ep16 metdet ii 2017 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Gabarito do EP16
Questa˜o 1: Encontre a derivada
a) f(x) = x5 − 5x3 + 10x− 15 b) f(z) = e−z2 ln(z − 1)
c) f(t) = (t
4−5t2)200
t4+16
Soluc¸a˜o: a) Se f(x) = x5 − 5x3 + 10x− 15 enta˜o f ′(x) = 5x4 − 15x2 + 10.
b) Se f(z) = e−z2 ln(z − 1) enta˜o f ′(z) = −2ze−z2 ln(z − 1) + e−z
2
z−1 .
c) Se f(t) = (t
4−5t2)200
t4+16
enta˜o
f ′(t) =
400t399
(
t2 − 5)199 (2t2 − 5)
t4 + 16
− 4t
403
(
t2 − 5)200
(t4 + 16)2
=
200(t4 − 5t2)199(4t3 − 10t)(t4 + 16)− (t4 − 5t2)2004t3
(t4 + 16)2
.
Questa˜o 2: Calcule
a)
∫
x10 + 1
x4
+ 3
√
x dx b)
∫
7 · (7x+ 5)8 dx
c)
∫
2e2x dx d)
∫
x
x2+1
dx
Soluc¸a˜o: a)
∫
x10 + 1
x4
+ 3
√
x dx = x
11
11 +
x−3
−3 +
x3/4
4/3 +K.
b) Chamando u = 7x+5⇒ du = 7 dx e enta˜o ∫ 7 · (7x+ 5)8 dx = ∫ u8 du. Portanto, ∫ 7 · (7x+ 5)8 dx =
(7x+5)9
9 +K.
c) Chamando u = 2x⇒ du = 2dx e temos ∫ 2e2x dx = ∫ eu du e da´ı ∫ 2e2x dx = e2x +K.
d) Chamando u = x2 + 1 ⇒ du = 2x dx e ∫ x
x2+1
dx = 12
∫
du
u du =
1
2 ln(u). Portanto,
∫
x
x2+1
dx =
1
2 ln(x
2 + 1) +K.
Questa˜o 3: Calcule a a´rea entre o gra´fico da func¸a˜o y = 1− x2 e o eixo dos x.
Soluc¸a˜o: Vamos iniciar observando que y = 1 − x2 = (1 − x)(1 + x), logo e´ uma equac¸a˜o de uma
para´bola com a boca voltada para baixo com ra´ızes x = −1 e x = 1.‘Portanto calcular a a´rea entre o
´gra´fico dessa func¸a˜o e o eixo dos x, corresponde a calcular
∫ 1
−1 1− x2 dx. Pontanto∫ 1
−1
1− x2 dx =
[
x− x
3
3
]1
−1
=
(
1− 1
3
)
−
(
1− −1
3
)
= 1− 2
4
=
4
3
uni2.
Questa˜o 4: Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x2 + 2
x2
em x = 1.
1
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o da reta tangente em x = 1 e´ y − f(1) = f ′(1)(x− 1), onde y = f(x). Observe
que f(1) = 3 e f ′(x) = 2x− 4
x3
segue que f ′(1) = 2− 4 = −2 e a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico
de y = f(x) fica
y − 3 = −2(x− 1).
Questa˜o 5: Considerando que a func¸a˜o que da´ a receita na venda de um tipo de toalha de uma
certa indu´stria teˆxtil e´ expressa por R(q) = −0, 001q2+10q, onde 0 ≤ q ≤ 10000, suponha que o custo
para a produc¸a˜o de uma quantidade q deste mesmo tipo de toalha seja C(q) = 2q + 12000 e que a
func¸a˜o lucro seja dada pela diferenc¸a entre a receita e o custo, determine:
a. A func¸a˜o Lucro desta indu´stria para este tipo de toalha;
b. A derivada primeira da func¸a˜o lucro obtida no item a.;
c. A derivada segunda da func¸a˜o lucro obtida no item a.;
d. Os pontos cr´ıticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o Lucro, fazendo o estudo
do sinal da primeira derivada.
e. Os intervalos em que o gra´fico tem concavidade voltada para cima e os intervalos em que o gra´fico
tem concavidade voltada para baixo, fazendo o estudo da derivada segunda.
f. A quantidade que devera´ ser produzida mensalmente para se ter o lucro ma´ximo.
g. O lucro ma´ximo.
Soluc¸a˜o: a) L(q) = R(q)− C(q) = −0, 001q2 + 10q − (2q + 12000) = −0, 001q2 + 8q − 12000.
b) L(q) = −0, 001q2 + 8q − 12000⇒ L′(q) = −0, 002q + 8.
c) L′(q) = −0, 0002q + 8⇒ L′′(q) = −0, 002.
d) Os pontos cr´ıticos sa˜o definidos pelos pontos em que a 1a derivada se anula ou na˜o existe. Como
a func¸a˜o derivada e´ uma func¸a˜o polinomial, seu domı´nio e´ os reais. Portanto, os pontos cr´ıticos
sera˜o determinados pelos pontos em que a derivada se anula. Assim, L′(q) = −0, 002q + 8 = 0,
q = 80,002 = 4000 que esta´ no intervalo de definic¸a˜o da func¸a˜o Lucro (ja´ que a receita esta´ definida
para 0 ≤ q ≤ 10000). Logo, o ponto cr´ıticos e´ o que tem abscissa 4000. Podemos analisar o sinal da
1a derivada, levando em conta que e´ uma func¸a˜o linear e, por isso, ja´ sabemos o seu comportamento,
verificamos que a func¸a˜o lucro e´ positiva para 0 ≤ q < 4000 e que e´ negativa para 4000 < q ≤ 10000.
Assim, temos que L′(q) > 0 se 0 ≤ q < 4000, portanto, L e´ crescente neste intervalo, e L′(q) < 0 se
4000 < q ≤ 10000, portanto L e´ decrescente neste intervalo. Assim, (4000, L(4000)) e´ um ponto de
ma´ximo local
e) Para analisar a concavidade, e´ necessa´rio analisar o sinal da derivada segunda. Como L′′(q) =
−0, 002, teremos que a derivada segunda sera´ negativa qualquer que seja o valor de q. Portanto, o
gra´fico tera´ sempre a concavidade voltada para baixo.
f) O lucro ma´ximo sera´ obtido ao se produzir 4000 unidades.
g) O lucro ma´ximo sera´ L(4000) = −0, 001 · (4000)2 − 8 · 4000− 12000 = 4000 reais.
2