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EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 1 de 9 CEDERJ Gabarito EP 01 Pré-Cálculo ________________________________________________________________________ Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a 58 ". Resolva-o. Resolução: Sejam zex , tais que 10 zx e 5822 zx . Mas, xzzx 1010 . Substituindo xz 10 em 5822 zx , obtemos: 58)10( 22 xx . Mas, 042202582010058)10( 22222 xxxxxxx 2 1610 12 8410010 12 2114)10(10 02110 2 2 xxx 37 2 410 xoux . Então, dividimos 10 em duas partes, tal que: 3710 e 5894937 22 . _________________________________________________________________________ Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um cubo, deixando um volume de 3cm196 . Encontre o comprimento do lado do cubo original. Resolução: Seja IRx , tal que o lado do cubo mede x cm. Se uma fatia de 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces desse cubo, o novo paralelepípedo tem a seguinte forma: base quadrada de lado medindo x cm. Altura medindo 3x cm O volume desse paralelepípedo é 32 cm196)3()3( xxxxx . Resolvendo a equação 196)3(2 xx : 01963196)3( 232 xxxx Como 𝑥 é medida, 𝑥 é positivo. Os divisores positivos do termo independente são 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196. Testando se são raízes: EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 2 de 9 13 − 3 ∙ 12 − 196 = −194 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 1 não é solução da equação dada.. 0200196232 23 . Logo, 2x não é solução da equação dada. 43 − 3 ∙ 42 − 196 = −180 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 4 não é solução da equação dada.. 0196737 23 . Logo, 7x é solução da equação dada. Dividindo 1963 23 xx por 7x obtemos 2842 xx . Mas, para esse trinômio do segundo grau, 2842 xx , temos 011216281444 22 cab . Portanto, 2842 xx não tem raízes reais. Assim, a única raiz solução real da equação 01963 23 xx é 7x . Logo, o comprimento do lado do cubo original é 7x cm. _________________________________________________________________________ Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: a) 2 2 1 2)( 35 xxxxp b) 5)( xt c) 53)( 2 1 3 1 xxxq d) 32)( 134 xxxxs e) 5 34 )( 3 25 x xx xr . Resolução: a) É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais. b) É um polinômio constante, grau zero. c) e d) Não são polinômios, pois há expoentes da variável x que não são números inteiros, maiores ou iguais a 0. e) Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios. _________________________________________________________________________ Exercício 4: Determine os valores de cba ,, , números reais, que tornam os polinômios )( xp e )( xq iguais: )1()1()1()1()( xxcxxbxxaxp e 53)( 2 xxq . Resolução: Os polinômios )( xp e )( xq são iguais se os seus coeficientes ia da i-ésima potência 2,1,0, ix i , são iguais. Como, )1()1()1()1()1()( 222 xcxbxbxaxaxxcxxbxxaxp cxbaxcbaxp )()()( 2 . Então, para que os polinômios e sejam iguais, é preciso que: 5 0 3 c ba cba 5 352 c ba a 51 ceba ________________________________________________________________________ )( xp )( xq EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 3 de 9 Exercício 5: Faça as operações indicadas para identificar os coeficientes do polinômio na variável 𝑥 e diga quais são os seus coeficientes. Para realizar as operações indicadas, use produtos notáveis que são casos particulares do Binômio de Newton. a) 23 )14(2)14( xx b) 44)( xhx . Resolução: a) )1816(2)11431)4(3)4(()14(2)14( 2322323 xxxxxxx 3288064216321124864 23223 xxxxxxxx . Acima foram usados os produtos notáveis: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 e (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3. A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas o produto notável (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. Para iniciar, podemos colocar o fator comum (4𝑥 + 1)2 em evidência, −(4𝑥 + 1)3 − 2(4𝑥 + 1)2 = (4𝑥 + 1)2(−(4𝑥 + 1) − 2)) = (16𝑥2 + 8𝑥 + 1) (−4𝑥 − 3) = = −64𝑥3 − 48𝑥2 − 32𝑥2 − 24𝑥 − 4𝑥 − 3 = −64𝑥3 − 80𝑥2 − 28𝑥 − 3. Coeficientes: grau 3 é −64; grau 2 é −80; grau 1 é −28; grau 0 é −3. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) 43223443223444 464464)( hhxhxhxxhhxhxhxxxhx . Acima foi usado o produto notável (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas a propriedade distributiva e o produto notável (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. (𝑥 + ℎ)4 − 𝑥4 = (𝑥 + ℎ)2(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥4 = (𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2)(𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2) − 𝑥4 = = 𝑥4 + 2ℎ𝑥3⏟ (1) + ℎ2𝑥2⏟ (2) + 2ℎ𝑥3⏟ (1) + 4ℎ2𝑥2⏟ (2) + 2ℎ3𝑥⏟ (3) + ℎ2𝑥2⏟ (2) + 2ℎ3𝑥⏟ (3) + ℎ4 − 𝑥4 = = 4ℎ𝑥3 + 6ℎ2𝑥2 + 4ℎ3𝑥 + ℎ4 Coeficientes: grau 3 é 4ℎ; grau 2 é 6ℎ2; grau 1 é 4ℎ3; grau 0 é ℎ4. Digite a equação aqui. ________________________________________________________________________ Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios e )( xs nos seguintes casos: a) 3423)( 345 xxxxxp 12)( 3 xxxs b) 121143)( 2345 xxxxxxp )54()( 22 xxxxs . Resolução: a) 3423 345 xxxx 123 xx )( xp EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 4 de 9 235 363 xxx 83 2 xx 3438 234 xxxx xxx 24 2 3558 23 xxx 8168 3 xx 11215 2 xx Neste caso, o quociente é 83)( 2 xxxq e o resto é 11215)( 2 xxxr . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) 121143 2345 xxxxx 234 54 xxx 345 54 xxx 1x 12119 234 xxxx 234 54 xxx 121145 23 xxx Neste caso, o quociente é 1)( xxq e o resto é 121145)( 23 xxxxr . ________________________________________________________________________ Exercício 7: Determine IRa , de modo que o polinômio axaxaxaxp 4)23()12()( 23 seja divisível por 1)( xxs e em seguida, obtenha o quociente da divisão. Resolução: O polinômio será divisívelpor 1)( xxs , se e somente se 0)1( p . Mas, 3104231241)23(1)12(1)1(0 23 aaaaaaaaap . Donde, 10 3 a e, portanto, 10 12 10 11 10 4 10 3 )( 23 xxxxp . Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir )( xp por 1)( xxs . axaxaxaxp 4)23()12()( 23 EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 5 de 9 10 12 10 11 10 4 10 3 1 10 12 10 1 10 3 0 O quociente procurado é: 10 12 10 1 10 3 )( 2 xxxq . ________________________________________________________________________ Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: a) 352)( 2 xxxp b) 352)( 23 xxxxp c) 1)( 4 xxp d) 611692)( 234 xxxxxp e) 158)( 24 xxxp f) 4472)( 234 xxxxxp g) 1)( 4 xxp . h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 Resolução: faremos a resolução com detalhes, para que vocês possam entender os resultados que foram usados. a) )3()12()3() 2 1 (2) 2 3 2 5 (2352)( 22 xxxxxxxxxp . Bastou encontrar as raízes do trinômio do segundo grau. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) 352)( 23 xxxxp . Como )( xp é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 3 , que são: 3,3,1,1 . Calculando )3(,)3(,)1(,)1( pppp , vemos que não são zero. Logo esse polinômio não tem raízes inteiras. As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente , que são: 3,3,1,1 , divididos pelos divisores, diferentes de 1,1 , do coeficiente do termo de maior grau, que são 2,2 . Calculando ) 2 1 (p , vemos que 0) 2 1 ( p . Dividindo )(xp por 2 1 x , obtemos; 3 EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 6 de 9 )3()12()3() 2 1 (2)622() 2 1 (352)( 22223 xxxxxxxxxxxxxp . O trinômio do segundo grau, )3( 2 xx , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c) )1()1()1()1()1(1)(1)( 222224 xxxxxxxxp . Observe que estamos tratando o polinômio 1)( 4 xxp , como um trinômio do segundo grau na variável 2x e que 1 e 1 são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do segundo grau, 12 x , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d) 611692)( 234 xxxxxp . As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 6 , que são: 6,6,3,3,2,2,1,1 . Calculando )1(p , vemos que 0)1( p . Dividindo )(xp por 1x , obtemos; )617112()1(611692)( 23234 xxxxxxxxxp . Como 617112)( 231 xxxxp é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz real. As possíveis raízes inteiras do polinômio 617112)( 231 xxxxp são os divisores do termo independente , que são: 6,6,3,3,2,2,1,1 . Calculando )2(1p , vemos que 0)2(1 p . Dividindo )2(1p por 2x , obtemos; )372()2(617112)( 2231 xxxxxxxp . Agora é só tentar fatorar o polinômio 372)( 22 xxxp , o que é possível e resulta em )3()12()3() 2 1 (2) 2 3 2 7 (2372)( 222 xxxxxxxxxp . Portanto a fatoração procurada é: )3()12()2()1(611692)( 234 xxxxxxxxxp . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e) )5()5()3()3()5()3(158)(158)( 2222224 xxxxxxxxxxxp Observe que estamos tratando o polinômio 158)( 24 xxxp , como um trinômio do segundo grau na variável e que 3 e 5 são as raízes desse trinômio do segundo grau. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f) 4472)( 234 xxxxxp . 6 2x EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 7 de 9 As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 4 , que são: 4,4,2,2,1,1 . Calculando , vemos que . Dividindo )(xp por 1x , obtemos; )482()1(4472)( 23234 xxxxxxxxxp . Como 482)( 231 xxxxp é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz real. As possíveis raízes racionais do polinômio 482)( 231 xxxxp são os divisores do termo independente 4 , que são: 4,4,2,2,1,1 , divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, que são 2,2,1,1 . Logo, as possíveis raízes racionais de )(1 xp são: 2 1 , 2 1 ,4,4,2,2,1,1 . Aqui estamos incluindo também as raízes inteiras, que também são racionais. Calculando 15)1(1 p , 5)1(1 p , 40)2(1 p , 24)2(1 p , 180)4(1 p , 140)4(1 p , 2 17 ) 2 1 (1 p , 0) 2 1 (1 p , vemos que 0) 2 1 (1 p . Dividindo )(1 xp por 2 1 x , obtemos; )82() 2 1 (482)( 2231 xxxxxxp . Como o trinômio do segundo grau, 82 2 x , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais, nada mais temos a fatorar, logo, )82() 2 1 ()1(4472)( 2234 xxxxxxxxp . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- g) 1)( 4 xxp Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (isso significa que o coeficiente do termo de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo independente 1 , que são: 1,1 . Como 02)1()1( pp então esse polinômio não tem fatores lineares na sua fatoração em IR correspondentes às raízes racionais, o polinômio poderá ter raízes irracionais ou não ter raízes reais. Por outro lado, 𝑥4 + 1 = 0 ⟺ 𝑥4 = −1 , mas ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥4 ≥ 0, logo essa equação não tem solução para 𝑥 ∈ ℝ e a sua fatoração só terá fatores quadráticos irredutíveis. Podemos tentar a seguinte fatoração, onde a e b são números reais: 1)()2()()1()1(1)( 234224 xbaxbaxbaxxbxxaxxxp . Da igualdade de polinômios, segue que: )1(p 0)1( p EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 8 de 9 2202 0202 0 22 aaa ab ab ab ba ou 2a . Se 2a então 2b . Se 2a então 2b . Portanto, a fatoração pedida é: )12()12(1)( 224 xxxxxxp . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo independente−1, que são: 1,−1. 𝑝(1) = 1 − 2 + 2 − 1= 0 , 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 𝑝(1) = 1 + 2 − 2 − 1 = 0 , −1 é raiz de 𝑝(𝑥). Logo, 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)𝑞(𝑥). Devemos determinar 𝑞(𝑥) que tem grau 2. Para isso, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas. 1 −2 0 2 −1 1 1 −1 −1 1 0 −1 1 −2 1 0 𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1, determinando suas raízes, 𝑥 = 2±√4−4 2 = 1, 𝑥 = 1 é raiz dupla de 𝑞(𝑥) e 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1)2. Portanto 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 1). ________________________________________________________________________ Exercício 9: Será 3x um fator do polinômio 2187)( 7 xxp ? Justifique sua resposta. Resolução: Se 3x for um fator do polinômio 2187)( 7 xxp , então )()3()( xqxxp , e assim, 𝑥 = −3, será uma raiz do polinômio 2187)( 7 xxp . Basta então verificar se 0)3( p . Calculando: 0218721872187)3()3( 7 p . Portanto, 3x é um fator do polinômio 2187)( 7 xxp . ________________________________________________________________________ Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número racional que seja igual ao seu cubo mais um? EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 9 de 9 Resolução: Consideremos x um número racional. Se este número racional x , é igual ao seu cubo mais um, então podemos escrever que 13 xx . Mas, 011 33 xxxx . Considerando o polinômio 1)( 3 xxxp , sabemos que as possíveis raízes racionais desse polinômio são inteiras, pois o coeficiente do monômio de mais alto grau, 3x , é. 1 . Essas possíveis raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 1 , que são 1 e 1 . Calculando )1(p e )1(p : 011111)1()1()1( 3 p e 01111111)1( 3 p . Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais. Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um.
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