Cap 23 Lei de Gauss

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Capítulo 23: 
 Lei de Gauss 
 O Fluxo de um Campo Elétrico 
 A Lei de Gauss 
 A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb 
 Um Condutor Carregado 
 A Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica 
 A Lei de Gauss: Simetria Plana 
 A Lei de Gauss: Simetria Esférica 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Definição 
Definição: 
A Lei de Gauss considera uma superfície fechada 
(imaginária) que envolve a distribuição de cargas. 
 
Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter 
qualquer forma, por isso devemos optar por uma 
que facilite o calculo do campo, levando em 
consideração as simetrias do problema. 
Cap. 23: Lei de Gauss 
O Fluxo 
cosAvAvFluxo  
cosAEAE


No caso do Fluxo Elétrico: 
Onde: θ é o ângulo entre o vetor Campo Elétrico e o vetor normal à área A. 
E

Cap. 23: Lei de Gauss 
O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana 
é proporcional ao número de linhas de campo 
elétrico que atravessam a superfície. 
Definição: 
O Fluxo Elétrico 
P/ Superfícies 
Gaussianas: 
  dAnE ˆ

  dAnE ˆ

O vetor Normal, , sempre aponta para fora 
da superfície Gaussiana 
nˆ
Cap. 23: Lei de Gauss 
Exemplo: 
1. Um disco com raio r = 10 cm está orientado de 
modo que seu vetor normal faça um ângulo de 30° 
com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103 
N/C. (a) Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b) 
Qual o fluxo de campo elétrico depois que ele gira e a 
normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c) 
Qual o fluxo elétrico através do disco quando sua 
normal é paralela à E? (54 N.m2/C; 0; 63 N.m2/C) 
2. Um campo elétrico dado ela expressão abaixo 
atravessa um cubo gaussiano com 2,0 m de aresta, 
posicionado como na figura ao lado. Determine o 
fluxo de campo elétrico através das faces: (a) 
superior; (b) inferior; (c) esquerda ; (d) traseira. (e) 
Qual o fluxo elétrico total através do cubo? 
a)-12 N.m2/C; b) 12 N.m2/C; c) -16N.m2/C; d) 0; 
e) 0 
  CNjiyE /ˆ3ˆ4 

Cap. 23: Lei de Gauss 
Definição: 
0
intˆ 
q
dAnE  

A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico em uma 
superfície fechada (Gaussiana) com a carga elétrica contida no 
interior dessa superfície. 
 O fluxo elétrico não depende da geometria da 
superfície fechada, apenas da carga elétrica 
contida no seu interior. 
Se a carga for positiva, o campo elétrico aponta 
para fora da superfície. 
 Se a carga for negativa, o campo elétrico 
aponta para dentro da superfície. 
 O vetor normal à superfície, , sempre aponta 
para fora da superfície. 
nˆ
Cap. 23: Lei de Gauss 
Exemplo: 
1. Sabendo que q1 = q4 = 3,1 nC, q2 = q5 = - 5,9 nC e q3 = 
- 3,1 nC, determine o fluxo do campo elétrico através da 
superfície S. (- 670 N.m2/C) 
0
intˆ 
q
dAnE  

23 – 9. Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma certa região da 
atmosfera terrestre aponta para baixo. A uma altura de 300 m o campo tem módulo de 60 
N/C, e a uma altura de 200 m o campo tem módulo de 100 N/C. Determine a carga em 
excesso contida em um cubo de 100 m de aresta e faces horizontais a 200 m e 300 m. (3,54 
μC) 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Obtendo a Lei de Coulomb para uma Carga Pontual 
0
intˆ 
q
dAnE  

Cuidados na Escolha da Superfície 
Gaussiana! 
 
 Escolher uma superfície que envolve a carga 
que facilite o calculo da área. 
Essa superfície deve conter o ponto no qual o 
campo elétrico deve ser determinado. 
 Ao longo dessa superfície o campo deve 
apresentar uma dependência espacial conhecida 
(de preferência constante). 
2
int
04
1
r
q
E


0
int2 )4( 
q
rE  r
r
q
E ˆ
4
1
2
int
0


Cap. 23: Lei de Gauss 
Um Condutor Carregado 
 Em um condutor as cargas em excesso se 
movimentam com bastante facilidade. 
 Devido a repulsão coulombiana essas cargas 
migram para a superfície externa do condutor. 
Isso ocorre em um intervalo de tempo muito 
curto, quase instantaneamente. 
As cargas se distribuem na superfície externa de 
modo a minimizar a energia do sistema. 
q 
1 
2 
q 
3 
E1 = 0 
E2 = 0 
E3 ≠ 0 
A gaiola de Faraday 
Em um 
condutor no 
regime estático 
E = 0 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Exemplo: Esfera Condutora 
2
04
1
r
q
E


Campo elétrico de uma carga puntiforme 
Rr  Se
r 
Superfície 
Gaussiana 
Ad
E
R 
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma 
partícula carregada situada do lado de fora da casca 
como se toda a carga estivesse situada no centro. 
Rr  Se
0E
r 
Superfície 
Gaussiana 
R 
2
1
r
E 
R 
Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme 
de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula. 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Distribuição Esférica de Cargas (Isolantes) 
Apenas as cargas contidas no 
interior da esfera de raio r 
contribuem para gerar campo 
elétrico no ponto p. 
int
3
3
3
4
3
4
q
r
Q
R




0
intˆ 
q
dAnE 

3
3
int R
Qr
q 
Se r < R: 
3
0
3
2 )4(
R
Qr
rE  
3
04 R
Qr
E


Cap. 23: Lei de Gauss 
Distribuição Esférica 
23.19) Uma esfera condutora uniformemente carregada com 
1,2m de diâmetro possui uma densidade de carga superficial 
de 8,1 µC/m2. (a) determine a carga da esfera. (b) Determine o 
fluxo elétrico através da superfície da esfera. (3,66 x 10-5 C; 
4,14x106 Nm2/C) 
 
Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de 
10cm e 15cm. A carga da casca menor é 4x10-8 C, e da casca 
maior é 2x10-8 C. Determine o campo elétrico (a) em r = 5 cm, 
(b) r = 12 cm e (c) r = 20 cm. (0 N/C; 2,5x104 N/C; 1,35x104 
N/C) 
Exemplos: 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Distribuição Esférica 
23.51) Na figura uma esfera maciça não-
condutora de raio a a = 2 cm é concêntrica 
com uma casca esférica condutora de raio 
interno b = 2a e raio externo c = 2,5 a. A 
esfera possui um carga q1 = +5 fC e a casca 
possui uma carga q2 = -5 fC. Determine o 
módulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b) 
em r = a/2; (c) em r = a; (d) em r =1,5 a; (e) 
em r =3,5 a. 
 
(a) 0; b) 5.62x10-2 N/C ;c) 0.112 N/C; d) 
0.0499 N/C; e) 0) 
Exemplos: 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Distribuição Linear Infinita de Cargas 
0
intˆ 
q
dAnE 

nE ˆ//

h
qint
0
)2( 
 hrhE 
r
r
E ˆ
2
1
0




Cap. 23: Lei de Gauss 
Exemplo: Distribuição Linear de Cargas 
Uma casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6cm tem uma 
densidade superficial de carga uniforme de 9 nC/m2.(a) Qual a carga 
total na casca? Determine o campo elétrico nas seguintes distâncias 
radiais do eixo do cilindro. (b) 2 cm; (c) 5,9 cm, (d) 6,1 cm e (e) 10 cm. 
(679 nC; 0; 0; 1000 N/C; 610 N/C). 
rhA 2
r
r
E ˆ
2
1
0




0
intˆ 
q
dAnE 

Cap. 23: Lei de Gauss 
Superfície Condutora Infinita 
0
intˆ 
q
dAnE 

nE ˆ//

0
AEA 
0
E
Cap. 23: Lei de Gauss 
0
intˆ 
q
dAnE 

nE ˆ//

0
AEAEA 
02
E
Superfície Fina, não Condutora, Infinita 
Cap. 23: Lei de Gauss 
Entre Duas Placas Condutora Infinita 
0
intˆ 
q
dAnE 

nE ˆ//

0
12

 A
EA 
0
E
A
q12
Cap. 23: Lei de Gauss 
 Exemplo: Placas Infinitas 
A figura mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, não-
condutoras, ambas com uma carga uniforme dos lados. Os valores das 
densidades superficiais de cargas são σ+ = 6,8µC/m
2 e σ- = -4,3µC/m
2 
.Determine o campo elétrico (a) à esquerda; (b) entree (c) à direita das 
placas. (1,4x105 N/C; 6,3x105 N/C) 
Cap. 23: Lei de Gauss 
 Lista de Exercícios 
1, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 19, 21, 25, 
27, 31, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 57, 81 
Referências 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. 
 
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. 
 
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: 
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.