Resumo Cálculo 3 unid 3

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Resumo Cálculo 3 - unid. 3
Funções Vetoriais
Sendo um ponto 
É chamado de vetor posição de P. A cada ponto P corresponde um único vetor posição.
Representação Paramétrica de Curvas
Sendo a equação vetorial da curva:
Parametrização
Circunferência com centro 
 
Circunferência com centro 
 
Elipse com centro 
 
Elipse com centro 
 
Reta
 
Onde: 
 Ponto
Plano
 
Onde:
 Ponto
Hélice Circular
 
Ciclóide
Hipociclóide
Derivada de uma Função Vetorial
Seja uma função vetorial, temos que fuá derivada é 
Comprimento de Arco
Divergência de um Campo Vetorial
Seja um campo vetorial, a divergência do campo vetorial , é denotado por como uma função escalar:
Rotacional de um Campo Vetorial
	Seja um campo vetorial, o rotacional do campo vetorial , é denotado por como:
Campos Conservativos
, é conservativo
Ou
Seja 
É campo conservativo se:
 
Potencial R²
Seja 
Encontramos o potencial com os seguintes passos:
Iguala a derivada .
Integra , encontra U.
Deriva U .
Encontra a cte a(y).
Integra 
Substitui o valor de a(y) em U.
Potencial R³
Seja 
Encontramos o potencial com os seguintes passos:
Iguala a derivada .
Integra , encontra U.
Deriva U .
Encontra a cte a(y,z).
 
Integra 
Substitui o valor de a(y,z) em U.
Deriva U .
Encontrar a cte b(z).
 
Integra 
Substitui o valor de em U.
Integral de Linha de Campos Escalares
Independência do Caminho (Integral de Linha)
Seja a integral de linha 
A integral de linha independe do caminho se o campo vetorial for conservativo. Sendo U uma função potencial do campo vetorial conservativo, temos que:
Integral de Linha de Campos Vetoriais
Coordenadas Cilíndricas
Sendo as coordenadas retangulares , temos que as coordenadas cilíndricas são , fazendo a relação temos:
Coordenadas Esféricas
Sendo as coordenadas retangulares , temos que as coordenadas esféricas são , fazendo a relação temos:
Integrais Triplas
1º Caso
2º Caso
3º Caso
Superfícies Parametrizadas
Esfera:
Coordenadas esféricas.
Cilindro:
Coordenadas cilíndricas.
Cone:
Coordenadas esféricas.
Parabolóide:
Com 
Curvas Coordenadas
Seja S uma superfície paramétrica representada por:
fixando u e/ou v, teremos:
Plano Tangente e Reta Normal
Se os vetores são L.I., eles determinam o plano tangente a superfície S.
 (vetor normal a superfície S)
 (equação do plano tg)
Área da Superfície Parametrizada
Onde:
 (para coordenadas esféricas) 
Área da Superfície da Função 
Integrais de Superfície do Campo Escalar
Orientação de uma Superfície
É o vetor normal que é ortogonal ao plano que tangencia a superfície S. 
Integral de Superfície Orientada (Integral de Superfície do Campo Vetorial)
Teorema de Green
Seja C uma curva fechada simples, com orientação anti-horário, temos:
Autor: Queiroz, Lucas, 07/2017, Paulo Afonso/BA.
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