ep7 metdet ii 2017 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Gabarito do EP7
Questa˜o 1: Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) h(x) = 5x+4
x2+3x+2
c) m(x) = ln(x2 − 9)
b) g(t) =
√
t−1
3√t d) g(t) =
1
1−et .
Soluc¸a˜o: a) Para que h(x) = 5x+4
x2+3x+2
esteja bem definida basta que o denominador seja diferente
de zero, logo
x2 + 3x+ 2 6= 0⇔ (x+ 1)(x+ 2) = x2 + 3x+ 2 6= 0⇔ x 6= −1 e x 6= −2.
b) Para a func¸a˜o g(t) esteja bem-definida temos que ter
t− 1 ≥ 0 e 3√t 6= 0⇔ t ≥ 1 e t 6= 0, enta˜o basta exigirmos t ≥ 1.
c) Para que m(x) esteja bem definida temos que
x2 − 9 > 0⇔ (x− 3)(x+ 3) > 0. E por Fazer a ana´lise de sinal obtemos x < −3 ou x > 3.
Lembrando que para fazer a ana´lise do sinal precisamos desenhar treˆs linhas paralelas na primeira
marcamos os pontos menores que −3 com sinal negativo e maiores que −3 com sinal positivo; na
segunda linha marcamos os pontos menores de 3 com o sinal negativo e maiores que 3 com o sinal
positivo; e na terceira linha marcamos os pontos −3 e 3 e fazemos a ana´lise de sinal ++ = + = −− e
+− = − = −+ e obtemos que os intervalos que o sinal e´ positivo sa˜o quando x < −3 ou x > 3.
c) Para que g(t) seja definida temos
1− et 6= 0⇔ et 6= 1⇔ t 6= 0.
Enta˜o esta func¸a˜o esta bem definida desde que t 6= 0.
1
Questa˜o 2: Esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir usando translac¸o˜es e/ou reflexo˜es:
a) y = 1x−4 c) y = 4− |x|
b) y =
√
x− 3 d) y = |x2 − 3x+ 2|
Soluc¸a˜o: a) Em primeiro lugar gostaria de pedir desculpas, pois este exerc´ıcio foi enunciado
incorretamente. Queria perguntar y = 1x−4 sem o log3 x. Vou resolver ele desta forma mais simples.
Figure 1: Gra´fico de y = 1x Figure 2: Gra´fico de y = 1x−4
b)
Figure 3: Gra´fico de y =
√
x Figure 4: Gra´fico de y =
√
x− 3
c)
Figure 5: Gra´fico de y = |x|
Figure 6: Multiplicando por
−1 tem-se y = 1x−4
Figure 7: Transladando 4
unidades pra cima y = 4− |x|
2
d) Para a func¸a˜o y = |x2 − 3x+ 2|, como x2 − 3x+ 2 = (x− 2)(x− 1), segue e´ que e´ uma equac¸a˜o
do segundo grau com o coeficiente que acompanha x2 positivo e ra´ızes x = 1 e x = 2.
Figure 8: Gra´fico de y = x2 − 3x+ 2 Figure 9: Gra´fico de y = y = |x2 − 3x+ 2|
Questa˜o 3: Para cada par de func¸o˜es verifique que im(f) ⊂ D(g) e determine a composta h(x) =
g(f(x))
a) Se g(x) = x+1x−2 e f(x) = x
2 + 3 c) Se g(x) = x+1x−2 e f(x) =
2x+1
x−1
b) Se g(x) = x+1x−1 e f(x) =
x
x+1 d) Se g(x) =
2
x−2 e f(x) = x+ 1, x 6= 1.
Soluc¸a˜o: a) Observe que im(f) = {x ∈ R : x ≥ 3} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 2}.
h(x) = g(f(x)) =
f(x) + 1
f(x)− 2 =
x2 + 4
x2 + 1
.
b) Como im(f) = {x ∈ R : x 6= 1} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 1}.
h(x) = g(f(x)) =
f(x) + 1
f(x)− 1 =
x
x+1 + 1
x
x+1 − 1
= −2x− 1.
c) Por u´ltimo como im(f) = {x ∈ R : x 6= 2} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 2}.
h(x) = g(f(x)) =
f(x) + 1
f(x)− 2 =
2x+1
x−1 + 1
2x+1
x−1 − 2
= x.
d) Como im(f) = {x ∈ R : x 6= 2} ⊂ D(g) = {x ∈ R : x 6= 2}.
h(x) = g(f(x)) =
2
f(x)− 2 =
2
(x+ 1)− 2 =
2
x− 1 .
Questa˜o 4: Determine f de tal forma que g(f(x)) = x para todo x ∈ D(f), sendo g dada por
a) g(x) = 1x c) g(x) = x
2 − 2x
b) g(x) = 2+xx+1 d) g(x) = 2 +
3
x+1 .
Soluc¸a˜o: a) Da equac¸a˜o y = 1x troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o
x =
1
y
⇔ y = 1
x
.
Portanto, a inversa de g(x) = 1x e´ f(x) =
1
x .
3
b) Da equac¸a˜o y = 2+xx+1 troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o
x =
2 + y
y + 1
⇔ xy + x = 2 + y ⇔ xy − y = 2− x⇔ y = 2− x
x− 1 .
Portanto, f(x) = 2−xx−1 .
c) Da equac¸a˜o y = x2 − 2x troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar o y, enta˜o
x = y2 − 2y ⇔ y2 − 2y − x = 0resolvendo a equac¸a˜o do 2o grau em y temos y = 1±√1 + x
E portanto, f(x) pode ser f(x) = 1 +
√
1 + x se x ≥ −1 ou f(x) = 1−√1 + x se x ≥ −1.
d) Como 2+ 3x+1 =
2x+5
x+1 . Considere a equac¸a˜o y =
2x+5
x+1 troquemos o x pelo y e vamos tentar isolar
o y, enta˜o
x =
2y + 5
y + 1
⇔ xy + x = 2y + 5⇔ xy − 2y = 5− x⇔ y = 5− x
x− 2 .
Portanto, f(x) = 5−xx−2 .
Questa˜o 5: Para a func¸a˜o g, cujo o gra´fico e´ dado, determine os seguintes limites:
a) lim
x→∞ g(x) d) limx→3
g(x)
b) lim
x→−∞ g(x) e) limx→0
g(x)
c) lim
x→−2+
g(x) f) Determine as ass´ıntotas.
Gra´fico de g(x).
Soluc¸a˜o: Por observar o gra´fico temos que:
a) lim
x→∞ g(x) = 2 d) limx→3
g(x) =∞
b) lim
x→−∞ g(x)− 2 e) limx→0 g(x) = −∞
c) lim
x→−2+
g(x) = −∞
f) Quanto as ass´ıntotas temos; ass´ıntota horizontal: y = −2 e y = 2 e ass´ıntota vertical: x = −2,
x = 0 e x = 3.
Questa˜o 6: Calcule os limites:
4
a) lim
x→2
2x2 + 1
x2 + 6x− 4 d) limx→+∞
[√
4x2 + x+ 1− 2x
]
b) lim
x→1
√
5x2 − 4
(3x− 5)4 e) limx→+∞
1− 2x
1− 3x
c) lim
x→3
(x− 2)3 − 1
x− 3 f) Encontre as ass´ıntotas de f(x) =
x
x2−x−2 .
Soluc¸a˜o: a) como 22 + 12− 4 = 12 6= 0 temos que
lim
x→2
2x2 + 1
x2 + 6x− 4 =
2× 22 + 1
22 + 12− 4 =
9
12
=
3
4
.
b) Como (3− 5)4 6= 0 temos que
lim
x→1
√
5x2 − 4
(3x− 5)4 =
√
5× 12 − 4
(3− 5)4 =
1
16
.
c) Fazendo as contas temos
lim
x→3
(x− 2)3 − 1
x− 3 = limx→3
x3 − 6x2 + 12x− 9
x− 3 = limx→3
(x2 − 3x+ 3)(x− 3)
x− 3 = 3.
d) Temos uma indeterminac¸a˜o ∞−∞ enta˜o multiplicando e dividindo pelo conjugado temos
lim
x→+∞
(√
4x2 + x+ 1− 2x
)(√4x2 + x+ 1 + 2x√
4x2 + x+ 1 + 2x
)
= lim
x→+∞
x+ 1√
4x2 + x+ 1 + 2x
= lim
x→+∞
x
x
1 + 1/x√
4 + 1/x+ 1/x2 + 2
=
1
4
.
e) Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo −∞−∞ , mas fazendo
lim
x→+∞
1− 2x
1− 3x = limx→+∞
3x
3x
(
1/3x − (23)x
1/3x − 1
)
=
0
−1 = 0.
f) Para analisar as ass´ıntotas de f(x) = x
x2−x−2 veja que x
2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) e temos que
calcular os seguintes 6 limites
lim
x→2−
x
x2 − x− 2 = −∞ limx→−1+
x
x2 − x− 2 = +∞
lim
x→2+
x
x2 − x− 2 = +∞ limx→+∞
x
x2 − x− 2 = 0
lim
x→−1−
x
x2 − x− 2 = −∞ limx→−∞
x
x2 − x− 2 = 0.
Portanto, as ass´ıntotas verticais sa˜o x = −1 e x = 2 e a ass´ıntota horizontal e´ 0.
Questa˜o 7: Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x+ 1 e
g(x) =

x2 − 2 se x ≤ −1
x se |x| < 1
2− x2 se x ≥ 1
. Determine:
a) Determine (g ◦ f) (−3);
5
b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: a)
(g ◦ f) (−3) = g(f(−3)) = g(−2) = 2.
b) Precisamos determinar os valores de x tais que x+ 1 ≤ −1 e quando x+ 1 ≥ 1.
x+ 1 ≤ −1⇐⇒ x ≤ −2 e x+ 1 ≥ 1⇐⇒ x ≥ 0.
Logo,
f(g(x)) ==

(x+ 1)2 − 2 se x ≤ −2
x+ 1 se −2 < x < 0
2− (x+ 1)2 se x ≥ 0
Questa˜o 8:
a) Considere g(x) = logx+2(x
2 − 3x− 4). Determine o domı´nio da func¸a˜o g(x).
b) Sabendo que logx a = 3, logx b = 5 e logx c = 4, calcule logx
(
a4
b3c
)
.
Soluc¸a˜o: a) Precisamos que x+2 > 0 e que x+2 6= 1, e tambe´m, que x2−3x−4 > 0. A primeira parte
devemos ter que x > −2 e x 6= −1. A outra condic¸a˜o, segue da observac¸a˜o: x2−3x−4 = (x+1)(x−4) >
0, desde que, x < −1 ou x > 4. Todas essas condic¸o˜es juntas obtemos: {x ∈ R : −2 < x < −1 e x > 4}.
b)
logx
(
a4
b3c
)
= logx(a
4)− logx(b3c)
= logx(a
4)− (logx(b3) + logx(c))
= 4 logx(a)− (3 logx(b) + logx(c))
= 4× 3− (3× 5 + 4) = 12− 19 = −7
Questa˜o 9: Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→4
2−√x
2
√
x(x− 4)
b) lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2
Soluc¸a˜o: a)
lim
x→4
2−√x
2
√
x(x− 4) = limx→4
(2−√x)(2 +√x)
2
√
x(x− 4)(2 +√x)
= lim
x→4
4− x
2
√
x(x− 4)(2 +√x) =
−1
2×√4(2 +√4) = −
1
16
.
b) Observe que se avaliarmos os polinoˆmios x3 − 3x+ 2 e x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 em x = 1, ambos se
anulam. Logo x− 1 divide a ambos. Dividindo obtemos: x2 + x− 2 que tambe´mpossui x = 1 como
6
raiz e dividindo x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2 obtemos x3 − 3x + 2 que tambe´m possui x = 1 como raiz.
Portanto, podemos dividir ambos por (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 e obtemos
lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = limx→1
(x+ 2)(x2 − 2x+ 1)
(x2 − x− 2)(x2 − 2x+ 1)
= lim
x→1
(x+ 2)
(x2 − x− 2) =
1 + 2
1− 1− 2 =
3
−2 = −
3
2
.
Questa˜o 10: Seja f : R−{2} −→ R−{−1} dada pela expressa˜o f(x) = 3−xx−2 . Encontre a expressa˜o
de f−1 e tambe´m o domı´nio e a imagem de f−1.
Soluc¸a˜o: Para calcular a inversa vamos adotar o procedimento de chamar x de y na expressa˜o da
func¸a˜o e igualar a x e tentar isolar y.
x =
3− y
y − 2 ⇔ xy − 2x = 3− y
⇔ xy + y = 2x+ 3
⇔ y = 2x+ 3
x+ 1
.
E portanto, f−1 : R− {−1} −→ R− {2} tem como fo´rmula f−1(x) = 2x+3x+1 .
Questa˜o 11: Considere f(x) = 73x−2 e g(x) = logx+2(x2 − 2x− 8).
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o g(x).
b) Calcule f
(
2g(5)+2
3
)
.
Soluc¸a˜o: a) Se x e´ real, para que exista um nu´mero real y, tal que y = logx+2(x
2 − 2x − 8), as
seguintes condic¸o˜es devem ser satisfeitas:
• x+ 2 6= 1 se, e somente se, x 6= −1;
• x+ 2 > 0 se, e somente se, x > −2; e
• x2 − 2x− 8 > 0
Fac¸amos o estudo dos sinais da expressa˜o x2 − 2x− 8 = (x+ 2)(x− 4):
Portanto, x2 − 2x− 8 > 0 se, e somente se, x ∈ (−∞,−2) ∪ (4,+∞).
E o domı´nio de g e´ {x ∈ R : x > 4}. (concluiu corretamente vale 0,5pt restantes deste item)
b) Vamos fazer a conta
f
(
2g(5) + 2
3
)
= f
(
2 log7(7) + 2
3
)
= f
(
2 + 2
3
)
= 7(3(
4
3)−2) = 72 = 49.
7
Questa˜o 12: Calcule 1a log
(√
b
c
)a
, sabendo que log(a) = 6 e log(c) = −2.
Soluc¸a˜o: Vamos calcular
1
a
log
(√
b
c
)a
=
a
a
log
(√
b
c
)
= log
(√
b
)
− log (c)
=
1
2
6− (−2) = 5.
Questa˜o 13: Determine os seguintes limites
a) lim
x→5
1
x − 15
x− 5
b) lim
x→5
√
x− 1− 2
x− 5 .
Soluc¸a˜o: a)
lim
x→5
1
x − 15
x− 5 = limx→5
5−x
5x
x− 5
= lim
x→5
−(x− 5)
5x(x− 5) = −
1
25
.
b)
lim
x→5
√
x− 1− 2
x− 5 = limx→5
(√
x− 1− 2
x− 5
)(√
x− 1 + 2√
x− 1 + 2
)
= lim
x→5
x− 1− 4
(x− 5)(√x− 1 + 2)
= lim
x→5
1√
x− 1 + 2 =
1
4
.
Questa˜o 14: Considerando a func¸a˜o real f , cuja expressa˜o e´ f(t) = 2t+1
t2−t−2
a) Determine o domı´nio de f ;
b) A(s) Ass´ıntota(s) vertical(is) ao gra´fico de f ;
c) A(s) Ass´ıntota(s) horizontal(is) ao gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) Inicialmente veja que t2 − t − 2 = (t + 1)(t − 2) e, portanto, o domı´nio de f(t) sa˜o
t ∈ R− {−1, 2}.
8
b) E´ para encontrar as ass´ıntotas verticais precisamos calcular os limites laterais nos pontos −1e 2.
lim
t→−1−
2t+ 1
t2 − t− 2 = −∞
lim
t→−1+
2t+ 1
t2 − t− 2 = +∞
lim
t→2−
2t+ 1
t2 − t− 2 = −∞
lim
t→2+
2t+ 1
t2 − t− 2 = +∞.
Portanto, f(t) possui como ass´ıntota vertical x = −1 e x = 2.
c) Para encontrar as ass´ıntotas horizontais precisamos calcular
lim
t→+∞
2t+ 1
t2 − t− 2 = limt→+∞
t2
t2
(
2/t+ 1/t2
1− 1/t− 2/t2
)
= 0
lim
t→−∞
2t+ 1
t2 − t− 2 = limt→−∞
t2
t2
(
2/t+ 1/t2
1− 1/t− 2/t2
)
= 0.
Portanto, existe apenas uma ass´ıntota horizontal que e´ y = 0
9