Procedimentos para o Cálculo de Integrais de Produtos de Funções Trigonométricas

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Procedimentos a serem utilizados para calcular integrais de produtos de funções trigonométricas 
cos𝑛 𝑥 
𝑛 par 𝑛 = 2𝑘 Reescreve na forma cos𝑛 𝑥 = cos2𝑘 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘 e usa a relação cos2 𝑥 =
1+cos⁡(2𝑥)
2
. 
𝑛 ímpar 𝑛 = 2𝑘 + 1 
Reescreve na forma cos𝑛 𝑥 = cos(2𝑘+1) 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (1 − (𝑠𝑒𝑛𝑥)2)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 e usa a mudança de 
variável 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
sen𝑛 𝑥 
𝑛 par 𝑛 = 2𝑘 Reescreve na forma sen𝑛 𝑥 = sen2𝑘 𝑥 = (sen2 𝑥)𝑘 e usa a relação sen2 𝑥 =
1−cos⁡(2𝑥)
2
. 
𝑛 ímpar 𝑛 = 2𝑘 + 1 
Reescreve na forma sen𝑛 𝑥 = sen(2𝑘+1) 𝑥 = (sen2 𝑥)𝑘 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 = (1 − (𝑐𝑜𝑠𝑥)2)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥 e usa a mudança 
de variável 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 
cos𝑚 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 
𝑚 e 𝑛 pares 
𝑚 = 2𝑘 e 𝑛 =
2𝑙 
Reescreve na forma (cos2 𝑥)𝑘(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑙 e usa as relações cos2 𝑥 =
1+cos⁡(2𝑥)
2
 e sen2 𝑥 =
1−cos⁡(2𝑥)
2
. 
𝑚 ímpar e 
𝑛⁡qualquer 
𝑚 = 2𝑘 + 1 
 
Reescreve na forma 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘 . 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 = (1 − (𝑠𝑒𝑛𝑥)2)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 e usa a 
mudança de variável 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 
𝑚⁡qualquer e 
𝑛 ímpar 
𝑛 = 2𝑘 + 1 
Reescreve na forma 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 = cos𝑚 𝑥 (sen2 𝑥)𝑘. 𝑠𝑒𝑛𝑥 = cos𝑚 𝑥 (1 − (𝑐𝑜𝑠𝑥)2)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥 e usa a 
mudança de variável 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 
𝑡𝑔𝑛𝑥 𝑛 qualquer 
Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑛𝑥 = 𝑡𝑔(𝑛−2)𝑥. 𝑡𝑔2𝑥 = (𝑡𝑔𝑥)(𝑛−2)(sec2 𝑥 − 1) = (𝑡𝑔𝑥)(𝑛−2)𝑠𝑒𝑐2𝑥 − ⁡𝑡𝑔(𝑛−2)𝑥. 
Calcula a integral de (𝑡𝑔𝑥)(𝑛−2)𝑠𝑒𝑐2𝑥 usando a substituição 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥 e, caso 𝑛 − 2 > 3,⁡repete o 
procedimento para calcular a integral de 𝑡𝑔(𝑛−2)𝑥. 
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛𝑥 𝑛 qualquer Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑛𝑥, com as adaptações necessárias. 
sec𝑛 𝑥 
 
𝑛 par 𝑛 = 2𝑘 
Reescreve na forma sec𝑛 𝑥 = sec(2𝑘−2) 𝑥. sec2 𝑥 = sec2(𝑘−1) 𝑥. sec2 𝑥 = (sec2 𝑥)⁡(𝑘−1) sec2 𝑥 = 
= ((𝑡𝑔𝑥)2 + 1)(𝑘−1) sec2 𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥. 
𝑛 ímpar 
Reescreve na forma sec𝑛 𝑥 = sec(𝑛−2) 𝑥. sec2 𝑥 e usa integração por partes considerando 𝑢 = sec(𝑛−2) 𝑥 
e 𝑑𝑣 = sec2 𝑥𝑑𝑥. Dependendo do valor de 𝑛, será necessário usar o método mais de uma vez. 
cossec𝑛 𝑥 
𝑛 par 𝑛 = 2𝑘 Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias. 
𝑛 ímpar Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias. 
𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 
𝑚 e ⁡𝑛 
ímpares 
𝑚 = 2𝑘 + 1 e 
𝑛 = 2𝑙 + 1 
Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = 𝑡𝑔(𝑚−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐(𝑛−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔2𝑘𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑛−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 =
(𝑡𝑔2𝑥)𝑘𝑠𝑒𝑐(𝑛−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 = ((𝑠𝑒𝑐 𝑥)⁡2 − 1)𝑘(𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑛−1). 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 =
𝑠𝑒𝑐𝑥. 
𝑚 par e 
𝑛 ímpar 
𝑚 = 2𝑘 e 𝑛 =
2𝑙 + 1 
Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = 𝑡𝑔2𝑘𝑥𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = (𝑡𝑔2𝑥)𝑘𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = (sec2 𝑥 − 1)𝑘 sec𝑛 𝑥 e usa o 
método para o cálculo de potências de secante com expoente ímpar. 
𝑛 par 𝑛 = 2𝑘 
Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑘𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐(2𝑘−2)𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 =
𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐2(𝑘−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. (𝑠𝑒𝑐2𝑥)(𝑘−1). 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. ((𝑡𝑔𝑥)2 + 1)(𝑘−1). 𝑠𝑒𝑐2𝑥 e usa a 
mudança de variável 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥. 
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 
𝑚 e ⁡𝑛 
ímpares 
𝑚 = 2𝑘 + 1 e 
𝑛 = 2𝑙 + 1 
Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias. 
𝑚 par e 
𝑛 ímpar 
𝑚 = 2𝑘 e 𝑛 =
2𝑙 + 1 
Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias. 
𝑛 par 
𝑚 qualquer 
𝑛 = 2𝑘 
Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.