PC 2017 1 EP03 Funcoes Elementares Leitura Grafica GABARITO

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EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito do EP 03 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 1: Um contêiner, sem tampa, de base quadrada e lados retangulares tem volume de 8 metros 
cúbicos. O material da base custa $5 por metro quadrado e o dos lados, $2 por metro quadrado. 
a) Encontre uma fórmula que expresse o custo total do contêiner como uma função do 
comprimento do lado da base. 
b) Qual é o domínio da função custo 
C
obtida no item a). 
Solução: a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o contêiner definimos: 
x
a medida do lado do quadrado da base, 
y
a medida do outro lado do 
retângulo que compõe o contêiner (são quatro desses retângulos), 
V
o volume, 
b
A
a área da base, 
l
A
 
a área de um dos retângulos que compõe os lados do contêiner e 
C
o custo total do contêiner. 
Temos: 
 
38 mV 
 
2xAb 
 
yxAl 
 
yxV 2
 
 
O custo total do contêiner será calculado da seguinte forma: 
yxxC 425 2 
. 
 
Como 
82  yxV
, então 
2
8
x
y 
. 
Portanto, 
x
x
x
x
x
xxyxxC
64
5
8
425
8
425425 22
2
22 
 
Assim, o custo total do contêiner é : 
x
xC
64
5 2 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) O domínio da função Custo é o intervalo 
),0( 
, já que 
x
é uma medida e deve ser positiva ou 
nula, mas não se anula por ser um denominador da função Custo. 
Uma outra razão para 
0x
 é devido ao fato da condição do volume tem que ser igual a 8, pois com 
0x
 o volume seria igual a 0. 
_____________________________________________________________________________________ 
 
𝑥 
𝑥 
𝑦 
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Exercício 2: Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com 
dimensões 12 por 20 cm. Deve-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme 
mostra a figura. 
a) Expresse o volume 
V
 da caixa como 
uma função de x. 
b) Encontre o domínio de 
V . 
 
Solução: 
a) A base da caixa tem lados que medem: 
cmxecmx 220221  . 
A área da base é 
240644)220()212(A 2  xxxx
 e a altura da caixa mede 
cmx
. 
Assim o Volume da caixa é 
xxx)xx(xxV 240644240644)( 232 
. 
Portanto o volume da caixa pode ser expresso como: 
xxxxV 240644)( 23 
. 
b) Como 
x
 é uma medida de comprimento, não pode ser negativa e como não podemos cortar 
quadrados de lados maiores que 
6
cm então 
60  x
 .Note que se 
60  xoux
 estaremos 
construindo caixas degeneradas. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Considere as curvas abaixo com os domínios especificados em cada uma. Indique quais 
dessas curvas são gráficos de funções de 
x
com o domínio especificado. Justifique sua resposta. 
 
 
a) Domínio: 
  ,
 b) Domínio: 
}0{lR
 c) Domínio: (−∞, 3] 
 
d) Domínio: 
lR
 e) Domínio(−∞ , 0] f) Domínio: 
lR
 
 
 
 
V
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g) Domínio: 
 3,3 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
As curvas dos exemplos a), c) e g) não atendem ao Teste da Reta 
Vertical, e portanto não são gráficos de função. No exemplo a), a reta 
vertical 
2x
, por exemplo, corta o gráfico em três pontos distintos, 
fazendo corresponder a 
2x
, três valores distintos de 
y
. 
 
 
No exemplo c), a reta vertical , por exemplo, corta o 
gráfico em dois pontos distintos, fazendo corresponder a 
, dois valores distintos de 
 
É fácil ver que no caso g) acontece o mesmo. 
 
 
 
As curvas dos exemplos b), d) e f) atendem ao Teste da Reta Vertical, e portanto são gráficos de função. 
A única curva que poderia gerar alguma dúvida é a curva do exemplo e), mas prestando bastante 
atenção ao domínio considerado nesse exemplo, vemos que a única parte desta curva que está sendo 
considerada é a parte que está no
o2
Quadrante, que atende ao Teste da 
Reta Vertical. O gráfico realmente considerado no exemplo e) é: 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Considere as três seguintes funções: 
a) 
54
:
2 

xxx
f

lRlR
. b) 
54
]5,1[:
2 

xxx
g

lR
 c) 
54
]6,3[:
2 

xxx
h

lR
 
Essas funções são distintas? Justifique sua resposta. Faça um esboço do gráfico de cada uma delas e 
determine suas respectivas imagens. 
2x
2x y
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Solução: 
Apesar dessas funções terem a mesma lei de formação , o domínio que as define são distintos, o que 
torna essas funções distintas. Podemos perceber claramente essas diferenças quando esboçamos os 
gráficos dessas funções. 
 
a) 
54)( 2  xxxf
 b) 
54)( 2  xxxg
 
 
 
 
 
 
 
 
IR)( fDom
 
]5,1)(  [gDom
 
),9[)(Im f
 
]0,9[)(Im g
 
 
c) 
54)( 2  xxxh
 
]6,3)(  [hDom
 
]16,9[)(Im h
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: 
a) 
x
xx
xf


3
)(
 b) 









1,1
10,
0,
)( 2
zse
zsez
zsez
zh
 c) 









1,2
1,2
1,3
)(
xse
xsex
xsex
xr
 
 
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Solução: 
a) Para que o quociente 
x
xx3
 possa calculado é preciso que o denominador não se anule, assim 
devemos ter 
0x
. Logo, 
 0IR)( fDom
. 
Analisando 
x
, temos que, 






0,
0,
xsex
xsex
x
 
Logo, 

























0,
2
0.,
4
)(
0,
3
0.,
3
3
)(
xse
x
x
xse
x
x
xf
xse
x
xx
xse
x
xx
x
xx
xf 
 






0,2
0.,4
)(
xse
xse
xf
 
Observamos do gráfico que 
 4,2)(Im f
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 









1,1
10,
0,
)( 2
zse
zsez
zsez
zh
 . O domínio da função 
h
 é a 
união dos intervalos que estão na definição da função partida: 
IR),1(]1,0[)0,( 
. Assim, 
IR)( hDom
. 
Observamos do gráfico que 
),0[)(Im h
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 


















1,2
11,2
1,3
)(
1,2
1,2
1,3
)(
xse
xsex
xsex
xr
xse
xsex
xsex
xr
 
O domínio da função 
r
 é a união dos intervalos que estão na definição 
da função partida: 
IR),1(]1,1[)1,( 
. Assim, 
IR)( rDom
. 
Observamos do gráfico que 
]2,()(Imr
. 
 
 
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Exercício 6: Considere as funções 
tsrhgf ,,,,,
 definidas por: 
129)(  xxf
 
1
6
)(
2



x
xx
xg
 
32)( 2  xxxh
 
16
1
)(
2 

x
xr
 
 
xx
xs


1
)(
 
211)( xxt 
 
a) Determine a expressão das funções )()()( xhxfxu  e )()()( xrxhxv  . 
b) Determine o domínio das funções: 
vutsrhgf ,,,,,,,
. 
Solução: 
a) 
 )()()( xhxfxu 32129 2  xxx
. 
16
1
32)()()(
2
2


x
xxxrxhxv
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Domínio da função 
129)(  xxf
: 
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 
129  x
 seja positivo ou 
nulo. Assim, 
54102891299120129  xxxxx
. 
Donde, 
]5,4)(  [fDom
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
1
6
)(
2



x
xx
xg
: 
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 
1
62


x
xx
seja positivo ou 
nulo e o denominador da fração não se anule. 
Assim, 
010
1
62



xe
x
xx
. 
Devemos fazer o estudo do sinal dessa fração: 
 
função 
3 x
 
3x
 
13  x
 
1x
 
21  x
 
2x
 
 x2
 
)2()3(
62


xx
xx
 

 
0
 

 

 

 
0
 

 
)1( x
 

 

 

 
0
 

 

 

 
1
62


x
xx
 

 
dn
 

 
0
1
62



x
xx
 

 

 

 

 
Observação: significa não definido. 
),2[)1,3)(  [gDom
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
0  0 
dn
dn
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Domínio da função 
32)( 2  xxxh
. 
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 
322  xx
 seja positivo ou 
nulo. 
Assim, estudando o sinal desse trinômio do segundo grau, temos: 
 
 
função 
13  x
 
1x
 
 x1
 
)1()3(
322


xx
xx
 
0322  xx
 

 
 
),1[]3,()( hDom
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
16
1
)(
2 

x
xr
. 
Para que essa fração possa ser calculada é preciso que o denominador seja diferente de zero. 
Assim, 
4416016 22  xexxx
. 
 4,4--lR)(rDom
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
xx
xs


1
)(
 
Para que a fração 
xx 
1
 e a raiz quadrada 
xx 
 possam ser calculadas é preciso que o 
radicando 
xx 
 seja positivo, ou seja 
0 xx
. 
Temos que: 
 
Se 
0x
, 
000  xx
, logo 
0x
, não satisfaz a condição 
0 xx
. 
Se 
0x
, 
xx 
 então 
0 xxxx
, logo 
0x
, não satisfaz a condição 
0 xx
. 
Se 
0x
, 
xx 
 e 
0 x
 então 
02  xxxxx
, logo 
0x
, satisfaz a condição 
0 xx
. 
Portanto, 
)0,()( sDom
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
211)( xxt 
 
Para que 
211 x
 possa ser calculada é preciso que 
01 2  x
 
Assim, 
3 x 3x
 0  0 
  
ex 011 2 
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1111101 222  xxxxx
 e 




  2
2
222 )1(111011 xxx
 
IR0011 222  xxxx
 
Portanto, a única exigência é que 
11  x
. Logo, 
]1,1[)( tDom
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
 )()()( xhxfxu 32129 2  xxx
. 
O domínio da função 
)()()( xhxfxu 
 é 
 }),1[]3,{(]5,4)()( [hDomfDom 
]5,1[]3,4[}),1[]5,4{}]3,(]5,4{  [[
 
 
 
 
 
 
Usamos acima a propriedade distributiva de conjuntos, a saber, 
}{}{}{ CABACBA 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
16
1
32)()()(
2
2


x
xxxrxhxv
. 
O domínio da função 
)()()( xrxhxv 
é 
 )()( rDomhDom   ),4()4,1[]3,4()4,(][]),1[]3,([  4,4--lR
. 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 7: Encontre uma lei de formação (fórmula) para cada uma das funções cujos gráficos estão 
abaixo. 
a) 
)( xfy 
 b) 
)( xgy 
 
 
 
 
Solução: 
 
A função é uma função definida por partes: 
 No intervalo 
)0,( 
: o gráfico é a semi reta 
2y
 
 No intervalo 
)1,0[
: o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)0,1()2,0( e
. 
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
2
1
2
10
02





m
 
22)1(2  xyxy
. 
 No intervalo 
),1[ 
: o gráfico é uma semi-reta que contém os pontos 
)3,4()0,1( e
. Vamos 
encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
3
3
14
03



m
 . 
 
Portanto uma lei de formação da função é: 









1,1
10,22
0,2
)(
xsex
xsex
xse
xfy
 
OBSERVAÇÃO: o ponto 
)2,0(
 do gráfico satisfaz as fórmulas 
2y
 e 
22  xy
, que são fórmulas que 
compõem a função partida 
)( xfy 
. Por esse motivo é indiferente em qual dos dois intervalos, 
)0,(  
ou 
)1,0(
, o valor 
0x
 será incluído como extremo do intervalo. O mesmo comentário vale para o ponto 
)0,1(
 do gráfico. Assim, existem outras opções para definir a lei de formação de uma função que possui 
esse gráfico, uma delas é a encontrada acima, outra delas é: 









1,1
10,22
0,2
)(
xsex
xsex
xse
xfy
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
)( xfy 
1)1(1  xyxy
)( xfy 
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A função 
)( xgy 
 é uma função definida por partes: 
 No intervalo 
)1,0[
: o gráfico é um segmento de reta de extremidade nos pontos 
)1,1()1,0( e
. Sua 
equação é 
1y
. 
 No intervalo 
)2,1[
: o gráfico é umsegmento de reta com extremidade nos pontos 
)2,2()1,1( e
. 
Vamos encontrar a equação desse segmento de reta: 
1
1
1
12
12



m
 
xyxy  )1(11
. 
 No intervalo 
]3,2(
: o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)2,3()1,2( e
. 
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
1
1
23
12



m
 
1)2(11  xyxy
. 
 No intervalo 
)4,3(
: o gráfico é um segmento de reta com 
extremidade nos pontos 
)2,4()2,3( e
. Sua equação é 
2y
. 
Portanto a lei de formação da função 
)( xgy 
 é: 












43,2
32,1
21,
10,1
)(
xse
xsex
xsex
xse
xgy
 
Outra opção de lei de formação da função que possui esse gráfico é, por exemplo: 












43,2
32,1
21,
10,1
)(
xse
xsex
xsex
xse
xgy 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: Dado o gráfico da função 
)( xfy
 ao lado: 
a) Obtenha os valores de 
)1(f
, 
)3(f
, 
)0(f
; 
b) Estime o valor de 
)2(f
; 
OBSERVAÇÃO: estimar significa apresentar um valor aproximado 
ou um pequeno intervalo que contém o valor procurado. 
c) Encontre os valores de 
x
 para os quais 
2)( xf
; 
d) Obtenha o domínio e a imagem de 
f
 
Solução: 
 
 
 
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a) Analisando o gráfico vemos que: 
2)1( f , 3)3( f , 1)0( f . 
b) Analisando o gráfico vemos que: 
3)2(5,2  f
 
c) Para encontrar os valores de 
x
 para os quais 
2)( xf
, devemos encontrar os pontos de interseção da 
reta 
2y 
com o gráfico da função 
f
. 
Esses pontos são: 
)2,3( , )2,1( , )2,5( . Logo, os valores 
de 
x
 para os quais 
2)( xf
, são: 
5,1,3  xxx
. 
d) O 
]5,3[)( fDom
 e 
]3,2[)(Im f
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: 
Dado o gráfico das funções 
)( xfy
, 
)( xgy
 e 
)( xhy no mesmo par de eixos, faça o que se pede: 
a) Obtenha os valores de 
)2(f
, 
)2(g
, 
)2(h
; 
b) Para quais valores de 
x
 temos
)()( xgxf 
? 
c) Obtenha o domínio e a imagem de 
f
; 
d) Obtenha o domínio e a imagem de 
g
; 
e) Para quais valores de 
x
 
)()( xgxf 
; 
f) Para quais valores de 
x
 
)()( xfxh 
; 
g) Dê o domínio, a imagem e a lei de formação da 
função 
)( xhy 
. 
Solução: 
a) 
2)2( f
, 
2)2( g
, 
2)2( h
. 
b) 
)()( xgxf 
 são iguais para 
22  xex
 
c) O 
]4,4[)( fDom
 e 
]3,4[)(Im f
; 
d) O 
]3,3[)( gDom
 e 
])3(,1[)(Im gg 
; 
e) 
)()( xgxf 
, para 
)2,2( x
 
f) 
)()( xfxh 
, para 
)2,2( x
 
g) O gráfico da função 
)( xhy 
 é um segmento de reta que une os pontos 
)1,2(
 e 
)2,2(
. 
 
EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica – Gabarito Pré-Cálculo 
 
12 de 21 
Encontrando a equação desse segmento de reta: 
4
1
22
1
)2(2
12





m
 e 
)2(
4
1
2  xy
 
2
3
4
1
)2(
4
1
2  xyxy
. 
 Logo, 
2
3
4
1
)(  xxh
. 
]2,2[)( hDom
 e 
]2,1[)(Im h
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: Dado o gráfico da função 
)( xfy
 e da função
)( xgy
 no mesmo par de eixos, faça o que 
se pede: 
a) Dê uma lei de formação de cada função; 
b) Obtenha o domínio e imagem de cada função; 
c) Para quais valores de 
x
 temos 
)()( xgxf 
? 
d) Para quais valores de 
x
 temos 
)()( xgxf 
; 
e) Para quais valores de 
x
 temos 
)()( xgxf 
; 
f) Encontre a solução da equação 
1)( xf
 
Solução: 
a) A função 
)( xfy 
 é uma função definida por partes: 
 No intervalo 
)2,4[ 
: o gráfico é um segmento de reta de extremidade nos pontos 
)0,2()2,4(  e
. Vamos encontrar a equação desse segmento de reta: 
1
2
2
)2(4
02





m
 
2)2())2((1  xyxyxy
. 
 No intervalo 
)0,2[
: o gráfico é um segmento de 
reta com extremidade nos pontos 
)2,0()0,2( e
. 
Vamos encontrar a equação desse segmento de reta: 
1
2
2
)2(0
02



m
 
 
2))2((1  xyxy
. 
 No intervalo 
)2,0[
: o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)0,2()2,0( e
. 
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
1
1
20
02





m
 
2)2(1  xyxy
. 
 No intervalo 
]4,2[
: o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)2,4()0,2( e
. 
EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica – Gabarito Pré-Cálculo 
 
13 de 21 
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
2
2
24
02



m
 
2)2(1  xyxy
. 
Portanto uma lei de formação da função 
)( xgy 
 é: 












42,2
20,2
02,2
24,2
)(
xsex
xsex
xsex
xsex
xfy 
O gráfico da função 
)( xgy é um segmento de reta que contém os pontos )0,2()2,4( e . Vamos 
encontrar a equação desse segmento de reta: 
3
1
6
2
24
02





m
 
)2(
3
1
 xy
. 
Portanto, 
)2(
3
1
)(  xxg
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) O domínio da função 
f
 é a união dos intervalos que estão na definição da função partida: 
]4,4[]4,2[)2,0[)0,2[)2,4[ 
. Assim, 
]4,4[)( fDom . 
E 
]2,0[)(Im f
. 
]4,4[)( gDom
 Calculando 
3
2
)24(
3
1
)4( g
. Assim, 
]2,
3
2
[)(Im g
; 
c) Temos que 
)()( xgxf 
 para 
21,4  xexx
; 
d) Temos que 
)()( xgxf 
 para 
]4,2()2,1( x
; 
e) Temos que 
)()( xgxf 
 para 
)1,4( x
; 
f) Para encontrar os valores de 
x
 para os quais 
1)( xf
, 
devemos encontrar os pontos de interseção da reta 
1y
com o gráfico da função 
f
. 
Esses pontos são: (−3 , 1) , (−1 , 1) , (1 , 1) , (3 , 1). Logo, os 
valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 1 , são: 𝑥 = −3 , 𝑥 = −1 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 3. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 11: Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , encontre: 
(a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓) (b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) ; 
(c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ); 
(d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } (e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } ; 
(f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } . 
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Solução: 
(a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
 
Projetando o gráfico da função no eixo-
 𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é 
o conjunto no eixo- 𝑥 indicado na figura 
em vermelho. 
Seu domínio é a seguinte união de 
intervalos [−𝟒. 𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟒. 𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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(b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) 
Projetando o gráfico da função no 
eixo- 𝒚, vemos que a imagem da 
função 𝒇 é o intervalo no eixo- 𝑦 
indicado na figura em vermelho. 
Sua imagem é o intervalo [−𝟒,
𝟖. 𝟑]. 
𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟒, 𝟖. 𝟑]. 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em azul está o intervalo [−𝟏 , 𝟒] do eixo-𝒙 contido no domínio da função 𝒇 . 
 
 
EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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Parte do gráfico da função restrita ao 
intervalo [−𝟏 , 𝟒] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) , no eixo-𝒙 
 
Projeção no eixo-𝒚 da parte do 
gráfico da função restrita 
ao intervalo [−𝟏 , 𝟐) ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) 
Logo, 
𝑰𝒎 ( [−𝟏 , 𝟐) ) = [−𝟒 , 𝟓) 
 
 
 
 
 
Projeção no eixo-𝒚 da parte do 
gráfico da função restrita 
ao intervalo 
 (𝟐 , 𝟒 ] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) . 
Logo, 
𝑰𝒎 ( (𝟐 , 𝟒] ) = [−𝟑 , 𝟑) 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 𝑰𝒎 ([−𝟏 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟒] ) = [−𝟒 , 𝟓) ∪ [−𝟑 , 𝟑) = [−𝟒 , 𝟓) . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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17 de 21 
 
(d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } 
 
 
Em azul está o intervalo [−𝟑 , 𝟐) 
do eixo-𝒚 contido na imagem da função 𝒇 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte do gráfico da função restrita ao 
intervalo [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) , no eixo-𝒚 
 
 
 
 
 
 
Projeção sobre o eixo-𝒙 da parte do 
gráfico da função restrita ao intervalo 
[−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) , no eixo-𝒚 . 
 
 
 
 
 
Logo, 
{ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ∈ [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) } = (−
𝟑𝟒
𝟏𝟎
 , −𝟐] ∪ [𝟎 ,
𝟏𝟒
𝟏𝟎
) ∪ (
𝟕
𝟑
 , 𝟗) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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(e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } 
 
 
 
 
𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } =
 {−3.5 , 1.6 , 10 } 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(f) 
𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Parte do gráfico da função que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟑 . 
 
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 Projeção sobre o eixo-𝒙 da parte do gráfico da função que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟑. 
Logo, 𝑩 = { 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) > 3 } = [−𝟒. 𝟓 , −𝟑. 𝟓) ∪ (𝟏. 𝟔 , 𝟐) ∪ (𝟏𝟎 , 𝟏𝟏] 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 12: Para fazer este exercício você deve acessar o APPLET: FUNÇÃO QUADRÁTICA na Sala da 
Disciplina de Pré-Cálculo, Aula 3. 
Uma das possíveis telas que você verá será essa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste applet temos três controles deslizantes: 
cba ,,
. 
a) Clique no controle deslizante horizontal 
a
com o botão esquerdo do mouse, e com o botão 
pressionado, arraste o mouse. 
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando 
0a
? Quando 
0a
? Quando 
0a
? 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
EP 03 – 2017-1 – Funções Elementares – Leitura Gráfica – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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b) Clique no controle deslizante horizontal 
c
 com o botão esquerdo do mouse, e com o botão 
pressionado, arraste o mouse. 
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando 
0c
? Quando 
0c
? Quando 
0c
? 
 
Solução: 
(a) 
 A concavidade da parábola está voltada para cima 
quando 
0a
, como mostra a tela ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A concavidade da parábola está voltada 
para baixo quando 
0a
, como mostra a tela 
ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando 
0a
, não temos mais uma parábola, pois
cxbcxbxy  20
, que é a equação de uma reta, como 
mostra a tela ao lado. 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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b) 
 
 A interseção da parábola, 
cxbxay  2
com o eixo 
,yO
que é no ponto 
),0( c
está cima 
do eixo 
xO
quando 
0c
, como mostra a tela 
ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 A interseção da parábola, 
cxbxay  2
com o eixo 
,yO
que é no 
ponto 
),0( c
está sobre o eixo 
xO
quando 
0c
, como mostra a tela ao lado. 
 
 
 A interseção da parábola, 
cxbxay  2
com o 
eixo 
,yO
que é no ponto 
),0( c
está abaixo do eixo 
xO
quando 
0c
, como mostra a tela ao lado 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------