RELATÓRIO – DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS – UNIDADE PENEDO 
GUSTAVO HENRIQUE FERREIRA LIMA 
JEISIELY DA CRUZ SILVA 
THAIRES SANTOS ANDRADE 
THIAGO PEREIRA FERREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO – DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Penedo-AL, 2017 
 
GUSTAVO HENRIQUE FERREIRA LIMA 
JEISIELY DA CRUZ SILVA 
THAIRES SANTOS ANDRADE 
THIAGO PEREIRA FERREIRA 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO – DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao curso de Engenharia de 
Produção da Universidade Federal de Alagoas, 
Unidade de Ensino Penedo, como requisito parcial 
à obtenção de notas, sob a orientação do Prof. Dr. 
José Pereira Leão Neto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Penedo-AL, 2017 
 
Sumário 
 
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................4 
 
2. OBJETIVO.................................................................................................5 
 
3. MATERIAL UTILIZADO.........................................................................5 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL.....................................................5 
 
5. RESULTADO E DISCUSSÃO.................................................................6 
 
6. QUESTÕES...............................................................................................8 
 
7. CONCLUSÃO...........................................................................................8 
 
8. ANEXOS...................................................................................................9 
 
9. REFERENCIAS........................................................................................10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
No dia 25 de agosto de 2017 por volta das 16:30 horas foi realizada uma atividade experimental 
com a turma de Engenharia de Produção 2016.1 da UFAL (Penedo) no Anexo Manoel Soares, 
onde os alunos tiveram a oportunidade de aplicar seu conhecimento cientifico sobre a Teoria dos 
erros e medidas (algarismos significativos). O experimento foi conduzido pelo Professor Neto 
Leão que auxiliou a turma de como manusear o paquímetro (instrumento utilizado para medir 
objetos com mais precisão) e de como concluir todas as demais etapas da atividade. 
O experimento se baseava em encontrar as dimensões fracionarias de sete bolinhas de papel 
amassadas utilizando um paquímetro. Os corpos foram classificados como M1, M2, M4, M8, M16, 
M32 e M64, uma vez que essas medidas representam a dimensão de um papel A4 e seus 
respectivos recortes. Cada bolinha foi medida sete vezes e com isso utilizamos alguns princípios 
da geometria fractal para obter a média das dimensões de cada bolinha. A imagem abaixo ilustra 
como foi feita a divisão de cada bolinha. 
A Geometria fractal é o campo matemático que busca dividir o objeto em partes e medi-lo para 
assim ter uma ideia de sua dimensão. Geralmente a geometria fractal é usada para o auxílio de 
medição de corpos complexos, uma vez que a geometria clássica não tem princípios suficientes 
para obter tão precisamente a dimensão dos objetos como a geometria fractal pode obter. 
Fractais são estruturas que apresentam a mesma forma qualquer que seja a escala de fragmentação, 
o termo fractal foi criado por Benoit Mandelbrote é referente da palavra fractus (significa irregular 
ou quebrado). Simplificando, pode-se dize que um fractal é simplesmente um objeto apto a se 
divido, por isso o temo fractal lembra-nos ”fração”. 
O instrumento utilizado para que o procedimento fosse realizado, foi o paquímetro, sendo do tipo 
universal, que é o mais utilizado. Este equipamento tem como principal meta a medição das 
dimensões lineares internas, externas e de profundidade de uma peça. “Devido as suas 
características ela representa, descreve e mede de forma eficiente situações consideradas 
imprevisíveis e caóticas. Uma característica que chama a atenção é que a geometria fractal admite 
a possibilidade de existirem dimensões fracionárias. ” 
Após a medição das bolinhas foi aplicado alguns conceitos de estatística para obter a média do 
diâmetro de cada bolinha, sendo assim fazendo uma fundamentação teórica de acordo com a 
geometria euclidiana, sabemos que a dimensão d representa sua dimensionalidade e para formas 
geométricas d deve ser um número inteiro, dessa forma teremos a formula D=KM^(1/d), onde M 
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é a massa, D é o diâmetro e K é uma constante. Para representar isso em um gráfico, sabendo que 
a formula está em uma função exponencial e a melhor forma para esboçar um gráfico seria 
utilizando um papel logaritmo que está de acordo com as seguintes propriedades exponenciais e 
sabendo que sua função será linear, seria aplicada os dados de forma com que a função se torne 
linear. 
2. OBJETIVO 
Compreender a priori, através de medições de corpos geométricos com formas irregulares, os 
parâmetros de erros e incertezas para se chegar a uma conclusão mais precisa dos diâmetros de 
tais estruturas, aplicando posteriormente no modelamento matemático da dimensão fractal de tais 
objetos. 
3. MATERIAL UTILIZADO 
 
 Folhas de papel A4 
 Paquímetro 
 Calculadora Científica 
 Papel log-log 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 Com as folhas A4 em mãos, a primeira folha foi amassada e obteve-se uma bola, a segunda 
folha foi dividida como indicado na figura 1 partindo a mesma em 6 partes com tamanhos 
diferentes, assim foi construído 7 bolas com forma geométrica de pequenas esferas. 
 A menor bola obtida através da menor fração da folha tem a massa igual a 1 e as seguintes 
de forma crescente de tamanho, terá as seguintes massas, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 
 Com o paquímetro preciso na ordem x, foi realizada as medições dos diâmetros das 
pequenas esferas, uma a uma, por sete vezes consecutivas, girando-as a cada medida. 
 Anotou-se os valores obtidos por cada medida na tabela 1, calculando a média aritmética 
das grandezas. 
 Foi calculado as incertezas de cada medida, para obtermos um parâmetro mais preciso, a 
fim de analisar a dimensão fractal das esferas de papel amassado e inserido na tabela 1. 
 Utilizando a tabela 1, foi construído o gráfico log-log do diâmetro versus a massa. 
 
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5. RESULTADO E DISCUSSÃO 
Realizado todos os procedimentos descritos, anotou-se na Tabela 1 os valores obtidos dos 
diâmetros medidos (D) em pontos diferentes de cada bola de papel, tal como, foram calculados 
a média (<D>) e o desvio padrão (∆D) referente a cada medição. 
Média (<D>): 
∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
 
Desvio padrão (∆D): 𝜎 =
√∑(𝐷𝑖−(<𝐷>)
𝑛−1
 
Sendo, n = número dos diâmetros medidos. 
 
Com os resultados da tabela, foi possível a construção do gráfico log-log, (em anexo), assumindo 
que D = KM1/d, assim em seguida encontra-se K, para isso usa-se as aplicações logarítmicas em 
ambos os lados da função. 
D = KM1/d 
D/M 1 2 4 8 16 32 64 
D1 0,58 0,74 0,92 1,33 1,72 2,58 3,28 
D2 0,51 0,72 1,05 1,29 1,88 2,59 3,22 
D3 0,50 0,79 1,03 1,25 1,71 2,52 3,16 
D4 0,55 0,69 0,95 1,27 1,76 2,36 3,05 
D5 0,56 0,83 1,05 1,23 1,95 2,54 3,22 
D6 0,55 0,77 0,93 1,35 1,79 2,39 3,18 
D7 0,52 0,72 1,00 1,27 1,75 2,59 2,90 
<D> 0,54 0,75 0,99 1,28 1,79 2,51 3,14 
∆D 0,02 0,04 0,05 0,03 0,07 0,08 0,10 
Figura 1: Divisão das folhas 
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LogD = logK + (1/d) logM 
Sabendo que uma equação linear é 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, temos então: logD = y, LogK = b e log M, 
substituindo observa-se que o coeficienteangula da equação é igual a 1/d, ou seja 𝑎 =
1
𝑑
 
Então, para conclui nosso objetivo que é calcular o coeficiente angula (encontrar o “a” da equação 
linear) das retas no gráfico anexado neste trabalho. 
Sabendo que x é a distância paralela ao eixo x do início até o fim da reta e y é a distância 
paralela ao eixo y do início até o fim da reta, os valores foram obtidos a parti da tabela a cima. 
Se, 𝑎 =
∆𝑥
∆𝑦
 então, 𝑎 =
logx2−𝑙𝑜𝑔𝑥1
logy2−logy1
 
Com os valões x1 = 5,4; x2 = 31,4; y1 = 1; y2 = 64 encontra-se o coeficiente angular a = 0, 43 e a 
partir da equação 𝑎 =
1
𝑑
 encontramos d = 2,33. 
Com esse resultado, verifica-se que a dimensão do objeto está dento do esperado, 2 e 3, pois o 
experimento transformou um copo bidimensional que a a folha de papel, em um copo 
tridimensional, que é a bola de papel amassado. Assim, a dimensão do objeto é de 2,33. 
Os valores encontrados para K a pato da fórmula D = KM1/d 
1: K = 0,54 
2: K = 0,56 
4: K = 0,54 
8: K = 0, 52 
16: K = 0, 54 
32: K = 0, 57 
64: K = 0,53 
 
 
 
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6. QUESTÕES 
a) O valor que é esperado de d para uma esfera tridimensional é 3, podemos perceber q o valor é 
remetido pelo próprio nome, sendo assim o valor de uma esfera bidimensional é 2 e o de uma 
unidimensional é 1. 
b) Para uma esfera tridimensional k é expresso da seguinte forma: 
K =
6
πρ
1
d
 , sendo ρ = massa/volume. 
Para uma esfera bidimensional k é expresso da seguinte forma: 
K =
4
πσ
1
d , sendo σ = massa/área. 
Para uma esfera unidimensional k é expresso da seguinte forma: 
K =
1
πλ
1
d , sendo λ = massa/comprimento. 
c) O resultado de d obtido foi d=2,33, sendo um valor entre 2 e 3, tendo em vista que a bala de 
papel parte da dimensão 2 para a 3. A partir disso podemos notar que a dimensão do objeto de 
estudo possui as características da geometria euclidiana (geometria em duas e três dimensões), 
além disso, as bolas de papel amassadas são bastantes irregulares e é devido a essa irregularidade 
que o valor encontrado é fracionário. O ∆d é calculado para encontrar o erro presentes nos 
experimentos físicos. A partir do valor de d encontrado podemos perceber que o objeto de estudo 
(bola de papel) é um fractal. 
7. CONCLUSÃO 
Através dos resultados obtidos pode-se reafirmar a teoria da existência dos fractais, sabendo 
que não é possível se obter valores extados em experimento desse tipo, foi comprovado que a partir 
de um objeto de 2 dimensões é possível transformá-lo em 3 dimensões, porem ficando ente 2 e 3 
a sua dimensão real. Sendo este trabalho de grande importância para o aprendizado, pois podemos 
relaciona a teoria obtida em sala de aula com a prática. 
 
 
 
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8. ANEXOS 
 
Gráfico log-log do diâmetro versus a (M) . 
 
 
 
 
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9. REFERENCIAS 
 
1. M. M. Mendonça, Dimensões fractais – Física experimental 2, Experimento 2, aulas 2. 
2. História dos fractais, Origem dos fractais, 2013, disponível em 
<http://fractaisecategorias.blogspot.com.br/2013/03/sua-origem.html> Acesso 03 de 
outubro de 2017 
3. EBAH, Paquímetro, Disponível em 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAesacAJ/paquimetro > acesso 03 de 
outubro de 2017