Navier Stokes T

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Mecânica dos Fluidos II
Soluções das Equações de 
Navier-Stokes
Monitor: Nuno Jorge S. Dias
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Equações de Navier-Stokes
 
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Equações de Navier-Stokes
 
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Equações de Navier-Stokes
 
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Cartesian Coordinates
Cylindrical Coordinates
 
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Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
L
hu
v=0 ;w=0
u=u( y)ê x⇒u .∇ u=0
O escoamento é unidirecional, mas bidimensional: 
Escoamento Incompressível: ∇ .u=0⇔∂u
∂ x
=0
Vamos assumir que o escoamento se 
desenvolve na direção horizontal:: 
y
x
 
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Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
Escoamento em Regime Permanente:
Campo de Velocidade:
∂
∂ t
=0
u=u( y)→ ∂ u
∂ x
=0
Equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas, reduzem-se a:
y→∂ p
∂ y
=0
z→∂ p
∂ z
=0
0=− dp
dx
+μ d
2u
d y2
p= p ( x)
 
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Análise de escalas aos termos de advecção e de difusão
(u ∂ u∂ x )∼U
2
L
∂2u
∂ x2
∼U
L2
∂2u
∂ y2
∼U
h2
∂2u
∂ y2
≫∂
2u
∂ x2
0=− d p
d x
+μ d
2u
d y2
Então para a direção “x”:
∂ p
∂ x=
pL− p0
L =−G p0> pL=−G
μ d
2u
d y2
= d p
d x
Integrando duas vezes 
em relação a y
u=− G
2μ
y2+C1 y+C2
As constantes de integração são encontradas 
através das condições de contorno do problema 
 
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L
du
Caso I: Escoamento acontece por deslizamento da placa 
superior e pela existência de um gradiente de pressão 
U
p0 pL
u=− G
2μ
y2+C1 y+C2
Condições de Contorno
u ( y=d )=U ;u( y=0)=0
Aplicando as Condições de Contorno em:
u ( y=0)=0⇒C 2=0
u ( y=d )=U ⇒C1=
U
d
+ G
2μ
d
u ( y)= G
2μ
y (d−y)+U
d
y
Este é o caso mais Geral
 
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L
du
Caso II: Escoamento acontece por deslizamento da placa 
superior; não existe gradiente de pressão 
U
u=− G
2μ
y2+C1 y+C2
Condições de Contorno
u ( y=d )=U ;u( y=0)=0
Aplicando as Condições de Contorno em:
u ( y=0)=0⇒C 2=0
u ( y=d )=U ⇒C1=
U
d
u ( y)=U
d
y Conhecido como 
escoamento de Couette 
entre placas paralelas
 
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L
du
Caso III: Escoamento acontece pela existência de um 
gradiente de pressão ; placa superior e inferior imóvel
p0 pL
u=− G
2μ
y2+C1 y+C2
Condições de Contorno
u ( y=d )=0 ;u( y=0)=0
Aplicando as Condições de Contorno em:
u ( y=0)=0⇒C 2=0
u ( y=d )=0⇒C1=
G
2μ
d
u ( y)= G
2μ
y (d−y)
Conhecido como escoamento de 
Hagen-Poiseuille entre placas paralelas
 
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Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille
 
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Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille
r
z
L
p0 pL
Considerações do problema
1) Comprimento (L) muito maior que o raio (a)
2) Condição de Axissimetria
3) Escoamento Unidirecional
4) Escoamento em Regime Permanente
L≫a
∂
∂θ=0
uθ=0
∂
∂ t
=0
u=u(r)ê z=u z (r )
 O escoamento se
 desenvolve na direção z
 
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Equação da Continuidade
1
r
∂(r u r)
∂ r +
∂u z
∂ z =0
r∼a ; z∼L ;u z∼U u r∼U
a
L
⇒ur≪1⇒ur≈0
Desta forma as equações de Quantidade de Movimento ficam : 
1
r
∂(r u r)
∂ r +
∂u z
∂ z =0
r→0=− ∂ p
∂ r
θ→0=−∂ p∂θ
z→0=−∂ p
∂ z
+μ (∂2u z∂ r2 + 1r ∂ u z∂ r )
1
r
d
dr (r d uzdr )=1r [r d
2u z
d r2
+
d uz
dr ]=d
2u z
d r2
+1
r
d u z
d r
Nota que:
∂ p
∂ z
=
pL− p0
L
=−G p0> pL=−G
 
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1
r
d
d r (r d u zd r )=−GμAssim escreve-se que:
Integrando uma vez:∫ d (r d u zd r )=−∫ Gμ r dr⇔ d u zd r =−Gμ r2+C1r
Integrando de novo: u z=−
G
4μ
r2+C1 ln r+C 2
Note que: C
1
 tem que ser nulo para que 
em r=0 não obtenhamos um valor 
infinito para u
z
 (inconsistência física)
u z (r)=−
G
4μ
r2+C 2
Assim o campo de velocidades é dado por:
 
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u z (r)=−
G
4μ
r2+C 2
Condição de Contorno
u z (r=a)=0
O problema a ser resolvido é:
=> u z (r)=Ga
2
4μ [1−( ra )
2 ]
● Velocidade Máxima (centro do capilar)
u z (r=0)=
G a2
4μ
 
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● Vazão 
Q=∫ u .dA=∫
0
a
u(r)2π r dr
a 2π r
d r
d r
Q=∫
0
a
[ G4μ (a2−r2)2 ]dr=πGa
4
8μ
Q=πGa
4
8μ
A conhecida Equação de Hagen-Poiseuille
Por outro lado: Q=U A⇔Q=U πa2
Igualando à Eq. de Hagen-Poiseuille: U=Ga
2
8μ
Comparando a velocidade média com a máxima: U=1
2
u z (r=0)
 
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● Tensão de Cisalhamento na Parede 
Δ p
τW
Δ pπa2=τW 2πa L⇔τW=
1
2
Ga
1
r
d
d r (r d u zd r )=−Gμ ⇔0=G+1r ddr (r τrz )
Outra forma de obter a tensão de cisalhamento na parede é pelas equações de Navier-Stokes
τrz=μ ( ∂ur∂ z +∂ u z∂ r )
Integrando, obtém-se τrz=−G
r
2+
C1
r
Em r=0 a tensão é finita e como tal C
1
 deve de ser nulo τrz=−G
r
2
Para r=a (parede) a tensão é: τrz(r=a)=τw=
1
2
Ga
 
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● Fator de Atrito no Capilar 
Q=π a
4G
8μ
⇔π a2U=π a
4Δ p
8μ L
⇔Δ p=8μ LU
a2
⇔Δ p= 1
2
64 νρ LU
d2
Δ p=1
2
64 νρ LU
d 2
⇔Δ p=(12 ρ(U )2) 64 ν Ld 2U ⇔Δ̃ p= 64U d
ν
d
L
⇔Δ̃ p= 64
Rex
Re x=U dν
d
L
=Re d
L
≪1
ν=μρ Viscosidade cinemática
 
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Tubo Capilar: Viscosímetro
Medindo a Vazão e a Diferença de Pressão pode-se aferir sobre a viscosidade do fluido
Q=∫ u .dA=∫
0
a
u(r)2π r dr=∫
0
a
2πu r dr
Integração por partes: ∫ v .ds=v s−∫ sdv
v=u⇒dv=du⇔dv=γ˙ dr γ˙= du
dr
ds=r dr⇐ s= r
2
2
Segue que: Q=2π [(u r22 )0
a
−∫
0
a
r2 γ˙ dr ]⇔Q=−π∫0
a
r2 γ˙ dr
 
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τrz(r=a)=τw=
1
2
Ga
τrz=−G
r
2
Lembrando que:
r=−a
τrz
τw ⇔dr=
−a
τw
d τrz
Q=−π∫
0
a
r2 γ˙ dr=−π [∫0
τw
γ˙ a2
τ rz
2
τw
2 (− aτw d τrz )]
Segue que:
Q τw
3
π a3
=∫
0
τw
γ˙ τrz
2 d τ rz
γ˙w=
1
τw
2
d
d τw (Q τw
3
π a3 ) Relação de Weissenber-Rabinowitsch
 
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γ˙w=
1
τw
2
d
d τw (Q τw
3
π a3 )
γ˙w=
1
πa3
1
τw
2 [3 τw2 Q+τw3 dQdτw ]
Efetuando a derivada, segue-se que:
γ˙w=
Q
πa3 [3+ dQ /Qd τw / τw ] τw=− 12 Δ PL a
γ˙w=
Q
πa3 [3+ d ln Qd ln Δ p ]
ln Q
ln Δ p
 
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Prevendo a vazão/pressão de um fluido Não-Newtoniano 
Imagine que a viscosidade de um fluido é ajustada por uma Lei de Potência do tipo:
μ(γ˙)=C γ˙ n−1
0=G+ 1
r
d
dr (r τrz )⇔
dp
dz
=1
r
d
dr (r τrz )
Segue que: τrz=
dp
dz
r
2 τrz=μ(γ˙) γ˙=C γ˙
n=C ( dudr )
n
du
dr
=(dpdz r2C )
1/n
u z (r)=
n
1+n ( dpdz r2C )
1/n
r
 
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Q=2π∫
0
a
u z (r)r dr
Q=2π n
2
(1+n)(1+3n) ( dpdz a2C )
1/n
a3
Para n=1, recupera-se a expressão de Hagen-Poisseuille (Fluido Newtoniano)
Q=π a
4
8C
dp
dz
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
Analisando o problema:
1) Cilindro externo parado.
2) Cilindro interno em movimento circular
3) em principio, em regime laminar, o escoamento não tem 
instabilidades para que ocorra na direção z. Assim u
z
=0.
4) A velocidade na direção θ (u
θ
) depende de r uma vez 
que o cilindro está girando.
5) Escoamento com eixo de simetria
Escalas: uθ∼ωR1 ; r∼δ ; z∼L
R0−R1
L ≪1
u=uθ(r )êθ
∂
∂θ=0
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
Equação da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas
1
r
∂(r ur)
∂ r
+ 1
r
∂uθ
∂θ +
∂ u z
∂ z
=0⇒ur=0
Equações da Quantidade de Movimento
r→ uθ
2
r
=1ρ
∂ p
∂ r
z→ ∂ p
∂ z
=0
θ→0=∂
2uθ
∂ r2
+ 1
r 2
∂uθ
∂ r
− uθ
r 2
⇔0= d
dr [1r d (r uθ)dr ]
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
0=∂
2uθ
∂ r2
+ 1
r2
∂2uθ
∂θ2
− uθ
r2
d
d r (1r d (r uθ)dr )= dd r (1r )+1r dd r ( d (r uθ)dr )=− uθr2 +1r ddr ( drdr uθ+r d uθdr )
− uθ
r2
+1
r
d uθ
dr
+ d
2uθ
d r 2
=
d
d r (1r d (r uθ)dr )=0Então escreve-se que:
Integrando duas vezes em relação a r: uθ=C1
r
2+
C2
r
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
Condições de Contorno uθ(r=R0)=0 ;uθ(r=R1)=ωR1
0=C1
R0
2 +
C2
R0
ωR1=C1
R1
2 +
C 2
R1
C1=−
2ωR1
2
R0
2−R1
2
C2=
ωR0
2 R1
2
R0
2−R1
2
Assim a expressão para o perfil de velocidades é:
uθ(r)=−
ω R1
2 r
R0
2−R1
2+
ωR0
2 R1
2
R0
2−R1
2
1
r
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
● Tensão de Cisalhamento na parede externa do cilindro interno 
τr θ=μ [r ∂∂ r ( uθr )+1r ∂u r∂θ ]
Neste problema τr θ=μ [r ∂∂ r ( uθr )]=μ [− 2ωR02 R12R02−R12 1r2 ]
Na parede externa do cilindro interno τr θ(r=R1)=−2μ r
ω R0
2
R0
2−R1
2
Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro
F θ=τ rθ A=τ rθ(2π R1 L)=−4πμ L
ωR0
2 R1
R0
2−R1
2
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
● Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro
F θ=τ rθ A=τ rθ(2π R1 L)=−4πμ L
ωR0
2 R1
R0
2−R1
2
● Força Tangencial que o Cilindro exerce no Liquido
F θ=4πμ L
ωR0
2 R1
R0
2−R1
2
● Torque T=F θR1=4πμ L
ω R0
2R1
2
R0
2−R1
2
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
● Torque T=F θR1=4πμ L
ω R0
2R1
2
R0
2−R1
2
T=4πμ L
ωR0
2 R1
2
(R0−R1)(R0+R1)
Se R0≈R1⇒R0−R1=δ⇒R0+R1≈2R1
T=2πμ L
ω R0
2R1
2
R1δ
=2πμ L
R0
2 R1
R1
ωR1
δ
T=2π LR0
2μ
ωR1
δ =2π L R0
2μ γ˙
T=C μ γ˙
Em que C só depende de parâmetros geométricos
 
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Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
T=C μ γ˙
1) Em que C só depende de parâmetros geométricos
2) Expressão idêntica ao cisalhamento simples entre placas corrigido por um fator
3) O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade
 
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Escoamento entre Pratos Rotativos 
 
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Escoamento entre Pratos Rotativos (Couette)
Hipótese: O movimento imposto 
à haste é controlado de tal forma 
que não haja escoamento na 
direção vertical nem radial. 
Escoamento somente na direção 
angular.
r→− ρuθ
2
r
=− ∂ p
∂ r
θ→0=− 1
r
∂ p
∂θ +μ
∂2uθ
∂ z 2
z→0=− ∂ p
∂ z
+ρ g
p=∫ ρuθ
2(r , z)
r
dr+h(θ , z)Integrando
Substituindo θ→0=− 1
r
∂
∂θ [∫ ρuθ2(r , z)r dr+h(θ , z)]+μ ∂
2uθ
∂ z2
 
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θ→0=− 1
r
∂
∂θ [∫ ρuθ2(r , z)r dr+h(θ , z)]+μ ∂
2uθ
∂ z2
∂
∂θ [∫ ρuθ2(r , z)r dr+h(θ , z)]=0⇒∂ p∂θ =0
θ→0=μ d
2uθ
d z 2
Condições de Contorno uθ(r , z=0)=0 ;uθ(r , z=δ)=ω r
uθ=C1 z+C2Integrando duas vezes
uθ=
ω r
δ z
 
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● Tensão de Cisalhamento 
τ zθ=μ [∂ uθ∂ z + 1r ∂ u z∂θ ] τ zθ=μ [ω rδ ]
● Torque sobre o disco devido a resistência imposta pela lâmina de fluido 
dFθ=τ zθ2π r dr
T=∫
0
R
dFθ . r=
μπωR4
2δ
 
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Exercícios
b
b
μ1,ρ1
μ2,ρ2
Escoamento entre placas paralelas infinitas
I ) Escoamento induzido por um 
gradiente de pressão
II ) Escoamento induzido pelo 
movimento da placa superior com 
velocidade Uê
x
 
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I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão
u=− G
2μ
y2+C1 y+C2Deduzido em Escoamento entre placas
u1=−
G
2μ1
y2+C1 y+C2
u2=−
G
2μ2
y2+C3 y+C 4
u1(2b)=0 ;u2(0)=0
u1(b)=u2(b) ; τ1(b)=τ2(b)
b< y<2b
0< y<b
Condições de Contorno
τ1(b)=μ1
∂u1
∂ y
τ2(b)=μ2
∂ u2
∂ y
 
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u1(2b)=0⇒C2=
G
2μ1
(2b)2−C1(2b)
u2(0)=0⇒C4=0
τ1(b)=τ2(b)⇔C1=
μ2
μ1 C3
u1( y )=
G
2μ1
((2b)2− y2)+
μ2
μ1 C3( y−2b) u2( y)=−
G
2μ2
y2+C3 y
u1(b)=u2(b)⇔C3=
μ1
μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 b ]
u1( y )=
G
2μ1
((2b)2− y2)+( y−2b)
μ2
μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 b ]
u2( y)=−
G
2μ2
y2+
μ1
μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 b ] y
 
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II ) Escoamento induzido pelo movimento da placa superior com velocidade Uê
x
u=− G
2μ
y2+C1 y+C2Deduzido em Escoamento entre placas
u1=C1 y+C 2
u2=C3 y+C4
u1(2b)=U ;u2(0)=0
u1(b)=u2(b); τ1(b)=τ2(b)
b< y<2b
0< y<b
Condições de Contorno
 
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u1(2b)=0⇒C2=U +C1( y−2b)
u2(0)=0⇒C4=0
τ1(b)=τ2(b)⇔C1=
μ2
μ1 C3
u1( y )=U +
μ2
μ1 C3( y−2b) u2( y)=C3 y
u1(b)=u2(b)⇔C3=
μ1
μ1+μ2
U
b
u1( y)=U [1− μ2μ1+μ2 (2− yb )] u2( y)= μ1μ1+μ2 yb U
 
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u
p0 p1
μ1
μ2 RB
a
Escoamento de dois fluidos em tubo capilar. O fluido 1 tem comportamento newtoniano. 
O fluido 2 tem comportamento não-newtoniano. A viscosidade do fluido 2 é descrito por 
uma Lei de Potência. Calcule o perfil de velocidades para cada fluido e a vazão.
L
μ2( γ˙)=C γ˙
n−1
r
z
 
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Pela análise de escala na equação da continuidade e da quantidade de movimento,
chega-se a:
1
r
d
dr (r τrz )=
dp
dz
1
r
d
dr (r τrz2)=
dp
dz
1
r
d
dr (r τrz1)=
dp
dz
0<r<RB
RB<r<a
τrz 2=μ(γ˙) γ˙
τrz1=μ γ˙
γ˙= du
dr
τrz 2=
dp
dz
r
2
+
C 1
r C1=C2=0
τrz 1=
dp
dz
r
2
+
C2
r Tensão Finita em r=0
du
dr
=( 1C dpdz r2 )
(1/n)
du
dr
= 1μ1
dp
dz
r
2
 
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Integrando encontra-se o perfil de velocidade para cada fluido
u2(r)=( 1C dpdz r2 )
(1/n) n r
n+1
+C1
u1(r)=
1
μ1
dp
dz
r 2
4
+C2
A velocidade dos fluidos é igual em r=R
B
u1(r=a)=0⇒u1(r)=
1
4μ1
dp
dz
(r 2−a2)
u2(r )=( 1C dpdz r2 )
(1/n) n r
n+1
−( 1C dpdz RB2 )
(1/n) n RB
n+1
+ 1
4μ1
dp
dz
(RB
2−a2)
A vazão é calculada como:
Q=∫
0
RB
(u2(2π r))dr+∫
RB
a
(u1(2π r))dr
 
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u
p0 p1
aRB
Um fluido de Bingham é um fluido que permanece em estado de repouso 
se a tensão de cisalhamento for menor que uma tensão crítica que a partir 
da qual o fluido começa a escoar. A viscosidade de um fluido de Bingham 
pode ser descrita da seguinte forma:
L
μ=∞⇒τ<τ0
μ=μ0+
τ0
(2D : D)1/2
⇒τ>τ0
0<r<RB
RB<r<a
Calcule a vazão.
r
z
 
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Q=
π R0
4
16μ(1+5α)
G
α R0
R( z)
Escoamento incompressível de fluido newtoniano em capilar 
com seção variável. Calcule a vazão em função de G.
R0
 
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α
U
y
x
Fluido escoando em plano inclinado
δ=( Cρ g cosα )
(1/(2n+1))
[ 2n+1n QL ]
(n/(2n+1))
A viscosidade do fluido em função da 
taxa de cisalhamento é descrita por 
uma lei de potência
μ(γ˙)=C ˙γ(n−1)
δ
L
Mostre que
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