PC 2017 1 EP02 Polinomios Analise de Sinal GABARITO

Prévia do material em texto

EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
1 de 15 
CEDERJ 
Gabarito EP 02 
Pré-Cálculo 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 1: Fatore os polinômios a seguir e estude o seu sinal. Quando possível, apresente as 
conclusões na forma de intervalo, isto é, escreva as conclusões como um único intervalo ou como 
união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
a) 
1
2
1
2
1
)( 23  xxxxp
 b) 
1243)( 23  xxxxq
 
c) 
8814143)( 234  xxxxxs
 
Resolução: 
a) 
1
2
1
2
1
)( 23  xxxxp
. 
Note que, 
)22(
2
1
1
2
1
2
1
)( 2323  xxxxxxxp
, ou seja , 
)(
2
1
)( xqxp 
, onde 
)( xq
 é um polinômio com coeficientes inteiros. 
As possíveis raízes racionais de 
)( xq
são inteiras e estão entre os divisores do termo independente 
−2, que são: 
2,2,1,1 
. 
 
Calculando os valores de nessas possíveis raízes, verificamos que somente 
2x
é raiz de 
, pois 𝑞(2) = 23 − 2 ∙ 22 + 2 − 2 = 8 − 8 + 2 − 2 = 0 
e 𝑞(−1) ≠ 0 , 𝑞(1) ≠ 0 e 𝑞(−2) ≠ 0 , portanto 𝑥 = 2 é a única raiz de 
)( xp
. 
Dividindo por 
2x
obtemos, 
)1()2()( 2  xxxq
. 
Portanto, 
)1()2(
2
1
)(
2
1
)( 2  xxxqxp
. 
Como 
IR,0112  xx
, então o sinal de 
)( xp
depende somente do sinal de 
2x
. 
Logo, 
2020)(  xxxp
 ⟺ 𝑥 ∈ (2, ∞). 
2020)(  xxxp
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, 2). 
2020)(  xxxp
. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
1243)( 23  xxxxq
 
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 
1243)( 23  xxxxq
. 
 
)( xq
)( xq
)( xq
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
2 de 15 
 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 12, que são: 
12,12,6,6,4,4,3,3,2,2,1,1 
. Calculando: 
0101243112)1(4)1(3)1()1( 23 q
. Logo, −1 não é raiz desse polinômio. 
020124311214131)1( 23 q
. Logo, 
1
 não é raiz desse polinômio. 
0812812812)2(4)2(3)2()2( 23 q
. Logo, −2 não é raiz desse 
polinômio. 
0401281281224232)2( 23 q
. Logo, 2 não é raiz desse polinômio. 
01212272712)3(4)3(3)3()3( 23 q
. Logo, 
3
 é raiz desse polinômio. 
Dividindo 
)( xq
por 
3)3(  xx
 obtemos, 
42 x
. 
Portanto, 
)4()3(1243)( 223  xxxxxxq
. 
Como 
0442 x
então esse polinômio nunca se anula, não tem raízes reais. Assim, 
)4()3()( 2  xxxq
 é a fatoração do polinômio 
)(xq
 em 
IR
. 
Como , então o sinal do polinômio 
)4()3()( 2  xxxq
, depende apenas do sinal do 
fator linear 
3x
. 
Portanto, 
 
3030)(  xxxq
 
 
3030)(  xxxq
⟺ 𝑥 ∈ (−3, ∞) 
 
3030)(  xxxq
⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −3) 
 O polinômio 
)(xq
 pode ser calculado para todos os números reais. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Prestem bastante atenção na resolução do item c). A fatoração do polinômio 
)( xs
 envolve o estudo 
de raízes racionais e 
)( xs
 tem também raízes irracionais. Para fazer o estudo do sinal desse polinômio 
será preciso ordenar as raízes encontradas. É um exercício bem completo. Confira a sua solução com 
atenção, ou se não resolveu esse item, acompanhe todos os passos dessa resolução. 
c) 
8814143)( 234  xxxxxs
 
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 
8814143)( 234  xxxxxs
. 
0442 x
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
3 de 15 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 
8
, que são: 
8,8,4,4,2,2,1,1 
. 
Calculando: 
0388141438)1(8)1(41)1(14)1(3)1( 234 s
. Logo, 
1
 não é 
raiz desse polinômio. 
015881414381811411413)1(
234
s
. Logo, 
1
 não é raiz desse 
polinômio. 
081656112488)2(8)2(41)2(14)2(3)2( 234 s
. Logo, 
2
 é raiz desse 
polinômio. 
Dividindo 
)( xs
por 
2)2(  xx
 obtemos, 
4283 23  xxx
. 
Portanto, 
)4283()2(8814143)( 23234  xxxxxxxxxs
. 
Vamos agora buscar as raízes do fator 
4283)( 231  xxxxs
 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio, 
4283)( 231  xxxxs
, são os divisores do termo 
independente 
4
, que são: 
4,4,2,2,1,1 
. Como 
11  e
 não são raízes de 
)( xs
 
então também não são raízes de . De fato, como 
)()2()( 1 xsxxs 
 então o valor de 
x
 que 
anular 
)(1 xs
, anula também 
)( xs
. 
Vamos testar 
2
 e 
2
. Calculando: 
084432244)2(2)2(8)2(3)2( 231 s
. Logo, −2 não é raiz desse 
polinômio. 
0484432244222823)2( 231 s
. Logo, 2 não é raiz desse polinômio. 
Vamos testar 
4
 e 
4
. Calculando: 
060481281924)4(2)4(8)4(3)4( 231 s
. Logo, 
4
 não é 
raiz desse polinômio. 
0308481281924424843)4( 231 s
. Logo, 
4
 não é raiz desse 
polinômio. 
Vamos verificar agora, possíveis raízes racionais de 
)(1 xs
. 
)(1 xs
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
4 de 15 
As possíveis raízes racionais "não inteiras" do polinômio 
4283)( 231  xxxxs
 são os 
divisores do termo independente 
4
, que são: 
4,4,2,2,1,1 
, divididos pelos 
divisores do coeficiente do termo de maior grau, diferentes de 
1,1 
, que são: 
3,3 
. As 
possíveis raízes racionais "não inteiras" são: 
3
4
,
3
4
,
3
2
,
3
2
,
3
1
,
3
1

. 
Calculando: 
0
9
23
4
3
2
3
1
8
3
1
34)
3
1
(2)
3
1
(8)
3
1
(3)
3
1
(
23
23
1 s
. Logo, 
3
1

 não é raiz desse polinômio 
0
3
11
4
3
2
3
1
8
3
1
34)
3
1
(2)
3
1
(8)
3
1
(3)
3
1
(
23
23
1 s
. Logo, 
3
1
 não é raiz 
desse polinômio. 
04
3
4
3
4
8
3
8
34)
3
2
(2)
3
2
(8)
3
2
(3)
3
2
(
23
23
1 s
. Logo, 
3
2

 é raiz 
desse polinômio. 
Dividindo 
)(1 xs
por 
3
2
)
3
2
(  xx
 obtemos, 
663 2  xx
. 
Portanto, 
)663()
3
2
(4283)( 2231  xxxxxxxs
. 
Buscando as raízes de 
663)( 22  xxxs
: 
 
31
6
366
6
1086
32
)6(3466 2







x
. 
Portanto, 
))31(())31((3663)( 22  xxxxxs
. 
Assim, 
))31(())31(()
3
2
()2(38814143)( 234  xxxxxxxxxs
. 
Para analisar o sinal do polinômio 
)(xs
, devemos analisar o sinal dos fatores lineares: 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
5 de 15 
31,31,
3
2
,2  xxxx
 e depois multiplicar os sinais. 
Vamos fazer a tabela de sinais, mas para isso é preciso ordenar os números reais: 
31,31,
3
2
,2 
, que são as raízes do polinômio 
)(xs
. 
Temos que: 
013131313 
. 
Os números 
31,
3
2
,2 
 são todos negativos e 
3
2
2 
. 
Vamos comparar 
312  e
. 
31312312231 . 
Como a última afirmação da direita é verdadeira, então pelas equivalências a afirmação 
231 
 
também é verdadeira. 
Portanto, 
31
3
2
231 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 x
 
31x
 
231  x
 
2x
 
31x
 

 
0
 

 

 
2x
 

 

 

 
0
 
3
2
x
 

 

 

 

 
31x
 

 

 

 

 
Produto dos 
sinais 
 
0
 

 
0
 
 
3
2
2  x
 
3
2
x
 
31
3
2
 x
 
31x
 
 x31
 
31x
 

 

 

 

 

 
2x
 

 

 

 

 

 
3
2
x
 

 
0
 

 

 

 
31x
 

 

 

 
0
 

 
Produto dos 
sinais 
 
0
 

 
0
 

 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
6 de 15 
 
Concluímos, portanto, que: 
 
31,31,
3
2
,208814143)( 234  xxxxxs
 
 
),31()
3
2
,2()31,(08814143)( 234  xxxxxs
 
 
)31,
3
2
()2,31(08814143)( 234  xxxxxs
 
 O polinômio 
8814143)( 234  xxxxxs
 pode ser calculado para 
IR x
. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Determine o conjunto 
S
dos números reais tais que o gráfico de 
xxxg 92)( 3 
está 
acima ou intersecta o gráfico da parábola 
52  xy
. 
Resolução: 
Para responder o que é solicitado, é preciso resolver a inequação 
592 23  xxx
, ou seja, a 
inequação, 
0592 23  xxx
. Este problema geométrico será tratado algebricamente. 
Temos então, que estudar o sinal do polinômio 
592)( 23  xxxxp
. 
Pesquisando as raízes inteiras: 
275)5(,315)5(,15)1(,7)1(  pppp
. Concluímos que o polinômio 
)( xp
não tem raízes inteiras. 
Pesquisando as raízes racionais, não inteiras: 
2
105
)
2
5
(,55)
2
5
(,
2
19
)
2
1
(,0)
2
1
(  pppp
. Concluímos que a única raiz 
racional do polinômio 
)( xp
é 
2
1
x
. 
Portanto, 
)1022()
2
1
(592)( 223  xxxxxxxp
. 
Temos que
01022 2  xx
, pois este trinômio do segundo grau não tem raízes reais, já que 
768041024)2(4 22  cab
é negativo e 
0a
. 
Assim, o sinal de 
)( xp
depende apenas do sinal de 
2
1
x
. 
Logo, 
2
1
0
2
1
0)(  xxxp
. 
2
1
0
2
1
0)(  xxxp
. 
2
1
0
2
1
0)(  xxxp
 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
7 de 15 
Portanto, o conjunto 
S
dos números reais tais que o gráfico de 
xxxg 92)( 3 
está acima ou 
intersecta o gráfico da parábola 
52  xy
 é 






 ,
2
1
S
. 
Apenas por curiosidade, veja os gráficos de 
xxy 92 3 
 e 
52  xy
. Você ainda vai aprender a traçar o gráfico de 
xxy 92 3 
 em Cálculo I. 
 
 
 
 
___________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Analise o sinal da expressão 
3
23
1
1
)(
x
xxx
xE



. 
Resolução: 
Fatorando o numerador 
123  xxx
: 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 
1
, que são: 
1,1 
. 
Calculando: 
011111)1()1()1( 23 
. Logo, 
1x
 é raiz do polinômio 
123  xxx
. Assim, 
)1()1(1 223  xxxxx
. Como 
112 x
, então 
IR,012  xparax
, não tem raízes reais. 
Portanto, 
)1()1(1 223  xxxxx
 está completamente fatorado em 
IR
. 
Fatorando o denominador 
11 33  xx
: 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 
1
, que são: 
1,1 
. 
Calculando: 
0111)1( 3 
. Logo, 𝑥 = 1 é raiz do polinômio 
13  x
. Assim, 
)1()1()1()1(1 223  xxxxxxx
. 
Temos que
012  xx
, 
IR x
, pois este trinômio do segundo grau não tem raízes reais, já que 
34111414 22  cab
 é negativo e 
0a
. 
Temos, portanto, que: 
)1()1(
)1()1(
1
1
)(
2
2
3
23






xxx
xx
x
xxx
xE
 
 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
8 de 15 
 
Vamos fazer a tabela dos sinais. Para isso note que: 
IR,012  xparax
; 
IR,012  xparaxx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
)1,1(0
)1()1(
)1()1(
1
1
)(
2
2
3
23






 x
xxx
xx
x
xxx
xE
 
 
),1()1,(0
)1()1(
)1()1(
1
1
)(
2
2
3
23






 x
xxx
xx
x
xxx
xE
 
 
10
)1()1(
)1()1(
1
1
)(
2
2
3
23






 x
xxx
xx
x
xxx
xE
 
 
)1()1(
)1()1(
1
1
)(
2
2
3
23






xxx
xx
x
xxx
xE
 não pode ser calculada para 
1x
. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Diga para que valores de 
IRx
, a expressão 
1
232
)(
23



x
xxx
xE
 pode ser 
calculada. 
Resolução: 
A expressão 
1
232
)(
23



x
xxx
xE
 pode ser calculada para 
IR x
, tal que, 
 
0232 23  xxx
, pois para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o 
radicando seja positivo ou nulo 
e 
 
01 x
, pois o denominador não pode se anular. 
 
 
1 x
 
1x
 
11  x
 
1x
 
 x1
 
1x
 

 
0
 

 

 

 
12 x
 

 + 

 

 

 
1 − 𝑥 

 + 

 
0
 

 
12  xx
 

 + 

 

 

 
)1()1(
)1()1(
)(
2
2



xxx
xx
xE
 

 
0
 

 
nd
 

 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
9 de 15 
Vamos fatorar o polinômio 
232)( 23  xxxxp
. 
Buscando as raízes de 
)( xp
. 
As possíveis raízes inteiras da equação são os divisores do termo independente 
2
, que são 
2,1 
Testando 
1x
, obtemos 
02)1(3)1(2)1( 23 
. Assim, 
1x
 é raiz de 
)( xp
. 
Dividindo o polinômio 
232)( 23  xxxxp
 por 
1x
, obtemos 
)2()1(232)( 223  xxxxxxxp
. 
Note que 
22  xxy
 nunca se anula, pois 
0721414 22  cab
 e 
022  xx
, para 
IR x
, pois o coeficiente 
01 a
. 
Portanto, o sinal do polinômio 
)2()1(232)( 223  xxxxxxxp
 depende apenas, do 
sinal de 
1x
. 
Logo, 
1010)(  xxxp
. 
1010)(  xxxp
. 
Assim, 
1010)(  xxxp
 
Donde, 
 
),1()1,1[11010232 23  xxexxexxx
. 
Concluímos então que, a expressão 
1
232
)(
23



x
xxx
xE
 pode ser calculada para 
),1()1,1[ x
. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Encontre os valores de 
IRx
 para os quais é possível calcular a expressão 
)2)(4(4
)3()2(
)(
45



xx
xx
xE
. 
Resolução: 
Três condições devem ser satisfeitas, 
(I) 
0)3()2( 45  xx(II) 
0)2)(4(  xx
 
(III) 
0)2)(4(4  xx
 
Precisamos encontrar a solução de cada condição e depois fazer as interseções das três soluções. 
Resolvendo cada condição: 
 
 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
10 de 15 
(I) 
0)3()2( 45  xx
 
Como a potência de 
)2( x
 é ímpar, sabemos que: 
2020)2( 5  xxx
; 
2020)2( 5  xxx
 
2020)2( 5  xxx
 
Como a potência de 
)3( x
 é par, sabemos que: 
3030)3( 4  xxx
 
3030)3( 4  xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução de (I) é 
  ),2[31 S
 
 
II) 
0)2)(4(  xx
 
 
 
2 x
 
2x
 
42  x
 
4x
 
 x4
 
)4( x
 

 

 

 0 

 
)2( x
 

 0 

 

 

 
)2)(4(  xx
 

 0 

 0 

 
 
A solução de (II) é 
),4[]2,(1 S
 
 
III) 
16)2)(4(4)2)(4(0)2)(4(4  xxxxxx
 
 
Vamos resolver a equação de grau 2: 
16)2)(4(  xx
 
 
16)2)(4(  xx
 
168422  xxx
 
02422  xx
 
2
102
2
9642 


x
 
6x
 ou 
4x
 
 
Resolução de (III) é 
 64:3  xexxS lR
. 
 
 
 
 
3 x
 
3x
 
23  x
 
2x
 
 x2
 
5)2( x
 

 

 

 0 

 
4)3( x
  0    
45 )3()2(  xx
 

 0 

 0 

 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
11 de 15 
 
Para visualizar melhor a interseção das 3 soluções, vamos visualizar cada uma na reta real: 
 
:1S
 
 
:2S
 
 
:3S
 
 
:321 SSS 
 
 
 
Resposta em forma de intervalo: {−3} ∪ [4, 6) ∪ (6, ∞) 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Analise o sinal da expressão 
xx
xx
xE
2
12
)(
2
23



 e diga para que valores de 
IRx
, a 
expressão 
xx
xx
xE
2
12
)(
2
23
1



 pode ser calculada. 
Resolução: 
Para que 
xx
xx
xE
2
21
)(
2
23
1



 possa ser calculada é preciso que: 
 o radicando, 
xx
xx
xE
2
21
)(
2
23



, seja positivo ou nulo 
e 
 o denominador 
xx 22 
não se anule. 
Portanto queremos que 
0
2
21
)(
2
23




xx
xx
xE
e
022  xx
. 
Mas, 
200)2(022  xexxxxx
. 
Vamos encontrar as raízes da equação 
012 23  xx
. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 
1
, que são 
11  e
. 
Testando 
1x
, obtemos: 
01211121 23 
. Logo, 
1x
 é raiz da equação. 
Fatorando, obtemos: 
)1()1(12 223  xxxxx
. 
Assim, 
01010)1()1(012 2223  xxouxxxxxx
. 
Analisando 
012  xx
: 
2
51
2
411
12
)1(14)1()1(
01
2
2 




 xxx
. 
 
 
2
 
 
4
 
3
 
6
 
3
 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
12 de 15 
Analisando o sinal da expressão 
)2(
)1()1(
2
12
)(
2
2
23






xx
xxx
xx
xx
xE
: 
Os valores de 
lRx
 que anulam o numerador ou o denominador são: 
2
51
;
2
51
;1;2;0

. 
Precisamos ordenar esses números para incluir na tabela: 
2
2
51
10
2
51




 
 
2
51 
 x
 
2
51 
x
 
0
2
51


x
 
0x
 
10  x
 
1x
 

 

 

 

 

 
)
2
51
(

x
 

 
0
 

 

 

 
)
2
51
(

x
 

 

 

 

 

 
x
 

 

 

 
0
 

 
2x
 

 

 

 

 

 
)( xE
 

 
0
 

 
nd
 

 
 
 
 
1x
 
2
51
1

 x
 
2
51 
x
 
2
2
51


x
 
2x
 
 x2
 
1x
 
0
 

 

 

 

 

 
)
2
51
(

x
 

 

 

 

 

 

 
)
2
51
(

x
 

 

 
0
 

 

 

 
x
 

 

 

 

 

 

 
2x
 

 

 

 

 
0
 

 
)( xE
 
0
 

 
0
 

 
nd
 

 
 
Logo, o sinal da expressão 
xx
xx
xE
2
21
)(
2
23



 é o seguinte: 
 
2
51
1
2
51
0
2
21
)(
2
23 





 xouxoux
xx
xx
xE
. 
 
),2()
2
51
,1()0,
2
51
(0
2
21
)(
2
23







 x
xx
xx
xE
. 
 
)2,
2
51
()1,0()
2
51
,(0
2
21
)(
2
23 





 x
xx
xx
xE
. 
 
20paracalculadaserpodenão
2
21
)(
2
23



 xex
xx
xx
xE
. 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
13 de 15 
 
Como queremos que 
0
2
21
)(
2
23




xx
xx
xE
e
022  xx
, então, 
 







 








 
 ,2
2
51
,10,
2
51
x
. 
Logo, os valores de 
IRx
, para os quais a expressão 
xx
xx
xE
2
12
)(
2
23
1



 pode ser calculada são 
os valores de 
IRx
, tais que: 
 







 








 
 ,2
2
51
,10,
2
51
x
. 
___________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Resolva em 
IR
, as seguintes inequações: 
a) 
32
2 21
xx
xx

 b) 
1
22



x
x
 
Resolução: 
a) Para que a inequação 
32
2 21
xx
xx

 possa ser resolvida é preciso que 0x , para que os 
denominadores não se anulem.. 






0
2)1(
0
2121
3
2
32
2
32
2
x
xxx
xx
xx
xx
xx
 
0
2
3
23


x
xxx
. 
OBSERVAÇÃO: um erro muito comum que os alunos cometem ao resolver esse tipo de inequação é “multiplicar 
em cruz”. Leia na introdução do EP02 porque isso não estaria correto, seria encontrada outra resposta para 
esse exercício. 
Vamos fatorar o polinômio 
2)( 23  xxxxp
. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 
2
, que são 
2,2,1,1 
. 
Testando 
1x
, obtemos: 
032)1()1()1( 23 
. Logo, 
1x
 não é raiz do 
polinômio 
)(xp
. 
Testando 
1x
, obtemos: 
032)1()1(1 23 
. Logo, 
1x
 não é raiz do polinômio 
)(xp
. 
Testando 
2x
, obtemos: 
02)2()2(2 23 
. Logo, 
2x
 é raiz do polinômio 
)(xp
. 
Fatorando, obtemos: 
)1()2(2 223  xxxxxx
. 
O trinômio do segundo grau 
12  xx
 não tem raízes reais, pois 
011414 22  cab
. Como o 
coeficiente 
a
 de 
2x
 é 
1
, positivo, então 
IR,012  xxx
. 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
14 de 15 
 
Analisando o sinal da expressão: 
3
2
3
23 )1()2(2
x
xxx
x
xxx 

 
 
 
0 x
 
0x
 
20  x
 
2x
 
 x2
 
2x
 

 

 

 
0
 

 
12  xx
 

 

 

 

 
3x
 

 
0
 

 

 

 
3
23 2
x
xxx   nd  0  
 
Assim, 
)2,0(0
2
3
23


x
x
xxx
. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Para que a inequação 
1
22



x
x
 possa ser resolvida é preciso que o denominador 
1x
 
seja diferente de zero. Mas, 
11101  xexxx
. 
Vamos analisar 
x
. 
I) Se 
0x
 então 
xx 
. Portanto, 











 0
1
2
0
1
2
1
2
1
2 2222
x
x
x
x
x
x
x
x
 
0
1
2
0
1
2)1( 232






x
xx
x
xx
. 
Vamos fatorar o polinômio 
2)( 23  xxxp
. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 
2
, que são 
2,2,1,1 
. 
Testando 
1x
, obtemos: 
02)1()1( 23 
. Logo, 
1x
 é raiz do polinômio 
)(xp
. 
Fatorando, obtemos: 
)22()1(2 223  xxxxx
. 
O trinômio do segundo grau 
222  xx
 não tem raízes reais, pois 
0214)2(4 22  cab
. 
Como o coeficiente 
a
 de 
2x
 é 
1
, positivo, então 
IR,0222  xxx
. 
Analisando o sinal da expressão: 
1
)22()1(
1
2 223





x
xxx
x
xx
, para 
0x
. 
 
EP 02 – 2017 - 1 – Gabarito Polinômios – Análise de Sinal Pré-Cálculo 
15 de 15 
 
 
 
 
 
 
Logo, para 
0x
, temos que 
),1(0
1
223



x
x
xx
. 
II) Se 
0x
 então 
xx 
. Portanto, 










 0
1
2
1
2
1
2
1
2 2222
x
x
x
x
x
x
x
x
 
0
1
2
0
1
2)1( 232






x
xx
x
xx
. 
Vamos fatorar o polinômio 
2)( 23  xxxq
. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 
2
, que são 
2,2,1,1 
. 
Testando 
1x
, obtemos: 
022)1()1( 23 
. Logo, 
1x
 não é raiz do polinômio 
)(xq
. 
Testando 
1x
, obtemos: 
0211 23 
. Logo, 
1x
 é raiz do polinômio 
)(xq
. 
Fatorando, obtemos: 
)22()1(2 223  xxxxx
. 
O trinômio do segundo grau 
222  xx
 não tem raízes reais, pois 
021424 22  cab
. Como o 
coeficiente 
a
 de 
2x
 é 
1
, positivo, então 
IR,0222  xxx
. 
Analisando o sinal da expressão: 
1
)22()1(
1
2 223





x
xxx
x
xx
, para 
0x
. 
 
1 x
 
1x
 
01  x
 
1x
 

 
  
222  xx
 

 

 

 
1x
 

 
0
 

 
1
223


x
xx
 

 
nd
 

 
Logo, para 
0x
, temos que: 
)1,(0
1
223



x
x
xx
. Portanto, 
),1()1,(
1
22 


 x
x
x
. 
 
0x
 
10  x
 
1x
 
 x1
 
1x
 

 

 

 

 
222  xx
 

 

 

 

 
1x
 
  0  
1
223


x
xx
 
  nd 