relacionar as potencias de dois sinais sobre uma mesma resistencia R - por
exemplo, para comparac;:ao entre sinal util e sinal interferente na entrada de um receptor - cancela-se
o valor da resistencia comum a ambos os sinais. A potencia normalizada e entao uma forma con-
veniente para comparac;:ao de sinais.
A energia normalizada do sinal x(t}, num intervalo de tempo T, e a integral da potencia
normalizada sobre esse intervalo. Define-se como energia normalizada total de x(t} a energia nor-
malizada, no intervalo de t = -00 a t = +00 (intervalo com durac;:aoT~ ex)}:
T+-
2 +x
En = Em J Pn(t)dt = Jx2(t)dt
T ...•x
T
2
Com p(t} ~ 0 e e nao-nula em pelo menos algum intervalo de tempo - caso contrario,
nao existe sinal - a energia normalizada total nao pode, evidentemente, ser negativa nem nula:
En> O.
Define-se como valor medio 1 de uma func;:aog(t} da variavel tempo a relac;:ao:
_ 1 +T!2
g(t) = lim -- Jg(t)dt (1.5)
T->x T -T!2
Aplicando-se a tensao x(t} sobre a resistencia R dissipa-se uma potencia p(t} variavel
com 0 tempo. 0 valor medio da potencia instantanea e a potencia media:
- x2(t)
Pm=P(t)=R (1.6)
Em (1.6), x2(t) eo valor quadratico medio (= valor medio do quadrado) da tensao x(t}:
------ 1 +T!2
x2(t) = lim- Jx2(t)dt (1.6a)
T-->ocT -T!2
o valor eficaz do sinal x(t} e 0- = ~ x2 (t) - a raiz quadrada do seu valor quadratico me-
dio (expresso em V). E imediato observar que a potencia media dissipada sobre R e P = 0-
2
.
m R
Do mesmo modo, com a resistencia R percorrida pela corrente x(t} com valor eficaz a
(expresso em A), a potencia media dissipada e P,n= pet) = R.x2(t) = R0"2.
Potencia media normalizada Pmn = Pn(t) e valor quadratico medio x2 (t) = 0"2 do sinal x(t}
saD numericamente iguais, seja x(t} tensao ou corrente. Observe-se, no entanto, que potencia e
expressa em W (watt) e valor quadratico medio em V2 (volt ao quadrado), se x(t} e uma tensao, ou A2
(ampere ao quadrado), se x(t} e uma corrente.
Considere-se, por exemplo, a tensao senoidal (frequencia de repetic;:ao fo Hertz, fre-
quencia angular 21tfo radianos por segundo), descrita por x(t} = Acos(21tfot}, para t de -ex) a +ex).
Usando-se a identidade trigonometrica cos2(a) = 1+cos(2a), obtem-se:
2
- A2
l
1 +T!2 1 +T!2 ]
x2(t)=---- lim- Jdt+lim- Jcos(4Jifot)
2 T->xT_TI2 r ...•xT_r!2
o primeiro limite em (1.7) e evidentemente igual a 1. 0 segundo limite e igual a 0, pois 0
numerador e limitado, __ 1_:0; +T cos(4Jifot):o; +_1_ enquanto que 0 denominador tende a infinito.
2rifo -T I 2 2rifo
Portanto a tensao senoidal tem valor quadratico medio x2 (t) =~ e valor eficaz 0" = "'b.
2 ~2
1Representa-se 0 valor medio de uma grandeza qualquer, nesse texto. usando uma barra sobre a representa9ao da grandeza.
19
o fator de pica - relac;ao entre valor de pica e valor eficaz, k = Na - e, para esse sinal, k =.fi .
cos~ot) cos(4.fot) r area =+ ;"0
+1
To
2 () 1+ cos(2a)cos a =----
2
~To 8 1f cos(4;ifot) = --
-To i8 2;ifo
Fig. 1.3 - Determinac;ao do valor quadratico medio de x(t) = Acos(21tfot)
Considere-se a tensao senoidal da rede eletrica (frequencia fo = 60 Hz), com valor de
pica A = 180 V (tensao eficaz a ~ 127 V), aplicada sobre a resistencia R = 4 n de um chuveiro eletri-
co. A potencia media dissipada e p = ~ = ~ = 4050 W. A energia consumida num banho com
III R 2R
dura<;:aoT = 6 minutos e:
T A2 A2
E = J-cos2(2dot)dt = -.r = P .r= 4050 W x 360 s = 1,458x106 J.R I~( 2R III
o
Nesse caso, a transforma<;:ao de energia eletrica em energia termica (efeito Joule)
aquece a agua que garante 0 banho quente.
Sinais fisicamente realizaveis (com valor absoluto finito) podem ser sinais de energia ou
de potencia. Um sinal x(t) e considerado sinal de energia se sua energia normalizada total e finita (e
evidentemente nao nula, caso contrario nao existe sinal): 0 < En < 00. Consequentemente, a potencia
media normalizada de um sinal de energia e nula: Pmn = O.
Se a energia normalizada total do sinal x(t) e infinita tem-se um sinal de potencia. A
energia normalizada num intervalo de durac;ao T do sinal de potencia tende a infinito quando a dura-
c;ao T do intervalo tende a infinito, porem a relac;ao entre a energia e a durac;ao do intervalo tende a
um valor finito e nao nulo - a potencia media normalizada e finita e nao nula: 0 < Pmn < 00.
Qualquer sinal (determinfstico ou aleat6rio) limitado no tempo, isto e, nulo fora de um
intervalo de tempo de durat;ao finita T, e um sinal de energia, pois sua energia total e finita.1m .~
(a) determinfstico (b) aleat6rio
Fig. 1.4 - Sinais de durac;ao limitada
Um sinal determinfstico peri6dico repete-se eternamente, em Gic/os com durac;ao To (=
perfodo de repeti<;:ao). A energia normalizada de cada cicio e Eo = +T};2 (t)dt e a energia normalizada
-To! 2
em n ciclos e nEo. A energia normalizada total do sinal (em um numero n ---? 00 de ciclos) e, portanto,
infinita. Fazendo T = nTo na expressao (1.6a) - um numero n inteiro de ciclos - obtem-se:
1 +nTo/2 1 +7"0/2 1 +To/2
Pmn=lim- Jx2(t)dt=lim-.n J x2(t)dt=- Jx2(t)dt
n-l>OO nTo -nTo/2 n-+oo nTo -To/2 To -Toi2
Portanto, a energia normalizada total de um sinal peri6dico e infinita e sua potencia
media normalizada, finita e nao nula, e igual a relac;ao entre a energia normalizada de um cicio e a
durac;ao do cicio. Conclui-se, entao, que todo sinal determinfstico peri6dico e um sinal de potencia.
Sinais deterministicos nao peri6dicos com durat;ao ilimitada podem ser sinais de
energia ou sinais de potencia. Para se determinar se 0 sinal e de energia ou de potencia e necessa-
rio determinar-se sua energia normalizada total.
A Fig. 1.5 ilustra dois sinais determinfsticos nao-peri6dicos de durat;ao ilimitada (para t
de -00 a +00). 0 leitor pode facilmente verificar, aplicando a expressao (1.4), que 0 sinal (a) €I um sinal
de energia (energia normalizada total finita: E =£, potencia media normalizada Pmn= 0 ) enquanto
n a
que 0 sinal (b) e um sinal de potencia (energia normalizada total infinita: En = 00, potencia media nor-
malizada Pmn= A2).
xffl xoo
A
A ea reais
e positivos
o
---tempo---
(a) de energia (b) de potencia
Fig. 1.5 - Sinais deterministicos nao-peri6dicos de dura~ao ilimitada
Sinais aleatorios com dura~ao i1imitada tem energia total infinita e, portanto, sac sinais
de pot€mcia.
Em termos praticos, 0 sinal aleatorio de voz ou dados gerado por um usuario individual
tem durac;ao Iimitada, pois ninguem fala ou interage com um servidor de Internet por um tempo infi-
nito (embora algumas pessoas se aproximem disso ...), e portanto tem energia total finita. Porem,
com usuarios individuais se sucedendo na ocupac;ao do canal de comunicac;ao 0 sinal transmitido
pode ser considerado como existente para t desde -00 ate +00, portanto, com energia total infinita e
potencia media finita e nao nula - um sinal de potencia.
E importante, nesse ponto, chamar a atenc;ao para 0 conceito de dissipa~ao de energia
e potencia. Num chuveiro eletrico, a resistencia percorrida por uma corrente eletrica se aquece - 0
chamado efeito Joule - transformando energia eletrica em energia termica. Num sistema de teleco-
municac;oes (Fig.1.6) como, por exemplo,
0 sistema de radiodifusao sonora, 0 sinal de audio e pro-
cessado no transmissor da emissora para ser irradiado na forma de uma onda eletromagnetica.
Fig. 1.6 - Sistema de telecomunica~ao
o transmissor funciona como fonte de tensao para a antena transmissora, aplicando aos
seus terminais a tensao x(t) e produzindo a corrente is(t). A relac;ao entre tensao e corrente na antena
e sua impedancia Z = Rp+ Ri + jX. A antena absorve energia vinda do transmissor e irradia uma onda
eletromagnetica que se propaga no espac;o. A resistencia de perdas Rp da antena e muito menor que
sua resistencia de irradiac;ao Rj e apenas uma parte muito pequena da energia absorvida pela
antena, Rpi/ (t), e dissipada sob a forma de calor, sendo a maior parte, R;i/(t), efetivamente
irradiada. A componente reativa X da impedancia da antena e, normalmente, muito menor que a re-
sistiva e pode-se entao considerar Z =: Rj• Para maxima transferencia de potencia do transmissor a
antena faz-se a resistencia de saida do transmissor igual a resistencia de irradiac;ao da antena, Rs =
Rj (e reatancia nula, Xs = 0). A potencia media irradiada pela antena e entao R = x'(t).
T R
i
A antena receptora absorve energia da onda eletromagnetica que chega ate ela e fun-
ciona como fonte de tensao para 0 receptor, aplicando aos terminais de entrada a tensao y(t) e pro-
duzindo a corrente ir(t). A relac;ao entre tensao e corrente na entrada do receptor e sua impedancia de
entrada, Ze = Re + jXe. Para maxima transferencia de potencia da antena receptora ao receptor, faz-
se Re = Rj e Xe = O. A potencia media de sinal recebido (absorvida pelo receptor) e p = y'(t). 0 sinal
, R,
recebido e processado pelo receptor para produzir um sinal de audio no alto-falante de saida,
convertendo energia eletrica em energia acustica.
1.3.5. REPRESENTACAO DE SINAIS POR FUNCOES
Para que se possa tratar quantitativamente sinais em um sistema de comunicac;:6es e
necessario representa-Ios por func;:6es. E conveniente, nesse ponto, revisarmos alguns conceitos de
func;:6es para aplicar a analise de sinais.
Uma fum;ao relaciona uma variavel dependente y a uma variavel independente (va-
riavel livre) x, de modo que a cada valor da variavel livre x se associ a um valor da variavel depen-
dente y. Essa dependencia e explicitada colocando-se a variavel livre entre parenteses junto a varia-
vel dependente: y = y(x). Por exemplo, considere-se a relac;:ao entre as variaveis dependente y e livre
x como na Fig. 1.7.
A variavel dependente y varia linearmente
com a variavel livre x no intervalo -1 :s; x :s; +2
e e nula fora desse intervalo.
-1
A variac;:ao linear e representada pel a equac;:ao da reta no plano x-y: y = ax+b, com fator
angular (inclinac;:ao) a = dYe b = y(O) = intercessao da reta com 0 eixo das ordenadas.
dx
Na Fig.1.7: a _ y(+2)-y(-1) -1 e, por semelhanc;:a de triangulos, _b_= 2-0 ,donde b
- +2-(-1) y(-I) 2-(-1)
= 2 e a func;:ao que relaciona as variaveis dependente y e independente x e dada por (1.9). A cada
valor da variavellivre x corresponde um unico valor da variavel dependente y:
{
- x + 2 para .. -1 :s; x :s; +2
y(x) =
O para ..x < -1..ou ..x > +2
Duas operat;oes sobre func;:6es sac especial mente importantes:
a) Deslocamento
Seja a func;:ao y(x) descrita por (1.9). A func;:ao z(x) = y(x - xo), onde Xo e um valor real
positivo fixo, assume, para um dado valor x da variavel livre, 0 mesmo valor que a func;:ao y(x) assu-
me para variavellivre com valor x - Xo. Assim, z(Xo) =y(O), z(xo-1) =y(-1) e z(xo+2) =y(+2). E imediato
verificar que a func;:aoz(x) = y(x - xo) corresponde a func;:aoy(x) deslocada de um valor Xono sentido
positivo do eixo x (Fig. 1.8a). Analogamente, a func;:ao w(x) = y(x+xo) corresponde a func;:ao y(x)
deslocada de Xono sentido negativo do eixo x (Fig. 1.8b).
z(x) = y(x - Yo)
deslocamento no sentido positivo deslocamento no sentido negativo
Fig. 1.8 • Deslocamento de func;ao
Considere-se a func;:ao r(x) = y(-x) , que assume, para valor x da variavel livre, 0 mesmo
valor que a func;ao y(x) assume para 0 valor -x da variavel livre. A func;ao r(t) corresponde a rotat;ao
da func;:aoy(x) em tome do eixo das ordenadas (Fig. 1.9).
r(x) = y(-x)
+3
r(x) = y(-x) e a rotac;ao de y(x) em tome do eixo
das ordenadas:
x r(-2) = y(+2) = 0
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 r((O) = y(O) = +2
-1 r(+1) = y(-1) = +3
Se a rotac;ao da func;:ao y(x) em tome do eixo das ordenadas resulta em uma func;ao
identica, y(-x) = y(x), diz-se que a func;ao y(x) tem simetria par. Se resulta em func;ao com mesmos
valores absolutos porem de sinais opostos, y(-x) = -y(x), diz-se que a func;ao y(x) tem simetria im-
par. Caso nao atenda a nenhuma dessas condic;oes, a func;ao y(x) e nao-simetrica.
A representac;ao de um sinal eletrico por uma func;:ao da variavel tempo requer que se
arbitre uma origem para 0 eixo de tempo. Pode-se arbitrar como t = 0 0 instante que se achar mais
22
conveniente e, uma vez arbitrado esse instante, determina-se a func;ao que descreve 0 sinal.
Por exemplo, considere-se a tensao eletrica que cresce linearmente em um intervalo
T/2 desde a tensao 0 ate atingir a tensao A e a partir daf decresce linearmente ate retornar a 0 ap6s
outro intervalo T/2. Fora desse intervalo a tensao permanece eternamente em zero (Fig.1.1 Oa).
Esse sinal tem seu valor perfeitamente determinado a qualquer instante de tempo e
nao apresenta um padrao repetido eternamente. Logo, e um sinal deterministico nao-periodico.
i
:- - --""1''-- - A
(;')
T
--tempo •.
(a) sinal eletrico (b) func;ao
Fig. 1.10 - Representac;ao de sinal eh~trico por uma func;ao
Com a origem do eixo de tempo arbitrada no instante em que a tensao atinge 0 valor
maximo A, g(O) = A (Fig.1.1 Ob), 0 sinal pode ser descrito pela func;ao:
To t<-2"
2A.t T
A +----:;- -2":S t:S 0
g(t) = 2A.t T
A -----:;- O:S t:S +2"
T
O t > +2"
Ou, numa forma mais compacta, com I t I == valor absoluto da variavel t: I t 1= t para t > 0
e I t I = -t para t < 0:
Ll
---_I _----
j
A( 1- 2A.ltl) -~:s; t :s;+~ (1.11)
g(i) ~ O... H~.I~I>f 2
Considere-se agora que 0 padrao g(t) acima se repete eternamente (de t = -00 ate t =
+(0), em ciclos de durac;ao To (com To :2: T), como na Fig.1.11. A func;ao x(t) que representa 0 sinal
peri6dico e a soma de infinitos termos correspondentes a func;ao g(t) deslocada para multiplos do
perfodo de repetic;ao, mTo, onde meum numero inteiro entre -00 e +00 - a repetic;ao eterna do pa-
drao g(t). Tem-se, nesse caso, um sinal com valor perfeitamente definido para qualquer instante de
tempo e que repete eternamente e de forma regular 0 mesmo padrao - um sinal deterministico pe-
riodico.
o sinal peri6dico x(t) pode ser descrito pela expressao (1.12), onde g(t) e a func;ao nao
peri6dica descrita por (1.11):
+<>0
x(t) = Lg(t - mTa)
Denomina-se fum;ao geradora do sinal peri6dico (com perfodo de repetic;ao To) a fun-
c;ao que coincide com a func;ao peri6dica x(t) no cicio centrado em t = 0 (intervalo _ To :s; t :s; + To ) e e
2 2
nula fora desse intervalo. Nesse exemplo, g(t) e a func;ao geradora de x(t) .
• (t) Fig. 1.11 - Sinal peri6dico
Repetic;ao eterna e regular de um
padrao. Cicio com durac;ao To
(apenas 3 ciclos representados na
figura)
To
E essencial identificar-se corretamente, no sinal peri6dico x(t), 0 periodo de repetic;ao e
a func;ao que coincide com x(t) no cicio centrado em t = 0 - a func;ao geradora. Por exemplo, uma
onda quadrada bipolar de amplitude A pode ser representada por:
x(t) = f,(_1)m p(t - mT) com pet) = {A para ..o < t < T (1.13)
m=-oc O para ..t < O..au ..t > T
Essa onda quadrada e um sinal peri6dico digital (pois s6 assume os valores +A e -A)
com perfodo de repetic;:ao To = 2T - e nao T, como se poderia achar numa analise apressada de
(1.13) e sua func;:ao geradora nao e p(t) e sim:
{
+ A para ..O< t < T
get) = p(t)- p(t+T) = -A para .. -T <.t
<0
O para ..t < -T. ..ou t > T
Considere-se um computador que emite regularmente um dfgito binario (bit, acr6nimo de
"binary digit", usado para designar os dfgitos binarios 1 eO) a cada 10t-ts, representando cada bit por
um valor de tensao constante durante intervalo de tempo Ts = 10 t-tse igual a +3 V para 0 bit 1 e a 0 V
para 0 bit O.0 sinal eletrico, na safda do computador, e entao um sinal digital (s6 assume os valores
discretos +3 V ou 0 V), a taxa de 100.000 bits por segundo (= 100 kbiUs). Os bits ocorrem de forma
aleatoria - a cada intervalo pode ocorrer 0 bit 10u 0 bit O. Se em um numero total de intervalos n
muito grande, ocorre bit 1 em n1 dos intervalos e bit 0 nos n - n1 intervalos restantes, a probabilidade
de ocorrencia de bit 1 e lim(!:l-) = pea probabilidade de ocorrencia de bit 0 e lim( n - n1 ) = 1- P ,
l1~X n 11~X; n
com p adimensional e 0 < p <1. Uma sequencia ilimitada de bits e um sinal eletrico digital aleatorio
descrito por:
x(t) = Lamg(t - mT;, )
com'. _ {A ....para ...o < t < Ts a __{l ...com.probabilidade.pg(t)- em. . (1.16)
O.....para ..J < O...e..J > Ts O...com.probablhdade.l - p
sendo A = +3 V, Ts = 10 t-tse 0 < p < 1 (adimensional)
o sinal x(t) descrito pela func;:ao (1.15) apresenta regularidade no tempo (a tensao per-
manece constante durante cad a intervalo de durac;:ao Ts) - dada pela func;:ao g(t) deslocada para
cada multiplo inteiro de Ts. Porem ha incerteza quanta ao valor de tensao em cada intervalo antes de
sua efetiva ocorrencia - representada pelo fator multiplicativo aleatorio adimensional am.
Observando-se 0 sinal em um dado instante (Fig. 1.12), sabe-se apenas que 0 valor de
tensao permanecera constante ate 0 fim daquele intervalo e que, em intervalos futuros, podera ser
+3V ou 0 V (nao se sabe a priori qual dos valores sera assumido).
INCERTEZA
+
i+3V
tensao
I ov
101JS 101JS 101JS 101JS 101JS 101JS 101JS 101JS
1 1 0 1 0 1 0 ?
+3V
ou
OV
instante
de
obselVa~iio
Fig. 1.12 - Sinal digital aleat6rio
Fazendo T = nTs e observando que em n1 dos n intervalos considerados am = 1 (ocor-
rencia de bit 1) e nos intervalos restantes am = 0 (ocorrencia de bit 0) e que a integral de x2(t), em
cada intervalo de durac;:ao Ts e (amA)2Ts, a energia normalizada total do sinal e:
En = lim[njA2Ts + (n - nl )02 Ts ]= lim(npA2Ts )= ex)
n~oo 11--)00
o sinal tem entao energia normalizada infinita - e um sinal de potencia. Sua potencia
media normalizada e finita e nao nula. De (1.6a), obtem-se:
----z-() I' nl·A2Ts +(n-nj).02.Ts 2 I' (nl) 2x t = Im--------=A .lm - =AP
n-.'" nTs n-.'" n
Sinais de dados e sinais de voz (ver Apendice C) sao os sinais basicos transmitidos em
sistemas de comunicac;:6es eletricas e sofrem a interferencia do rufdo termico (que sera analisado no
Capftulo 7). Tanto os sinais como 0 rufdo sac tens6es aleatorias que variam com 0 tempo. Sinais
aleat6rios variaveis com 0 tempo sac denominados processos estocasticos.
Processos estocasticos de voz e de rufdo termico nao podem ser descritos por uma fun-
980 do tempo (como 0 sinal digital do exemplo anterior) mas podem ser tratados estatisticamente.
Com tensao eficaz cr e func;:ao densidade de probabilidade p(x), tem valor medio de tensao e valor
quadratico medio de tensao, respectivamente:
_ 1 +T/2 -- 1 +T/2 +oc
x(t) = lim - f x(t)dt = f xp(x)dx = 0 e x2 (t) = lim - f x2 (t)dt = f x2 p(x)dx = 0-2 .
T~x T -T 2 T~x T -T/2 -x
As funyoes densidade de probabilidade, para 0 ruido termico e para 0 sinal de voz2, sac
Xl ~~
e- 2(72 e-----;;-
respectivamente as funyoes de Gauss p(x) = ~e de Laplace p(x) = -- .
(T-y27r (T-J2
Um oscilosc6pio permite visualizar 0 passado recente do
sinal, como para um sinal de voz na Fig. 1.13. Nao se pode
saber, a priori, se a tensao a 1 ms no futuro sera igual, maior
ou menor que seu valor atual.
Fig.1.13. Sinal de voz visualizado em um osciloscopio
E importante destacar que 0 que distingue sinais deterministicos de sinais aleat6rios
nao e a possibilidade de representayao por uma funy8o, pois alguns sinais aleat6rios - como 0 sinal
de dados do exemplo anterior - podem ser representados por funyoes. 0 que distingue deterministi-
co de aleat6rio e se seu valor e perfeitamente determinado a qualquer instante de tempo - sabe-se
a priori 0 valor exato do sinal (sinal deterministico) ou se ha incerteza sobre seu valor futuro - s6 se
sabe 0 valor exato ap6s a efetiva ocorrencia (sinal aleat6rio).
1.4. DOMiNIO DO TEMPO E DOMiNIO DE FREQUENCIA
A descriy80 de sinais em funyao da variavel livre tempo e feita no que se denomina
Dominio do Tempo. Em sistemas de comunicayoes eletricas, no entanto, muitos dispositivos tais
como Iinhas de transmiss8o, ampliadores, filtros etc respondem diferentemente a sinais de frequen-
cias diferentes. E necessario, ent8o, que se possa descrever sinais em funy80 da variavel livre fre-
qu{mcia, ou seja, no Dominio de Frequencia.
Convenciona-se denominar sinal a descriy80 em funyao da variavel livre tempo (Domi-
nio do tempo) e espectro do sinal a descriy80 em fUny80 da variavel livre frequencia (Dominio da
Frequencia).
A ferramenta matematica que permite relacionar a descriy80 de um sinal no dominio do
tempo com a correspondente descriy80 no dominie da frequencia e a Analise de Fourier ou Analise
Espectral. Essa e uma ferramenta matematica basica e sera detalhada no Capitulo 2.
1.5. REPRESENTACAO FASORIAL
Pode-se visualizar um sinal senoidal como um fasor - um vetor que gira no plano com-
plexo, com frequencia angular constante, OJ = dB = 21C= 2;ifo rad/s - completando uma volta (21t
dt To
radianos) a cada To segundos (Fig.1.14). 0 angulo formado pelo fasor com 0 semieixo real positivo
varia linearmente com 0 tempo, B(t) = f 2;ifodt = 2;ifot + ¢ , onde a constante de integray80 <jJ= 8(0)
eo angulo no instante arbitrado como t = O.
A projey8o do fasor sobre 0 eixo real e 0 sinal real do tempo, x(t) = Ecos(2nfot+<jJ),ca-
racterizado por tres parametros:
• freqOencia: fo = 1ITo (Hz)
• amplitude (modulo): par definiy8o, nao-negativa, E 2': 0
• fase: <jJ;: angulo no instante arbitrado como t = 0: -1t rad :-::;<jJ:-::;+1t rad.
~ = c:: = 21tfo
I
I
o fasor u(t) e a fun9ao complexa do tempo:
u(t) = E cos(B) + jEsen(B) (1.19)
Derivando ambos os membros de (1.19) em rela9ao a 8: du = -Esen(O)+ jE cos(O) = ju
dO
du
Rearranjando os termos, - = jde.
u
Integrando ambos os membros: In(u) = je + k, k = constante de integra9ao, donde:
u = ek .e}O (1.20)
Para 8 = 0, u = E em (1.19) e u = ek em (1.20), entao ek = E. Chega-se entao a
expressao conhecida como Teorema de Eu_'e_r_: _
Icos(B) + jsen(B) = e}OI (1.21)
e+}O + e-}O
cos( B) = --- (1.22)
2
e+}O _ e-}O
e sen(B)=---- (1.23)
2j
Na Fig. 1.15 0 sinal real do tempo x(t) = Ecos(2nfot+<I» e a parte real da exponencial
complexa de frequencia positiva +fo e modulo E:
x(t) = RelEe}(2iifot+¢) J (1.24)
ou alternativamente a soma de duas exponenciais complexas, uma de frequencia posi-
tiva e outra de frequencia negativa, ambas com amplitude E/2 e simetricas (frequencias +fo e -fa,
com fase +<1>e -<I>,respectivamente):
x(t) = E e+}(2iifot+¢) + E e-}(2iifol+¢) (1.25)
2 2
Observe-se que a soma das exponenciais complexas simetricas e real.
eixo imaginario
~
21tfO rad/s
/f
. I
/ I,
Fig.1.15 - Frequencia positiva e frequencia negativa: espectro bilateral
Quando se considera apenas a parte real da exponencial complexa de frequencia posi-
tiva, tem-se espectro unilateral. Quando se considera a soma de exponenciais complexas de fre-
quencias positiva e negativa, tem-se espectro bilateral.
1.6. ORGANISMOS NORMATIVOS
26
Ao longo desse texto sao feitas refer€mcias a alguns documentos normativos de duas
entidades: uma internacional, a UIT - Uniao Internacional de Telecomunica<;:oes e outra nacional, a
TELEBRAs - Telecomunica<;:oes Brasileiras SA E oportuna uma breve descri<;:ao a respeito
desses
organismos, bem como da ANATEL - Agencia Reguladora de servi<;:osde telecomunica<;:oes no Bra-
sil.
1.6.1. UIT - UNIAO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACOES
Em 1865 foi fundada a Union Teh~graphique, com 0 prop6sito de desenvolver padroes
para comunica<;:oes telegraficas. Transformada em organismo da ONU (Organiza<;:ao das Na<;:oes
Unidas), em 1947, passou a se chamar Uniao Internacional de Telecomunicac;oes - UIT (conheci-
da pela sigla ITU, do ingles International Telecommunication Union) e compreende atualmente
cerca de 170 paises. Ate 28 de fevereiro de 1993 0 ITU dispunha de do is Comites Consultivos: 0
CCITT (sigla em frances de Comite Consulti'lnternational de Te/ephonie et Te/egraphie), res-
ponsavel pelo estudo de questoes tecnicas, operacionais e tarifarias sobre telefonia, telegrafia e co-
munica<;:ao de dados e emissao de Recomenda~oes sobre essas questoes a fim de normatizar as
telecomunica<;:oes a nivel mundial, eo CCIR (sigla em frances de Comite Consulti' International de
Radio), com as mesmas atribui<;:oes em questoes de radiocomunica<;:ao (comunica<;:ao via radio ter-
restres, espaciais e radiodifusao). Em consequencia de um processo de reestrutura<;:ao da UIT, 0
CCITT e 0 CCIR foram substituidos, a partir de 01/03/1993, pelo ITU-T (lTU Telecommunication
Standardization Sector) e pelo ITU-R (lTU Radiocommunication Sector), respectivamente.
o CCITT publicava, a cada 4 anos, um conjunto completo e atualizado de suas Reco-
menda~oes distinguido, a cada emissao, pela cor da capa. Desde a publica<;:ao do Livro Azul
(1989),0 cicio de 4 anos foi abandonado e as Recomenda<;:oes passaram a ser atualizadas individu-
almente quando conveniente, sendo entao emitido um documento bran co (white paper).
E interessante que 0 leitor se familiarize com esse organismo normativo internacional
acessando 0 site: www.itu.int.
1.6.2. TELEBRAs - TELECOMUNICACOES BRASILEIRAS S.A.
Criada em 1972, a TELEBRAs compreendia 25 Empresas Operadoras estaduais, uma
Empresa Operadora interestadual e internacional (a EMBRATEL) eo Centro de Pesquisas e Desen-
volvimento (CPqD). Dividida e privatizada em leilao realizado em 29/07/1998, a TELEBRAs deixou de
existir, porem seus documentos normativos (as Prciticas TELEBRAS) sac ainda referencias im-
portantes para a Engenharia de Telecomunica<;:oes brasileira. Ao longo de seus 26 anos de existen-
cia a TELEBRAs contribuiu de forma significativa para 0 desenvolvimento de uma Engenharia ge-
nuinamente brasileira atraves de suas Empresas Operadoras (as "teles"estaduais e a Embratel).
Atraves do seu Centro de Pesquisas e Desenvolvimento (CPqD) criou tecnologia nacional de ponta
entre as quais vale citar os desenvolvimentos tecnol6gicos em fibras opticas e optoeletronica as-
sociada, multiplex digital (a familia MCP), radio digital (RADI-234 e outros) e comuta~ao digital
(centrais telef6nicas da familia Tr6pico), todos eles transferidos a Industria brasileira para produ<;:ao
no pais, gerando empregos para brasileiros. A TELEBRAs nao mais existe porem, em tributo a sua
contribui<;:ao a Engenharia brasileira, fruto do esfor<;:o e dedica<;:ao de toda uma gera<;:ao de enge-
nheiros brasileiros, faz-se aqui esse registro hist6rico.
1.6.3. ANATEL- AGENCIA NACIONAL DE TELECOMUNICACOES
A partir do processo de privatiza<;:ao do Sistema TELEBRAs, 0 6rgao normativo de tele-
comunica<;:oes no Brasil passou a ser a ANATEL - Agencia Nacional de Telecomunica<;:oes, criada
pela Lei Geral das Telecomunica<;:oes Brasileiras (LGT) como "...entidade integrante da Administra-
<;:aoPublica Federal indireta, submetida a regime autarquico especial e vinculada ao Ministerio das
Comunica<;:oes, com fun<;:ao de 6rgao regulador das telecomunica<;:oes ..."(Lei NO 9.472, de
16/07/1997, Livro II - Titulo I - Art. 80).
Toda a Legisla<;:ao, Normas, Regulamentos e outros documentos normativos sobre tele-
comunica<;:oes no Brasil estao disponiveis no site da ANATEL: www.anatel.gov.br.
E recomendavel que 0 leitor visite 0 site da ANATEL para conhecer os documentos
normativos de telecomunica<;:oes vigentes no Brasil.
1.7. ALGUNS EVENTOS NA HIST6RIA DAS COMUNICACOES
1835 - Samuel Finley Breese Morse realiza a primeira experiencia com 0 telegrafo.
1838 - Morse requer patente de seu invento
1844 - Morse constroi linha telegrafica entre Washington e Baltimore, financiada pelo Governo Ameri-
cano. Morse oferece a patente de seu invento por US$ 100.000 ao Governo Americano que a
recusa, por considera-Io nao rentavel. A explora<;:ao do servi<;:opass a a ser feita pela iniciativa
privada.
1852 - A 11 de maio de 1852 e inaugurada a primeira linha telegrafica no Brasil, entre a Quinta Impe-
rial e 0 Quartel do Campo, no Rio de Janeiro.
1864 - Publica<;:80 do artigo "A Dynamic Theory of Electromagnetic Field", de James Clerk Maxwell.
1866 - Operac;ao com sucesso do primeiro cabo telegratico transatlantico, ligando os Estados Unidos
da America a Europa.
1874 - Inaugurada linha telegrafica por cabo submarino da Western Telegraph Co. entre Rio de Ja-
neiro, Bahia, Pernambuco e Para, a 21 de janeiro de 1874.
- Inaugurada linha telegrafica Rio de Janeiro - Vit6ria.
- Inaugurado cabo telegratico submarino Brasil - Portugal.
1876 - Alexander Graham Bell apresenta seu invento, 0 telefone, na Feira do Centenario dos Esta-
dos Unidos da America. Bell requer patente do seu invento e, duas horas mais tarde, Elisha
Gray requer patente de um dispositivo semelhante. Ap6s longa disputa judicial, foi dado ga-
nho de causa a Bell.
1877 - Instalada a primeira linha telef6nica comercial do Brasil, ligando a loja "0 Grande Magico", de
Antonio Ribeiro Chaves (no Beco do Desvio,86 - hoje Rua do Ouvidor, no Rio de Janeiro) ao
Quartel do Corpo de Bombeiros.
- D.Pedro II ordena a ligac;ao, por linha telef6nica, entre 0 Palacio Sao Crist6vao, na Quinta da
Boa Vista, e as residencias de seus ministros.
1878 - Primeira central telef6nica (manual), com 8 linhas compartilhadas servindo a 21 assinantes,
ativada em 28 de janeiro de 1878, em New Haven, Connecticut - EUA.
- Primeira ligac;ao telef6nica interurbana no Brasil, entre a Estac;ao da Estrada de Ferro Paulista,
em Campinas e a Estac;ao Inglesa (atual Estac;ao da Luz), em Sao Paulo, realizada pelo
engenheiro da Corte, Morris Kohn.
1880 - Formada a Companhia Telef6nica do Brasil, com capital de US$300.000. Seu funcionamento
foi autorizado pelo Decreto Imperial N° 8065, de 17 de abril de 1881.
1887 - Strowger desenvolve um seletor auto matico (passo a passo) que permite a automatizac;ao do
servic;o telef6nico.
- Heinrich Hertz verifica experimental mente a teoria de Maxwell.
1897 - Guglielmo Marconi patenteia um sistema de telegrafia sem fio (por radio).
1890 a 1900 - Conversao, nos EUA, das linhas telef6nicas de um unico condutor, com retorno pela
terra, para circuito metalico (par de condutores), para resolver 0 problema de ruido e interfe-
rencia.
1910 - Desenvolvimento de um sistema multiplex FDM experimental, pelo Major G.O. Squier, do U.S.
Army Signal Corps.
1918 - Inicio de operac;ao do primeiro sistema multiplex telef6nico comercial, entre Baltimore, Mary-
land e Pittsburgh, Pensilvannia, do Bell System. Era composto de 4 canais AM-SSB/SC ope-
rando na mesma faixa de frequencias nas duas direc;6es de transmissao e utilizando hibridas
para separac;ao dos sentidos de transmissao (Mux Bell tipo A).
1920 - Operac;ao da primeira estac;ao de radiodifusao em Pittsburgh, Pensilvannia - EUA. Os recepto-
res foram desenvolvidos em 1918, por Armstrong.
1921 - Primeira central telef6nica automatica da America do Sui, em Porto Alegre.
1922 - Primeira Iigac;ao telef6nica via radio no Brasil, a 7 de setembro de 1922, com saudac;ao do
Presidente Epitacio Pessoa ao Presidente Herbert Hoover, dos Estados Unidos da America.
- A Radiobras (Cia. Radiografica Brasileira) inicia os servic;os de telegrafia e telefonia via radio
entre Rio de Janeiro,
Nova York, Roma, Paris, Londres e Berlim.
1923 - A Radio Sociedade do Rio de Janeiro (posteriormente denominada Radio Roquete Pinto) inicia
suas transmiss6es.
1925 - Inaugurado 0 cabo telegrafico submarino da Italcable ligando Buenos Aires, Montevideo, Rio
de Janeiro, Fernando de Noronha, Ac;ores, Malaga e Roma.
1935 - Primeira emissora de TV, nos Estados Unidos da America.
1936 - Publicac;ao do artigo de Armstrong "A Method of Reducing Disturbances in Radio Signaling by
a System of Frequency Modulation", introduzindo 0 sistema de modulac;ao de frequencia (FM).
1937 - Concepc;ao do sistema PCM pelo engenheiro america no Alec Reeves.
1939 a 1945 - II Guerra Mundial - desenvolvimento dos sistemas de radar e microondas.
1948 - 0 Bell System instala 0 primeiro sistema de cabo coaxial costa a costa nos Estados Unidos da
America, com 600 canais de voz.
- Inventado 0 transistor, por John Bardeen, William Shockley e Walter Brattain, do Bell Labs.
1950 - A TV Difusora (posteriormente denominada TV Tupi) inicia suas transmiss6es de TV em Sao
Paulo.
-0 Bell System instala 0 primeiro sistema radio em microondas, com 600 canais de voz.
1956 - Primeiro cabo telef6nico transoceanico (USA - Europa).
1957 - Instalado 0 primeiro sistema telef6nico por microondas do Brasil, interligando Rio de Janeiro,
Sao Paulo e Campinas.
1958 - A Companhia Telef6nica Brasileira inaugura 0 sistema ODD entre Sao Paulo e Santos.
1960 - Criado 0 Servic;o Nacional de Telex, dos Correios Brasileiros.
1962 - Lanc;ado 0 primeiro satelite artificial de comunicac;6es, 0 TELSTAR I.
28
- Obten<;:ao do Laser semicondutor.
- A Lei 4117 institui 0 Codigo Brasileiro de Telecomunica<;:oes; cria 0 Conselho Nacional de
Telecomunica<;:oes (CONTEL); autoriza 0 Poder Executivo a constituir uma empresa publica
para explorar, industrial mente, os servi<;:os de telecomunica<;:oes, postos sob 0 regime de ex-
plora<;:ao da Uniao e cria 0 Fundo Nacional de Telecomunica<;:oes (FNT) para ser aplicado no
Plano Nacional de Telecomunica<;:oes.
1965 - Constituida a EMBRATEL como Empresa Publica.
- Primeiro satelite geoestacionario de telecomunica<;:oes da serie Intelsat I.
- Transmissao de imagens de Marte pela nave Mariner IV.
1966 - 0 Governo brasileiro compra a Companhia Telefonica Brasileira e suas empresas associadas,
a Companhia TelefOnica de Minas Gerais e a Companhia Telefonica do Espirito Santo, res-
ponsaveis por 62,2% dos telefones entao existentes no pais.
1967 - Pelo Decreto-Lei N° 162, de 13 de fevereiro de 1967, e transferido para a Uniao 0 poder de
conceder a explora<;:ao dos servi<;:ostelefOnicos que, ate entao, pertencia aos municfpios.
1969 - Inaugurada a Esta<;:aoTerrena de Comunica<;:ao por Satelite da EMBRATEL, em Tangua -RJ
1970 - Transmissao pela televisao de imagens da chegada do homem a Lua.
- Obten<;:ao da primeira fibra otica com atenua<;:ao inferior a 20 dB/km (C.Kao, da Corning
Glass Works - Estados Unidos da America).
1972 - Primeira transmissao de TV a cores no Brasil (Festa da Uva, em Caxias do Sui - RS)
- Cria<;:aoda TELEBRAs - Telecomunica<;:oes Brasileiras SA
1973 - Inicio do projeto de desenvolvimento de laser semicondutor no Brasil (Convemio TELEBRAs -
UNICAMP).
1975 - Cria<;:aodo Grupo de Pesquisa e Desenvolvimento em Fibra Optica TELEBRAs - UNICAMP.
- A EMBRATEL inaugura 0 sistema de Discagem Direta Internacional (DDI).
1976 - Criado 0 Centro de Pesquisa e Desenvolvimento (CPqD) da TELEBRAs, em instala<;:oes provi-
sorias emprestadas pela EMBRATEL em Campinas - SP.
1978 - Inicio das atividades de desenvolvimento de sistemas de comunica<;:oes oticas no CPqD TE-
LEBRAs (Grupamento de Dispositivos Opto-Eletronicos).
1980 - Inaugura<;:ao da Sede definitiva do CPqD TELEBRAS,em Campinas-SP.
- Lan<;:ada no mercado brasileiro a fibra otica de indice degrau, desenvolvida pelo CPqD TELE-
BRAS.
1981 - Inicio da produ<;:ao industrial de equipamentos MCP-30A (Multiplex PCM de 30 canais) desen-
volvidos pelo CPqD TELEBRAS.
1982 - Obten<;:ao de fibra otica multimodo de indice gradual, com tecnologia do CPqD TELEBRAS
(atenua<;:ao de 3 dB/km em comprimento de onda de 0,85 nm).
- Conclusao do desenvolvimento do equipamento de linha otica para 34 MbiUs (ELO 34).
- Instala<;:ao, no Rio de Janeiro (CETEL), do Primeiro Enlace Experimental de Comunica<;:oes
Opticas (ECO-I), desenvolvido pelo CPqD TELEBRAS.
1985 - Lan<;:amento do Primeiro Satelite Domestico de Telecomunica<;:oes do Brasil (Brasilsat I).
- BELLCORE lan<;:a0 sistema SONET (Synchronous Optical Network)
1986 - Produ<;:ao, no CPqD TELEBRAS, em escala piloto, de fibra otica mono modo para opera<;:ao no
comprimento de onda de 1,3 nm, com transferencia de tecnologia para a industria nacional.
- CCITT inicia padroniza<;:ao da Hierarquia Digital Sincrona (SDH)
1988 - Primeira serie de Recomenda<;:oes do CCITT sobre SDH (G.707/708/ 709)
1990 - Instala<;:ao do 1° sistema de Telefonia Movel Celular do Brasil, na cidade do Rio de Janeiro.
1995 - Nova Recomenda<;:ao G.707 do ITU-T substitui as Recomenda<;:oes G.707/G.708/G.709.
1998 - 0 Sistema TELEBRAS e privatizado em leilao realizado em 29.07.98.
1.1 - Para os sinais descritos abaixo, para -00 ::;:t ::;:+00, determine:
a) 0 sinal e determinfstico ou aleat6rio?
b) 0 sinal e peri6dico ou nao-peri6dico?
c) 0 sinal e anal6gico ou digital?
d) 0 sinal e de energia ou de potencia?
e) qual e a energia normalizada total do sinal?
f) qual e a potencia media normalizada do sinal?
{
Ts
A .... para·ltl::;: -
1.1.1. g(t) = 2 , com A = 3 VeTs = 1° ~s
Ts
O..... para·ltl> 2
1.1.2. x(t) = I amg(t - mTs) , com g(t) dado por (1.1.1), m inteiro,
{
+ 1. ..... com. probabilidade. p
a - e 0 < p < 1 (real)
m - -l.. .... com.probabilidade.(l- p)
+00
1.1.3. x(t) = Iamg(t - mTs) com g(t) dado por (1.1.1), m inteiro e am = {_l)m
{
(2;r) T
+00 A.co\-t+¢ ... para.lt!::;:-
1.1.4. x(t) = m~oos(t - mT), com set) = T T 2 , A = 3 Ve <I> = 1t/4 rad
O..... para. 1 tl> 2'
1.1.5 x(t) = sinal de voz representado na Fig. 1.10, com durac;:ao ilimitada e tensao eficaz cr = 0,5 V.
2 - Analise Espectral
2.1. SERlE TRIGONOMETRICA DE FOURIER
Uma func;ao peri6dica da variavel angular 8, x(8), com perfodo de repetic;ao de 2rc radia-
nos, pode ser desenvolvida em uma serie de termos em seno e cosseno de multiplos inteiros de 8,
chamada Serie Trigonometrica de Fourier, desde que satisfac;a as Condi~6es de Dirichlet, que
sac:
a) que x(8) tenha um numero finito de maximos e mfnimos em um perfodo;
b) que x(8) tenha um numero finito de descontinuidades em um perfodo;
c) que a integral flx(B)ldB seja finita
A serie trigonometrica de Fourier e a soma de termos:
aox( B) =2+ at cos( B) + az cos(2B)+ ...+bl seneB) + bz sen(2B)+ ...=
a CD
=....Q. + L[an cos(nB) + bll sen(nB)]2 11=1
onde os coeficientes da serie sac dados por:
1 +ff
ao = - fx(B)dB
1r
~ff
1 +ff
all = - fx(B)cos(nB)dB
1r
-ff
1 +ff
b
ll
= - fx(B)sen(nB)dB (2.4)
1r
~ff
E facil verificar as relac;6es acima. Integrando-se ambos os membros da expressao (2.1),
para 8 de -rc a +rc, tem-se:
~IX(B)dB= ~o IdB+ ~[a,JcOS(nB)dB+bnIsen(nB)dB] (2.5)
Em (2.5), as integrais das func;6es seno e cosseno sobre um numera inteira de perfodos,
dentra do somat6rio, sac nulas. Resta entao:
+ff
fx(B)dB = ao.1r' confirmando assim a relac;ao (2.2)
Para verificar a relac;ao (2.3) multiplica-se cada membra de (2.1) por cos(m8) e integra-
se de -rc a +rc:
~IX(B)COS(mB)dB = ~o ~ICOS(mB)dB+ ~[all ~Icos(nB) cos(mB)dB + bn~ISen(nB)COS(mB)dB] (2.6)
Em (2.6), a primeira integral do segundo membra e nula e, para as integrais dentra do
somat6rio, usam-se as relac;6es trigonometricas:
cos(a - b) + cos( a + b) (2.7)
cos(a)cos(b) = 2
sen(a + b) - sen(a - b) (2.8)cos(a)sen(b) = 2
Obtem-se entao:
+ff oc { +IT b +IT }
_!x(B)COS(mB)dB=~ a~,_![cos(n-m)B+cos(n+m)BjdB+ ; ~![sen(n+m)B-sen(n-m)B]dB (2.9)
Em