Lista 8 Integral Tripla

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Cálculo II – Lista de exercícios ___ 
 Integrais triplas e integrais triplas em coordenadas 
cilíndricas/esféricas. 
 
 
1) Calcule a integral tripla: 
(a) ∭ 𝑥𝑧 𝑑𝑉𝐸 , onde E é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0), (0,1,0), (0,2,0) e 
(0,0,3). 
(b) ∭ 𝑥2𝑒𝑦 𝑑𝑉𝐸 , onde E é limitado pelo cilindro parabólico 𝑧 = 1 − 𝑦
2 e pelos 
planos 𝑧 = 0, 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1 
(c) ∭ 𝑥 𝑑𝑉𝐸 , onde E é limitado pelo paraboloide 𝑥 = 4𝑦
2 + 4𝑧2 e pelo plano 𝑥 = 4 
 
2) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: 
(a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 
(b) O sólido limitado pelo cilindro 𝑦 = 𝑥2 e pelos planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 4 e 𝑦 = 9 
(c) O sólido limitado pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9 e pelos planos 𝑦 + 𝑧 = 5 e 𝑧 = 1 
(d) O sólido limitado pelo paraboloide 𝑥 = 𝑦2 + 𝑧2 e pelo plano 𝑥 = 16 
 
3) Utilize coordenadas cilíndricas 
(a) Calcule ∭ (𝑥3 + 𝑥𝑦2) 𝑑𝑉𝐸 , onde E é o sólido do primeiro octante que está 
abaixo do paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2. 
(b) Calcule ∭ 𝑒𝑧 𝑑𝑉𝐸 , onde E está delimitado pelo paraboloide 𝑧 = 1 + 𝑥
2 + 𝑦2, 
pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 5 e pelo plano 𝑥𝑦. 
(c) Determine o volume do sólido que está dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 como 
da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 
 
4) Calcule a integral transformando em coordenadas cilíndricas. 
∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)3 2⁄ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
2−𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
√1−𝑥2
−√1−𝑥2
1
−1
 
 
5) Utilize coordenadas esféricas 
Cálculo II – Lista de exercícios ___ 
 Integrais triplas e integrais triplas em coordenadas 
cilíndricas/esféricas. 
 
 
 
(a) Calcule ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑉𝐵 , onde B é a bola unitária 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1. 
(b) Calcule ∭ 𝑧 𝑑𝑉𝐸 , onde E está contido entre as esferas 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 e 𝑥2 +
𝑦2 + 𝑧2 = 4 no primeiro octante. 
(c) Calcule ∭ 𝑥2 𝑑𝑉𝐸 , onde E é limitado pelo plano xz e os hemisférios 𝑦 =
√9 − 𝑥2 − 𝑧2 e 𝑦 = √16 − 𝑥2 − 𝑧2. 
(d) Determine o volume do sólido que está acima do cone 𝜑 = 𝜋/3 e abaixo da 
esfera 𝜌 = 4𝑐𝑜𝑠𝜑. 
 
6) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas. 
∫ ∫ ∫ 𝑧√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√9−𝑥2−𝑦2
0
√9−𝑥2
−√9−𝑥2
3
−3
 
 
 
 
Cálculo II – Lista de exercícios ___ 
 Integrais triplas e integrais triplas em coordenadas 
cilíndricas/esféricas. 
 
 
GABARITO 
 
1. (a) 1/10 
(b) 8/3𝑒 
(c) 16𝜋/3 
2. (a) 16/3 
(b) 0 
(c) 36𝜋 
(d) 128𝜋 
3. (a) 2/35 
(b) 𝜋(𝑒6 − 𝑒 − 5) 
(c) 32𝜋/3 
4. 8𝜋 35⁄ 
5. (a) 
4𝜋
5
 
(b) 
15𝜋
16
 
(c) 
1562𝜋
15
 
(d) 10𝜋 
6. 243𝜋 5⁄