Curvas Cônicas: História e Aplicações

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Curvas Curvas CônicasCônicas
Curvas CônicasCurvas CônicasCurvas CônicasCurvas Cônicas
Cálculo de Várias Variáveis
elipseelipseelipseelipse parábolaparábolaparábolaparábola hipérbolehipérbolehipérbolehipérbole
Prof.: Eloisa Márcia da Silva TampieriProf.: Eloisa Márcia da Silva TampieriProf.: Eloisa Márcia da Silva TampieriProf.: Eloisa Márcia da Silva Tampieri
Um Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas Cônicas
Associado à história das curvas cônicas temos o nome de Apolônio, que nasceu na cidade de
Perga, região da Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente,
até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212
a.C. e, juntamente com Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.) forma a triade considerada como
sendo a dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Estudou com os discípulos de
Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável.
Um Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas CônicasUm Pouco da História das Curvas Cônicas
Sua obra prima é Secções Cônicas composta por 8 volumes
(aproximadamente 400 proposições!).
Embora Apolônio tenha sido o matemático que mais estudou eEmbora Apolônio tenha sido o matemático que mais estudou e
desenvolveu as cônicas na antiguidade, essas curvas já eram
conhecidas em sua época, sendo os precursores Manaecmo,
Aristeu e o próprio Euclides.
IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução
Uma Superfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de Revolução é gerada quando uma reta GGGG
intercepta outra reta e e e e fixa, , , , girando em torno dela.
GeratrizGeratrizGeratrizGeratriz:::: GGGG
VérticeVérticeVérticeVértice:::: VVVV
Eixo: eEixo: eEixo: eEixo: e
Curvas CônicasCurvas CônicasCurvas CônicasCurvas CônicasCurvas CônicasCurvas CônicasCurvas CônicasCurvas Cônicas
As CurvasCurvasCurvasCurvasCurvasCurvasCurvasCurvas CônicasCônicasCônicasCônicasCônicasCônicasCônicasCônicas são produzidas por um plano
secante sobre uma SuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfícieSuperfície CônicaCônicaCônicaCônicaCônicaCônicaCônicaCônica dededededededede RevoluçãoRevoluçãoRevoluçãoRevoluçãoRevoluçãoRevoluçãoRevoluçãoRevolução.
Dependendo do ângulo que forma o plano secante com o eixo da
superfície cônica, surgem diferentes curvas cônicas.
Se o ângulo é maior, igual ou menor que o semiangulo do vértice da
superfície cônica, obtem-se, respectivamente, uma elípseelípseelípseelípse, uma parábolaparábolaparábolaparábola, ou
uma hipérbolehipérbolehipérbolehipérbole.
Secções CônicasSecções CônicasSecções CônicasSecções CônicasSecções CônicasSecções CônicasSecções CônicasSecções Cônicas
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito
recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel
importante em vários domínios da física, incluindo a
astronomia, a economia, a engenharia e em muitas outras
situações.situações.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem: 
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
Suponhamos que temos uma
lanterna direcionada para uma
parede, então o feixe de luz
emitido desenhará nessa parede
uma curva cônica, conforme a
figura. Dependendo da inclinaçãofigura. Dependendo da inclinação
da lanterna relativamente à parede,
assim se obtém uma circunferência,
uma elipse, uma parábola ou uma
hipérbole.
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
A superfície formada pela água dentro
de um copo é elíptica, sendo circular
apenas no caso em que o copo está
direito, isto é, está alinhado com o
nível, na horizontal.
Se animarmos o copo com um
movimento rotativo sobre si próprio, a
superfície do líquido nele inserido
será a de um parabolóide. Esta técnica
é frequentemente usada para se obter
este tipo de superfície.
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do
sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais
têm o sol num dos focos. Também os satélites
artificiais enviados para o espaço percorrem
trajetórias elípticas.
Mas nem todos os objetos que circulam no espaçoMas nem todos os objetos que circulam no espaço
têm órbitas elípticas. Existem cometas que
percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao
passarem perto de algum planeta com grande
densidade, alteram a sua trajetória para outra
hipérbole com um foco situado nesse planeta.
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
Fazendo uso da propriedade refletora
da parábola, Arquimedes construiu
espelhos parabólicos, os quais por
refletirem a luz solar para um só ponto,
foram usados para incendiar os barcosforam usados para incendiar os barcos
romanos quando das invasões de
Siracusa. Lembre-se que a
concentração de energia gera calor.
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente
as da parábola, têm contribuindo para a construção de
telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros,
lanternas, etc...
Só para dar uma amostra de objetos mais cotidianos que usam
a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os
seguintes: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.
Algumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das CônicasAlgumas Aplicações das Cônicas
AAAA partirpartirpartirpartir dadadada propriedadepropriedadepropriedadepropriedaderefletorarefletorarefletorarefletora dasdasdasdas parábolas,parábolas,parábolas,parábolas,
osososos engenheirosengenheirosengenheirosengenheiros civiscivisciviscivis construíramconstruíramconstruíramconstruíram pontespontespontespontes dededede
suspensãosuspensãosuspensãosuspensão parabólicaparabólicaparabólicaparabólica....
AAAA arquiteturaarquiteturaarquiteturaarquitetura modernamodernamodernamoderna sesesese valemvalemvalemvalem dasdasdasdas formasformasformasformas
cônicascônicascônicascônicas…………
A Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares GeométricosA Elípse como Lugares Geométricos
M N
F1 F2
S
P
2
b
r1 r2
circunferencia principal
c
i
r
c
u
n
f
e
r
e
n
c
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a
 
f
o
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l
 
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c
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l
ElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipse
T
2a
2c
c
i
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l
 
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ia
 fo
c
a
l
A ElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipse é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição de que a soma das
distâncias a outros pontos fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a,
sendo 2a a longitude do eixo maior MN da elipse.
Elementos de uma Elipse
• F1 e F2 – Focos
• B1e B2 – Vértices do eixo menor
• A1 e A2 – Vértices do eixo maior
Distâncias: 
• F1F2 = 2c
• A1A2 = 2a
• B1B2 = 2b
• Equação da Elipse
Onde Onde 
- valor da coordenada do centro.
a e b indicam qual eixo é o maior e o menor na 
Elipse estudada.
As Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares GeométricosAs Cônicas como Lugares Geométricos
CircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferência é o lugar geométrico dos pontos PPPP que estão a uma mesma distância rrrr
de um ponto fixo AAAA do plano, onde rrrr é a medida do raio da circunferência e o ponto
AAAA é o centro da circunferência.
PPPP
Observe que a circunferência é um
caso particular da elipse, que
ocorre quando os focos F1 e F2
coincidem.
rrrr
AAAA
• Equação da Circunferência
Equação reduzida Equação reduzida 
A Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares GeométricosA Hipérbole como Lugares Geométricos
V1 V2O
F1 F2
B A C
P
C´fCf
r1
r2
F´2
t
HipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérbole
EixoEixoEixoEixo virtualvirtualvirtualvirtual
AAAA hipérbolehipérbolehipérbolehipérbole éééé umaumaumauma curvacurvacurvacurva plana,plana,plana,plana, aberta,aberta,aberta,aberta, comcomcomcom doisdoisdoisdois ramosramosramosramos eeee sesesese definedefinedefinedefine comocomocomocomo oooo lugarlugarlugarlugar geométricogeométricogeométricogeométrico dosdosdosdos pontospontospontospontos cujacujacujacuja
diferençadiferençadiferençadiferença dededede distânciasdistânciasdistânciasdistâncias aaaa outrosoutrosoutrosoutros doisdoisdoisdois fixosfixosfixosfixos FFFF1111 eeee FFFF2222,,,, chamadoschamadoschamadoschamados focos,focos,focos,focos, éééé constanteconstanteconstanteconstante eeee igualigualigualigual aaaa 2222aaaa,,,, sendosendosendosendo 2222aaaa oooo
valorvalorvalorvalor dodododo eixoeixoeixoeixo realrealrealreal VVVV1111 eeee VVVV2222....
eje real: V1V2 = 2a
F1 F2
distancia focal: F1F2 = 2C
Cp
r1-r2=2a
F´´1
F´1
HipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérboleHipérbole
rrrr1111----rrrr2222====2222aaaa EixoEixoEixoEixo realrealrealreal:::: VVVV1111VVVV2222====2222aaaa
DistânciaDistânciaDistânciaDistância focalfocalfocalfocal:::: FFFF1111FFFF2222====2222cccc
Elementos da Hipérbole 
F1 e F2→ são os focos da 
hipérbole
O→ é o centro da 
hipérbolehipérbole
2c→ distância focal
2a→medida do eixo real 
ou transverso
2b→medida do eixo 
imaginário
Fica claro que nesse caso os 
focos terão coordenadas 
F1 (-c , 0) e F2( c , 0).F1 (-c , 0) e F2( c , 0).
Assim, a equação reduzida 
da hipérbole com centro na 
origem do plano cartesiano 
e focos sobre o eixo x será:
Neste caso, os focos terão 
coordenadas F1 (0 , -c) e coordenadas F1 (0 , -c) e 
F2(0 , c).
Assim, a equação reduzida 
da hipérbole com centro na 
origem do plano cartesiano 
e focos sobre o eixo y será:
A Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares GeométricosA Parábola como Lugares Geométricos
d
eF
Pr
r
d
i
r
e
c
t
r
i
z
ParábolaParábolaParábolaParábolaParábolaParábolaParábolaParábola
A A A A parábolaparábolaparábolaparábola é é é é umaumaumauma curva plana, curva plana, curva plana, curva plana, abertaabertaabertaaberta e de e de e de e de umumumum ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano 
que que que que equidistamequidistamequidistamequidistam de de de de umumumum ponto ponto ponto ponto fixofixofixofixo FFFF chamado foco, e de chamado foco, e de chamado foco, e de chamado foco, e de umaumaumauma reta reta reta reta fixafixafixafixa dddd chamada chamada chamada chamada diretrizdiretrizdiretrizdiretriz....
ParábolaParábolaParábolaParábolaParábolaParábolaParábolaParábola