PC 2017 1 EP03 Funcoes Elementares Leitura Grafica (1)

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EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
EP 03 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
Caro aluno. 
Vamos agora estudar as funções reais de variável real. Este é um passo importante no caminho para 
Cálculo I. 
O conteúdo desta semana você encontra no livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, nas Aulas 22 e 23 
e parte da Aula 24 (nesta aula até a página 110). Importante é estudar o material de apoio “Gráfico da 
Função Quadrática”, que está postado na sala da disciplina em Material básico de apoio para Semana 3. 
É muito importante que você estude com bastante atenção esse tema. Você vai conseguir fazer gráficos 
e interpretar esses gráficos com mais facilidade. 
Entender a definição de função é o primeiro passo. 
É importante também, identificar domínios e imagens das funções e para isso as habilidades com as 
inequações e com as fatorações de polinômios serão muito úteis. Lembre que quando o domínio de uma 
função não for explicitado, o seu domínio é o maior subconjunto de 
lR
 onde a expressão (ou fórmula) 
que define essa função assume valores reais. 
})(;{)( lRlR  xfxfDom
. 
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições 
sobre os valores reais para os quais podemos calcular essa fórmula. Por exemplo, se 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 , então 
0x
, não estará no domínio dessa função, pois a divisão por zero não está definida. Se 
xxf )(
, 
então os números reais negativos não fazem parte do domínio dessa função, pois no conjunto dos 
números reais só podemos extrair raiz quadrada de números positivos ou nulos. 
Intervalos em ℝ podem ser descritos de duas maneiras, através de notação de conjunto ou através de 
notação de intervalo, por exemplo, {𝑥 ∈ ℝ; −2 < 𝑥 ≤ 4} = (−2, 4] e {𝑥 ∈ ℝ; −∞ < 𝑥 ≤ 4} = (−∞, 4]. 
O domínio de uma função pode ser um intervalo ou um conjunto de pontos ou ainda uma união de um 
conjunto de pontos e/ou intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
Geometricamente, em geral, o domínio é representado no eixo das abscissas, o eixo horizontal. 
A imagem de uma função 
f
 é o conjunto 
} IR,)({ Dom(f)tais que xxf 
, esse conjunto pode ser 
um intervalo ou um conjunto de pontos ou ainda uma união de um conjunto de pontos e/ou intervalos 
disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). Geometricamente, em geral, a imagem é 
representada no eixo das ordenadas, o eixo vertical. 
Observação: um erro muito comum cometido pelos alunos é, por exemplo, ao responder qual é a sua imagem, o aluno 
escreve 𝐼𝑚(𝑓) = [0, −∞), preste atenção, isto está errado porque a ordem está errada. Por convenção, em qualquer 
intervalo, o menor valor fica no extremo esquerdo do intervalo e o maior valor fica no extremo direito do intervalo. Por 
esse motivo, se 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ; −∞ < 𝑦 ≤ 0}, em forma de intervalo, o correto é (−∞, 0]. 
Os gráficos das funções podem fornecer informação visual importante sobre uma função. O gráfico de 
uma função é o conjunto 
} ,))(,({ Dom(f)tais que xxfx 
. Portanto a coordenada 𝑦 de um ponto do 
gráfico da função 
f
 é o valor de 
f
 na coordenada 𝑥 correspondente. Os valores de 𝑥 para os quais 
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0)( xf
 são as abscissas 
x
 dos pontos nos quais o gráfico de 
f
 corta ou toca o eixo 𝑥 . Esses valores 
são denominados zeros ou raízes de 
f
. São as soluções de 
0)( xf
. 
O gráfico de 
f
 também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo 𝑥 e a imagem sobre o eixo 𝑦 e 
muitas outras informações. 
É importante saber que nem toda curva do plano 𝑥𝑦 é o gráfico de uma função. O Teste da Reta Vertical 
é muito útil. Ele diz: "Uma curva no plano 𝑥𝑦 é o gráfico de alguma função, se e somente se toda reta 
vertical intersecta a curva em exatamente um ponto ou não a intersecta". 
E então, vamos falar de um tema muito importante, e que pode se tornar muito proveitoso para ajudar o 
aluno a compreender alguns conceitos teóricos: LEITURA GRÁFICA. 
O que queremos com a LEITURA DE UM GRÁFICO? 
O nosso objetivo, quando temos o gráfico de uma função, é ver se é possível encontrar: 
 domínio, imagem, pontos do domínio onde 𝒇 (𝒙) > 𝑎 ou 𝒇 (𝒙) < 𝑏 ou 𝒇 (𝒙) = 𝒄, 
 imagem de um subconjunto do seu domínio através da função 𝒇 e outras informações. 
Os exemplos a seguir, mostrarão através de gráficos, uma forma de encontrar essas informações. Mas 
fique tranquilo, uma vez compreendido esse processo, não será preciso repetir todos os passos quando 
for pedido que vocês façam um exercício desse tipo. 
 
LEITURA GRÁFICA: 
DOMÍNIO E IMAGEM 
Leitura gráfica: domínio e image 
 Como saber se um número real 𝒂 pertence ao domínio 
de uma função 𝑓 ? 
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 
f
 se a reta 
vertical 𝑥 = 𝑎 corta o gráfico de 
f
 em um ponto (único). 
 
 
 
 
 Como saber se um número real 𝒃 pertence à 
imagem de uma função 
f
? 
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 
f
 se a reta 
horizontal 𝑦 = 𝑏 corta o gráfico de 𝑓 em pelo menos um ponto. 
 
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Assim, (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑓(𝑎)) se a reta vertical 𝑥 = 𝑎 e a reta 
horizontal 𝑦 = 𝑏 se cruzam num ponto sobre o gráfico da função 
𝑦 = 𝑓(𝑥) e assim, 
𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝑏 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) 
 
 
 
 
É interessante, você trabalhar no APPLET “Gráfico: domínio - 
imagem”, que mostramos ao lado. Ele está disponível na Sala da 
Disciplina Pré-Cálculo_Semana 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DOMÍNIO: 
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o 
gráfico no eixo 𝒙. 
Nos exemplos a seguir damos o gráfico de uma função e buscamos através dele o domínio dessa 
função. 
(1) Gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) 
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒙, vemos que o domínio da função 
f
 é o intervalo no eixo 𝑥 
indicado na figura em vermelho. 
Seu domínio é o intervalo fechado [−𝟏 , 𝟒]. 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟏 , 𝟒]. 
 
 
 
 
 
 
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(2) Gráfico da função 𝒚 = 𝒈(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preste atenção na convenção: só não fazem parte de um gráfico os pontos indicados com 
"bolinha vazia”. 
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒙, vemos que o domínio da função 𝒈 é o conjunto no eixo 𝑥 
indicado na figura em vermelho. 
Seu domínio é a seguinte união de intervalos disjuntos [−
𝟕
𝟐
 , 𝟏) ∪ (𝟏 , 𝟓]. 
𝑫𝒐𝒎(𝒈) = [−
𝟕
𝟐
 , 𝟏) ∪ (𝟏 , 𝟓]. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(3) Gráfico da função 𝒚 = 𝒉(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒙, vemos que o domínio da função 𝒉 é o conjunto no eixo 𝑥 
indicado na figura em vermelho. 
Seu domínio é a seguinte união de intervalos disjuntos [−
𝟕
𝟐
 , 𝟏) ∪ (𝟐 , 𝟔]. 
 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = [−
𝟕
𝟐
 , 𝟏) ∪ (𝟐 , 𝟔] . 
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 IMAGEM: 
Dado um gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu 
gráfico no eixo 𝒚. 
Nos exemplos a seguir damos o gráfico de uma função e buscamos através dele a imagem dessa 
função. 
(1) Gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒚, vemos que a imagem da função 
f
 é o intervalo fechado no 
eixo 𝑦 indicado na figura em vermelho. 
Sua imagem é o intervalo fechado [−
𝟗
𝟒
 ,
𝟑𝟕
𝟏𝟐
 ]. 𝑰𝒎(𝒇) = [−
𝟗
𝟒
 ,
𝟑𝟕
𝟏𝟐
 ]. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2) Gráfico da função 𝒚 = 𝒈(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒚, vemos que a imagem da função 𝒈 é o intervalo no eixo 𝑦 
indicado na figura em vermelho. 
Sua imagem é o intervalo (−𝟐, 𝟓, 𝟐𝟓]. 𝑰𝒎(𝒈) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓]. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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(3) Gráfico da função 𝒚 = 𝒉(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projetando o gráfico da função no eixo 𝒚, vemos que a imagem da função 𝒉 é o intervalo no eixo 𝑦 
indicado na figura em vermelho. 
Sua imagem é o intervalo (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓]. 
𝑰𝒎(𝒉) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓]. 
 
OBSERVE que as funções 𝒚 = 𝒈(𝒙) e 𝒚 = 𝒉(𝒙) têm domínios diferentes, mas têm a mesma imagem. 
𝑫𝒐𝒎(𝒈) = [−
𝟕
𝟐
 , 𝟏) ∪ (𝟏 , 𝟓] 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = [−
𝟕
𝟐
 , 𝟏) ∪ (𝟐 , 𝟔] 
𝑰𝒎(𝒈) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓] 𝑰𝒎(𝒉) = (−𝟐 , 𝟓, 𝟐𝟓]. 
Seria interessante voltar aos gráficos e observar porque isso acontece. 
 
Qual é o domínio e a imagem da função 𝑔 cujo 
gráfico é dado ao lado? 
Como nesse exemplo não temos informações 
completas sobre a função 𝑔 , não podemos 
responder qual é o domínio e a imagem dessa 
função. 
 
 
 
 
 
 
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 COMO ENCONTRAR OS SEGUINTES CONJUNTOS: 
(a) 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) < 𝑏 } e 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒃 } 
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐴 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está abaixo 
da reta horizontal 𝑦 = 𝑏, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥. 
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐵 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está abaixo e 
sobre a reta horizontal 𝑦 = 𝑏, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥. 
(b) 𝐴 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) > 𝑎 } e 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ≥ 𝒂 } 
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐴 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está acima da 
reta horizontal 𝑦 = 𝑎, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥. 
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐵 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está acima e 
sobre a reta horizontal 𝑦 = 𝑎, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥. 
(c) 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒂 < 𝑓(𝒙) < 𝑏 } e 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒂 ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒃 } 
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐴 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está entre as 
retas horizontais 𝑦 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏 , e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥. 
Uma forma de encontrar o conjunto 𝐵 é, primeiro, encontrar a parte do gráfico que está entre e 
sobre as retas horizontais 𝑦 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏, e depois, projetar essa parte do gráfico sobre o eixo 𝑥. 
 
EXEMPLOS: 
(1) Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
encontre o conjunto {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 0 } 
 
Abaixo esboçamos a parte do gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), que 
está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟎 , eixo 𝒙. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em vermelho está a projeção no eixo𝒙 da parte do gráfico que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟎 , 
eixo 𝒙. 
Logo, {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 0 } = [−1 , 0) ∪ (0 , 1,6) ∪ (3,7 , 4] . 
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(2) Dado o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥), 
encontre o conjunto {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ −1 ≤ ℎ(𝑥) ≤ 3 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao lado esboçamos a parte do gráfico da 
função 𝑦 = ℎ(𝑥), que está entre e sobre as 
retas horizontais 𝒚 = −𝟏 e 𝒚 = 𝟑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em vermelho, está a projeção no eixo𝒙 da parte do gráfico que está entre e sobre as retas horizontais 
 𝒚 = −𝟏 e 𝒚 = −𝟑 . 
Logo, {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) ∶ −1 ≤ ℎ(𝑥) ≤ 3 } = [−3 , 1) ∪ [2,6 , 5,3] 
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 Seja 𝑓 ∶ 𝐴 ↦ 𝐵 uma função cujo domínio é o conjunto 𝐴 ⊂ ℝ . 
Seja 𝐷 ⊂ 𝐴, um subconjunto do domínio da função 𝑓 . 
Queremos saber: 
QUAL É A IMAGEM DO CONJUNTO 𝑫 PELA FUNÇÃO 𝒇? 
O que isso quer dizer? Queremos saber qual é o seguinte conjunto: { 𝒇(𝒙) ∶ 𝒙 ∈ 𝑫 ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) } . 
Podemos denotar esse conjunto por 𝒇(𝑫) 
Portanto, podemos dizer que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇(𝑫) = { 𝒇(𝒙) ∶ 𝒙 ∈ 𝑫 ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) } = imagem do conjunto 𝑫 pela função 𝑓 
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EXEMPLO: 
(1) Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) e o intervalo [𝟏 , 𝟑] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇), 
encontre a imagem de [𝟏 , 𝟑] pela função 𝑓, ou seja encontre 𝒇([𝟏 , 𝟑]). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em verde está o intervalo [𝟏 , 𝟑] do eixo 𝒙 
contido no domínio da função 𝒇 . 
 
Parte do gráfico da função restrita ao intervalo 
[𝟏 , 𝟑] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) , no eixo 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Projeção (em vermelho) no eixo 𝒚 da parte do gráfico da 
 função 𝒇 restrita ao intervalo [𝟏 , 𝟑] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) . 
Logo, 𝑰𝒎 ( [𝟏 , 𝟑] ) = [ −
𝟗
𝟒
 ,
𝟓
𝟏𝟐
 ] 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
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 Seja 𝑓 ∶ 𝐴 ↦ 𝐵 uma função cujo domínio é o conjunto 𝐴 ⊂ ℝ . 
Seja 𝐸 ⊂ 𝐵, um subconjunto da imagem da função 𝑓 . 
Queremos saber qual é o seguinte subconjunto do domínio da função 𝒇 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em verde está o intervalo [−
𝟐
𝟑
 ,
𝟓
𝟏𝟐
] do eixo 𝒚 contido na imagem da função 𝒇 . 
 
 { 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ∈ 𝑬 } ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) . 
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Parte do gráfico da função restrita ao 
Intervalo [−
𝟐
𝟑
 ,
𝟓
𝟏𝟐
] ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) no eixo 𝒚 
 
 
 
 
 
Projeção (em vermelho) da parte do gráfico da função restrita ao intervalo 
[−𝟎, 𝟒 , 𝟐]∪ [𝟑, 𝟔 , 𝟑, 𝟖] sobre o eixo 𝒙. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
{ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ∈ [−
𝟐
𝟑
 ,
𝟓
𝟏𝟐
] ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) } = [−𝟎, 𝟒 , 𝟐] ∪ [𝟑, 𝟔 , 𝟑, 𝟖] 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
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FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
Para continuarmos o nosso estudo sobre as funções, afirmamos que é importante 
conhecer bem funções "elementares", por exemplo: 
,)(,)(,)(,
1
)(,
1
)(,)(,)(,)( 3
2
32 xxfxxfxxf
x
xf
x
xfxxfxxfxxf 
 
cujos gráficos são: 
 
xxf )(
 
2)( xxf 
 
3)( xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IR(f)Dom 
 
IR(f)Dom 
 
IR(f)Dom 
 
IRIm(f)
 
),0[Im(f) 
 
IRIm(f) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
x
xf
1
)( 
 
xxf )(
 
3)( xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
}0{-IR(f)Dom 
 
),0[(f)Dom 
 
IR(f)Dom 
 
 
}0{-IRIm(f) 
 
),0[Im(f) 
 
IRIm(f) 
 
 






0,
0,
)(
xsex
xsex
xxf
 
IR(f)Dom 
 
 
),0[Im(f) 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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FUNÇÃO PARTIDA ou FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES 
Como pudemos ver anteriormente, a função 
xxf )(
 está definida por fórmulas distintas em 
diferentes partes do domínio. 
Esta função é um exemplo de função que denominamos “FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES”. 
Observe que para a função 
xxf )(
 a fórmula muda em 
0x
. Note que o valor 
0x
 é incluído em 
apenas uma das fórmulas. O valor onde a fórmula muda não precisa estar necessariamente incluído 
numa das fórmulas. O que não pode acontecer é esse valor estar incluído em mais de uma lei. Poderia 
não ser função, pois, assim um ponto do domínio poderia ter duas imagens distintas. 
Uma boa forma de se elaborar o gráfico de uma função definida por partes é fazê-lo separadamente 
sobre os intervalos determinados pelos pontos de mudança e depois nos próprios pontos de mudança. 
No caso da função 
xxf )(
, o gráfico é a semirreta 
xy 
 no intervalo 
)0,( 
, é a semirreta 
xy
 no 
intervalo 
),0( 
. A fórmula diz que a equação 
xy
se aplica ao ponto de mudança 
0x
, assim 
0)0(  fy
. 
Outro exemplo de função partida é 𝑓(𝑥) = {
𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
3 − 𝑥 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
O gráfico é uma reta para cada intervalo do domínio, o gráfico está 
esboçado ao lado. 
 
 
É importante saber construir novas funções a partir de funções mais elementares, através de operações 
aritméticas de funções ou de composição de funções ou ainda usando translações, reflexões, 
alongamentos ou compressões. Faremos isso na próxima aula. 
 
As nossas primeiras duas aulas nos prepararam para falar das funções polinomiais. 
Se 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxp
n
n
n
n 


, 
0n
, é um polinômio com coeficientes reais, a 
função 
IRIR: p
 , 
 
)(bpb 
 
que a cada 
IRb
associa o número real que resulta da avaliação do polinômio 
)( xp
 em 
bx 
 é 
chamada uma função polinomial. O domínio de qualquer função polinomial é 
),-(IR 
. 
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A imagem da função polinomial não é a mesma para qualquer função polinomial, por enquanto não é 
possível determinar a imagem, você vai aprender a determinar em Cálculo I. 
 Se 
0n
, 
0)( axp 
, 
IR x
 
e esta função é chamada uma função constante. 
Quando 
00 a
, temos a função nula, que é um caso particular da 
função constante. 
 
 
 
 Se 
1n
, 
01)( axaxp 
, 
IR x
 
e 
01 a
, esta função é 
chamada de função afim. 
 
 
 
 
Se 
1n
, 
xaxp 1)( 
, 
IR x
, 
00 01  aea
(caso particular da função afim). 
Esta função é chamada de função linear. 
 
 Se 
1n
, 
xxp )(
, 
IR x
, 
01 01  aea
(caso particular da função afim). 
Esta função é chamada de função identidade. 
 
 Se 
2n
, 
01
2
2)( axaxaxp 
, 
IR x
, 
.02 a 
Esta função é chamada de função quadrática. 
O gráfico é uma parábola, corta o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑓(0). 
 
Se 𝑎2 > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima, a seguir, exemplos de gráficos desenhados 
nas três possíveis situações em relação aos cortes no eixo 𝑥. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥2 −
4
3
𝑥 +
4
3
 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥2 − 2𝑥 + 3 
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𝑓(𝑥) = 0 em dois pontos do eixo 𝑥 𝑓(𝑥) = 0 em um ponto do eixo 𝑥 𝑓(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 
 
Se 𝑎2 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo, a seguir, exemplos de gráficos desenhados 
nas três possíveis situações em relação aos cortes no eixo 𝑥. 
 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 3 𝑓(𝑥) = −
1
3
𝑥2 +
4
3
𝑥 −
4
3
 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 2𝑥 − 3 
𝑓(𝑥) = 0 em dois pontos do eixo 𝑥 𝑓(𝑥) = 0 em um ponto do eixo 𝑥 𝑓(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 
 
No texto complementar disponível na plataforma "GRÁFICO DE FUNÇÃO QUADRATICA" você pode ver 
como encontrar o vértice e a explicação da análise de sinal da função quadrática. 
 
Agora vamos explicar um pouco melhor o gráfico da função raiz ou raiz quadrada 
xy
. Esta função 
entrou na lista das funções elementares, pois ela é muito utilizada no curso e é também "geradora" de 
vários exemplos. 
Na realidade esta função está relacionada com a curva parábola 
2yx 
(que não é função). 
Note que, 𝑦 = √𝑥 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ⟹ 𝑦2 = 𝑥 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 
 
A curva de equação 𝑦2 = 𝑥 é uma parábola, com vértice na origem, 
𝑉 = (0, 0). Como o coeficiente do termo de 2º. grau é igual a 1 > 0, a 
parábola tem concavidade voltada para a direita, como desenhada ao 
lado. 
Como 𝑦 = √𝑥 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ⟹ 𝑦2 = 𝑥 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, o 
gráfico da função 𝑦 = √𝑥 , é a parte da parábola 𝑦2 = 𝑥 situada no 
primeiro quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 > 0) ou no 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 (𝑥 = 0 , 𝑦 = 0), 
como esboçado ao lado. 
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E agora, aos exercícios: 
Exercício 1: Um contêiner, sem tampa, de base quadrada e lados retangulares tem volume de 8 metros 
cúbicos. O material da base custa $5 por metro quadrado e o dos lados, $2 por metro quadrado. 
a) Encontre uma fórmula que expresse o custo total do contêiner como uma função do 
comprimento do lado da base. 
b) Qual é o domínio da função custo 
C
obtida no item a). 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com 
dimensões 12 por 20 cm. Deve-se cortar 
quadrados de lados x de cada canto e depois 
dobrar, conforme mostra a figura.a) Expresse o volume 
V
 da caixa como uma função de x. 
b) Encontre o domínio de 
V.
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Considere as curvas abaixo com os domínios especificados em cada uma. Indique quais 
dessas curvas são gráficos de funções de 
x
com o domínio especificado. Justifique sua resposta. 
 
a) Domínio: 
  ,
 b) Domínio: 
}0{lR
 c) Domínio: (−∞, 3] 
 
d) Domínio: 
lR
 e) Domínio: (−∞ , 0] f) Domínio: 
lR
 
 
g) Domínio: 
 3,3 
. 
 
 
 
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Exercício 4: Considere as três seguintes funções: 
a) 
54
:
2 

xxx
f

lRlR
. b) 
54
]5,1[:
2 

xxx
g

lR
 c) 
54
]6,3[:
2 

xxx
h

lR
 
Essas funções são distintas? Justifique sua resposta. Faça um esboço do gráfico de cada uma delas e 
determine suas respectivas imagens. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: 
a) 
x
xx
xf


3
)(
 b) 









1,1
10,
0,
)( 2
zse
zsez
zsez
zh
 c) 









1,2
1,2
1,3
)(
xse
xsex
xsex
xr
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Considere as funções 
tsrhgf ,,,,,
 definidas por: 
129)(  xxf
 
1
6
)(
2



x
xx
xg
 
32)( 2  xxxh
 
 
16
1
)(
2 

x
xr
 
xx
xs


1
)(
 
211)( xxt 
 
a) Determine a expressão das funções 
)()()( xhxfxu 
e
)()()( xrxhxv 
. 
b) Determine o domínio das funções: 
vutsrhgf ,,,,,,,
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Encontre uma lei de formação (fórmula) para cada uma das funções cujos gráficos estão 
abaixo. 
a) 
)( xfy 
 b) 
)( xgy 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 8: Dado o gráfico da função 
)( xfy
 ao lado: 
a) Obtenha os valores de 
)1(f
, 
)3(f
, 
)0(f
; 
b) Estime o valor de 
)2(f
; 
OBSERVAÇÃO: estimar significa apresentar um valor aproximado ou 
um pequeno intervalo que contém o valor procurado. 
c) Encontre os valores de 
x
 para os quais 
2)( xf
; 
d) Obtenha o domínio e a imagem de 
.f
 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: 
Dado o gráfico das funções 
)( xfy
, 
)( xgy
 e 
)( xhy
 
no mesmo par de eixos, faça o que se pede: 
a) Obtenha os valores de 
)2(f
, 
)2(g
, 
)2(h
; 
b) Para quais valores de 
x
 temos
)()( xgxf 
? 
c) Obtenha o domínio e a imagem de 
f
; 
d) Obtenha o domínio e a imagem de 
g
; 
e) Para quais valores de 
x
 
)()( xgxf 
; 
f) Para quais valores de 
x
 
)()( xfxh 
; 
g) Sabendo-se que o gráfico da função ℎ (em verde) é um segmento de reta, dê o seu domínio, a sua 
imagem e a sua lei de formação. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: Dado o gráfico da função 
)( xfy
 (em azul)e da função
)( xgy
 (em vermelho) no mesmo 
par de eixos e sabendo-se que em vermelho e em azul estão desenhados segmentos de reta, faça o que 
se pede: 
a) Dê uma lei de formação de cada função; 
b) Obtenha o domínio e imagem de cada função; 
c) Para quais valores de 
x
 temos 
)()( xgxf 
? 
d) Para quais valores de 
x
 temos 
)()( xgxf 
; 
e) Para quais valores de 
x
 temos 
)()( xgxf 
; 
f) Encontre a solução da equação 
1)( xf
 
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Exercício 11: Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , encontre: 
(a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓) (b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) ; 
(c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ); 
(d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } (e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } ; 
(f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 12: Para fazer este exercício você deve acessar o APPLET: FUNÇÃO QUADRÁTICA na Sala da 
Disciplina de Pré-Cálculo, Aula 3. 
Uma das possíveis telas que você verá será essa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Neste applet temos três controles deslizantes: 
cba ,,
. 
a) Clique no controle deslizante horizontal 
a
com o botão esquerdo do mouse, e com o botão 
pressionado, arraste o mouse. 
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando 
0a
? Quando 
0a
? Quando 
0a
? 
b) Clique no controle deslizante horizontal 
c
 com o botão esquerdo do mouse, e com o botão 
pressionado, arraste o mouse. 
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando 
0c
? Quando 
0c
? Quando 
0c
? 
 
Bom trabalho!