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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Exerc´ıcios Programados 2 - Gabarito
Questa˜o 1: Resolva as equac¸o˜es:
a) (10x)1−x = 0, 000001 d) log 1
2
(x− 2) = −3
b) 2x+2 + 2x−1 = 18 e) log2(x− 3) + log2(x) = 2
c) 22x − 9 · 2x + 8 = 0 f) (log(x))2 − 3 · log(x) + 2 = 0.
Soluc¸a˜o: a)
(10x)1−x = 0, 000001⇔ 10x−x2 = 10−6
Quando duas poteˆncias com a mesma base sa˜o iguais e´ porque o expoente e´ o mesmo,
x− x2 = −6⇔ (x− 3)(x+ 2) = 0
Portanto, a soluc¸a˜o e´ x ∈ {−2, 3}.
b) 2x+2 + 2x−1 = 18 = 222x + 2−12x = 18, chamando 2x = y temos:
4y +
y
2
= 18⇔ 8y + y
2
= 18⇔ y = 36
9
= 4.
Como, y = 2x, enta˜o 2x = 4⇔ x = 2. Logo a u´nica soluc¸a˜o de 2x+2 +2x−1 = 18 = 22x2 +2−12x = 18
e´ x = 2.
c) Como 22x − 9 · 2x + 8 = 0⇔ (2x)2 − 9 · 2x + 8 = 0 e, fazendo y = 2x, obtemos
y2 − 9y + 8 = 0⇔ (y − 8)(y − 1) = 0
Se 8 = y = 2x ⇔ x = 3 e se 1 = y = 2x ⇔ x = 0.
d) log 1
2
(x − 2) = −3, para que exista o log, precisamos que x > 2 e, da definic¸a˜o de logaritmo,
temos: x− 2 = (12)−3 = 8⇔ x = 8 + 2 = 10.
e) Queremos resolver log2(x− 3)+ log2(x) = 2. Para que exista o logaritmo, precisamos que x > 3
e x > 0, sendo assim devemos supor que x > 3. Lembrando que
log2(x− 3) + log2 x = log2(x2 − 3x).
log2(x− 3) + log2(x) = log2(x2 − 3x) = 2⇔ x2 − 3x = 22 ⇔ (x− 4)(x+ 1) = 0.
Como precisamos que x > 3, segue que a u´nica soluc¸a˜o e´ x = 4.
f) Queremos resolver (log(x))2 − 3 · log(x) + 2 = 0. Nesse caso, devemos ter x > 0. Fazendo
y = log x, temos
y2 − 3y + 2 = 0⇔ (y − 1)(y − 2) = 0
Para 2 = y = log x⇒ x = 102 = 100, para 1 = y = log x⇒ x = 101 = 10.
1
Questa˜o 2: Desenvolva expressa˜o log
(
a
√
b
c3
)
utilizando as propriedades de logaritmo.
Soluc¸a˜o:
log
(
a
√
b
c3
)
= log a
√
b− log c3 = log a+ log
√
b− 3 log c = log a+ log b
2
− 3 log c.
Questa˜o 3: Dados log(2) ∼= 0, 30, log(3) ∼= 0, 48 e log(5) ∼= 0, 7, resolva a equac¸a˜o 52x−7·5x+12 = 0.
Soluc¸a˜o: Reescrevendo a equac¸a˜o
52x − 7 · 5x + 12 = 0⇔ (5x)2 − 7 · 5x + 12 = 0,
Vemos que podemos chamar y = 5x e da´ı
y2 − 7y + 12 = 0⇔ (y − 3)(y − 4) = 0
Se 3 = y = 5x ⇔ log 3 = x log 5⇔ x = log 3log 5 ∼= 0, 686.
Se 4 = y = 5x ⇔ log 4 = x log 5⇔ x = log 4log 5 = log 2
2
log 5 =
2 log 2
log 5
∼= 0, 86.
Questa˜o 4: Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) g(x) = logx−1(5x− 12) b) f(x) = logx−3(x2 − x− 2)
c) g(x) = logx2−1 ex d) f(x) =
√
log2(x+ 1)− log2(6)
Soluc¸a˜o: a) para que o logaritmo esteja definido e´ necessa´rio que: 1a 5x − 12 > 0 ⇔ x > 125 Pois
o domı´nio do logaritmo e´ x ∈ R, com x > 0; 2a x − 1 > 0 ⇔ x > 1 uma vez que a sua base deve ser
maior que zero; e 3a x − 1 6= 1 ⇔ x 6= 2 e sua base precisa tambe´m ser diferente de 1. Fazendo a
intersec¸a˜o entre estas 3 condic¸o˜es chegamos que x > 125 .
b) Aplicando as 3 condic¸o˜es para que a func¸a˜o logaritmo exista obtemos:
x2 − x− 2 > 0⇔ (x+ 1)(x− 2) > 0.
Enta˜o, ou ambos os termos sa˜o negativos ou ambos os termos sa˜o positivos, da´ı obtemos x < −1 ou
x > 2. Ja´ a 2a e a 3a condic¸a˜o nos da´: x− 3 > 0⇔ x > 3 e x− 3 6= 1⇔ x 6= 4. Procurando os valores
de x ∈ R para que ocorram as 4 condic¸o˜es ao mesmo tempo obtemos:
{x ∈ R : x > 3 e x 6= 4} .
c) Como ex > 0 para todo x ∈ R, podemos nos concentrar em
x2 − 1 = 0⇔ x = 1 ou x = −1.
Por outro lado x2 − 1 6= 1⇔ x 6= ±√2. Logo o domı´nio de g(x) e´{
x ∈ R : x < −1, x 6= −
√
2 ou x > 1, x 6=
√
2
}
d) Primeiramente vamos determinar os valores de x para que log2(x+ 1)− log2(6) ≥ 0.
log2(x+ 1)− log2(6) ≥ 0⇔ log2(x+ 1) ≥ log2(6)⇔ x+ 1 ≥ 6⇔ x ≥ 5.
2
Agora, vamos ver para quais valores de x podemos calcular log.
x+ 1 > 0⇔ x > −1.
Portanto, para que a func¸a˜o f(x) =
√
log2(x+ 1)− log2(6) e´ necessa´rio que x ≥ 5.
Questa˜o 5: Sabendo que f(x) = 72x e g(x) = log7(x− 3). Determine:
a. A expressa˜o de (f ◦ g)(x);
b. (f ◦ g)(52);
c. (g ◦ f) (12).
Soluc¸a˜o: a. Vamos determinar
(f ◦ g)(x) = f(log7(x− 3)) = 72 log7(x−3) = (x− 3)2.
b. Vamos utilizar a expressa˜o obtida no item a.
(f ◦ g)(52) = f(g(52)) = (52− 3)2 = 492 = 2401.
c.
(g ◦ f)
(
1
2
)
= g(f(
1
2
))
= g(71) = g(7)
= log7(7− 3) = log7(4).
Questa˜o 6: O chamado ”juro sobre juro” nos conduz a um racioc´ınio exponencial. Veja, por
exemplo, se voceˆ toma por empre´stimo uma determinada quantia Q, a uma taxa de juros mensal i, ao
final do primeiro meˆs, a sua divida e´ de Q+ iQ, certo? Ou seja, Q(1 + i). Ao final do segundo meˆs, a
sua d´ıvida passa a ser o que voceˆ devia, acrescido de juros, na˜o e´ assim? Ou ainda, o que voceˆ devia,
Q(1 + i) somado aos juros devidos, ou seja, essa quantidade Q(1 + i) multiplicada por i. Enta˜o, no
segundo meˆs, sua d´ıvida e´ Q(1+ i)+Q(1+ i).i = Q(1+ i)(1+ i) = Q(1+ i)2 Ao final de n meses, a sua
d´ıvida sera´ de Q(1+ i)n. Esta e´ apenas uma das utilidades da func¸a˜o exponencial. Vamos enta˜o a um
ca´lculo simples: o montante de uma d´ıvida no decorrer de x meses e´ dado por M(x) = 10000.(1, 05)x.
Determine apo´s quantos meses o montante sera´ de R$ 40.000.
Soluc¸a˜o: Queremos determinar o valor de x para que M(x) = 40.000, da´ı,
(1, 05)x = 4⇔ log(1, 05)x = log(4)⇔ x = log 4
log(1, 05)
∼= 28, 4...
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